《近世代數(shù)》課程教學(xué)大綱

《近世代數(shù)》課程教學(xué)大綱一、大綱說明課程名稱:近世代數(shù)課程名稱（英文）：ModernAlgebra適用專業(yè)：數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)課程性質(zhì)：限選總學(xué)時：64，其中理論課學(xué)時:60，實驗課學(xué)時:4學(xué)分：4先修課程：高等代數(shù).二、本課程的地位、性質(zhì)和任務(wù)

近世代數(shù)課程是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)的一門專業(yè)限選課，是一門現(xiàn)代數(shù)學(xué)課，是數(shù)學(xué)專業(yè)較抽象的一門課程。本課程主要講現(xiàn)代代數(shù)學(xué)的研究對象、研究方法。它的內(nèi)容包括三個基本的代數(shù)結(jié)構(gòu)：群、環(huán)、域。它不僅是一門重要的專業(yè)基礎(chǔ)課,

也是學(xué)習代數(shù)數(shù)論、代數(shù)幾何、代數(shù)拓撲等基礎(chǔ)數(shù)學(xué)課程及計算代數(shù)、編碼等應(yīng)用數(shù)學(xué)課程所必需的一門基礎(chǔ)課。它的基本概念、理論和方法不僅在數(shù)學(xué)中占有及其重要的地位，而且在其它學(xué)科中也有廣泛的應(yīng)用，如理論物理、結(jié)構(gòu)化學(xué)、計算機等學(xué)科。其研究的方法和觀點，對其他學(xué)科有很大的影響。通過本課程的學(xué)習，使學(xué)生較好地掌握近世代數(shù)的基本內(nèi)容、理論和方法，加深學(xué)生對數(shù)學(xué)的基本思想和方法的理解，增強學(xué)生的抽象思維、邏輯推理能力，培養(yǎng)學(xué)生能利用代數(shù)學(xué)的理論知識對實際問題構(gòu)建代數(shù)模型，培養(yǎng)學(xué)生分析問題、解決問題的能力。近世代數(shù)是數(shù)學(xué)與應(yīng)用數(shù)學(xué)專業(yè)一門必修的專業(yè)基礎(chǔ)課，是現(xiàn)代數(shù)學(xué)的重要基礎(chǔ)之一。通過本課的學(xué)習，能夠使學(xué)生掌握群、環(huán)、域的基礎(chǔ)知識，深刻理解和體會公化這一現(xiàn)代數(shù)學(xué)的思想方法，同時掌握代數(shù)的一些基本方法：集合、運算、運算性質(zhì)，特殊元素，特殊子對象，商對象，同態(tài)同構(gòu)，為學(xué)生的進一步學(xué)習提供理論基礎(chǔ)和方法保證，加深對中等數(shù)學(xué)中代數(shù)體系的理解。本課程的學(xué)習需要一定集合論和高等代數(shù)的基礎(chǔ)，對數(shù)論、組合論、離散數(shù)學(xué)的學(xué)習有一定的幫助。三、教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)要求基本概念

第一節(jié)集合1、教學(xué)目的和要求

理解集合的概念，了解元素與集合之間的關(guān)系、集合的相等、集合的運算等。2、教學(xué)要點與知識點

集合的概念，集合的運算、相等。3、重點和難點

集合相等的證明。

第二節(jié)映射(1課時)

教學(xué)目的和要求

理解映射的概念，掌握如何驗證映射相等。

教學(xué)要點與知識點

映射的基本概念。

重點和難點

重點：映射的基本知識。

難點：映射相等。

代數(shù)運算

教學(xué)目的和要求

掌握代數(shù)運算的概念以及它與映射的關(guān)系，掌握有限集合的運算表。

教學(xué)要點與知識點

代數(shù)運算的概念，運算表。

重點和難點

代數(shù)運算的概念。

結(jié)合律

教學(xué)目的和要求

掌握結(jié)合律的定義，結(jié)合次序。

第五節(jié)交換律

教學(xué)目的和要求

理解交換律的定義。

第六節(jié)分配律

教學(xué)目的和要求

理解分配律的定義，左右分配律。

教學(xué)要點與知識點

分配律的定義。一一映射、變換

教學(xué)目的和要求

掌握滿射、單射、一一映射、變換、單射變換、滿射變換及一一變換的的概念以及驗證的方法。

教學(xué)要點與知識點

單射，滿射，一一映射，變換。

重點和難點

驗證單射、滿射。

同態(tài)

