新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)2-4 利用導(dǎo)數(shù)研究不等式與極值點(diǎn)偏移（8題型 滿分技巧 限時檢測）（解析版）

重難點(diǎn)2-4利用導(dǎo)數(shù)研究不等式與極值點(diǎn)偏移8大題型函數(shù)與導(dǎo)數(shù)一直是高考中的熱點(diǎn)與難點(diǎn)，利用導(dǎo)數(shù)研究不等式問題在近幾年高考中出現(xiàn)的頻率較高。求解此類問題關(guān)鍵是要找到與待證不等式緊密聯(lián)系的函數(shù)，然后利用導(dǎo)數(shù)工具來研究函數(shù)的單調(diào)性、極值、最值（值域），從而達(dá)到目的?？疾殡y度較大。函數(shù)的極值點(diǎn)偏移問題，是導(dǎo)數(shù)應(yīng)用問題，呈現(xiàn)的形式往往非常簡潔，涉及函數(shù)的雙零點(diǎn)，是一個多元數(shù)學(xué)問題，考查考生的化歸與轉(zhuǎn)化思想，邏輯思維能力、運(yùn)算求解能力?！绢}型1單變量不等式的證明】滿分技巧不等式證明的常用思路1、移項(xiàng)構(gòu)造函數(shù)法：證明不等式（或）轉(zhuǎn)化為證明（或），進(jìn)而構(gòu)造輔助函數(shù)；2、最值法：若無法轉(zhuǎn)化為一個函數(shù)的最值問題，則可以考慮轉(zhuǎn)化為兩個函數(shù)的最值問題．在證明過程中，等價轉(zhuǎn)化是關(guān)鍵，此處恒成立．從而f(x)>g(x)，但此處與取到最值的條件不是同一個“x的值”．3、適當(dāng)放縮構(gòu)造法：一是根據(jù)已知條件適當(dāng)放縮；二是利用常見放縮結(jié)論；4、構(gòu)造“形似”函數(shù)，稍作變形再構(gòu)造，對原不等式同解變形，根據(jù)相似結(jié)構(gòu)構(gòu)造輔助函數(shù)【例1】（2024·山東青島·高三?？计谀┮阎瘮?shù)．（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間；（2）當(dāng)時，證明：．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析【解析】（1）當(dāng)時，，則當(dāng)時，，單調(diào)遞增，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，（2）（法一）當(dāng)時，由（1）可知，即，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因此，（當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號）（法二）當(dāng)時，令，可知于是在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，因此，（當(dāng)且僅當(dāng)時取得等號）．令，則由（1）知：故在單調(diào)遞增，因此．所以．【變式1-1】（2023·安徽合肥·高三校考期末）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求的單調(diào)區(qū)間（2）討論的單調(diào)性；（3）當(dāng)時，證明.【答案】（1）在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）答案見解析；（3）證明見解析【解析】（1）當(dāng)時，，的定義域?yàn)椋瑒t，故當(dāng)時，；當(dāng)時，.故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（2）的定義域?yàn)?，．若，則當(dāng)時，，故在單調(diào)遞增，若，則當(dāng)時，；當(dāng)時，.故在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減；（3）由（1）知，當(dāng)時，在取得最大值，最大值為，所以等價于，即，設(shè)，則，當(dāng)時，，當(dāng)時，所以在單調(diào)遞增，在單調(diào)遞減，故當(dāng)時，取得最大值，最大值為，所以當(dāng)時，，從而當(dāng)時，，即.【變式1-2】（2024·陜西榆林·高三一模）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為.（1）求；（2）證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?將代入，解得，即，由切線方程，則切線斜率.故，解得.（2）證明：由（1）知，從而等價于.設(shè)函數(shù)，則.所以當(dāng)時，，當(dāng)時，.故在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，從而在上的最小值為.設(shè)函數(shù)，從而在上的最大值為.故，即.【變式1-3】（2024·內(nèi)蒙古·高三?？计谀┮阎瘮?shù).（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：在上.【答案】（1）遞增區(qū)間為，遞減區(qū)間為；（2）證明見解析.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)?，求?dǎo)得，由，得，由，得，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減.