新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)7-1 直線與圓綜合（10題型 滿分技巧 限時(shí)檢測(cè)）（解析版）

熱點(diǎn)7-1直線與圓綜合1、直線的方程、直線平行與垂直、點(diǎn)到直線的距離公式等多以選擇題、填空題的形式出現(xiàn)，難度較??；2、圓是高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)命題，常與圓錐曲線相結(jié)合，求圓的方程、弦長(zhǎng)、面積等，此類試題難度中等，多以選擇題或填空題的形式考查；3、直線與圓偶爾單獨(dú)命題，有時(shí)也會(huì)出現(xiàn)在壓軸題的位置，多與導(dǎo)數(shù)、圓錐曲線相結(jié)合，難度較大，對(duì)直線與圓的方程的考查主要體現(xiàn)在圓錐曲線的綜合問(wèn)題上?！绢}型1直線的傾斜角與斜率】滿分技巧1、求傾斜角的取值范圍的一般步驟（1）求出斜率k＝tanα的取值范圍．（2）利用三角函數(shù)的單調(diào)性，借助圖象，確定傾斜角α的取值范圍．求傾斜角時(shí)要注意斜率是否存在．2、斜率取值范圍的2種求法（1）數(shù)形結(jié)合法：作出直線在平面直角坐標(biāo)系中可能的位置，借助圖形，結(jié)合正切函數(shù)的單調(diào)性確定；（2）函數(shù)圖象法：根據(jù)正切函數(shù)圖象，由傾斜角范圍求斜率范圍，反之亦可【例1】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）“直線的傾斜角為銳角”是“直線的斜率不小于”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】若直線的斜率不小于，則該直線的傾斜角為銳角或，∴“直線的傾斜角為銳角”是“直線的斜率不小于”的充分不必要條件.故選：A.【變式1-1】（2023·江西宜春·高三豐城中學(xué)?？茧A段練習(xí)）設(shè)直線的方程為，則的傾斜角的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】直線的斜率，所以直線的傾斜角的取值范圍是.故選：A【變式1-2】（2024·北京·高三北理工附中?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知直線，的斜率分別為，，傾斜角分別為，，則“"是“”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件【答案】D【解析】由題意兩直線均有斜率，所以，當(dāng)時(shí)，取，則，但，即充分性不成立；當(dāng)時(shí)，取，則，但，即必要性不成立；綜上，“”是“”的既不充分也不必要條件.故選：D.【變式1-3】（2023·湖南衡陽(yáng)·衡陽(yáng)市八中?？家荒＃┮阎本€的傾斜角滿足，則的斜率的取值范圍是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】函數(shù)在上單調(diào)遞增，又，，故的取值范圍是.故選：C【變式1-4】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知點(diǎn)，，斜率為k的直線l過(guò)點(diǎn)，則下列斜率k的取值范圍能使直線l與線段相交的有（）A．B．C．D．【答案】AB【解析】根據(jù)題意，在平面直角坐標(biāo)系中，作出A，B，P三點(diǎn)，如圖所示．當(dāng)直線l與線段相交時(shí)，或，所以斜率k的取值范圍是或斜率不存在，結(jié)合選項(xiàng)，選項(xiàng)A、B符合題意．故選：AB．【題型2直線方程及過(guò)定點(diǎn)問(wèn)題】滿分技巧1、求解直線方程的兩種方法（1）直接法：根據(jù)已知條件，選擇適當(dāng)?shù)闹本€方程形式，直接寫出直線方程；（2）待定系數(shù)法：①設(shè)所求直線方程的某種形式；②由條件建立所求參數(shù)的方程(組)；③解這個(gè)方程(組)求出參數(shù)；④把參數(shù)的值代入所設(shè)直線方程2、直線過(guò)定點(diǎn)：過(guò)與的交點(diǎn)的直線可設(shè)為：【例2】（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期末）對(duì)于直線，下列選項(xiàng)正確的為（）A．直線傾斜角為B．直線在軸上的截距為C．直線的一個(gè)方向向量為D．直線經(jīng)過(guò)第二象限【答案】C【解析】因?yàn)橹本€的斜率為，所以直線傾斜角為，故A錯(cuò)誤；在中，令，解得，即直線在軸上的截距為，故B錯(cuò)誤；在中，令，解得，即直線過(guò)兩點(diǎn)，，所以直線的一個(gè)方向向量為，故C正確；畫出直線的圖象如圖所示，所以直線不經(jīng)過(guò)第二象限，故D錯(cuò)誤.