教學(xué)目的和要求

掌握同態(tài)映射、同態(tài)滿射的概念，理解同態(tài)在研究問題中的意義和作用。

教學(xué)要點與知識點

同態(tài)滿射。

重點和難點

同態(tài)的概念。

同構(gòu)、自同構(gòu)

教學(xué)目的和要求

掌握同構(gòu)、自同構(gòu)的概念，理解同構(gòu)的意義，能區(qū)分同態(tài)與同構(gòu)的差別，理解兩個具有同構(gòu)關(guān)系的集合之間的關(guān)系，并能判定給定的映射和運算是否是同構(gòu)關(guān)系，能建立兩個集合之間的同構(gòu)映射。

教學(xué)要點與知識點

同構(gòu)映射。

等價關(guān)系與集合的分類

教學(xué)目的和要求

掌握關(guān)系、等價關(guān)系、分類、全體代表團、剩余類等概念，理解等價關(guān)系與集合分類之間的關(guān)系、等價類的意義。

教學(xué)要點與知識點

等價關(guān)系，等價類的性質(zhì)。

重點和難點

等價類，全體代表團。第二章群論

群的定義

教學(xué)目的和要求

了解群的第一、第二定義，并掌握兩者之間的等價轉(zhuǎn)換，理解左、右單位元，左、右逆元的意義，掌握有限群、無限群、群的階和交換群的概念，并會驗證一個代數(shù)結(jié)構(gòu)是否為群。

教學(xué)要點與知識點

群的定義，群的基本概念。

重點和難點

群的概念，如何驗證一個代數(shù)結(jié)構(gòu)是群。

單位元、逆元、消去律

教學(xué)目的和要求

掌握單位元、逆元的存在性和唯一性，了解消去律的定義，能熟練掌握群中元素的階的概念，會計算群中元素的階。

教學(xué)要點與知識點

單位元，逆元，元素的階。

重點和難點

元素的階。

有限群的另一定義

1、教學(xué)目的和要求

掌握有限群的定義，并會應(yīng)用它。2、教學(xué)要點與知識點

有限群的定義

群的同態(tài)

教學(xué)目的和要求

掌握群同態(tài)、群同構(gòu)的概念，掌握和一個群同態(tài)的集合也成群的證明，掌握群同態(tài)的有關(guān)性質(zhì)，并能證明在同態(tài)滿射下，單位元的象也是單位元，元a的逆元的象是a的象的逆元。

教學(xué)要點與知識點

群的同態(tài)，群同態(tài)的性質(zhì)。

重點和難點

群同態(tài)的性質(zhì)。

變換群

教學(xué)目的和要求

熟練掌握變換符號的運用和變換的乘法，能證明可以成群的變換只包含一一變換，且單位元一定是恒等變換。了解變換群的定義和性質(zhì)。掌握任何一個群都同一個變換群同構(gòu)的定理的證明并理解。

教學(xué)要點與知識點

變換群，凱萊定理。

重點和難點

凱萊定理。

置換群

教學(xué)目的和要求

理解置換與置換群的定義與性質(zhì)，掌握每一個n元置換都可以寫成若干個互相沒有共同數(shù)字的（不相連）的循環(huán)置換的乘積的證明與運用。理解有限群與置換群的之間的關(guān)系。

教學(xué)要點與知識點

置換群。

重點和難點

置換的乘法，置換的性質(zhì)。

循環(huán)群

教學(xué)目的和要求

掌握循環(huán)群的定義和性質(zhì)，熟練掌握剩余類加群，并能證明任一循環(huán)群可以與整數(shù)加群或模為n的剩余類加群同構(gòu)。以及與循環(huán)群同態(tài)的群的性質(zhì)。

教學(xué)要點與知識點

循環(huán)群，生成元，模n的剩余類加群。

重點和難點

循環(huán)群的結(jié)構(gòu)

子群

教學(xué)目的和要求

了解子群的定義，掌握群的子集成群的充分而且必要的條件與判定定理，并能掌握找出已知群的子群的一般方法，了解群與子群中的單位元與逆元的關(guān)系，以及子群與子群之間的關(guān)系。

