浙教版九年級上冊數學4.5 相似三角形性質及應用知識點分類訓練

4.5相似三角形性質及應用知識點分類訓練班級：姓名：考點一：利用三角形相似性質求解例1．若兩個相似三角形的面積比是16:9，則這兩個三角形對應邊上的高之比是（

）A．16:9 B．9:16 C．3:4 D．4:3變式1-1．如圖，在Rt△ABD中，∠A=90°，AB∥DC，DC=2AB，且CE⊥DB．若AB=2，AD=72，則CEA．76565 B．72 C．14變式1-2．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC∽△ODC，其中點A的坐標為?2,0，點C的坐標為1,0，則△ABC與△ODC的面積比是（）A．9:1 B．3:1 C．4:1 D．2:1考點二：利用三角形相似求坐標例2．如圖，點A、B、C、D的坐標分別是1,0、5,0、3,2、4,1，如果以點C、D、E為頂點的直角三角形與①2,1

②3,1

③4,2

④5,2

A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④變式2-1．在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的點A在函數y=1xx>0的圖象上，點C在函數y=?4xx<0的圖象上，若點B的橫坐標為A．12,2 B．22,2 變式2-2．已知直角坐標系中四點A(－2，4)、B(－2，0)、C(2，－3)、D(2，0)．若點P在x軸上，且PA、PB、AB所圍成的三角形與PC、PD、CD所圍成的三角形相似，則所有符合上述條件的點P的個數是（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個考點三：相似三角形動點問題例3．如圖，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，點P從點B出發(fā)以1個單位/s的速度向點A運動，同時點Q從點C出發(fā)以2個單位/s的速度向點B運動．當以B，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似時，運動時間為（

）

A．2411s B．95s C．24變式3-1．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s．連接PQ，設運動時間為t(s)(0<t<4)，連接PC，將△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′A．2013 B．2320 C．4023變式3-2．如圖，⊙O半徑為5，弦AB=8，Q是弦AB上的一個動點，過點Q作弦PC，在點Q運動過程中，始終保持A點是PC的中點，則AP+QB長度的最大值為（

）A．8 B．9.5 C．10 D．12考點四：相似三角形性質綜合例4．如圖，在△ABC中，AB=5，AC=6，點D在邊AB上，且AD=2，在AC上找一點E．便得△ADE與原三角形相似，則AE的長是（

）A．2.4 B．53 C．2.4或53 變式4-1．西周數學家商高總結了用“矩”（如圖）測量物高的方法：把矩的兩邊放置成如圖的位置，從矩的一端A（人眼）望點E，使視線通過點C，記人站立的位置為點B，量出BG長，即可算得物高EG．令BG=x(m),EG=y(m)，若a=30cm,b=60cmA．y=12xC．y=2x+1.6 D．y=變式4-2．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點D作DF⊥AB于點F，交AC于點E．已知AE=4，EC=6，則EFBF的值為（

A．3030 B．255 C．30考點五：相似三角形的應用例5．如圖，課后服務課上，劉老師讓王剛同學站在B點處去觀測8m外的位于D點處的一棵大樹（CD），所用工具為一個平面鏡P和必要的長度測量工具（B、P、D在一直線上）．已知王剛身高（AB）1.6m，大樹高4.8m，將平面鏡P放置在離王剛（

A．1 B．2 C．3 D．4變式5-1．如圖是小孔成像原理的示意圖，蠟燭AB在暗盒中所成的像CD的長是1cm，則像CD到小孔O的距離為（

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm變式5-2．圖1是《九章算術》中記載的“測井深”示意圖，譯文指出：“如圖2，今有井直徑CD為5尺，不知其深AD．立5尺長的木CE于井上，從木的末梢E點觀察井水水岸A處，測得“入徑CF”為4寸，問井深AD是多少？（其中1尺=10寸）”根據譯文信息，則井深AD為（

）A．500寸 B．525寸 C．550寸 D．575寸參考答案考點一：利用三角形相似性質求解例1．若兩個相似三角形的面積比是16:9，則這兩個三角形對應邊上的高之比是（

