新高考數(shù)學(xué)二輪復(fù)習(xí)重難點(diǎn)4-1 平面向量的最值與范圍（4題型+滿分技巧+限時(shí)檢測(cè)）（原卷版）

重難點(diǎn)4-1平面向量的最值與范圍平面向量中的最值范圍問(wèn)題是向量問(wèn)題中的重難點(diǎn)，也是近幾年新高考數(shù)學(xué)的熱點(diǎn)問(wèn)題。常以選擇填空題的形式出現(xiàn)，難度稍大，方法靈活。主要考查向量數(shù)量積的最值、系數(shù)的最值、模長(zhǎng)和夾角的最值。在復(fù)習(xí)過(guò)程中要注重對(duì)基本方法的訓(xùn)練，把握好類(lèi)型題的一般解法?！绢}型1向量數(shù)量積的最值與范圍】滿分技巧數(shù)量積的最值范圍處理方法：（1）運(yùn)用平面向量基本定理，將數(shù)量積的兩個(gè)向量用基底表示后，再運(yùn)算；（2）建立坐標(biāo)系，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算轉(zhuǎn)化為函數(shù)來(lái)處理；（3）利用極化恒等式來(lái)處理?！纠?】（2023·江蘇連云港·高三統(tǒng)考期中）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0都是單位向量，且SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角為60°，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式1-1】（2023·遼寧·高三校聯(lián)考期中）已知正方形SKIPIF1<0的邊長(zhǎng)為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在邊SKIPIF1<0上，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．1B．SKIPIF1<0C．2D．SKIPIF1<0【變式1-2】（2024·陜西咸陽(yáng)·?？寄M預(yù)測(cè)）如圖，在等腰梯形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且SKIPIF1<0，動(dòng)點(diǎn)SKIPIF1<0在以SKIPIF1<0為圓心，1為半徑的圓上，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式1-3】（2023·山東·五蓮縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0是半徑為2的圓上的三個(gè)動(dòng)點(diǎn)，弦SKIPIF1<0所對(duì)的圓心角為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．6B．3C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式1-4】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0且與圓SKIPIF1<0相切的兩條直線的夾角為SKIPIF1<0，再過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0作直線SKIPIF1<0與圓SKIPIF1<0交于SKIPIF1<0兩點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．0B．8C．SKIPIF1<0D．16【題型2向量模長(zhǎng)的最值與范圍】滿分技巧處理平面向量的模長(zhǎng)范圍問(wèn)題，常用的方法有：（1）坐標(biāo)法：即通過(guò)建立直角坐標(biāo)系，通過(guò)向量坐標(biāo)運(yùn)算求得；（2）基向量表示法：即通過(guò)選設(shè)平面的基底，用基底表示相關(guān)向量，運(yùn)算求得；（3）構(gòu)造幾何圖形法：即根據(jù)模長(zhǎng)定值構(gòu)造圓形，由向量點(diǎn)乘等于零得到兩向量垂直.【例2】（2023·云南昆明·高三統(tǒng)考期中）向量SKIPIF1<0在向量SKIPIF1<0上的投影向量為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為．【變式2-1】（2024·江西撫州·高三金溪一中?？茧A段練習(xí)）已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為SKIPIF1<0A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．5【變式2-2】（2024·北京朝陽(yáng)·高三統(tǒng)考期末）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式2-3】（2023·重慶沙坪壩·高三重慶一中?？茧A段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．4C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式2-4】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0,SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0,SKIPIF1<0【題型3向量夾角的的最值與范圍】滿分技巧求兩個(gè)非零向量夾角的步驟第一步：由坐標(biāo)運(yùn)算或定義計(jì)算出這兩個(gè)向量的數(shù)量積；第二步：分別求出這兩個(gè)向量的模；第三步：根據(jù)公式SKIPIF1<0求解出這兩個(gè)向量夾角的余弦值；第四步：根據(jù)兩個(gè)向量夾角的范圍是SKIPIF1<0及其夾角的余弦值，求出這兩個(gè)向量的夾角?！纠?】（2023·高三課時(shí)練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的夾角的取值范圍是.【變式3-1】（2023·廣東清遠(yuǎn)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知單位向量SKIPIF1<0，若對(duì)任意實(shí)數(shù)x，SKIPIF1<0恒成立，則向量SKIPIF1<0的夾角的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式3-2】（2022·重慶沙坪壩·高三鳳鳴山中學(xué)?？计谥校┤羝矫嫦蛄縎KIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0，SKIPIF1<0夾角的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式3-3】（2023·山東菏澤·高三菏澤一中?？茧A段練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0，滿足SKIPIF1<0，若對(duì)任意模為SKIPIF1<0的向量SKIPIF1<0，均有SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0的夾角的取值范圍為.【變式3-4】（2023·上海·高三大同中學(xué)?？计谥校┮阎狝，B是平面內(nèi)兩個(gè)定點(diǎn)，且SKIPIF1<0，點(diǎn)集SKIPIF1<0.若M，SKIPIF1<0，則向量SKIPIF1<0、SKIPIF1<0夾角的余弦值的取值范圍是．【題型4向量系數(shù)的最值與范圍】滿分技巧此類(lèi)問(wèn)題一般要利用共線向量定理或平面向量基本定理尋找系數(shù)之間的關(guān)系，然后利用函數(shù)的性質(zhì)或基本不等式求解。（1）平面向量共線定理：已知SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0三點(diǎn)共線，反之亦然；（2）等和線：平面內(nèi)一組基底SKIPIF1<0，SKIPIF1<0及任一向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，若點(diǎn)SKIPIF1<0在直線SKIPIF1<0上或者在平行于SKIPIF1<0的直線上，則SKIPIF1<0（定值），反之也成立。我們把直線SKIPIF1<0以及與直線SKIPIF1<0平行的直線稱(chēng)為等和線。=1\*GB3①當(dāng)?shù)群途€恰為直線SKIPIF1<0時(shí)，SKIPIF1<0；=2\*GB3②當(dāng)?shù)群途€在SKIPIF1<0點(diǎn)和直線SKIPIF1<0直線時(shí)，SKIPIF1<0；=3\*GB3③當(dāng)直線SKIPIF1<0在點(diǎn)SKIPIF1<0和等和線之間時(shí)，SKIPIF1<0；=4\*GB3④當(dāng)?shù)群途€過(guò)SKIPIF1<0點(diǎn)時(shí)，SKIPIF1<0；=5\*GB3⑤若兩等和線關(guān)于SKIPIF1<0點(diǎn)對(duì)稱(chēng)，則定值SKIPIF1<0互為相反數(shù)。