故選：C.【變式2-1】（2023·湖北荊州·高三公安縣車胤中學(xué)?？计谀┮阎本€的一個(gè)方向向量為，且經(jīng)過(guò)點(diǎn)，則的方程為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意得直線的一個(gè)方向向量為，所以其斜率為，又它經(jīng)過(guò)點(diǎn)，所以直線的方程為，即.故選：B.【變式2-2】（2024·廣東廣州·廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？家荒＃┮阎c(diǎn),直線與軸相交于點(diǎn),則△中邊上的高所在直線的方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直線與軸相交于點(diǎn),令得由題知且直線的斜率得易知點(diǎn)在直線上,根據(jù)點(diǎn)斜式得即.故選：C.【變式2-3】（2023·福建莆田·高三莆田第十中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知的三個(gè)頂點(diǎn)分別為.（1）求邊的垂直平分線的方程；（2）已知平行四邊形，求點(diǎn)的坐標(biāo).【答案】（1）；（2）【解析】（1）設(shè)線段的中點(diǎn)，且，則邊的垂直平分線的斜率，由直線的點(diǎn)斜式可得，化簡(jiǎn)可得.（2）由四邊形為平行四邊形，且，則，又，則.【變式2-4】（2022·江蘇宿遷·高三沭陽(yáng)如東中學(xué)?？计谥校ǘ噙x）已知直線，直線，且與相交于點(diǎn)，則下列結(jié)論正確的是（）A．過(guò)定點(diǎn)過(guò)定點(diǎn)B．點(diǎn)的軌跡方程為C．點(diǎn)到點(diǎn)和點(diǎn)距離之和的最大值為D．設(shè)，則的最大值為【答案】BD【解析】由，即過(guò)定點(diǎn)，，即過(guò)定點(diǎn)，A錯(cuò)；由，即，所以的軌跡是以為直徑的圓，所以圓心為，半徑為，即軌跡方程為，B對(duì)；如下圖，設(shè)，則，故，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)等號(hào)成立，故到點(diǎn)和點(diǎn)距離之和的最大值為，C錯(cuò)；由圖知：當(dāng)直線與圓相切時(shí)，最大，此時(shí)，所以且最大，D對(duì).故選：BD【題型3直線的平行與垂直問(wèn)題】滿分技巧1、由一般式方程確定兩直線位置關(guān)系的方法直線方程l1：A1x＋B1y＋C1＝0(A＋B≠0)，l2：A2x＋B2y＋C2＝0(A＋B≠0)l1與l2垂直的充要條件A1A2＋B1B2＝0l1與l2平行的充分條件＝≠(A2B2C2≠0)l1與l2相交的充分條件≠(A2B2≠0)l1與l2重合的充分條件＝＝(A2B2C2≠0)2、平行垂直直線一般方程的設(shè)法：（1）平行：與直線垂直的直線方程可設(shè)為（2）垂直：與直線垂直的直線方程可設(shè)為【例3】（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期末）“”是“直線與平行”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】當(dāng)時(shí)，直線與平行；當(dāng)直線與平行時(shí)，有且，解得，故“”是“直線與平行”的充要條件，故選：C【變式3-1】（2023·江西南昌·高三南昌二中?？茧A段練習(xí)）已知，，直線和垂直，則的最小值為（）A．2B．4C．8D．16【答案】C【解析】因?yàn)橹本€和垂直，所以，所以，因?yàn)?，，所以，?dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)取等.故選：C.【變式3-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知直線，，則（）A．恒過(guò)點(diǎn)B．若，則C．若，則D．當(dāng)時(shí)，不經(jīng)過(guò)第三象限【答案】BD【解析】對(duì)于選項(xiàng)A：直線的方程可化為：，令得：，所以直線恒過(guò)點(diǎn)，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)B：若時(shí)，顯然不平行，若時(shí)，顯然不平行，所以若，則，且，解得，故選項(xiàng)B正確，對(duì)于選項(xiàng)C：若，則，解得，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤，對(duì)于選項(xiàng)D：若直線不經(jīng)過(guò)第三象限，當(dāng)時(shí)，直線，符合題意，當(dāng)時(shí)，則，解得，綜上，，故選項(xiàng)D正確，故選：BD.