新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)熱點(diǎn)5-1 等差數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和（8題型+滿(mǎn)分技巧+限時(shí)檢測(cè)）（解析版）

熱點(diǎn)5-1等差數(shù)列的通項(xiàng)及前n項(xiàng)和主要考查等差數(shù)列的基本量計(jì)算和基本性質(zhì)、等差數(shù)列的中項(xiàng)性質(zhì)、判定與證明，這是高考熱點(diǎn)；等差數(shù)列的求和及綜合應(yīng)用是高考考查的重點(diǎn)。這部分內(nèi)容難度以中、低檔題為主，結(jié)合等比數(shù)列一般設(shè)置一道選擇題和一道解答題。【題型1等差數(shù)列的基本量計(jì)算】滿(mǎn)分技巧1、等差數(shù)列的通項(xiàng)公式及前n項(xiàng)和公式共涉及五個(gè)量a1，an，d，n，Sn，知其中三個(gè)就能求另外兩個(gè)，體現(xiàn)了方程思想．2、數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數(shù)列的兩個(gè)基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法．【例1】（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考一模）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．63B．51C．45D．27【答案】B【解析】由題意知等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，設(shè)首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為d，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0，故選：B【變式1-1】（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考期中）記等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的公差為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0且SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：C.【變式1-2】（2023·廣東廣州·高三廣雅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0是其前SKIPIF1<0項(xiàng)和.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值是（）A．1B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C【變式1-3】（2023·湖南衡陽(yáng)·高三衡陽(yáng)市八中校聯(lián)考階段練習(xí)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】0【解析】設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的公差為d，由已知有SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【題型2等差數(shù)列性質(zhì)的應(yīng)用】滿(mǎn)分技巧1、在等差數(shù)列{an}中，當(dāng)m≠n時(shí)，d＝eq\f(am－an,m－n)為公差公式，利用這個(gè)公式很容易求出公差，還可變形為am＝an＋(m－n)d.2、等差數(shù)列{an}中，每隔相同的項(xiàng)抽出來(lái)的項(xiàng)按照原來(lái)的順序排列，構(gòu)成的新數(shù)列仍然是等差數(shù)列．3、等差數(shù)列{an}中，若m＋n＝p＋q，則an＋am＝ap＋aq(n，m，p，q∈N*)，特別地，若m＋n＝2p，則an＋am＝2ap.【例2】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．60B．120C．180D．240【答案】C【解析】根據(jù)等差數(shù)列下標(biāo)和性質(zhì)可知SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C．【變式2-1】（2023·山東濟(jì)寧·高三統(tǒng)考期中）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）．A．32B．64C．80D．128【答案】B【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0是等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；則SKIPIF1<0.故選：B.【變式2-2】（2023·上海·高三?？计谥校┮阎獢?shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】因?yàn)閿?shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【變式2-3】（2023·河南·高三校聯(lián)考期中）（多選）記等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，則根據(jù)下列條件能夠確定SKIPIF1<0的值的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0，SKIPIF1<0【答案】AD【解析】SKIPIF1<0，所以A正確，由于SKIPIF1<0，結(jié)合SKIPIF1<0,所以B錯(cuò)誤，對(duì)于C，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，故C錯(cuò)誤，對(duì)于D，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故D正確，故選：AD【題型3等差數(shù)列的單調(diào)性及應(yīng)用】滿(mǎn)分技巧當(dāng)公差SKIPIF1<0時(shí)，等差數(shù)列的通項(xiàng)公式SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的一次函數(shù)，且一次項(xiàng)系數(shù)為公差SKIPIF1<0.若公差SKIPIF1<0，則為遞增數(shù)列，若公差SKIPIF1<0，則為遞減數(shù)列．【例3】（2022·廣東惠州·統(tǒng)考一模）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為d，若SKIPIF1<0，則“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）”的（）A．充分不必要條件B．必要不充分條件C．充要條件D．既不充分也不必要條件【答案】C【解析】充分性：若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以充分性成立；必要性：若SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，∴SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，必要性成立.因此，“SKIPIF1<0”是“SKIPIF1<0”的充要條件.故選：C.【變式3-1】（2023·吉林白山·撫松縣第一中學(xué)?？寄M預(yù)測(cè)）若等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且滿(mǎn)足SKIPIF1<0，對(duì)任意正整數(shù)SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值為（）A．2020B．2021C．2022D．2023【答案】C【解析】依題意SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0則SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以等差數(shù)列SKIPIF1<0單調(diào)遞減，SKIPIF1<0，所以對(duì)任意正整數(shù)SKIPIF1<0，都有SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．故選，C．【變式3-2】（2022·湖北襄陽(yáng)·高二校考階段練習(xí)）（多選）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（）A．?dāng)?shù)列SKIPIF1<0是遞減數(shù)列B．SKIPIF1<0C．