（2）由（1）可知，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則，即，令，求導(dǎo)得，當(dāng)時，單調(diào)遞減；當(dāng)時，單調(diào)遞增，于是，即，所以當(dāng)時，，即.【題型2雙變量不等式的證明】滿分技巧雙變量不等式的處理策略：含兩個變量的不等式，基本的思路是將之轉(zhuǎn)化為一元的不等式，具體轉(zhuǎn)化方法主要有三種:整體代換，分離變量，選取主元.【例2】（2024·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)．（1）若函數(shù)在上單調(diào)遞增，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）已知，求證：．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）由題意，得．因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，所以在上恒成立，即在上恒成立，令，即在上恒成立，所以在上恒成立．因?yàn)楫?dāng)時，（當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立），所以，解得．所以的取值范圍為．（2）方法一：設(shè)．由（1）知在上單調(diào)遞增，所以在上單調(diào)遞增．因?yàn)?，所以，即．所以．故．方法二：要證，即要證，即要證．記，則只要證．記，則．記，則，所以在上單調(diào)遞增．所以在上單調(diào)遞增，所以．所以在上單調(diào)遞增，所以．所以成立．故．【變式2-1】（2024·北京西城·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程；（2）求的單調(diào)區(qū)間；（3）當(dāng)且時，判斷與的大小，并說明理由.【答案】（1）；（2）增區(qū)間，減區(qū)間（3），理由詳見解析【解析】（1）時，，，，所以曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.（2）的定義域?yàn)?，，所以在區(qū)間和上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以的增區(qū)間，減區(qū)間；（3）當(dāng)且時，，證明如下：令，則，設(shè)，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，所以，即，所以的單調(diào)遞增區(qū)間為.當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，綜上所述，當(dāng)且時，.【變式2-2】（2024·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，其中.（1）當(dāng)時，求的極值；（2）當(dāng)，時，證明：.【答案】（1）有極大值，極小值；（2）證明見解析【解析】（1）由題意，，，所以當(dāng)時，，，由解得：或，由解得：，所以在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，故有極大值，極小值.（2）由題意，，，要證，只需證，而，，所以只需證，即證①，下面給出兩種證明不等式①的方法：證法1：要證，只需證，即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，顯然，所以當(dāng)時，，因?yàn)椋?，即，?證法2：要證，只需證，即證，令，則，所以只需證當(dāng)時，，即證，令，則，所以在上單調(diào)遞增，又，所以成立，即，故【變式2-3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）知函數(shù)．（1）求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間和最小值；（2）當(dāng)時，求證：（其中為自然對數(shù)的底數(shù)）；（3）若，求證：．【答案】（1）在上為增函數(shù)；在上為減函數(shù)，（2）證明見解析；（3）證明見解析【解析】（1）令得；令得：；在上為增函數(shù)，在上為減函數(shù)．故.（2）由（1）知：當(dāng)時，有，，即：，．（3）將變形為：即只證：設(shè)函數(shù)，令，得：．在上單調(diào)遞增；在，上單調(diào)遞減；的最小值為：，即總有：．，即：，令，，則，成立．【題型3對稱化構(gòu)造解決極值點(diǎn)偏移】滿分技巧1、和型（或）問題的基本步驟：①首先構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)，確定函數(shù)和函數(shù)的單調(diào)性；②確定兩個零點(diǎn)，且，由函數(shù)值與的大小關(guān)系，得與零進(jìn)行大小比較；③再由函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性得到與的大小，從而證明相應(yīng)問題；2、積型問題的基本步驟：①求導(dǎo)確定的單調(diào)性，得到的范圍；②構(gòu)造函數(shù)，求導(dǎo)可得恒正或恒負(fù)；③得到與的大小關(guān)系后，將置換為；④根據(jù)與的范圍，結(jié)合的單調(diào)性，可得與的大小關(guān)系，由此證得結(jié)論.