新高考數(shù)學二輪復習解答題培優(yōu)練習專題04 解三角形（中線問題）(典型題型歸類訓練)（解析版）

專題04解三角形（中線問題）(典型題型歸類訓練)目錄TOC\o"1-2"\h\u一、必備秘籍 1二、典型題型 1方法一：向量化(三角形中線向量化） 1方法二：角互補 4三、專項訓練 7一、必備秘籍1、向量化(三角形中線問題）如圖在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點，SKIPIF1<0(此秘籍在解決三角形中線問題時，高效便捷）2、角互補SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0二、典型題型方法一：向量化(三角形中線向量化）1．（2023·四川瀘州·校考三模）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的值；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0邊上中線SKIPIF1<0的長．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由正弦定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由余弦定理得：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0邊上中線SKIPIF1<0的長為SKIPIF1<0.2．（2023·四川宜賓·統(tǒng)考模擬預測）SKIPIF1<0的內角SKIPIF1<0所對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周長；(2)若SKIPIF1<0邊的中點為SKIPIF1<0，求中線SKIPIF1<0的最大值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，由正弦定理可得：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0的周長SKIPIF1<0.（2）∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由（1）可得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時，等號成立，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.3．（2023·安徽安慶·安慶市第二中學校考模擬預測）已知函數(shù)SKIPIF1<0．(1)求SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間；(2)記SKIPIF1<0分別為SKIPIF1<0內角SKIPIF1<0的對邊，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的中線SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0由SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間為SKIPIF1<0；（2）因為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0及SKIPIF1<0可得，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取到等號，所以SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0.方法二：角互補1．（2023·全國·高三專題練習）在①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0，這三個條作中任選一個，補充在下面的橫線上，并解答.在SKIPIF1<0中，角A，B，C所對的邊分別為a，b，c，且.(1)求角C的大?。?2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的中線SKIPIF1<0長度的最小值.【答案】(1)答案見解析(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）選擇條件①：由SKIPIF1<0及正弦定理，得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，由余弦定理，得SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；選擇條件②：由SKIPIF1<0及正弦定理，得：SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.即SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；選擇條件③：由SKIPIF1<0及正弦定理，得：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0,SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；（2）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，在三角形SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0.因為SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0長度的最小值為SKIPIF1<0.2．（2023·全國·高三專題練習）在△ABC中，內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且SKIPIF1<0.(1)求角A；(2)若AD為BC邊上中線，SKIPIF1<0，求△ABC的面積.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由正弦定理得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，∵SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0,（2）由已知得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，又∵SKIPIF1<0,∴SKIPIF1<0，在△SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0，以上兩式消去SKIPIF1<0得SKIPIF1<0,解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），則SKIPIF1<0SKIPIF1<0.3．（2023·全國·高三專題練習）已知函數(shù)SKIPIF1<0.(1)求函數(shù)SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間；(2)在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0分別是角SKIPIF1<0的對邊，SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點，且滿足____________，求SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0.請從①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中線，且SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的角平分線，且SKIPIF1<0.這三個條件中任意選一個補充到橫線處并作答.（注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分）【答案】(1)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0(2)答案見解析【詳解】（1）SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，∴函數(shù)SKIPIF1<0的單調遞增區(qū)間為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0；若選①SKIPIF1<0：由SKIPIF1<0，可知SKIPIF1<0，可化為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；若選②：SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中線，且SKIPIF1<0在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，又知SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0；故SKIPIF1<0；若選③：SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的角平分線，且SKIPIF1<0.由題意知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0又在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則有SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0解之得，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.三、專項訓練1．（2023·全國·高三專題練習）在等腰SKIPIF1<0中，AB＝AC，若AC邊上的中線BD的長為3，則SKIPIF1<0的面積的最大值是（