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】ABCD【解析】若SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，可得B正確；SKIPIF1<0SKIPIF1<0故數(shù)列為遞減數(shù)列，故A正確；因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因?yàn)閿?shù)列是遞減數(shù)列，故當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，故C正確；SKIPIF1<0，故D正確；故選：ABCD.【變式3-3】（2023·黑龍江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）若數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，公差SKIPIF1<0，則下列對(duì)數(shù)列SKIPIF1<0的判斷正確的是（）A．若SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是遞減數(shù)列B．若SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列C．若SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是公差為d的等差數(shù)列D．若SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列【答案】AD【解析】由SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，A：由SKIPIF1<0，即數(shù)列SKIPIF1<0是遞減數(shù)列，對(duì)；B：由SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0時(shí)，如SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不單調(diào)，錯(cuò)；C：由SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，錯(cuò)；D：由SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，對(duì).故選：AD【題型4等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)應(yīng)用】滿(mǎn)分技巧1、等差數(shù)列的依次k項(xiàng)之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…組成公差為k2d的等差數(shù)列．2、數(shù)列{an}是等差數(shù)列?Sn＝an2＋bn(a，b為常數(shù))?數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(\f(Sn,n)))為等差數(shù)列．3、若S奇表示奇數(shù)項(xiàng)的和，S偶表示偶數(shù)項(xiàng)的和，公差為d，①當(dāng)項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)2n時(shí)，S偶－S奇＝nd，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(an,an＋1)；②當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)2n－1時(shí)，S奇－S偶＝an，eq\f(S奇,S偶)＝eq\f(n,n－1).【例4】（2024·四川宜賓·南溪第一中學(xué)校?？寄M預(yù)測(cè)）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，可知SKIPIF1<0是以首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D.【變式4-1】（2023·湖北荊州·高三松滋市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列SKIPIF1<0、SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和分別為SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)得，SKIPIF1<0，等差數(shù)列SKIPIF1<0前n項(xiàng)和滿(mǎn)足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，等差數(shù)列SKIPIF1<0前n項(xiàng)和滿(mǎn)足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：B.【變式4-2】（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）等差數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)和分別為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.【答案】SKIPIF1<0【解析】由等差數(shù)列性質(zhì)可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.【變式4-3】（2023·安徽安慶·高三安徽省太湖中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）已知SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0和，下列說(shuō)法正確的是（）A．若數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等差數(shù)列B．若SKIPIF1<0為等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等比數(shù)列C．若SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等差數(shù)列D．若SKIPIF1<0為等比數(shù)列，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等比數(shù)列【答案】AC【解析】對(duì)于B和D，當(dāng)公比SKIPIF1<0時(shí)，且m為偶數(shù)時(shí)，SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不為等比數(shù)列；SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0不為等比數(shù)列，則B和D錯(cuò)誤；對(duì)于A，若數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，設(shè)公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，由等差數(shù)列片段和性質(zhì)知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等差數(shù)列，公差為SKIPIF1<0,A正確；對(duì)于C，若SKIPIF1<0為等差數(shù)列，設(shè)公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為等差數(shù)列，C正確；故選：SKIPIF1<0【題型5等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題】滿(mǎn)分技巧1、二次函數(shù)法：將Sn＝na1＋eq\f(nn－1,2)d＝eq\f(d,2)n2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(a1－\f(d,2)))n配方．轉(zhuǎn)化為求二次函數(shù)的最值問(wèn)題，但要注意n∈N*，結(jié)合二次函數(shù)圖象的對(duì)稱(chēng)性來(lái)確定n的值，更加直觀．2、鄰項(xiàng)變號(hào)法：當(dāng)a1>0，d<0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≥0，,an＋1≤0))時(shí)，Sn取得最大值；當(dāng)a1<0，d>0，eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(an≤0，,an＋1≥0))時(shí)，Sn取得最小值．特別地，若a1>0，d>0，則S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則S1是{Sn}的最大值．