【例3】（2024·云南昭通·統(tǒng)考模擬預(yù)測）已知函數(shù).（1）討論的單調(diào)區(qū)間；（2）已知在上單調(diào)遞增，且，求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析【解析】（1）的定義域?yàn)?.①當(dāng)時，由得，單調(diào)遞增，由得，單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減；②當(dāng)時，由得，或，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；③當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；④當(dāng)時，由得，或，由得，，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.綜上，當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞增，在區(qū)間上單調(diào)遞減當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.（2）由（1）知，當(dāng)且僅當(dāng)時，在上單調(diào)遞增，即：.，又且在上單調(diào)遞增，和均不成立.故不妨設(shè)，因此要證，即證，因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，所以即證.又，故只需證，即證.設(shè)，.，故.因此在上單調(diào)遞增，所以.故，又因?yàn)樵谏蠁握{(diào)遞增，.【變式3-1】（2024·山西晉城·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)．（1）若恒成立，求的取值范圍；（2）若有兩個零點(diǎn)，證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）．令，易知單調(diào)遞增，且．當(dāng)時，,即，單調(diào)遞減；當(dāng)時，,即，單調(diào)遞增．所以，即，所以的取值范圍是．（2）由的單調(diào)性可設(shè)．令．令，則，所以在上單調(diào)遞增，則，所以．所以，即，即．因?yàn)楫?dāng)時，單調(diào)遞減，且，所以，即．【變式3-2】（2023·河南·高三南陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù).（1）若有唯一極值，求的取值范圍；（2）當(dāng)時，若，，求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）函數(shù)的定義域?yàn)椋髮?dǎo)得，當(dāng)時，若，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，無極值點(diǎn)，不符合題意；若，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，不符合題意；若，當(dāng)或時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，不符合題意；當(dāng)時，當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，2是函數(shù)的極大值點(diǎn)，且是唯一極值點(diǎn)，所以的取值范圍是.（2）當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，由，，不妨令，要證，只證，即證，就證，令，求導(dǎo)得，于是函數(shù)在上單調(diào)遞減，，而，則，即，又，因此，顯然，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，則有，所以.【變式3-3】（2024·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)的最小值為.（1）求實(shí)數(shù)的值；（2）若有兩個不同的實(shí)數(shù)根，求證：.【答案】（1）1；（2）證明見解析.【解析】（1）因?yàn)椋?，可得，?dāng)時單調(diào)遞減；當(dāng)時單調(diào)遞增.所以，所以.（2）證明：由（1）知，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，當(dāng)時，所以，先證明.記，則，當(dāng)時，，所以單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，，即，故，即.又，由單調(diào)性知：，即.再證明.記函數(shù)與和交點(diǎn)的橫坐標(biāo)分別為.①當(dāng)時，，故，所以，.（或：的圖象在的圖象的下方，且兩個函數(shù)在上都是減函數(shù)）②當(dāng)時，記，所以.當(dāng)時單調(diào)遞減；當(dāng)時單調(diào)遞增.又，當(dāng)時，，即.故所以，故.（或的圖象在的圖象的下方，且兩個函數(shù)在上都遞增）綜上，.【題型4比值代換法解決極值點(diǎn)偏移】滿分技巧比值換元的目的也是消元、減元，就是根據(jù)已知條件首先建立極值點(diǎn)之間的關(guān)系，然后利用兩個極值點(diǎn)的比值作為變量，從而實(shí)現(xiàn)消參、減元的目的。