教學(xué)要點與知識點

子群的概念，子群判別定理。

重點和難點

驗證子群的方法。

子群的陪集

教學(xué)目的和要求

掌握陪集的定義，以及與等價關(guān)系和分類之間的關(guān)系，了解子群與陪集之間的映射關(guān)系，并能證明有限群的階能被元的階整除的定理，以及階為素數(shù)的群一定為循環(huán)群的證明。

教學(xué)要點與知識點

子群的陪集，lagrange定理。

重點和難點Lagrange定理，陪集。

不變子群、商群

教學(xué)目的和要求

了解不變子群的定義，能掌握一個群的子群是不變子群的充分必要條件的定理，理解商群的定義。

教學(xué)要點與知識點

不變子群的概念，驗證不變子群的方法。

重點和難點

驗證不變子群的方法，商群。

同態(tài)與不變子群

教學(xué)目的和要求

能證明一個群同它的每一個商群同態(tài)的定理，了解核的定義，掌握兩個具有同態(tài)關(guān)系的群之間子群或不變子群的象的性質(zhì)。并能將子群或不變子群的性質(zhì)運用到循環(huán)群、變換群等中。

教學(xué)要點與知識點

同態(tài)基本定理，群同態(tài)的性質(zhì)。

重點和難點

同態(tài)基本定理的理解，同態(tài)的兩個群的子群和不變子群之間的關(guān)系。環(huán)和域

加群、環(huán)的定義

教學(xué)目的和要求

掌握加群的定義，熟悉環(huán)的定義、環(huán)中的運算規(guī)則。

教學(xué)要點與知識點

加群的定義，環(huán)的定義，環(huán)中的運算。

重點和難點

加群、環(huán)上的運算。

交換律、單位元、零因子、整環(huán)

教學(xué)目的和要求

理解交換環(huán)的定義，熟悉單位元、逆元和零因子的性質(zhì)并能熟練運用，掌握消去律與零因子之間的關(guān)系。

教學(xué)要點與知識點

單位元，逆元，零因子，剩余類環(huán)。

重點和難點

環(huán)有無零因子的判斷，剩余類環(huán)。

除環(huán)、域

教學(xué)目的和要求

掌握除環(huán)、域的定義，理解環(huán)、交換環(huán)、有單位元環(huán)、無零因子環(huán)、整環(huán)、除環(huán)、域的之間的關(guān)系，掌握四元數(shù)除環(huán)。

教學(xué)要點與知識點

環(huán)的類型。

重點和難點

域、四元數(shù)除環(huán)。

無零因子環(huán)的特征

教學(xué)目的和要求

熟悉無零因子環(huán)中的計算規(guī)則，掌握無零因子環(huán)的特征的性質(zhì)、。

教學(xué)要點與知識點

特征，有限域。

重點和難點

無零因子環(huán)的特征的性質(zhì)。

子環(huán)、環(huán)的同態(tài)

教學(xué)目的和要求

理解子環(huán)、子除環(huán)的定義，并能寫出子整環(huán)、子域的概念，熟悉除環(huán)的子集作成子除環(huán)的條件，了解同態(tài)、同構(gòu)環(huán)之間的性質(zhì)，并對環(huán)、除環(huán)的中心有一定的了解。

教學(xué)要點與知識點

子環(huán)，環(huán)的同態(tài)，挖補定理。

重點和難點

環(huán)的同態(tài)，挖補定理。

多項式環(huán)

教學(xué)目的和要求

掌握多項式環(huán)的定義，熟悉多項式環(huán)中的未定元、次數(shù)以及系數(shù)、無關(guān)未定元的概念，理解含么交換環(huán)必有未定元存在。

教學(xué)要點與知識點

多項式環(huán)的基本概念，環(huán)上的未定元。

重點和難點

含么交換環(huán)上必有未定元的證明。

理想

教學(xué)目的和要求

理解理想的概念，以及零理想、單位理想和主理想的構(gòu)成，能判斷一個環(huán)是否是理想子環(huán)，和理想子環(huán)是否為主理想子環(huán)。

教學(xué)要點與知識點

理想，生成理想。3、重點和難點

理想、主理想的驗證。

剩余類環(huán)、同態(tài)與理想

教學(xué)目的和要求

理解一個環(huán)的所有模的剩余類作成的集合也是環(huán)，且原來的環(huán)與它同態(tài)。了解在環(huán)的同態(tài)映射下的兩個環(huán)之間的關(guān)系、性質(zhì)，掌握環(huán)的同態(tài)基本定理。

