2022年河北省唐縣第一中學高三一診考試數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷注意事項1．考生要認真填寫考場號和座位序號。2．試題所有答案必須填涂或書寫在答題卡上，在試卷上作答無效。第一部分必須用2B鉛筆作答；第二部分必須用黑色字跡的簽字筆作答。3．考試結束后，考生須將試卷和答題卡放在桌面上，待監(jiān)考員收回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．已知與之間的一組數(shù)據(jù)：12343.24.87.5若關于的線性回歸方程為，則的值為（）A．1.5 B．2.5 C．3.5 D．4.52．函數(shù)圖像可能是（）A． B． C． D．3．已知復數(shù)，則（）A． B． C． D．24．函數(shù)的部分圖象如圖所示，則（）A．6 B．5 C．4 D．35．已知數(shù)列的通項公式是，則（）A．0 B．55 C．66 D．786．已知是偶函數(shù)，在上單調遞減，，則的解集是A． B．C． D．7．某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積為（）A． B． C． D．8．已知等比數(shù)列的各項均為正數(shù)，設其前n項和，若（），則（）A．30 B． C． D．629．若函數(shù)的圖象上兩點，關于直線的對稱點在的圖象上，則的取值范圍是（）A． B． C． D．10．高三珠海一模中，經(jīng)抽樣分析，全市理科數(shù)學成績X近似服從正態(tài)分布，且．從中隨機抽取參加此次考試的學生500名，估計理科數(shù)學成績不低于110分的學生人數(shù)約為（）A．40 B．60 C．80 D．10011．圓心為且和軸相切的圓的方程是（）A． B．C． D．12．若直線與曲線相切，則（）A．3 B． C．2 D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．設第一象限內的點(x，y)滿足約束條件,若目標函數(shù)z＝ax＋by(a＞0，b＞0)的最大值為40，則＋的最小值為_____.14．高三（1）班共有56人，學號依次為1，2，3，…，56，現(xiàn)用系統(tǒng)抽樣的辦法抽取一個容量為4的樣本，已知學號為6，34，48的同學在樣本中，那么還有一個同學的學號應為．15．直線過圓的圓心，則的最小值是_____.16．在中，角，，的對邊分別為，，，若，且，則面積的最大值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知橢圓的短軸的兩個端點分別為、，焦距為．（1）求橢圓的方程；（2）已知直線與橢圓有兩個不同的交點、，設為直線上一點，且直線、的斜率的積為．證明：點在軸上．18．（12分）已知數(shù)列中，，前項和為，若對任意的，均有（是常數(shù)，且）成立，則稱數(shù)列為“數(shù)列”.（1）若數(shù)列為“數(shù)列”，求數(shù)列的前項和；（2）若數(shù)列為“數(shù)列”，且為整數(shù)，試問：是否存在數(shù)列，使得對任意，成立？如果存在，求出這樣數(shù)列的的所有可能值，如果不存在，請說明理由.19．（12分）已知拋物線，焦點為，直線交拋物線于兩點，交拋物線的準線于點，如圖所示，當直線經(jīng)過焦點時，點恰好是的中點，且.（1）求拋物線的方程；（2）點是原點，設直線的斜率分別是，當直線的縱截距為1時，有數(shù)列滿足，設數(shù)列的前n項和為，已知存在正整數(shù)使得，求m的值.20．（12分）已知拋物線C:x24py（p為大于2的質數(shù)）的焦點為F，過點F且斜率為k(k0)的直線交C于A，B兩點，線段AB的垂直平分線交y軸于點E，拋物線C在點A，B處的切線相交于點G.記四邊形AEBG的面積為S.（1）求點G的軌跡方程；（2）當點G的橫坐標為整數(shù)時，S是否為整數(shù)？若是，請求出所有滿足條件的S的值；若不是，請說明理由.21．（12分）已知中，角所對邊的長分別為，且（1）求角的大??；（2）求的值.22．（10分）如圖，四邊形為菱形，為與的交點，平面.（1）證明：平面平面；（2）若，，三棱錐的體積為，求菱形的邊長.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

利用表格中的數(shù)據(jù)，可求解得到代入回歸方程，可得，再結合表格數(shù)據(jù)，即得解.【詳解】利用表格中數(shù)據(jù)，可得又，．解得故選：D【點睛】本題考查了線性回歸方程過樣本中心點的性質，考查了學生概念理解，數(shù)據(jù)處理，數(shù)學運算的能力，屬于基礎題.2．D【解析】

先判斷函數(shù)的奇偶性可排除選項A,C，當時，可分析函數(shù)值為正，即可判斷選項.【詳解】,,即函數(shù)為偶函數(shù)，故排除選項A,C，當正數(shù)越來越小，趨近于0時，，所以函數(shù)，故排除選項B,故選：D【點睛】本題主要考查了函數(shù)的奇偶性，識別函數(shù)的圖象，屬于中檔題.3．C【解析】