【例4】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）在正六邊形SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0是SKIPIF1<0內(nèi)（包括邊界）的一個(gè)動(dòng)點(diǎn)，設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式4-1】（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0是邊長(zhǎng)為1的等邊三角形，若SKIPIF1<0且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<0【變式4-2】（2023·湖南長(zhǎng)沙·高三湖南師大附中?？茧A段練習(xí)）SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點(diǎn)且滿足SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0為SKIPIF1<0上一點(diǎn)，且滿足SKIPIF1<0為正實(shí)數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（）A．SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0的最大值為1C．SKIPIF1<0的最小值為4D．SKIPIF1<0的最大值為16【變式4-3】（2023·湖北·高三隨州市曾都區(qū)第一中學(xué)校聯(lián)考期中）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0是線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)（與端點(diǎn)不重合），設(shè)SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值是（）A．3B．1C．2D．4【變式4-4】（2023·山東·高三省實(shí)驗(yàn)中學(xué)校考階段練習(xí)）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為單位向量，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．-1（建議用時(shí)：60分鐘）1．（2023·陜西榆林·高三榆林市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）已知非零向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．2B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．12．（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）已知向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．2C．SKIPIF1<0D．43．（2023·寧夏石嘴山·高三平羅中學(xué)?？茧A段練習(xí)）已知平面向量SKIPIF1<0，SKIPIF1<0均為單位向量，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<04．（2023·江蘇南通·高三統(tǒng)考期中）在四邊形SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．3B．4C．5D．65．（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三?？茧A段練習(xí)）在平面直角坐標(biāo)系中，SKIPIF1<0為坐標(biāo)原點(diǎn)，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<06．（2023·福建莆田·高三莆田第十中學(xué)?？计谥校┤鐖D，在等腰直角三角形SKIPIF1<0中，斜邊SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)（包含端點(diǎn)），SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的中點(diǎn)．將線段SKIPIF1<0繞著點(diǎn)SKIPIF1<0旋轉(zhuǎn)得到線段SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<07．（2022·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱德強(qiáng)學(xué)校?？茧A段練習(xí)）如圖，在平面四邊形ABCD，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．若點(diǎn)E為邊SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的取值范圍為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<08．（2023·天津東麗·高三天津市第一百中學(xué)?？茧A段練習(xí)）如圖，SKIPIF1<0是由三個(gè)全等的鈍角三角形和一個(gè)小的正三角形拼成一個(gè)大的正三角形，若SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，點(diǎn)M為線段SKIPIF1<0上的動(dòng)點(diǎn)，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．6D．109．（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知點(diǎn)A，B，C在圓SKIPIF1<0上運(yùn)動(dòng)，且SKIPIF1<0，若點(diǎn)P的坐標(biāo)為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．7B．12C．14D．1110．（2024·湖南婁底·高三統(tǒng)考期末）已知平面非零向量SKIPIF1<0的夾角為SKIPIF1<0，且滿足SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．12C．SKIPIF1<0D．2411．（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知SKIPIF1<0為單位向量，且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．2B．SKIPIF1<0C．4D．612．（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0是SKIPIF1<0邊上的點(diǎn)，滿足SKIPIF1<0，SKIPIF1<0在線段SKIPIF1<0上（不含端點(diǎn)），且SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最小值為（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．813．（2023·福建寧德·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）在平面直角坐標(biāo)系SKIPIF1<0中，點(diǎn)SKIPIF1<0為圓SKIPIF1<0上的任一點(diǎn)，SKIPIF1<0.若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的最大值為（）A．SKIPIF1<0B．2C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<014．（2022·江蘇南通·高三開(kāi)學(xué)考試）在SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，過(guò)SKIPIF1<0的外心O的直線(不經(jīng)過(guò)點(diǎn)SKIPIF1<0)分別交線段SKIPIF1<0于SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的取值范圍是（）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．