【例5】（2023·貴州·高三貴陽(yáng)一中校考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0是等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，且SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】A【解析】設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)為SKIPIF1<0，公差為SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，又由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，可得等差數(shù)列SKIPIF1<0為遞減數(shù)列，又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，故等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0最大值為SKIPIF1<0.故選；A.【變式5-1】（2023·黑龍江·高三省實(shí)驗(yàn)中學(xué)?？茧A段練習(xí)）等差數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0則SKIPIF1<0的最大值為（）A．60B．45C．30D．15【答案】B【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，解得：SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0是等差數(shù)列，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0.故選：B.【變式5-2】（2023·江蘇無(wú)錫·高三江陰市第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）（多選）遞增等差數(shù)列SKIPIF1<0，滿(mǎn)足SKIPIF1<0，前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，下列選項(xiàng)正確的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0最小D．SKIPIF1<0時(shí)n的最小值為8【答案】ABD【解析】A、B：由題意可設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為d，因?yàn)镾KIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，又由等差數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列，可知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，故A，B正確.C：SKIPIF1<0，由SKIPIF1<0得，當(dāng)SKIPIF1<0或4時(shí)SKIPIF1<0最小，故C錯(cuò)誤.D：令SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0時(shí)n的最小值為8，故D正確.故選：ABD.【變式5-3】（2023·河北石家莊·高三新樂(lè)市第一中學(xué)?？奸_(kāi)學(xué)考試）（多選）已知等差數(shù)列SKIPIF1<0，其前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的是（）A．SKIPIF1<0B．使SKIPIF1<0的SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0C．公差SKIPIF1<0D．當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0最大【答案】ACD【解析】SKIPIF1<0等差數(shù)列SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，A正確.SKIPIF1<0,C正確.SKIPIF1<0,SKIPIF1<0使SKIPIF1<0的n的最大值為SKIPIF1<0.B錯(cuò)誤.SKIPIF1<0當(dāng)SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0最大.D正確.故選：ACD【題型6含絕對(duì)值的等差數(shù)列求和】【例6】（2023·上?！じ呷？计谥校┰诠顬镾KIPIF1<0的等差數(shù)列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列．（1）求SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．【答案】（1）SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列SKIPIF1<0中，已知SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等比數(shù)列．所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0．（2）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，①當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．②當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，且當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去）.所以SKIPIF1<0.【變式6-1】（2023·江蘇淮安·高三江蘇省清浦中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0是等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和，且SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式與前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0；（2）若SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0，數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0.所以，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.所以，SKIPIF1<0.【變式6-2】（2023·云南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式（2）若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，適合上式，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0.（2）由SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，可得SKIPIF1<0SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【變式6-3】（2023·重慶·萬(wàn)州第三中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）若數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的最小值.【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0滿(mǎn)足上式，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0.（2）由（1）知SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0SKIPIF1<0；所以SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0遞減，所以SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0單調(diào)遞增，令SKIPIF1<0得SKIPIF1<0，此時(shí)SKIPIF1<0單調(diào)遞減，所以SKIPIF1<0在SKIPIF1<0時(shí)遞減，在SKIPIF1<0時(shí)遞增，而SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0；綜上，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.