【變式3-3】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）過(guò)點(diǎn)且與直線平行的直線方程為.【答案】【解析】設(shè)所求直線方程為，因?yàn)辄c(diǎn)在直線上，所以，解得，故所求直線方程為.【變式3-4】（2023·廣東珠?！そy(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】直線的斜率為，故所求直線的斜率為，所以，過(guò)點(diǎn)且與直線垂直的直線方程是，即.故選：C.【題型4直線的距離問(wèn)題及應(yīng)用】滿分技巧點(diǎn)到直線、兩平行線間的距離公式的使用條件（1）求點(diǎn)到直線的距離時(shí)，應(yīng)先化直線方程為一般式．（2）求兩平行線之間的距離時(shí)，應(yīng)先將方程化為一般式且x，y的系數(shù)對(duì)應(yīng)相等．【例4】（2024·江西南昌·南昌二中校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意，雙曲線的漸近線方程為：，即，則點(diǎn)到雙曲線的漸近線的距離為.故選：A【變式4-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）圓上到直線的距離等于1的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】由題意知，圓心為，半徑，圓心到直線的距離，當(dāng)，此時(shí)圓上有個(gè)點(diǎn)滿足，當(dāng)，此時(shí)圓上有個(gè)點(diǎn)滿足，所以圓上到直線距離為的點(diǎn)的個(gè)數(shù)為.故C正確.故選：C.【變式4-2】（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知兩條平行直線：，：，則與間的距離為.【答案】【解析】由，得，得，所以：，即，又：，所以與間的距離.【變式4-3】（2022·重慶·高三重慶巴蜀中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若直線與垂直，直線的方程為，則與間的距離為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)橹本€與垂直，所以，解得，所以直線的方程為，直線的方程為，由平行線間的距離公式可得.故選：C.【變式4-4】（2023·河南南陽(yáng)·高三南陽(yáng)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知是橢圓上的動(dòng)點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離的最大值為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】要使點(diǎn)到直線的距離最大，只需找到與平行、橢圓相切的最遠(yuǎn)的一條直線，令與平行、橢圓相切的直線為，聯(lián)立橢圓，消去x，則，，可得，對(duì)于直線，與直線距離為；對(duì)于直線，與直線距離為；所以點(diǎn)到直線的距離的最大值為.故選：A【題型5直線的對(duì)稱問(wèn)題及應(yīng)用】滿分技巧1、點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)：點(diǎn)P(x，y)關(guān)于點(diǎn)Q(a，b)的對(duì)稱點(diǎn)P′(x′，y′)滿足Error!2、線關(guān)于點(diǎn)：直線關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于點(diǎn)的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決．3、點(diǎn)關(guān)于線：點(diǎn)A(a，b)關(guān)于直線Ax＋By＋C＝0(B≠0)的對(duì)稱點(diǎn)A′(m，n)，則有Error!4、線關(guān)于線：直線關(guān)于直線的對(duì)稱可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱問(wèn)題來(lái)解決．【例5】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知直線，直線，若直線關(guān)于直線l的對(duì)稱直線為，則直線的方程為．【答案】.【解析】由題意知，設(shè)直線，在直線上取點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得，即，將代入的方程得，所以直線的方程為.