教學(xué)要點與知識點

剩余類環(huán)，環(huán)的同態(tài)基本定理。

重點和難點

對剩余類環(huán)、環(huán)同態(tài)基本定理的理解。

最大理想

教學(xué)目的和要求

理解什么是最大理想，由最大理想怎么構(gòu)造域。

教學(xué)要點與知識點

最大理想，最大理想的作用。

重點和難點

驗證一個理想是否為最大理想。

商域

教學(xué)目的和要求

掌握商域的概念和構(gòu)造、沒有零因子的交換環(huán)一定是一個域的子環(huán)，并掌握同構(gòu)的環(huán)的商域也同構(gòu)。

教學(xué)要點與知識點

商域的概念，如何得到商域。

重點和難點

商域構(gòu)造的理解。整環(huán)里的因子分解

素元、唯一分解

教學(xué)目的和要求

掌握整除、單位、相伴元和平凡因子、真因子、素元的概念，以及掌握整環(huán)中不等于零的元有真因子的充分而且必要的條件，掌握唯一分解的定義，了解整環(huán)中的元是否都有唯一分解。

教學(xué)要點與知識點

素元，因子，唯一分解。

重點和難點

唯一分解概念的理解。

唯一分解環(huán)

教學(xué)目的和要求

知道唯一分解環(huán)的定義和性質(zhì)，以及公因子、最大公因子的概念和定理，了解互素的概念。理解判別唯一分解環(huán)的方法。

教學(xué)要點與知識點

唯一分解環(huán)的概念和性質(zhì)，唯一分解環(huán)的判別方法。

重點和難點

唯一分解環(huán)的判別。

主理想環(huán)

教學(xué)目的和要求

理解主理想環(huán)的概念和引理，能證明主理想環(huán)是唯一分解環(huán)。

教學(xué)要點與知識點

主理想環(huán)的性質(zhì)結(jié)論。

重點和難點

理想升鏈，主理想環(huán)是唯一分解環(huán)的證明。

歐氏環(huán)