根據(jù)復數(shù)模的性質即可求解.【詳解】,,故選：C【點睛】本題主要考查了復數(shù)模的性質，屬于容易題.4．A【解析】

根據(jù)正切函數(shù)的圖象求出A、B兩點的坐標，再求出向量的坐標，根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算求出結果．【詳解】由圖象得,令=0,即=kπ，k=0時解得x=2，令=1,即，解得x=3，∴A(2,0),B(3,1)，∴，∴.故選：A.【點睛】本題考查正切函數(shù)的圖象，平面向量數(shù)量積的運算，屬于綜合題，但是難度不大，解題關鍵是利用圖象與正切函數(shù)圖象求出坐標，再根據(jù)向量數(shù)量積的坐標運算可得結果，屬于簡單題.5．D【解析】

先分為奇數(shù)和偶數(shù)兩種情況計算出的值，可進一步得到數(shù)列的通項公式，然后代入轉化計算，再根據(jù)等差數(shù)列求和公式計算出結果.【詳解】解：由題意得，當為奇數(shù)時，，當為偶數(shù)時，所以當為奇數(shù)時，；當為偶數(shù)時，，所以故選：D【點睛】此題考查數(shù)列與三角函數(shù)的綜合問題，以及數(shù)列求和，考查了正弦函數(shù)的性質應用，等差數(shù)列的求和公式，屬于中檔題.6．D【解析】

先由是偶函數(shù)，得到關于直線對稱；進而得出單調性，再分別討論和，即可求出結果.【詳解】因為是偶函數(shù)，所以關于直線對稱；因此，由得；又在上單調遞減，則在上單調遞增；所以，當即時，由得，所以，解得；當即時，由得，所以，解得；因此，的解集是.【點睛】本題主要考查由函數(shù)的性質解對應不等式，熟記函數(shù)的奇偶性、對稱性、單調性等性質即可，屬于?？碱}型.7．A【解析】

利用已知條件畫出幾何體的直觀圖，然后求解幾何體的體積．【詳解】幾何體的三視圖的直觀圖如圖所示，則該幾何體的體積為：．故選：．【點睛】本題考查三視圖求解幾何體的體積，判斷幾何體的形狀是解題的關鍵．8．B【解析】

根據(jù)，分別令，結合等比數(shù)列的通項公式，得到關于首項和公比的方程組，解方程組求出首項和公式，最后利用等比數(shù)列前n項和公式進行求解即可.【詳解】設等比數(shù)列的公比為，由題意可知中：.由，分別令，可得、，由等比數(shù)列的通項公式可得：，因此.故選：B【點睛】本題考查了等比數(shù)列的通項公式和前n項和公式的應用，考查了數(shù)學運算能力.9．D【解析】

由題可知，可轉化為曲線與有兩個公共點，可轉化為方程有兩解，構造函數(shù)，利用導數(shù)研究函數(shù)單調性，分析即得解【詳解】函數(shù)的圖象上兩點，關于直線的對稱點在上，即曲線與有兩個公共點，即方程有兩解，即有兩解，令，則，則當時，；當時，，故時取得極大值，也即為最大值，當時，；當時，，所以滿足條件．故選：D【點睛】本題考查了利用導數(shù)研究函數(shù)的零點，考查了學生綜合分析，轉化劃歸，數(shù)形結合，數(shù)學運算的能力，屬于較難題.10．D【解析】

由正態(tài)分布的性質，根據(jù)題意，得到，求出概率，再由題中數(shù)據(jù)，即可求出結果.【詳解】由題意，成績X近似服從正態(tài)分布，則正態(tài)分布曲線的對稱軸為，根據(jù)正態(tài)分布曲線的對稱性，求得，所以該市某校有500人中，估計該校數(shù)學成績不低于110分的人數(shù)為人，故選:.【點睛】本題考查正態(tài)分布的圖象和性質,考查學生分析問題的能力,難度容易.11．A【解析】

求出所求圓的半徑，可得出所求圓的標準方程.【詳解】圓心為且和軸相切的圓的半徑為，因此，所求圓的方程為.故選：A.【點睛】本題考查圓的方程的求解，一般求出圓的圓心和半徑，考查計算能力，屬于基礎題.12．A【解析】

設切點為，對求導，得到，從而得到切線的斜率，結合直線方程的點斜式化簡得切線方程，聯(lián)立方程組，求得結果.【詳解】設切點為，∵，∴由①得，代入②得，則，，故選A.【點睛】該題考查的是有關直線與曲線相切求參數(shù)的問題，涉及到的知識點有導數(shù)的幾何意義，直線方程的點斜式，屬于簡單題目.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】不等式表示的平面區(qū)域陰影部分，當直線ax+by=z(a>0,b>0)過直線x?y+2=0與直線2x?y?6=0的交點(8,10)時，目標函數(shù)z=ax+by(a>0,b>0)取得最大40，即8a+10b=40，即4a+5b=20，而當且僅當時取等號，則的最小值為.14．20【解析】