【變式5-1】（2024·廣東·高三廣東實(shí)驗(yàn)中學(xué)校聯(lián)考期末）直線關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由題意，在直線中，作出圖象如下圖所示，由圖可知，點(diǎn)關(guān)于直線對(duì)稱的點(diǎn)為,直線與直線的交點(diǎn)為,∴關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程為：，即，∴關(guān)于直線對(duì)稱的直線方程是：.故選：B.【變式5-2】（2023·湖北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線方程是（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)是所求直線上任意一點(diǎn)，則關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，且在直線上，代入可得，即.故選：C.【變式5-3】（2022·江蘇揚(yáng)州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線的方程為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)為所求直線上任一點(diǎn)，則關(guān)于軸對(duì)稱的點(diǎn)為，由題意可得點(diǎn)在直線上，所以，即，所以與直線關(guān)于軸對(duì)稱的直線的方程為，故選：B【變式5-4】（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）唐代詩(shī)人李頎的詩(shī)《古從軍行》開(kāi)頭兩句說(shuō)：“白日登山望烽火，黃昏飲馬傍交河”，詩(shī)中隱含著一個(gè)有趣的數(shù)學(xué)問(wèn)題——“將軍飲馬”問(wèn)題，即將軍在觀望烽火之后從山腳下某處出發(fā)，先到河邊飲馬后再回到軍營(yíng)，怎樣走才能使總路程最短？在平面直角坐標(biāo)系中，設(shè)軍營(yíng)所在的位置為．若將軍從山腳下的點(diǎn)處出發(fā)，河岸線所在直線方程為，則“將軍飲馬”的最短總路程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】如圖，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，與直線交于，且設(shè)飲馬處為，由軸對(duì)稱性質(zhì)得，，，解得，，故，即與重合時(shí)，將軍飲馬的總路程最短，則最短路程為.故選：C【題型6圓的標(biāo)準(zhǔn)方程與一般方程】滿分技巧求圓的方程的方法1、幾何法：根據(jù)圓的幾何性質(zhì)，直接求出圓心坐標(biāo)和半徑，進(jìn)而寫出方程．2、待定系數(shù)法：（1）若已知條件與圓心(a，b)和半徑r有關(guān)，則設(shè)圓的標(biāo)準(zhǔn)方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于a，b，r的方程組，從而求出a，b，r的值；（2）若已知條件沒(méi)有明確給出圓心或半徑，則選擇設(shè)圓的一般方程，依據(jù)已知條件列出關(guān)于D，E，F(xiàn)的方程組，進(jìn)而求出D，E，F(xiàn)的值．【例6】（2024·廣東·珠海市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）圓心在軸上，半徑為1，且過(guò)點(diǎn)的圓的方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)閳A心在軸上，所以可設(shè)所求圓的圓心坐標(biāo)為，則圓的方程為，又點(diǎn)在圓上，所以，解得，所以所求圓的方程為．故選：A【變式6-1】（2023·河南·高三階段練習(xí)）“”是“方程表示圓”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】A【解析】因?yàn)榉匠?，即表示圓，等價(jià)于0，解得或.故“”是“方程表示圓”的充分不必要條件.故選：A【變式6-2】（2023·廣西·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）（多選）若點(diǎn)在圓的外部，則的取值可能為（）A．B．1C．4D．7【答案】BC【解析】由題設(shè)，在圓外，則，解得.故選：BC【變式6-3】（2023·安徽·高三校聯(lián)考期末）若圓關(guān)于直線對(duì)稱，則．