2024-2025學年上海市八中高三5月半月考數(shù)學試題含解析

2024-2025學年上海市八中高三5月半月考數(shù)學試題考生請注意：1．答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi)，不得在試卷上作任何標記。2．第一部分選擇題每小題選出答案后，需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi)，第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3．考生必須保證答題卡的整潔?？荚嚱Y(jié)束后，請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．函數(shù)的圖象大致為A． B． C． D．2．的展開式中的系數(shù)為()A．－30 B．－40 C．40 D．503．已知函數(shù)的圖象與直線的相鄰交點間的距離為，若定義，則函數(shù)，在區(qū)間內(nèi)的圖象是()A． B．C． D．4．已知復數(shù)，則（）A． B． C． D．25．已知等差數(shù)列中，則（）A．10 B．16 C．20 D．246．設M是邊BC上任意一點，N為AM的中點，若，則的值為()A．1 B． C． D．7．設不等式組，表示的平面區(qū)域為，在區(qū)域內(nèi)任取一點，則點的坐標滿足不等式的概率為A． B．C． D．8．已知實數(shù)滿足，則的最小值為（）A． B． C． D．9．設等差數(shù)列的前n項和為，且，，則()A．9 B．12 C． D．10．若sin(α+3π2A．-12 B．-1311．下列說法正確的是（）A．“若，則”的否命題是“若，則”B．在中，“”是“”成立的必要不充分條件C．“若，則”是真命題D．存在，使得成立12．對于函數(shù)，若滿足，則稱為函數(shù)的一對“線性對稱點”．若實數(shù)與和與為函數(shù)的兩對“線性對稱點”，則的最大值為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知實數(shù)，滿足，則目標函數(shù)的最小值為__________．14．已知函數(shù)，若函數(shù)有個不同的零點，則的取值范圍是___________．15．已知命題：，，那么是__________.16．執(zhí)行右邊的程序框圖，輸出的的值為.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù).（Ⅰ）若，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）當時，要使恒成立，求實數(shù)的取值范圍.18．（12分）在平面直角坐標系中，已知橢圓的左、右頂點分別為、，焦距為2，直線與橢圓交于兩點（均異于橢圓的左、右頂點）.當直線過橢圓的右焦點且垂直于軸時，四邊形的面積為6.（1）求橢圓的標準方程；（2）設直線的斜率分別為.①若，求證：直線過定點；②若直線過橢圓的右焦點，試判斷是否為定值，并說明理由.19．（12分）已知函數(shù)，.（1）討論的單調(diào)性；（2）當時，證明：.20．（12分）如圖，在四棱錐PABCD中，PA⊥平面ABCD，∠ABC＝∠BAD＝90°，AD＝AP＝4，AB＝BC＝2，M為PC的中點．（1）求異面直線AP，BM所成角的余弦值；（2）點N在線段AD上，且AN＝λ，若直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，求λ的值．21．（12分）在中，，是邊上一點，且，.（1）求的長；（2）若的面積為14，求的長.22．（10分）某省新課改后某校為預測2020屆高三畢業(yè)班的本科上線情況，從該校上一屆高三（1）班到高三（5）班隨機抽取50人，得到各班抽取的人數(shù)和其中本科上線人數(shù)，并將抽取數(shù)據(jù)制成下面的條形統(tǒng)計圖.（1）根據(jù)條形統(tǒng)計圖，估計本屆高三學生本科上線率.（2）已知該省甲市2020屆高考考生人數(shù)為4萬，假設以（1）中的本科上線率作為甲市每個考生本科上線的概率.（i）若從甲市隨機抽取10名高三學生，求恰有8名學生達到本科線的概率（結(jié)果精確到0.01）；（ii）已知該省乙市2020屆高考考生人數(shù)為3.6萬，假設該市每個考生本科上線率均為，若2020屆高考本科上線人數(shù)乙市的均值不低于甲市，求p的取值范圍.可能用到的參考數(shù)據(jù)：取，.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．D【解析】

由題可得函數(shù)的定義域為，因為，所以函數(shù)為奇函數(shù)，排除選項B；又，，所以排除選項A、C，故選D．2．C【解析】

先寫出的通項公式，再根據(jù)的產(chǎn)生過程，即可求得.【詳解】對二項式，其通項公式為的展開式中的系數(shù)是展開式中的系數(shù)與的系數(shù)之和.令，可得的系數(shù)為；令，可得的系數(shù)為；故的展開式中的系數(shù)為.故選：C.本題考查二項展開式中某一項系數(shù)的求解，關(guān)鍵是對通項公式的熟練使用，屬基礎題.3．A【解析】

由題知，利用求出，再根據(jù)題給定義，化簡求出的解析式，結(jié)合正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象判斷，即可得出答案.【詳解】根據(jù)題意，的圖象與直線的相鄰交點間的距離為，所以的周期為，則，所以，由正弦函數(shù)和正切函數(shù)圖象可知正確.故選：A.本題考查三角函數(shù)中正切函數(shù)的周期和圖象，以及正弦函數(shù)的圖象，解題關(guān)鍵是對新定義的理解.4．C【解析】