【題型7等差數(shù)列的判定與證明】滿(mǎn)分技巧1、定義法：SKIPIF1<0或SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等差數(shù)列；2、定義變形法：驗(yàn)證是否滿(mǎn)足SKIPIF1<0；3、等差中項(xiàng)法：SKIPIF1<0為等差數(shù)列；4、通項(xiàng)公式法：通項(xiàng)公式形如SKIPIF1<0為常數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0為等差數(shù)列；5、前n項(xiàng)和公式法：SKIPIF1<0為常數(shù)SKIPIF1<0SKIPIF1<0為等差數(shù)列．注意：（1）若判斷一個(gè)數(shù)列不是等差數(shù)列，只需找出三項(xiàng)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0即可；（2）如果要證明一個(gè)數(shù)列是等差數(shù)列，則必須用定義法或等差中項(xiàng)法．【例7】（2023·廣東深圳·高三?？茧A段練習(xí)）已知公比大于1的等比數(shù)列SKIPIF1<0滿(mǎn)足：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式；（2）記數(shù)列SKIPIF1<0的前n項(xiàng)和為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，證明：SKIPIF1<0是等差數(shù)列．【答案】（1）SKIPIF1<0；（2）證明見(jiàn)解析【解析】（1）方法1：設(shè)公比為SKIPIF1<0，因?yàn)镾KIPIF1<0是等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．因此SKIPIF1<0；方法2：設(shè)公比為SKIPIF1<0，由等比數(shù)列性質(zhì)得出SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，因此SKIPIF1<0．（2）由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，兩式作差可得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，整理得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．方程同除以SKIPIF1<0得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．所以數(shù)列SKIPIF1<0是公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列．【變式7-1】（2023·黑龍江·高三佳木斯一中校考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0的首項(xiàng)為SKIPIF1<0，前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0．已知SKIPIF1<0．（1）證明：SKIPIF1<0是等差數(shù)列；（2）若SKIPIF1<0成等比數(shù)列，求SKIPIF1<0的最小值及取到最小值時(shí)SKIPIF1<0的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0．【解析】（1）證明：因?yàn)镾KIPIF1<0①，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0②，①-②得，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是以1為公差的等差數(shù)列．（2）由（1）可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0成等比數(shù)列，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以，當(dāng)SKIPIF1<0或SKIPIF1<0時(shí)SKIPIF1<0．【變式7-2】（2023·遼寧·高三校聯(lián)考期中）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)都為正數(shù)，且SKIPIF1<0．（1）證明數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列；（2）設(shè)SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由數(shù)列SKIPIF1<0的各項(xiàng)都為正數(shù)，且SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列；（2）SKIPIF1<0，由（1）得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.【變式7-3】（2023·廣東廣州·高三華南師大附中?？茧A段練習(xí)）已知正項(xiàng)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0SKIPIF1<0，滿(mǎn)足SKIPIF1<0.（1）證明：數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0的值．【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）SKIPIF1<0【解析】（1）由SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，整理SKIPIF1<0，又?jǐn)?shù)列SKIPIF1<0為正項(xiàng)數(shù)列，則SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，SKIPIF1<0為公差的等差數(shù)列，所以SKIPIF1<0；（2）由（1）得SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0.【題型8等差數(shù)列的實(shí)際應(yīng)用】【例8】（2023·海南?？凇ばＢ?lián)考一模）家庭農(nóng)場(chǎng)是指以農(nóng)戶(hù)家庭成員為主要?jiǎng)趧?dòng)力的新型農(nóng)業(yè)經(jīng)營(yíng)主體．某家庭農(nóng)場(chǎng)從2019年開(kāi)始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同額度的收益，已知2019年的收益為30萬(wàn)元，2021年的收益為50萬(wàn)元．照此規(guī)律，從2019年至2026年該家庭農(nóng)場(chǎng)的總收益為（）A．630萬(wàn)元B．350萬(wàn)元C．420萬(wàn)元D．520萬(wàn)元【答案】D【解析】依題意，該家庭農(nóng)場(chǎng)每年收益依次成等差數(shù)列，設(shè)為SKIPIF1<0，可得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以公差為SKIPIF1<0，所以2019年至2026年該家庭農(nóng)場(chǎng)的總收益為SKIPIF1<0，故選：D【變式8-1】（2023·黑龍江齊齊哈爾·統(tǒng)考一模）SKIPIF1<0基站建設(shè)是眾多“新基建”的工程之一，截至SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月底，SKIPIF1<0地區(qū)已經(jīng)累計(jì)開(kāi)通SKIPIF1<0基站SKIPIF1<0個(gè)，未來(lái)將進(jìn)一步完善基礎(chǔ)網(wǎng)絡(luò)體系，加快推進(jìn)SKIPIF1<0網(wǎng)絡(luò)建設(shè)．已知SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月該地區(qū)計(jì)劃新建SKIPIF1<0個(gè)SKIPIF1<0基站，以后每個(gè)月比上一個(gè)月多建SKIPIF1<0個(gè)，則SKIPIF1<0地區(qū)到SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月底累計(jì)開(kāi)通SKIPIF1<0基站的個(gè)數(shù)為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】由題意得，SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月及之后該地區(qū)每個(gè)月建設(shè)的SKIPIF1<0基站數(shù)量為等差數(shù)列，且公差為SKIPIF1<0，則到SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月底要經(jīng)過(guò)SKIPIF1<0個(gè)月，預(yù)計(jì)SKIPIF1<0地區(qū)到SKIPIF1<0年SKIPIF1<0月底累計(jì)可開(kāi)通SKIPIF1<0個(gè)SKIPIF1<0基站．