【答案】【解析】圓的圓心為，由題意可知，圓心在直線上，則，解得，當(dāng)時(shí)，此時(shí)方程表示圓，滿足題意.【變式6-4】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系中，圓與兩坐標(biāo)軸交于四點(diǎn)，其中，點(diǎn)在軸正半軸上，點(diǎn)在軸的正半軸上，圓的內(nèi)接四邊形的面積為，則圓的方程為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】設(shè)，則．又因?yàn)?，解得（?fù)值舍去），因此圓心，圓的方程為，即，故B正確.故選:B．【題型7圓的切線方程與切線長(zhǎng)】滿分技巧1、求過(guò)一點(diǎn)(x0，y0)的圓的切線方程的方法（1）幾何法：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即kx－y＋y0－kx0＝0.由圓心到直線的距離等于半徑，即可求出k的值，進(jìn)而寫出切線方程，當(dāng)斜率不存在時(shí)，要進(jìn)行驗(yàn)證；（2）代數(shù)法：當(dāng)斜率存在時(shí)，設(shè)為k，則切線方程為y－y0＝k(x－x0)，即y＝kx－kx0＋y0，代入圓的方程，得到一個(gè)關(guān)于x的一元二次方程，由Δ＝0，求得k，切線方程即可求出，當(dāng)斜率不存在時(shí)，要進(jìn)行驗(yàn)證2、切線長(zhǎng)：若圓的方程為，則過(guò)圓外一點(diǎn)的切線長(zhǎng)為.【例7】（2024·福建·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）過(guò)點(diǎn)的直線l與圓相切，則直線l的方程為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由點(diǎn)P在圓C上，又由直線的斜率為，可得直線l的斜率為2，則直線l的方程為．故選：B．【變式7-1】（2024·陜西安康·安康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）設(shè)點(diǎn)是直線與直線的交點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，請(qǐng)寫出其中一條切線的方程：．（只需寫一條即可）．【答案】（或）【解析】如圖，由題意知，圓，聯(lián)立，解得，即點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的切線，其切線方程為或．【變式7-2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)在圓．上，點(diǎn)，若的最小值為，則過(guò)點(diǎn)A且與圓C相切的直線方程為（）A．或B．或C．或D．或【答案】A【解析】由圓方程可得圓心為，半徑，因?yàn)榈淖钚≈禐?，所以，解得，故圓．若過(guò)點(diǎn)的切線斜率存在，設(shè)切線方程為，則，解得，所以切線方程為，即；若過(guò)點(diǎn)的切線斜率不存在，由圓方程可得，圓過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)，所以切線方程為．綜上，過(guò)點(diǎn)且與圓相切的直線方程為或．故選：A【變式7-3】（2024·安徽池州·高三統(tǒng)考期末）已知過(guò)點(diǎn)與圓：相切的兩條直線分別是，若的夾角為，則（）A．B．C．D．【答案】D【解析】，即，可得圓心，半徑，過(guò)點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)為M，N，，則，則，故，故為鈍角，則.故選：D.【變式7-4】（2024·廣東廣州·高三廣州市玉巖中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）已知點(diǎn)是直線上的一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)P作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別是點(diǎn)A，B，則四邊形PACB的面積的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】圓C：，即圓C：，圓心坐標(biāo)，半徑為3；由題意過(guò)點(diǎn)P作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，可知四邊形PACB的面積是兩個(gè)全等的三角形的面積的和，因?yàn)?，，顯然PC最小時(shí)四邊形面積最小，即，所以所以四邊形PACB的面積的最小值為，故選：B.