教學(xué)目的和要求

了解歐氏環(huán)的定義，理解歐氏環(huán)是主理想環(huán)、唯一分解環(huán)的證明，并能證明域一定是一個歐氏環(huán)。

教學(xué)要點與知識點

歐氏環(huán)的定義，歐氏算法，主理想環(huán)、歐氏環(huán)、唯一分解環(huán)之間的關(guān)系。

重點和難點

歐氏算法的理解，歐氏環(huán)的驗證。

多項式環(huán)的因子分解

教學(xué)目的和要求

知道本原多項式的定義，理解本原多項式的性質(zhì)，和本原多項式的唯一分解性，并對唯一分解環(huán)有進一步的認識。

教學(xué)要點與知識點

本原多項式，本原多項式的性質(zhì)，系數(shù)為唯一分解環(huán)的多項式環(huán)為唯一分解環(huán)。

重點和難點

有關(guān)本原多項式的結(jié)論，系數(shù)為唯一分解環(huán)的多項式環(huán)為唯一分解環(huán)。

因子分解與多項式的根

教學(xué)目的和要求

了解多項式的根和性質(zhì)，掌握重根和導(dǎo)數(shù)的定理和推論。

教學(xué)要點與知識點

多項式的根、重根及判別法。四、課程特色

該課程在教材、教學(xué)方法和教學(xué)手段等方面都具有非常鮮明的特色。其一，針對學(xué)院的特點，本課程以講授為主，由于該課程較抽象，在教學(xué)中要注重多舉例子、多講習題、多加思考；注重對教材內(nèi)容中各個知識點的理解。其二，根據(jù)教學(xué)實踐的需要和學(xué)院學(xué)生的實際情況，運用現(xiàn)代化教學(xué)手段，制作了大批用于配合教學(xué)的多媒體課件和網(wǎng)絡(luò)教學(xué)課件，建立起近世代數(shù)課程網(wǎng)站。其三，注重對教學(xué)內(nèi)容、教學(xué)方法與教學(xué)手段的改革，認真總結(jié)教學(xué)經(jīng)驗，不斷提高教師自身的教學(xué)水平和理論知識。其四，突出教材內(nèi)容所體現(xiàn)的數(shù)學(xué)思想、方法，加強學(xué)生應(yīng)用數(shù)學(xué)的能力；注重對學(xué)生證明技巧、證明思路的訓(xùn)練；增加以學(xué)生為主體的啟發(fā)式、討論式教學(xué)方法；讓學(xué)生多加練習、多加思考，提出問題，體現(xiàn)了學(xué)院培養(yǎng)創(chuàng)新性應(yīng)用型人才的特點。其五，課程師資隊伍建設(shè)成效顯著，作為數(shù)學(xué)類必修課的精品課程《近世代數(shù)》，從課程建設(shè)的一開始，我們就注重教師隊伍的建設(shè)，注重人員素質(zhì)的綜合提高，使教師隊伍在年齡、知識、學(xué)歷與職稱等方面結(jié)構(gòu)合理。本課程非常注重對青年教師的培養(yǎng)。線性代數(shù)目前的教學(xué)力量很強，除有主講教授、副教授數(shù)

外，也有數(shù)名剛從學(xué)校畢業(yè)不久的青年教師。為了提高課程教學(xué)的整體水平，他們還做了大量傳、幫、帶工作。除組織青年教師聽老教師講課以外，每年還要舉行多次的交流探討活動，組織他們參與教材、課件的編寫制作，使他們盡快提高水平，學(xué)會低起點、有坡度、有水平的教學(xué)方法，努力提高教學(xué)效果。五、學(xué)時分配

第一章節(jié)目錄課時分配

第一章基本概念第一節(jié)集合0.58第二節(jié)映射0.5第七節(jié)一一映射、變換1第三節(jié)代數(shù)運算0.5第四節(jié)結(jié)合律0.5第五節(jié)交換律0.5第六節(jié)分配律0.5第八節(jié)同態(tài)1第九節(jié)

同構(gòu)、自同構(gòu)1第十節(jié)

等價關(guān)系與集合的分類2

第二章群論第一節(jié)群的定義120第二節(jié)單位元、逆元、消去律1第三節(jié)有限群的另一定義1第四節(jié)群的同態(tài)1第五節(jié)變換群2第六節(jié)置換群2第七節(jié)循環(huán)群2第八節(jié)子群2第九節(jié)

子群的陪集2第十節(jié)

不變子群、商群2第十一節(jié)同態(tài)與不變子群2習題課2

第三章環(huán)與域第一節(jié)加群、環(huán)的定義118第二節(jié)交換律、單位元、零因子、整環(huán)2第三節(jié)除環(huán)、域1第四節(jié)無零因子環(huán)的特征2第五節(jié)子環(huán)、環(huán)的同態(tài)2第六節(jié)多項式環(huán)2第七節(jié)理想2第八節(jié)剩余類環(huán)、同態(tài)與理想1第九節(jié)

最大的理想2第十節(jié)

商域1習題課2

第四章整環(huán)里的因子分解第一節(jié)素元、唯一分解214第二節(jié)唯一分解環(huán)2第三節(jié)主理想環(huán)2第四節(jié)歐氏環(huán)2第五節(jié)多項式環(huán)的因子分解2第六節(jié)因子分解與多項式的根2習題課2

總課時數(shù)60六、教材及相關(guān)教學(xué)網(wǎng)站推薦教材：張禾瑞.近世代數(shù)基礎(chǔ).北京:高教出版社,2000.參考文獻：[1]劉紹學(xué).近世代數(shù)基礎(chǔ).北京:高教出版社,2001.[2]吳品三.抽象代數(shù).北京:高教出版社,1984.[3]楊子胥.近世代數(shù).北京:高教出版社,2001.[4]韓士安,林磊.近世代數(shù).北京:科學(xué)出版社,2008.[5]樊輝,劉宏偉.抽象代數(shù).北京:科學(xué)出版社,2008.[6]聶靈沼,丁石孫.代數(shù)學(xué)引論.北京:高等教育出版社,1988.[7]T.W.Hungerford.Algebra.

Berlin:Springer_verlag,1974.[8]NathanJacobson.BasicAlgebra(I).NewYork

：W.H.Freemanand

Company,1985.[9]Joseph.J.Rotman.

抽象代數(shù)基礎(chǔ)教程(