）A．6 B．12 C．18 D．24【答案】A【詳解】設SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由于SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中應用余弦定理可得：SKIPIF1<0，整理可得：SKIPIF1<0，結合勾股定理可得SKIPIF1<0的面積：SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立．則SKIPIF1<0面積的最大值為6．故選：A.2．（2023·安徽·合肥一中校聯(lián)考模擬預測）記SKIPIF1<0的內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，已知SKIPIF1<0．(1)求A；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0邊中線SKIPIF1<0的取值范圍．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由已知可得SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）因為M為SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．3．（2023·湖北·荊門市龍泉中學校聯(lián)考二模）已知在SKIPIF1<0中，角A、B、C的對邊分別是a、b、c，SKIPIF1<0．(1)若BC邊上的高等于SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求AB邊上的中線CD長度的最小值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）過SKIPIF1<0作SKIPIF1<0，垂足為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在三角形SKIPIF1<0中，由余弦定理得SKIPIF1<0.（2）SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，兩邊平方得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立，所以SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.4．（2023·浙江杭州·統(tǒng)考一模）已知SKIPIF1<0中角SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0、SKIPIF1<0、SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．(1)求角A；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊上中線SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0，所以由正弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊上中線SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．5．（2023·遼寧沈陽·沈陽二中?？寄M預測）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別是a，b，c，若SKIPIF1<0(1)求角A的大小；(2)若SKIPIF1<0，求中線AD長的最大值（點D是邊BC中點）．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，由正弦定理可得：SKIPIF1<0,即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.（2）由（1）得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時等號成立，因為點D是邊BC中點，所以SKIPIF1<0,兩邊平方可得：SKIPIF1<0,則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，中線AD長的最大值為SKIPIF1<0.6．（2023·四川內江·?？寄M預測）在△ABC中，D是邊BC上的點，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，AD平分∠BAC，△ABD的面積是△ACD的面積的兩倍．(1)求△ACD的面積；(2)求△ABC的邊BC上的中線AE的長．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0．【詳解】（1）由已知及正弦定理可得：SKIPIF1<0，化簡得：SKIPIF1<0．又因為：SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以△ACD的面積為SKIPIF1<0．（2）由（1）可知SKIPIF1<0，因為AE是△ABC的邊BC上的中線，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以△ABC的邊BC上的中線AE的長為SKIPIF1<0．7．（2023·山東日照·山東省日照實驗高級中學?？寄M預測）在SKIPIF1<0中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且SKIPIF1<0．(1)求角A的大??；(2)若SKIPIF1<0邊上的中線SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0面積的最大值．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）依題意有SKIPIF1<0SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）因為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0當且僅當SKIPIF1<0時成立，故SKIPIF1<0面積的最大值為SKIPIF1<0.8．（2023·遼寧朝陽·校聯(lián)考一模）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的中線SKIPIF1<0的最小值.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）因為SKIPIF1<0所以SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；（2）由題意SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0的中線SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0（當且僅當SKIPIF1<0取最小值）；綜上，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.9．（2023·安徽淮南·統(tǒng)考一模）已知SKIPIF1<0內角SKIPIF1<0所對的邊分別為SKIPIF1<0，面積為SKIPIF1<0，再從條件①、條件②這兩個條件中選擇一個作為已知條件（若兩個都選，以第一個評分），求：(1)求角SKIPIF1<0的大??；(2)求SKIPIF1<0邊中線SKIPIF1<0長的最小值.條件①：SKIPIF1<0;條件②：SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）選條件①：SKIPIF1<0,因為SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.選條件②：SKIPIF1<0由余弦定理可得SKIPIF1<0即SKIPIF1<0，由正弦定理可得SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0.（2）由（1）知，SKIPIF1<0的面積為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，由平面向量可知SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0，當且僅當SKIPIF1<0時取等號，故SKIPIF1<0邊中線SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.10．（2023·全國·高三專題練習）如圖,已知SKIPIF1<0的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，SKIPIF1<0.(1)求B；(2)若AC邊上的中線SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的周長．【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）∵SKIPIF1<0，由余弦定理可得SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0.（2）如圖，由（1）得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，①由余弦定理知SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，②

在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，由余弦定理得：SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0③

由①②③，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，

所以SKIPIF1<0的周長SKIPIF1<0．11．（2023秋·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）在SKIPIF1<0中，角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0邊上中線SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的面積.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）由正弦定理有SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）法一：在SKIPIF1<0和SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；法二：因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，有SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；法三：如圖，作SKIPIF1<0交SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0是SKIPIF1<0的中點，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.12．（2023·全國·高三專題練習）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)求SKIPIF1<0邊上的中線.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）因為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.（2）如圖所示，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0中點，連接SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0邊上的中線為SKIPIF1<0.13．（2023秋·廣東茂名·高三統(tǒng)考階段練習）銳角SKIPIF1<0的內角SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的對邊分別為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0.(1)求SKIPIF1<0；(2)若SKIPIF1<0，邊SKIPIF1<0的中線SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.【答案】(1)SKIPIF1<0(2)SKIPIF1<0【詳解】（1）SKIPIF1<0的面積SKIPIF1<0，由題意SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由正弦定理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為三角形內角，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又因為SKIPIF1<0為銳角，SKIPIF1<0.（2）由題意知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0.SKIPIF1<0.SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由（1）知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.由SKI