【題型8圓的切點(diǎn)弦及弦長(zhǎng)問(wèn)題】滿分技巧1、直線與圓相交時(shí)的弦長(zhǎng)求法：（1）幾何法：利用圓的半徑，圓心到直線的距離，弦長(zhǎng)之間的關(guān)系，整理出弦長(zhǎng)公式為：（2）代數(shù)法：若直線與圓的交點(diǎn)坐標(biāo)易求出，求出交點(diǎn)坐標(biāo)后，直接用兩點(diǎn)間距離公式計(jì)算弦長(zhǎng)；（3）弦長(zhǎng)公式法：設(shè)直線與圓的交點(diǎn)為，，將直線方程代入圓的方程，消元后利用根與系數(shù)的關(guān)系得到弦長(zhǎng)2、切點(diǎn)弦方程：過(guò)外一點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，則切點(diǎn)弦所在直線方程為：【例8】（2024·廣東深圳·高三統(tǒng)考期末）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A．2B．C．4D．6【答案】C【解析】變形為，故直線過(guò)定點(diǎn)，的圓心為，半徑為3，則當(dāng)⊥時(shí)，取得最小值，最小值為.故選：C【變式8-1】（2024·河南周口·高三項(xiàng)城市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）過(guò)圓外一點(diǎn)作圓的切線，切點(diǎn)分別為，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】如圖，由題意知，，，，所以，根據(jù)圓的對(duì)稱性易知，則，解得．故選：A．【變式8-2】（2024·陜西·校聯(lián)考一模）已知圓截直線所得弦的長(zhǎng)度為，則實(shí)數(shù)a的值是（）A．2B．C．D．【答案】C【解析】圓的標(biāo)準(zhǔn)方程為，圓心為，半徑，弦的長(zhǎng)度為，故圓心到直線的距離，圓心到直線的距離，所以，故選：C．【變式8-3】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）過(guò)直線上一點(diǎn)M作圓C：的兩條切線，切點(diǎn)分別為P，Q．若直線PQ過(guò)點(diǎn)，則直線PQ的方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】圓C：的圓心為，設(shè)，則以為直徑的圓的方程為與圓C的方程兩式相減可得直線PQ的方程為因?yàn)橹本€PQ過(guò)點(diǎn)，所以，解得．所以直線PQ的方程為，即．故選：C．【變式8-4】（2024·廣東深圳·高三深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知圓，直線，過(guò)的直線與圓相交于兩點(diǎn)，（1）當(dāng)直線與直線垂直時(shí)，求證：直線過(guò)圓心.（2）當(dāng)時(shí)，求直線的方程.【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）或【解析】（1）由已知，故，所以直線的方程為.將圓心代入方程易知過(guò)圓心.（2）因?yàn)?，圓的半徑為，所以圓心到直線的距離為，當(dāng)直線與軸垂直時(shí)，易知符合題意；當(dāng)直線與軸不垂直時(shí)，設(shè)直線的方程為，即，所以，解得，所以直線的方程為，即；綜上：直線的方程為或.【題型9兩圓的公共弦問(wèn)題】滿分技巧兩圓公共弦所在直線方程圓：，圓：，則為兩相交圓公共弦方程.【例9】（2023·廣東揭陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）已知圓：，圓：，則圓與圓的公共弦所在直線的方程是（）A．B．C．D．【答案】B【解析】由，則，；由，則，；所以，兩圓相交，將兩圓作差得，所以公共線方程.故選：B【變式9-1】（2023·湖北·高三孝感高中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）已知圓O的直徑，動(dòng)點(diǎn)M滿足，則點(diǎn)M的軌跡與圓O的相交弦長(zhǎng)為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】由題意，以線段AB的中點(diǎn)O為原點(diǎn)，以直線AB為x軸，建立平面直角坐標(biāo)系，可設(shè)，，明顯，圓O的半徑為2，其方程為：①，設(shè)動(dòng)點(diǎn)，由，從而有，化簡(jiǎn)得：，即②，由可得相交弦的方程為：，圓心到距離，所以公共弦長(zhǎng)為.故選:A.