設(shè)法用比值（一般用表示）表示兩個極值點(diǎn)，即，化為單變量的函數(shù)不等式，繼而將所求問題轉(zhuǎn)化為關(guān)于的函數(shù)問題求解?！纠?】（2023·全國·高三統(tǒng)考月考）已知是函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)．（1）討論方程的實(shí)數(shù)解個數(shù)；（2）設(shè)為函數(shù)的兩個零點(diǎn)且，證明：．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）函數(shù)，，令，，（i）當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，有且僅有1個零點(diǎn)；（ii）當(dāng)時，，則在上單調(diào)遞減，，則在上有一個零點(diǎn)；（iii）當(dāng)時，令，，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時，，在上單調(diào)遞增，因此的最小值為，令，解得，又因?yàn)椋?，令函?shù)，求導(dǎo)得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，于是，而，因此，由函數(shù)零點(diǎn)存在定理得，在區(qū)間和上各有一個零點(diǎn)，當(dāng)，即時，在上只有一個零點(diǎn)，當(dāng)時，在上沒有零點(diǎn)，所以當(dāng)時，在上有兩個零點(diǎn)，即方程的有兩個實(shí)數(shù)解；當(dāng)或時，在上有一個零點(diǎn)，即方程的有一個實(shí)數(shù)解；當(dāng)時，在上沒有零點(diǎn)，即方程的無實(shí)數(shù)解.（2）由（1）知有兩個零點(diǎn)，，，，則，由是的兩個零點(diǎn)，得，，即，，兩式相減得，令，則，，，于是，，，要證，即證，即證，只需證：，令，，，令,故在上單調(diào)遞減，因此，則在上單調(diào)遞增，所以，從而得證，即.【變式4-1】（2023·河南駐馬店·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)有兩個零點(diǎn).（1）求的取值范圍；（2）設(shè)，是的兩個零點(diǎn)，，證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）由且，可得.設(shè)，，則，令，解得.當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.又當(dāng)趨向于0時，趨向于，當(dāng)趨向于時，趨向于0，所以要使的圖象與直線有兩個交點(diǎn)，則，故的取值范圍是.（2）證明：，由（1）得，則，.設(shè)，則，即，.設(shè)，則.設(shè)，則，當(dāng)時，，單調(diào)遞減，當(dāng)時，，單調(diào)遞增.又，，，所以存在唯一的，使得，即，所以的最小值為，，所以，故.【變式4-2】（2024·福建廈門·統(tǒng)考一模）已知函數(shù)有兩個極值點(diǎn)，．（1）求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）證明：．【答案】（1）；（2）證明見解析.【解析】（1）由題設(shè)且，若，則在上恒成立，即遞增，不可能有兩個極值點(diǎn)，不符；故，又有兩個極值點(diǎn)，則，是的兩個不同正根，所以，可得，即實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）且，，不妨設(shè)，則，要證，需證，即，只需證，即，令，則證，由（1），時，即，所以在上遞增，又，故，即，綜上，.【變式4-3】（2022·全國·模擬預(yù)測）設(shè)函數(shù).（1）若，求函數(shù)的最值；（2）若函數(shù)有兩個不同的極值點(diǎn)，記作，且，求證：.【答案】（1）無最小值，最大值為；（2）證明見解析【解析】（1）由題意得，則.令，解得；令，解得，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，無最小值，最大值為.（2），則，又有兩個不同的極值點(diǎn)，欲證，即證，原式等價于證明①.由，得，則②.由①②可知原問題等價于求證，即證.令，則，上式等價于求證.令，則，恒成立，在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，即，原不等式成立，即.【題型5導(dǎo)數(shù)與數(shù)列不等式證明】滿分技巧1、證明此類問題時長根據(jù)已知的函數(shù)不等式，用關(guān)于正整數(shù)的不等式替代函數(shù)不等式中的自變量。通過多次求和達(dá)到證明的目的。此類問題一般至少兩問，已知的不等式常由第一問根據(jù)待證式的特征而得來。2、已知函數(shù)式為指數(shù)不等式（或?qū)?shù)不等式），而待證不等式為與對數(shù)有關(guān)的不等式（或與指數(shù)有關(guān)的不等式），還有注意指、對數(shù)式的互化，如可化為【例5】（2024·安徽合肥·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù)．（1）討論的單調(diào)性；（2）證明：對于任意正整數(shù)n，都有．【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析.【解析】（1）的定義域?yàn)?