）A．16:9 B．9:16 C．3:4 D．4:3【答案】D【詳解】解：∵兩個相似三角形的面積比是16:9∴這兩個相似三角形的相似比是4:3∴這兩個相似三角形對應邊上的高之比是4:3．故選：D．變式1-1．如圖，在Rt△ABD中，∠A=90°，AB∥DC，DC=2AB，且CE⊥DB．若AB=2，AD=72，則CEA．76565 B．72 C．14【答案】D【詳解】由勾股定理得DB=A∵AB∥DC，CE⊥DB，∠A=90°∴∠ABD=∠CDE，∠CED=90°=∠A，∴△DAB∽△CED，∴CEAD∴CE7解得CE=28故選：D．變式1-2．如圖，在平面直角坐標系中，△ABC∽△ODC，其中點A的坐標為?2,0，點C的坐標為1,0，則△ABC與△ODC的面積比是（）A．9:1 B．3:1 C．4:1 D．2:1【答案】A【詳解】解：∵點A的坐標為?2,0，點C的坐標為1,0，∴OA=2,OC=1，∴AC=3，∵△ABC∽△ODC，∴相似比為：ACOC∴△ABC與△ODC的面積比是9:1，故選：A考點二：利用三角形相似求坐標例2．如圖，點A、B、C、D的坐標分別是1,0、5,0、3,2、4,1，如果以點C、D、E為頂點的直角三角形與①2,1

②3,1

③4,2

④5,2

A．①③ B．②④ C．①②③ D．①②③④【答案】D【詳解】解：在△ABC中，AB=4，BC=AC=22，則△ABC∵∠ACB=90°，①、當點E的坐標為(2,1)時，∠DCE=90°，CE=CD=2，則△DCE∽△BCA②、當點E的坐標為(3,1)時，∠CED=90°，CE=DE=1，則△CED∽△ACB，故符合題意；③、當點E的坐標為(4,2)時，∠CED=90°，CE=DE=1，則△CED∽△ACB，故符合題意；④、當點E的坐標為(5,2)時，∠CDE=90°，CD=DE=2，則△CDE∽△ACB故選：D．

變式2-1．在平面直角坐標系xOy中，矩形OABC的點A在函數y=1xx>0的圖象上，點C在函數y=?4xx<0的圖象上，若點B的橫坐標為A．12,2 B．22,2 【答案】A【詳解】解：過C點作CE⊥x軸，過A點作AF⊥x軸，∵點A在函數y=1xx>0∴S△OCE=2，∵CE⊥x軸，∴∠CEO=90°，∠OCE+∠COE=90°，∵在矩形OABC中，∠AOC=90°，∴∠AOF+∠COE=90°，∴∠OCE=∠AOF，∴△OCE～△AOF，∴CEOF∴CE=2OF，OE=2AF，設點A坐標為(x,1x)連接AC、BO交于點P，則P為AC、BO的中點，∴x+(?2解得：x1=1∴點A坐標為(1故選A．變式2-2．已知直角坐標系中四點A(－2，4)、B(－2，0)、C(2，－3)、D(2，0)．若點P在x軸上，且PA、PB、AB所圍成的三角形與PC、PD、CD所圍成的三角形相似，則所有符合上述條件的點P的個數是（

）A．3個 B．4個 C．5個 D．6個【答案】B【詳解】解：如圖，P有四種情況，①∵△ABP∴BP設BPx3x1=2，P1②∵△ABP∴ABCD設DP43x=12P2③∵△ABP∴ABP設P34xx1=2，P3④∵△ABP∴ABCD設DP43x=12，P4故選：B．考點三：相似三角形動點問題例3．如圖，在△ABC中，AB=AC=8，BC=6，點P從點B出發(fā)以1個單位/s的速度向點A運動，同時點Q從點C出發(fā)以2個單位/s的速度向點B運動．當以B，P，Q為頂點的三角形與△ABC相似時，運動時間為（

）

A．2411s B．95s C．24【答案】C【詳解】解：設運動時間為ts，由題意得：BP=t，CQ=2t，∵AB=8,BC=6，∴BQ=BC?CQ=6?2t，點P從點B運動到點A所需時間為81=8s，點Q從點C運動到點B所需時間為∴0<t<3，∵AB=AC≠BC，∴∠B=∠C≠∠A，①當△BPQ∽△BAC時，則BPAB=BQ解得t=24②當△BQP∽△BAC時，則BQAB=BP解得t=9③當△BPQ∽△CAB時，則BQBC=BP解得t=24④當△BQP∽△CAB時，則BQAC=BP解得t=9綜上，運動時間為2411s或故選：C．變式3-1．如圖，在△ABC中，∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm．如果點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，同時點Q由點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s．連接PQ，設運動時間為t(s)(0<t<4)，連接PC，將△PQC沿QC翻折，得到四邊形PQP′A．2013 B．2320 C．4023【答案】A【詳解】解：如圖2，連接PP′，PP′交QC相交于點E，當四邊形PQP′C為菱形時，PE∵∠ACB=90°，AC=4cm，BC=3cm，∴AB=A∵點P由點B出發(fā)沿BA方向向點A勻速運動，點Q由點A出發(fā)沿AC方向向點C勻速運動，它們的速度均為1cm/s∴AP=5?t，∵PE⊥AC，∠ACB=90°，∴PE∥BC，∴△APE∽△ABC，∴AEAC∴AE4∴AE=?4∴QE=AE?AQ=?4又∵QE=1∴?9解得t=20∵0<20∴當四邊形PQP′C是菱形時，t故選A．變式3-2．如圖，⊙O半徑為5，弦AB=8，Q是弦AB上的一個動點，過點Q作弦PC，在點Q運動過程中，始終保持A點是PC的中點，則AP+QB長度的最大值為（