故選：D．【變式8-2】（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）天干地支紀(jì)年法源于中國(guó)，中國(guó)自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀(jì)年法是按順序以一個(gè)天干和一個(gè)地支相配，排列起來(lái)，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類(lèi)推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開(kāi)始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開(kāi)始，即“丙子”，…，以此類(lèi)推，2023年是癸卯年，請(qǐng)問(wèn)：在100年后的2123年為（）A．癸未年B．辛丑年C．己亥年D．戊戌年【答案】A【解析】由題意得：天干可看作公差為10的等差數(shù)列，地支可看作公差為12的等差數(shù)列，由于SKIPIF1<0，余數(shù)為0，故100年后天干為癸，由于SKIPIF1<0，余數(shù)為4，故100年后地支為未，綜上：100年后的2123年為癸未年.故選：A.【變式8-3】（2022·江蘇南通·高三統(tǒng)考期中）（多選）在我國(guó)古代著名的數(shù)學(xué)專(zhuān)著《九章算術(shù)》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發(fā)長(zhǎng)安至齊，齊去長(zhǎng)安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復(fù)還迎駑馬，二馬相逢.則（）A．駑馬第七日行九十四里B．第七日良馬先至齊C．第八日二馬相逢D．二馬相逢時(shí)良馬行一千三百九十五里【答案】AD【解析】由題意可知，兩馬日行里數(shù)都成等差數(shù)列;記數(shù)列SKIPIF1<0為良馬的日行里數(shù)，其中首項(xiàng)SKIPIF1<0公差SKIPIF1<0所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0記數(shù)列SKIPIF1<0為駑馬的日行里數(shù)，其中首項(xiàng)SKIPIF1<0公差SKIPIF1<0所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項(xiàng)公式為SKIPIF1<0因此，對(duì)于A，駑馬第七日行里數(shù)為SKIPIF1<0，即駑馬第七日行九十四里；故A正確；第七日良馬行走總里程為SKIPIF1<0，而齊去長(zhǎng)安一千一百二十五里，因?yàn)镾KIPIF1<0，所以第七日良馬未至齊；所以B錯(cuò)誤；設(shè)第SKIPIF1<0日兩馬相逢，由題意可知兩馬行走的總里數(shù)是齊去長(zhǎng)安距離的兩倍，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍），即第九日二馬相逢；故C錯(cuò)誤；由C可知，第九日二馬相逢，此時(shí)良馬共行走了SKIPIF1<0，所以，二馬相逢時(shí)良馬行一千三百九十五里，所以D正確；故選：AD.（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2023·四川樂(lè)山·統(tǒng)考一模）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．18B．27C．45D．63【答案】C【解析】由題意得SKIPIF1<0成等差數(shù)列，即SKIPIF1<0成等差數(shù)列，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：C2．（2023·重慶渝中·高三統(tǒng)考期中）已知數(shù)列SKIPIF1<0均為等差數(shù)列，且SKIPIF1<0，設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0前SKIPIF1<0項(xiàng)的和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．84B．540C．780D．920【答案】D【解析】根據(jù)題意可設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的公差分別為SKIPIF1<0；由SKIPIF1<0可知SKIPIF1<0，即可知數(shù)列SKIPIF1<0是以SKIPIF1<0為首項(xiàng)，公差為SKIPIF1<0的等差數(shù)列，所以可得SKIPIF1<0，即可得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：D3．（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（）A．63B．72C．135D．144【答案】C【解析】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0．又因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．故選：C．4．（2023·北京·高三順義區(qū)第一中學(xué)?？茧A段練習(xí)）若等差數(shù)列SKIPIF1<0和等比數(shù)列SKIPIF1<0滿(mǎn)足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的公差為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】D【解析】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，等比數(shù)列SKIPIF1<0的公比為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，所以，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0.故選：D.5．（2023·海南·高三海南中學(xué)校考階段練習(xí)）在等差數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，其前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的值等于（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．2023D．2024【答案】B【解析】設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列，公差為SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，又SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0.故選：B.6．（2023·河南·高三南陽(yáng)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知數(shù)列SKIPIF1<0滿(mǎn)足：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0恒成立，則SKIPIF1<0（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】C【解析】因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.由題知，SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，化簡(jiǎn)得SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0不為0.所以SKIPIF1<0，所以數(shù)列SKIPIF1<0是等差數(shù)列.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.因?yàn)镾KIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0，即公差SKIPIF1<0.所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0.故選：C.7．（2023·江西南昌·高三江西師大附中?？计谥校┰O(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項(xiàng)和為SKIPIF1<0，已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則下列結(jié)論中正確的是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【答案】B【解析】設(shè)SKIPIF1