根據(jù)復數(shù)模的性質(zhì)即可求解.【詳解】,,故選：C本題主要考查了復數(shù)模的性質(zhì)，屬于容易題.5．C【解析】

根據(jù)等差數(shù)列性質(zhì)得到，再計算得到答案.【詳解】已知等差數(shù)列中，故答案選C本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，是數(shù)列的?？碱}型.6．B【解析】

設，通過，再利用向量的加減運算可得，結(jié)合條件即可得解.【詳解】設，則有.又，所以，有.故選B.本題考查了向量共線及向量運算知識，利用向量共線及向量運算知識，用基底向量向量來表示所求向量，利用平面向量表示法唯一來解決問題.7．A【解析】

畫出不等式組表示的區(qū)域，求出其面積，再得到在區(qū)域內(nèi)的面積，根據(jù)幾何概型的公式，得到答案.【詳解】畫出所表示的區(qū)域，易知，所以的面積為，滿足不等式的點，在區(qū)域內(nèi)是一個以原點為圓心，為半徑的圓面，其面積為，由幾何概型的公式可得其概率為，故選A項.本題考查由約束條件畫可行域，求幾何概型，屬于簡單題.8．A【解析】

所求的分母特征，利用變形構(gòu)造，再等價變形，利用基本不等式求最值.【詳解】解：因為滿足，則，當且僅當時取等號，故選：．本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形，拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.(1)拼湊的技巧，以整式為基礎，注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整，做到等價變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(3)拆項、添項應注意檢驗利用基本不等式的前提.9．A【解析】

由，可得以及，而，代入即可得到答案.【詳解】設公差為d，則解得，所以.故選：A.本題考查等差數(shù)列基本量的計算，考查學生運算求解能力，是一道基礎題.10．B【解析】

由三角函數(shù)的誘導公式和倍角公式化簡即可.【詳解】因為sinα+3π2=3故選B本題考查了三角函數(shù)的誘導公式和倍角公式，靈活掌握公式是關(guān)鍵，屬于基礎題.11．C【解析】

A：否命題既否條件又否結(jié)論，故A錯.B：由正弦定理和邊角關(guān)系可判斷B錯.C：可判斷其逆否命題的真假，C正確.D：根據(jù)冪函數(shù)的性質(zhì)判斷D錯.【詳解】解：A：“若，則”的否命題是“若，則”，故A錯.B：在中，，故“”是“”成立的必要充分條件，故B錯.C：“若，則”“若，則”，故C正確.D：由冪函數(shù)在遞減，故D錯.故選：C考查判斷命題的真假，是基礎題.12．D【解析】

根據(jù)已知有，可得，只需求出的最小值，根據(jù)，利用基本不等式，得到的最小值，即可得出結(jié)論.【詳解】依題意知，與為函數(shù)的“線性對稱點”，所以，故（當且僅當時取等號）.又與為函數(shù)的“線性對稱點，所以，所以，從而的最大值為.故選:D.本題以新定義為背景，考查指數(shù)函數(shù)的運算和圖像性質(zhì)、基本不等式，理解新定義含義，正確求出的表達式是解題的關(guān)鍵，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．-1【解析】

作出不等式對應的平面區(qū)域，利用線性規(guī)劃的知識，通過平移即可求z的最大值．【詳解】作出實數(shù)x，y滿足對應的平面區(qū)域如圖陰影所示；由z＝x+2y﹣1，得yx，平移直線yx，由圖象可知當直線yx經(jīng)過點A時，直線yx的縱截距最小，此時z最?。?，得A（﹣1，﹣1），此時z的最小值為z＝﹣1﹣2﹣1＝﹣1，故答案為﹣1．本題主要考查線性規(guī)劃的應用，利用數(shù)形結(jié)合是解決線性規(guī)劃題目的常用方法，是基礎題14．【解析】

作出函數(shù)的圖象及直線，如下圖所示，因為函數(shù)有個不同的零點，所以由圖象可知，，，所以．15．真命題【解析】

由冪函數(shù)的單調(diào)性進行判斷即可.【詳解】已知命題：，，因為在上單調(diào)遞增，則，所以是真命題，故答案為：真命題本題主要考查了判斷全稱命題的真假，屬于基礎題.16．【解析】初始條件成立方；運行第一次：成立；運行第二次：不成立；輸出的值：結(jié)束所以答案應填：考點：1、程序框圖；2、定積分.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（Ⅰ）（Ⅱ）【解析】