，，若，?dāng)，則，所以在上單調(diào)遞增；若，當(dāng)，則，所以在上單調(diào)遞減；當(dāng)，則，所以在上單調(diào)遞減；綜上所述，當(dāng)時，在上單調(diào)遞增；當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減.（2）由（1）知當(dāng)時，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，所以，，即當(dāng)時，，對于任意正整數(shù)，令，有，所以，即，即.【變式5-1】（2024·山西·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).（1）若當(dāng)時，，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（2）求證：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）由題可知.令，其圖象的對稱軸為直線.當(dāng)即時，在單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，恒成立，從而恒成立，所以在單調(diào)遞增，又，所以恒成立.當(dāng)即時，在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，又，所以當(dāng)時，恒成立，從而恒成立，在單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，，與已知矛盾，舍去.綜上所述，的取值范圍為.（2）由（1）可知，當(dāng)時，，從而，于是.【變式5-2】（2023·天津紅橋·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).（1）當(dāng)時，求曲線在點(diǎn)處的切線方程：（2）若恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）證明：（，）.【答案】（1）；（2）；（3）證明見解析【解析】（1）當(dāng)時，函數(shù)的定義域?yàn)?，，，曲線在點(diǎn)處的切線方程的斜率，則切線方程為；（2）若恒成立，則恒成立，設(shè)，，，由，得，由，得，函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減..；（3）證明：結(jié)合（2），令，則，即，則，（當(dāng)且僅當(dāng)時取等號），，，…，，，（，）.【變式5-3】（2024·湖南長沙·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).（1）若有且僅有一個零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍：（2）證明：.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）易知函數(shù)的定義域?yàn)?由，可得.設(shè)，則，，且與有相同的零點(diǎn)個數(shù).思路1：令，，則.當(dāng)時，，則，即，可得在單調(diào)遞減，則有且僅有一個零點(diǎn).當(dāng)時，顯然，則，可得在單調(diào)遞減，則有且僅有一個零點(diǎn).當(dāng)時，由，解得，，且.當(dāng)時，，即，則單調(diào)遞增；當(dāng)時，，即，則單調(diào)遞減.不難得知，，（令，故在單調(diào)遞減，故，即，），則在有一個零點(diǎn)，可知不只一個零點(diǎn)，不合題意.綜上，可知.思路2：令，.當(dāng)時，在單調(diào)遞減，有，即，可得在單調(diào)遞減，則有且僅有一個零點(diǎn).當(dāng)時，.若，則，可得在單調(diào)遞減，則有且僅有一個零點(diǎn).若，存在，且，使得.后續(xù)過程同思路1.綜上，可知（2）取，當(dāng)時，，有，即，則.令，，則，即，從而.【題型6三角函數(shù)型不等式證明】滿分技巧1、正余弦函數(shù)的有界性：；2、三角函數(shù)與函數(shù)的重要放縮公式：.【例6】（2023·全國·高三專題練習(xí)）當(dāng)時，證明：恒成立.【答案】證明見解析【解析】由題意可知，函數(shù)的定義域?yàn)椋茸C明，令，則，令，其中，則，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞減，當(dāng)時，，此時函數(shù)單調(diào)遞增，所以，，即，所以，，設(shè)，其中，則且不恒為零，所以，在上為增函數(shù)，故當(dāng)時，，所以，，因?yàn)?，故，故原不等式得證.【變式6-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，.（1）討論的極值；（2）若，，求證：.【答案】（1）答案見解析；（2）證明見解析【解析】（1）因?yàn)?，所?當(dāng)時，，此時在R上單調(diào)遞增，無極值.當(dāng)a>0時，令，則，解得.當(dāng)時，，此時單調(diào)遞增；當(dāng)時，，此時單調(diào)遞減.所以當(dāng)時，有極小值，極小值為.綜上所述，當(dāng)a≤0時，沒有極值；當(dāng)a>0時，有極小值，為，無極大值.（2）證明：因?yàn)?，所?要證，可證，分兩步進(jìn)行.①先證當(dāng)時，.令，則.令，則.當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減.因?yàn)?，所以，?