根據(jù)系統(tǒng)抽樣的定義將56人按順序分成4組，每組14人，則1至14號為第一組，15至28號為第二組，29號至42號為第三組，43號至56號為第四組.而學號6,34,48分別是第一、三、四組的學號，所以還有一個同學應該是15+6-1=20號,故答案為20.15．【解析】

直線mx﹣ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）經(jīng)過圓x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0的圓心（1，﹣1），可得m+n＝1，再利用“乘1法”和基本不等式的性質即可得出.【詳解】∵mx﹣ny﹣1＝0（m＞0，n＞0）經(jīng)過圓x2+y2﹣2x+2y﹣1＝0的圓心（1，﹣1），∴m+n﹣1＝0，即m+n＝1.∴（）（m+n）＝22+2＝4，當且僅當m＝n時取等號.∴則的最小值是4.故答案為：4.【點睛】本題考查了圓的標準方程、“乘1法”和基本不等式的性質，屬于基礎題.16．【解析】

利用正弦定理將角化邊得到，再由余弦定理得到，根據(jù)同角三角函數(shù)的基本關系表示出，最后利用面積公式得到，由基本不等式求出的取值范圍，即可得到面積的最值；【詳解】解：∵在中，，∴，∴，∴，∴.∵，即，當且僅當時等號成立，∴，∴面積的最大值為.故答案為：【點睛】本題考查正弦定理、余弦定理解三角形，三角形面積公式的應用，以及基本不等式的應用，屬于中檔題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）見解析.【解析】

（1）由已知條件得出、的值，進而可得出的值，由此可求得橢圓的方程；（2）設點，可得，且，，求出直線的斜率，進而可求得直線與的方程，將直線直線與的方程聯(lián)立，求出點的坐標，即可證得結論.【詳解】（1）由題設，得，所以，即．故橢圓的方程為；（2）設，則，，．所以直線的斜率為，因為直線、的斜率的積為，所以直線的斜率為．直線的方程為，直線的方程為．聯(lián)立，解得點的縱坐標為．因為點在橢圓上，所以，則，所以點在軸上．【點睛】本題考查橢圓方程的求解，同時也考查了點在定直線的證明，考查計算能力與推理能力，屬于中等題.18．（1）（2）存在，【解析】

由數(shù)列為“數(shù)列”可得,，，兩式相減得，又，利用等比數(shù)列通項公式即可求出,進而求出;由題意得，，，兩式相減得，，據(jù)此可得,當時,,進而可得,即數(shù)列為常數(shù)列,進而可得,結合，得到關于的不等式,再由時，且為整數(shù)即可求出符合題意的的所有值.【詳解】因為數(shù)列為“數(shù)列”，所以，故，兩式相減得，在中令，則可得，故所以，所以數(shù)列是以為首項,以為公比的等比數(shù)列，所以，因為，所以.（2）由題意得，故，兩式相減得所以，當時，又因為所以當時,所以成立,所以當時，數(shù)列是常數(shù)列，所以因為當時,成立,所以，所以在中令，因為，所以可得，所以，由時，且為整數(shù)，可得,把分別代入不等式可得,，所以存在數(shù)列符合題意,的所有值為.【點睛】本題考查數(shù)列的新定義、等比數(shù)列的通項公式和數(shù)列遞推公式的運用;考查運算求解能力、邏輯推理能力和對新定義的理解能力;通過反復利用遞推公式,得到數(shù)列為常數(shù)列是求解本題的關鍵;屬于綜合型強、難度大型試題.19．（1）（2）【解析】

(1)設出直線的方程，再與拋物線聯(lián)立方程組，進而求得點的坐標，結合弦長即可求得拋物線的方程；(2)設直線的方程，運用韋達定理可得，可得之間的關系，再運用進行裂項，可求得，解不等式求得的值.【詳解】解：（1）設過拋物線焦點的直線方程為，與拋物線方程聯(lián)立得：，設，所以，，，所以拋物線方程為（2）設直線方程為，，，，，，由得.【點睛】本題考查了直線與拋物線的關系，考查了韋達定理和運用裂項法求數(shù)列的和，考查了運算能力，屬于中檔題.20．（1）（2）當G點橫坐標為整數(shù)時，S不是整數(shù)．【解析】

（1）先求解導數(shù)，得出切線方程，聯(lián)立方程得出交點G的軌跡方程；（2）先求解弦長，再分別求解點到直線的距離，表示出四邊形的面積，結合點G的橫坐標為整數(shù)進行判斷.【詳解】（1）設，則，拋物線C的方程可化為，則，所以曲線C在點A處的切線方程為，在點B處的切線方程為，因為兩切線均過點G，所以，所以A，B兩點均在直線上，所以直線AB的方程為，又因為直線AB過點F(0，p)，所以，即G點軌跡方程為；（2）設點G(，)，由（1）可知，直線AB的方程為，即，將直線AB的方程與拋物線聯(lián)立，，整理得，所以，，解得，因為直線AB的斜率，所以，且，線段AB的中點為M，所以直線EM的方程為：，所以E點坐標為(0，)，直線AB的方程整理得，則G到AB的距離，則E到AB的距離，所以，設，