【變式9-2】（2023·廣東·東莞市東華高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考一模）已知是：上一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓：的兩條切線，切點(diǎn)分別為A，B，則當(dāng)直線AB與平行時(shí)，直線AB的方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)橐詾橹睆降膱A的方程為，又圓：，兩圓方程相減可得兩切點(diǎn)所在直線AB的方程為，由，可得，即得直線AB的方程為.故選：C.【變式9-3】（2024·山東臨沂·高三統(tǒng)考期末）過(guò)圓C：外一點(diǎn)作圓C的切線，切點(diǎn)分別為A，B，則直線過(guò)定點(diǎn)（）A．B．C．D．【答案】A【解析】以為直徑的圓的方程為，即，圓，兩圓方程相減就是直線的方程，即可，整理為，聯(lián)立，得，所以直線恒過(guò)定點(diǎn).故選：A【變式9-4】（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）設(shè)圓：和圓：交于A，B兩點(diǎn)，則四邊形的面積為（）A．12B．C．6D．【答案】C【解析】由題意可知：，因?yàn)閳A：和圓：交于A，B兩點(diǎn)，所以直線AB的方程為，所以到直線AB的距離，所以，又所以．故選：C．【題型10兩圓的公切線問(wèn)題】滿分技巧兩圓公切線方程的確定（1）當(dāng)公切線的斜率存在時(shí)，可設(shè)公切線方程為，由公切線的意義（兩圓公公的切線）可知，兩圓心到直線的距離分別等于兩圓的半徑，這樣得到關(guān)于和的方程，解這個(gè)方程組得到，的值，即可寫出公切線的方程；（2）當(dāng)公切線的斜率不存在時(shí)，要注意運(yùn)用數(shù)形結(jié)合的方法，觀察并寫出公切線的方程。【例10】（2023·河北衡水·高三?？茧A段練習(xí)）圓與圓的公切線條數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】B【解析】由可知圓心為，半徑，由，即，則圓心為，半徑，則兩圓圓心距離為，，，故，即兩圓相交，故公切線條數(shù)為2條.故選：B.【變式10-1】（2023·重慶·高三重慶八中?？茧A段練習(xí)）已知圓，圓，下列直線中不能與圓，同時(shí)相切的是（）A．B．C．D．【答案】D【解析】由題意知：，所以圓的圓心為，半徑為1；圓的圓心為，半徑為2，對(duì)于A，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故滿足相切條件，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故也滿足相切條件，即直線是兩圓的一條公切線；對(duì)于B，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故滿足相切條件，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故也滿足相切條件，即直線是兩圓的一條公切線；對(duì)于C，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故滿足相切條件，圓的圓心到直線的距離為，與半徑相等，故也滿足相切條件，即直線是兩圓的一條公切線；對(duì)于D，圓的圓心到直線的距離為，不滿足相切條件，即直線不可能是兩圓的公切線；故選：D.【變式10-2】（2024·四川成都·高三成都七中?？计谀┰谥苯亲鴺?biāo)平面內(nèi)，點(diǎn)到直線的距離為3，點(diǎn)到直線的距離為2，則滿足條件的直線的條數(shù)為（）A．1B．2C．3D．4【答案】C【解析】到點(diǎn)距離為3的直線可看作以A為圓心3為半徑的圓的切線，同理到點(diǎn)距離為2的直線可看作以B為圓心2為半徑的圓的切線，故所求直線為兩圓的公切線，又，故兩圓外切，所以公切線有3條，故選：C【變式10-3】（2024·山東·高三煙臺(tái)二中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）圓和圓的公切線方程是（）A．B．或C．D．或【答案】A【解析】，圓心，半徑，，圓心，半徑，因?yàn)?，所以兩圓相內(nèi)切，公共切線只有一條，因?yàn)閳A心連線與切線相互垂直，，所以切線斜率為，由方程組解得，故圓與圓的切點(diǎn)坐標(biāo)為，故公切線方程為，即．故選：A.【變式10-4】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）圓與圓的公切線長(zhǎng)為.【答案】4【解析】由題可得，由圓，則圓心為，半徑為，由圓，則圓的圓心為，半徑為.則兩圓心的距離，因?yàn)?，所以圓與圓相交.如圖，設(shè)切點(diǎn)為，作于點(diǎn)，所以圓與圓的公切線長(zhǎng)為.