②再證當(dāng)時，.易知，由（1）知，當(dāng)，時，，即，所以當(dāng)時，.令，，則，顯然為減函數(shù)，，所以在上先正后負(fù)，先增后減，且所以，所以當(dāng)時，，所以.因?yàn)楫?dāng)時，，即，所以.因?yàn)椋?，即，所以，即，所?結(jié)合①②可知，即.【變式6-2】（2023·江蘇常州·校考一模）已知函數(shù).（1）若，求的值；（2）證明：當(dāng)時，成立.【答案】（1）；（2）證明見解析【解析】（1）解法一：由，得，又，所以是的極小值點(diǎn)，故，而，故，若，則，當(dāng)；當(dāng)，所以在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，故是唯一的極小值點(diǎn)，也是最小值點(diǎn)，由，所以當(dāng)且僅當(dāng)時，解法二：由，得，又，當(dāng)時，有恒成立，所以在上單調(diào)遞減，又，則不成立，當(dāng)時，令，得，則時，有時，有，即在單調(diào)遞減，在單調(diào)遞增，所以的最小值為，，函數(shù)在單調(diào)遞減，單調(diào)遞增，，當(dāng)且僅當(dāng)取等號，故；（2）當(dāng)時，，設(shè)，當(dāng)時，，又由（1）知，故，當(dāng)時，，設(shè)，則，則在單調(diào)遞增，，所以，則在單調(diào)遞增，，綜上，，即當(dāng)時，.【變式6-3】（2024·陜西榆林·統(tǒng)考一模）已知函數(shù).（1）求的極值；（2）已知，證明：.【答案】（1）極大值為，極小值為；（2）證明見解析【解析】（1），，令，可得.令，可得，令，可得，或所以在上單調(diào)遞增，在和上單調(diào)遞減.所以的極大值為的極小值為.（2）由，可得，所以.由對稱性，不妨設(shè)，則，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，所以.由（1）可知在上的最大值為，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立，因?yàn)榈忍柌荒芡瑫r取到，所以.【題型7不等式恒成立求參問題】滿分技巧1、利用導(dǎo)數(shù)求解參數(shù)范圍的兩種方法（1）分離參數(shù)法：將參數(shù)和自變量分離開，構(gòu)造關(guān)于自變量的新函數(shù)，研究新函數(shù)最值與參數(shù)之間的關(guān)系，求解出參數(shù)范圍；（2）分類討論法：根據(jù)題意分析參數(shù)的臨界值，根據(jù)臨界值作分類討論，分別解出滿足題意的參數(shù)范圍最后取并集。2、不等式恒成立問題轉(zhuǎn)化：（1），（2），【例7】（2023·遼寧·高三校聯(lián)考期中）已知函數(shù)，，，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，等價于，記，即在上恒成立，.當(dāng)即時，，在上單調(diào)遞減，所以當(dāng)時，即恒成立；當(dāng)時，記，則，當(dāng)時單調(diào)遞減，又，，所以存在，使得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增，所以，即，所以當(dāng)時，即，不符合題意；當(dāng)時，，不符合題意.綜上，的取值范圍是.故選：C【變式7-1】（2023·全國·模擬預(yù)測）已知函數(shù)，若對任意，恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】D【解析】當(dāng)時，，故，故，令，則，令，故，令，故，故當(dāng)時，，當(dāng)時，，即函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，解得，故實(shí)數(shù)的取值范圍為，故選：D【變式7-2】（2024·江西贛州·高三統(tǒng)考期末）設(shè)函數(shù)，曲線在點(diǎn)處的切線方程為．（1）求a和b的值；（2）若，求m的取值范圍．【答案】（1），；（2）.【解析】（1）依題意知，當(dāng)時，，即，所以，則，易得，于是，所以，即；（2）因?yàn)椋栽坏仁娇勺優(yōu)?，記，則上式等價于，，記，則，于是在上單調(diào)遞減，又，所以當(dāng)時，，即，當(dāng)時，，即，從而在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，故，所以，故m的取值范圍是.【變式7-3】（2024·山東棗莊·高三統(tǒng)考期末）已知函數(shù).（1）若是增函數(shù)，求的取值范圍；（2）若有兩個極值點(diǎn)，且恒成立，求實(shí)數(shù)的取值范圍.【答案】（1）；（2）.【解析】（1）由題意.因?yàn)楹瘮?shù)在其定義域上單調(diào)遞增，所以.設(shè)，①當(dāng)時，函數(shù)在上單調(diào)遞增，只須，無解.②當(dāng)時，只須，解得：，綜上所述：實(shí)數(shù)的取值范圍是.（2）由（1）知，因?yàn)橛袃蓚€極值點(diǎn)為，所以在上有兩個不同的根，此時方程在上有兩個不同的根.則，且，解得.若不等式恒成立，則恒成立.因?yàn)樵O(shè).則，因?yàn)?，所以，所以在上遞減，所以，所以，即實(shí)數(shù)的取值范圍為.【題型8不等式能成立求參問題】滿分技巧1、形如有解問題的求解策略（1）構(gòu)造函數(shù)法：令，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性與最小值，只需恒成立即可；（2）參數(shù)分離法：轉(zhuǎn)化為或恒成立，即或恒成立，只需利用導(dǎo)數(shù)求的函數(shù)的單調(diào)性與最值即可。