）A．8 B．9.5 C．10 D．12【答案】C【詳解】解：連接AC，∵A點是PC的中點，∴PA=AC，∴∠PBA=∠APQ又∵∠PAQ為公共角，∴△APQ∽△ABP，∴APAB設AP=x，有x8=AQAP+QB=AP+(AB?AQ)=x+8?當x=4時AP+QB取最大值10；故選：C．考點四：相似三角形性質綜合例4．如圖，在△ABC中，AB=5，AC=6，點D在邊AB上，且AD=2，在AC上找一點E．便得△ADE與原三角形相似，則AE的長是（

）A．2.4 B．53 C．2.4或53 【答案】C【詳解】解：由題意知，分△ADE∽△ABC，△AED∽△ABC兩種情況求解；當△ADE∽△ABC時，AEAC=AD解得，AE=2.4；當△AED∽△ABC時，AEAB=AD解得，AE=5綜上所述，AE的長是2.4或53故選：C．變式4-1．西周數學家商高總結了用“矩”（如圖）測量物高的方法：把矩的兩邊放置成如圖的位置，從矩的一端A（人眼）望點E，使視線通過點C，記人站立的位置為點B，量出BG長，即可算得物高EG．令BG=x(m),EG=y(m)，若a=30cm,b=60cmA．y=12xC．y=2x+1.6 D．y=【答案】B【詳解】解：由圖2可得，AF=BG=xm,EF=EG?FG,FG=AB=1.6m,EG=ym，∴EF=(y?1.6)m，∵CD⊥AF,EF⊥AF，∴CD∥EF，∴△ADC∽△AFE，∴CD即30EF∴30化簡，得y=1故選：B．變式4-2．如圖，在菱形ABCD中，對角線AC與BD相交于點O，過點D作DF⊥AB于點F，交AC于點E．已知AE=4，EC=6，則EFBF的值為（

A．3030 B．255 C．30【答案】B【詳解】解：∵四邊形ABCD為菱形，∴AC⊥BD，AB∥CD，AB=CD，AO=CO，∴∠AFD=∠CDF，∵DF⊥AB，∴∠AFD=90°，∴∠CDF=90°，∴∠CDE=∠COD=90°，又∵∠DCE=∠OCD，∴△CDE∽△COD，∴CDCO即CD∵AE=4，EC=6，∴AC=AE+CE=4+6=10，∴AO=CO=5，∴OE=AO?AE=5?4=1，∴CD即CD=30∴AB=CD=30∵AB∥CD，∴△AFE∽△CDE，∴AECE∴46∴AF=2∴BF=AB?AF=30∴EF=∴EFBF故選：B．考點五：相似三角形的應用例5．如圖，課后服務課上，劉老師讓王剛同學站在B點處去觀測8m外的位于D點處的一棵大樹（CD），所用工具為一個平面鏡P和必要的長度測量工具（B、P、D在一直線上）．已知王剛身高（AB）1.6m，大樹高4.8m，將平面鏡P放置在離王剛（

A．1 B．2 C．3 D．4【答案】B【詳解】解：由題意得：∠APB=∠CPD，AB⊥BD，CD⊥DB，BD=8，AB=1.6，CD=4.8，∴∠ABP=∠CDP=90°，∴△ABP∽△CDP，∴BPDP∴BP8?BP解得：BP=2，經檢驗，BP=2是原方程的解且符合題意，∴將平面鏡P放置在離王剛2m處才能觀測到大樹的頂端．故選：B．變式5-1．如圖是小孔成像原理的示意圖，蠟燭AB在暗盒中所成的像CD的長是1cm，則像CD到小孔O的距離為（

A．1cm B．2cm C．3cm D．4cm【答案】C【詳解】解：設像CD到小孔O的距離為xcm由題意得AB∥CD,∴∠ABO=∠DCO，∠B