（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2024·浙江·校聯(lián)考一模）圓的圓心坐標(biāo)和半徑分別為（）A．B．C．D．【答案】A【解析】圓，即，它的圓心坐標(biāo)和半徑分別為.故選：A.2．（2024·廣東深圳·高三深圳外國(guó)語(yǔ)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）已知直線與直線互相平行，則實(shí)數(shù)的值（）A．-2B．-2或1C．2D．1【答案】A【解析】由題意得，解得或，當(dāng)時(shí)，兩直線都為，兩直線重合，舍去；當(dāng)時(shí)，兩直線分別為和，兩直線平行，滿足要求；故選：A3．（2024·河北·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知直線與直線垂直，則的最小值為（）A．2B．4C．6D．8【答案】B【解析】因?yàn)橹本€與直線垂直，所以，即，所以，當(dāng)且僅當(dāng)或時(shí)等號(hào)成立．即的最小值為4，故選：B4．（2023·陜西榆林·高三榆林市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知A，B是圓C：的兩點(diǎn)，且是正三角形，則直線AB的方程為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】設(shè)是圓的圓心，，由題意可知，圓與軸相切于D點(diǎn)，則，又，所以，又是正三角形，則兩點(diǎn)恰為切點(diǎn)設(shè)點(diǎn)與點(diǎn)重合，由題意可知，，且，所以，不妨設(shè)線段AB中點(diǎn)為H，則，設(shè)直線AB：，即，則，則或，結(jié)合圖形知時(shí)與圓沒(méi)有交點(diǎn)，故舍去，則，所以直線AB的方程為.故選：C5．（2024·山東濱州·高三統(tǒng)考期末）已知直線與圓交于兩點(diǎn)，則的最小值為（）A．B．C．D．【答案】B【解析】變形為，圓心為，半徑為4，過(guò)定點(diǎn)，當(dāng)與垂直時(shí)，最小，由垂徑定理得，最小值為.故選：B6．（2023·上海靜安·統(tǒng)考二模）設(shè)直線與關(guān)于直線對(duì)稱，則直線的方程是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】聯(lián)立，得，取直線上一點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)關(guān)于直線的對(duì)稱點(diǎn)為，則，解得：，直線的斜率，所以直線的方程為，整理為：.故選：A7．（2024·山東青島·高三統(tǒng)考期末）圓與圓相交于A、B兩點(diǎn)，則（）A．2B．C．D．6【答案】D【解析】?jī)蓤A方程相減得直線的方程為，圓化為標(biāo)準(zhǔn)方程，所以圓的圓心為，半徑，圓心到直線的距離為，弦長(zhǎng)，所以.故選：D8．（2023·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考期中）圓與圓的公切線的條數(shù)是（）．A．1B．2C．3D．4【答案】A【解析】圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，知圓化成標(biāo)準(zhǔn)方程為，知圓心距，可知兩圓內(nèi)切，則兩圓有1條公切線.故選：A9．（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中?？计谀ǘ噙x）已知是直線上的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，則下列說(shuō)法中正確的是（）A．若，B．若，直線的方程為C．直線經(jīng)過(guò)一個(gè)定點(diǎn)D．弦的中點(diǎn)在一個(gè)定圓上【答案】BCD【解析】由可得圓心，半徑，依題意，又，所以，故A錯(cuò)誤；根據(jù)題意可得共圓，所以在以為直徑的圓上，所以以為直徑的圓為，即，與圓相減可得公共弦AB所在直線的方程為，故B正確；設(shè)，則，所以以為直徑的圓的方程為，與圓的方程相減可得公共弦所在直線的方程為，所以直線過(guò)定點(diǎn)，故C正確；記弦的中點(diǎn)為，可得，，所以的中點(diǎn)在以為直徑的圓上，故D正確.故選：BCD.10．（2024·云南昆明·統(tǒng)考一模）（多選）已知圓，直線，點(diǎn)在直線上運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作圓的兩條切線，切點(diǎn)分別為，，當(dāng)最大時(shí)，則（）A．直線的斜率為1B．四邊形的面積為C．D．【答案】AC【解析】若要最大，則只需銳角