2、單變量不等式能成立問題轉(zhuǎn)化（1），（2），3、雙變量不等式成立問題：一般地，已知函數(shù)，（1）若，，總有成立，故；（2）若，，有成立，故；（3）若，，有成立，故；（4）若，，有，則的值域是值域的子集．【例8】（2022·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．若存在實(shí)數(shù)，使得成立，則正實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】令，則，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，，若存在實(shí)數(shù)，使得不等式成立，等價于成立，又，，，所以．當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞增，當(dāng)時，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，為正實(shí)數(shù)，，又函數(shù)在上單調(diào)遞增，，解得正實(shí)數(shù)的取值范圍為．故選：C．【變式8-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）已知函數(shù)，，對于存在的，存在，使，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)閷τ诖嬖冢嬖?，使，所以，，，又，，顯然在上單調(diào)遞減，則，當(dāng)時，，即在上單調(diào)遞增，則，由解得：，所以實(shí)數(shù)的取值范圍為.故選：A.【變式8-2】（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．（1）當(dāng)時，求函數(shù)的單調(diào)區(qū)間；（2）若，不等式在上存在實(shí)數(shù)解，求實(shí)數(shù)的取值范圍．【答案】（1）單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）【解析】（1）當(dāng)時，，∴，由，得，由，得，所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間為，單調(diào)減區(qū)間為；（2）原條件等價于：在上存在實(shí)數(shù)解．化為在上存在實(shí)數(shù)解，令，則，∴在上，，得，故在上單調(diào)遞增，∴的最小值為，∴時，不等式在上存在實(shí)數(shù)解．【變式8-3】（2024·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知函數(shù)．（1）求曲線在處的切線方程；（2）（），若對任意，均存在，使得，求實(shí)數(shù)a的取值范圍．【答案】（1）；（2）【解析】（1）由題意，則，即切線的斜率，且，即切點(diǎn)坐標(biāo)為，所以曲線在處的切線方程為，即.（2）由題意可知：，因?yàn)榈膱D象開口向上，對稱軸為直線，則在上單調(diào)遞減，可得，由（1）可設(shè)，則，所以，當(dāng)時，；當(dāng)時，，則在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增.且，可知在區(qū)間上只有一個零點(diǎn)，設(shè)為，當(dāng)時，；當(dāng)時，，所以在區(qū)間上單調(diào)遞減，在區(qū)間上單調(diào)遞增，且，可得當(dāng)時，，所以，解得，所以實(shí)數(shù)的取值范圍是.（建議用時：60分鐘）1．（2024·河北·高三雄縣第一高級中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)實(shí)數(shù)，若不等式對任意恒成立，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】，即，因?yàn)?，所以，即恒成立，令，則，當(dāng)時，單調(diào)遞減，當(dāng)時，單調(diào)遞增，因?yàn)?，所以，若時，不等式恒成立，則恒成立，若時，，恒成立，則也成立，所以當(dāng)時，恒成立，所以得，即，設(shè)當(dāng)時，單調(diào)遞增，當(dāng)時，單調(diào)遞減，所以，所以，即正實(shí)數(shù)的最小值為.故選：C.2．（2024·河北·高三石家莊精英中學(xué)校聯(lián)考期末）設(shè)實(shí)數(shù)，若對恒成立，則的取值范圍為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，則，，當(dāng)時，，恒成立，即任意，對恒成立；當(dāng)時，，即，其中，構(gòu)造函數(shù)，則.，因?yàn)?，所以，單調(diào)遞增；則有，則，構(gòu)造函數(shù)，則，令，解得，當(dāng)時，，單調(diào)遞增；當(dāng)時，，單調(diào)遞減，則，即當(dāng)時，，故要使恒成立，則，即的取值范圍為.故選：B.3．（2023·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測）若關(guān)于的不等式在內(nèi)有解，則實(shí)數(shù)的取值范圍是（）A．B．