（Ⅰ）求函數(shù)的導函數(shù)，即可求得切線的斜率，則切線方程得解；（Ⅱ）構(gòu)造函數(shù)，對參數(shù)分類討論，求得函數(shù)的單調(diào)性，以及最值，即可容易求得參數(shù)范圍.【詳解】（Ⅰ）當時，，則.所以.又，故所求切線方程為，即.（Ⅱ）依題意，得，即恒成立.令，則.①當時，因為，不合題意.②當時，令，得，，顯然.令，得或；令，得.所以函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是，，單調(diào)遞減區(qū)間是.當時，，，所以，只需，所以，所以實數(shù)的取值范圍為.本題考查利用導數(shù)的幾何意義求切線方程，以及利用導數(shù)研究恒成立問題，屬綜合中檔題.18．（1）；（2）①證明見解析；②【解析】

（1）由題意焦距為2，設點，代入橢圓，解得，從而四邊形的面積，由此能求出橢圓的標準方程．（2）①由題意，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，推導出，，，，由此猜想：直線過定點，從而能證明，，三點共線，直線過定點．②由題意設，，，，直線，代入橢圓標準方程：，得，推導出，，由此推導出（定值）．【詳解】（1）由題意焦距為2，可設點，代入橢圓，得，解得，四邊形的面積，，，橢圓的標準方程為．（2）①由題意，聯(lián)立直線與橢圓的方程，得，，解得，從而，，，同理可得，，猜想：直線過定點，下證之：，，，，三點共線，直線過定點．②為定值，理由如下：由題意設，，，，直線，代入橢圓標準方程：，得，，，，（定值）．本題考查橢圓標準方程的求法，考查直線過定點的證明，考查兩直線的斜率的比值是否為定值的判斷與求法，考查橢圓、直線方程、韋達定理等基礎知識，考查運算求解能力，考查化歸與轉(zhuǎn)化思想，屬于中檔題．19．（1）見解析；（2）見解析【解析】

（1）求導得，分類討論和，利用導數(shù)研究含參數(shù)的函數(shù)單調(diào)性；（2）根據(jù)（1）中求得的的單調(diào)性，得出在處取得最大值為，構(gòu)造函數(shù)，利用導數(shù)，推出，即可證明不等式.【詳解】解：（1）由于，得，當時，，此時在上遞增；當時，由，解得，若，則，若，，此時在遞增，在上遞減.（2）由（1）知在處取得最大值為：，設，則，令，則，則在單調(diào)遞減，∴，即，則在單調(diào)遞減∴，∴，∴.本題考查利用導數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性和最值，涉及分類討論和構(gòu)造新函數(shù)，通過導數(shù)證明不等式，考查轉(zhuǎn)化思想和計算能力.20．（1）.（2）1【解析】

（1）先根據(jù)題意建立空間直角坐標系，求得向量和向量的坐標，再利用線線角的向量方法求解.（2，由AN＝λ，設N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，則＝(－1，λ－1，－2)，再求得平面PBC的一個法向量，利用直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，由|cos〈，〉|＝＝＝求解.【詳解】（1）因為PA⊥平面ABCD，且AB，AD?平面ABCD，所以PA⊥AB，PA⊥AD.又因為∠BAD＝90°，所以PA，AB，AD兩兩互相垂直．分別以AB，AD，AP為x，y，z軸建立空間直角坐標系，則由AD＝2AB＝2BC＝4，PA＝4可得A(0，0，0)，B(2，0，0)，C(2，2，0)，D(0，4，0)，P(0，0，4)．又因為M為PC的中點，所以M(1，1，2)．所以＝(－1，1，2)，＝(0，0，4)，所以cos〈，〉＝＝＝，所以異面直線AP，BM所成角的余弦值為.（2）因為AN＝λ，所以N(0，λ，0)(0≤λ≤4)，則＝(－1，λ－1，－2)，＝(0，2，0)，＝(2，0，－4)．設平面PBC的法向量為＝(x,y,z)，則即令x＝2，解得y＝0，z＝1，所以＝(2，0，1)是平面PBC的一個法向量．因為直線MN與平面PBC所成角的正弦值為，所以|cos〈，〉|＝＝＝，解得λ＝1∈[0，4]，所以λ的值為1.本題主要考查了空間向量法研究空間中線線角，線面角的求法及應用，還考查了轉(zhuǎn)化化歸的思想和運算求解的能力，屬于中檔題.21．（1）1；（2）5.【解析】

（1）由同角三角函數(shù)關(guān)系求得，再由兩角差的正弦公式求得，最后由正弦定理構(gòu)建方程，求得答案.（2）在中，由正弦定理構(gòu)建方程求得AB，再由任意三角形的面積公式構(gòu)建方程求得BC，最后由余弦定理構(gòu)建方程求得AC.【詳解】（1）據(jù)題意，，且，所以.所以.在中，據(jù)正弦定理可知，，所以.（2）在中，據(jù)正弦定理可知，所以.因為的面積為14，所以，即，得.在中，據(jù)余弦定理可知，，所以.本題考查由正弦定理與余弦定理解三角形，還考查了由同角三角函數(shù)關(guān)系和兩角差的正弦公式化簡求值，屬于簡單題.22．(1)60%；(