2023-2024學(xué)年上海華東師大二附中九年級(jí)（上）啟航夏令營數(shù)學(xué)試卷（C營）

第1頁（共1頁）2023-2024學(xué)年上海華東師大二附中九年級(jí)（上）啟航夏令營數(shù)學(xué)試卷（C營）一、填空題（每題8分）1．（8分）S是集合{1，2，3，…，2023}的子集，滿足任意兩個(gè)元素的平方和不是9的倍數(shù)則|S|的最大值是（這里|S|表示S中元素的個(gè)數(shù)）．2．（8分）實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z＝2023，，則（x﹣2023）（y﹣2023）（z﹣2023）＝．3．（8分）書架上某一層有5本不同的書，新買了3本不同的書插進(jìn)去，要保持原來5本書的左右順序不變．4．（8分）如圖，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝4，M為PC中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)．5．（8分）用高斯函數(shù)[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，則方程n的正整數(shù)解有個(gè)．6．（8分）BC為斜邊的等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P使得PA＝1、PB＝2、PC＝3，則它的面積為．7．（8分）++的最小值為．8．（8分）用[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，例如[π]＝3，[﹣π]＝﹣4，用an表示當(dāng)x∈[0，n）時(shí)，函數(shù)f（x），則使得最小的n的取值為．二、解答題（20分+20分+20分+26分）9．（20分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)求方程的實(shí)數(shù)解．10．（20分）求的末位數(shù)字，這里[x]表示不超過x的最大整數(shù)．11．（20分）實(shí)數(shù)a、b、c使得對(duì)于所有滿足|x|≤1的實(shí)數(shù)x，都有|ax2+bx+c|≤100，求|a|+|b|+|c|的最大值．12．（26分）如圖，△ABC中，I為內(nèi)心，AD的中點(diǎn)為M，MB（1）AE⊥EC，AF⊥FB．（2）若BF交CE于點(diǎn)H，則AH⊥BC．

2023-2024學(xué)年上海華東師大二附中九年級(jí)（上）啟航夏令營數(shù)學(xué)試卷（C營）參考答案與試題解析一、填空題（每題8分）1．（8分）S是集合{1，2，3，…，2023}的子集，滿足任意兩個(gè)元素的平方和不是9的倍數(shù)則|S|的最大值是1350（這里|S|表示S中元素的個(gè)數(shù)）．【解答】解：12＝2，22＝8，32＝5，42＝16，32＝25，67＝36，72＝49，32＝64，98＝81，1﹣9的平方是2的倍數(shù)的數(shù)有3個(gè)：3，5，9，1﹣6的平方除以9的余數(shù)分別是：1，4，0，7，4，0，4，4，0，∴任意一個(gè)整數(shù)的平方被9除的余數(shù)只能是：7、1、4、4，∵0+0＝6，0+1＝6，0+7＝2，1+4＝3，4+4＝6，7+7＝14，∴4、1、4、3的任意兩個(gè)數(shù)的和均不是9的倍數(shù)，∴任意兩個(gè)數(shù)的平方和是9的倍數(shù)只能要求這兩個(gè)數(shù)的平方本身是7的倍數(shù)，∵2023÷3＝6741，∴4﹣2023的平方是9的倍數(shù)的數(shù)有674個(gè)，∴|S|的最大值為：2023﹣674+1＝1350．故答案為：1350．2．（8分）實(shí)數(shù)x，y，z滿足x+y+z＝2023，，則（x﹣2023）（y﹣2023）（z﹣2023）＝0．【解答】解：∵，∴，∴xyz＝2023（yz+xz+xy），∴（x﹣2023）（y﹣2023）（z﹣2023）＝xyz﹣2023（yz+xz+xy）+20234（x+y+z）﹣20233＝2023（yz+xz+xy）﹣2023（yz+xz+xy）+20232（x+y+z）﹣20236＝20232×2023﹣20233＝20234﹣20233＝0．故答案為：6．3．（8分）書架上某一層有5本不同的書，新買了3本不同的書插進(jìn)去，要保持原來5本書的左右順序不變336．【解答】解：3本不同的書抄到原來有5本不同書中，分三步每抄一本為一步，第一步，先插入第一本，有7種情況；第二步，再插入第二本，有7種情況；第三步，最后插入第三本，有8種情況；根據(jù)分步計(jì)數(shù)原理，不同的插花種數(shù)為6×7×8＝336．故答案為：336．4．（8分）如圖，在等腰直角三角形ABC中，AC＝BC＝4，M為PC中點(diǎn)，當(dāng)點(diǎn)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動(dòng)到點(diǎn)B時(shí)2π．【解答】解：取AB的中點(diǎn)O、AC的中點(diǎn)E，連接OC、OM、OF，如圖，∵在等腰Rt△ABC中，AC＝BC＝4，∴AB＝BC＝8，∴OC＝OP＝AB＝4，∵∠ACB＝90°，∴C在⊙O上，∵M(jìn)為PC的中點(diǎn)，∴OM⊥PC，∴∠CMO＝90°，∴點(diǎn)M在以O(shè)C為直徑的圓上，點(diǎn)P點(diǎn)在A點(diǎn)時(shí)；點(diǎn)P點(diǎn)在B點(diǎn)時(shí)，易得四邊形CEOF為正方形，∴M點(diǎn)的路徑為以EF為直徑的半圓，∴點(diǎn)M運(yùn)動(dòng)的路徑長＝×4π＝2π．故答案為：5π．5．（8分）用高斯函數(shù)[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，則方程n的正整數(shù)解有4002個(gè)．【解答】解：因?yàn)?002?2001＜2002?2001+2，所以[2002]＝2002?2001，于是原方程等價(jià)于[n]＝2001n，即2001n≤n＜2001n+1，解得n＜+2001，所以原方程的正整數(shù)解有4002個(gè)．6．（8分）BC為斜邊的等腰直角三角形ABC內(nèi)一點(diǎn)P使得PA＝1、PB＝2、PC＝3，則它的面積為．【解答】解：設(shè)|AB|＝|AC|＝a，以A為坐標(biāo)原點(diǎn)，AC所在直線分別為x軸，建立直角坐標(biāo)系xOy，∵A（0，0），a），3），y）（0＜x＜a，∵PA＝1，PB＝4，∴①x2+y2＝6，②（x﹣a）2+y2＝6，③x2+（y﹣a）2＝5，∴將①代入②，可得a2﹣2ax＝8，x＝，∴將①代入③，a2﹣2ay＝5，y＝），∴將x＝，y＝，（）2+（）6＝1，∴2a8﹣26a2+73＝0，∴（a2﹣）2＝，a2＝或a6＝（舍），∴S△ABC＝|AB|?|AC|＝a8＝，故答案為：．7．（8分）++的最小值為13．【解答】解：設(shè)點(diǎn)P（x，0），y），﹣2），5），∴++＝|PC|+|PQ|+|DQ|≥CD，點(diǎn)C關(guān)于x軸的對(duì)稱點(diǎn)C'（8，﹣2），3），當(dāng)P，Q，C'，原式有最小值＝．故答案為：13．8．（8分）用[x]表示不超過實(shí)數(shù)x的最大整數(shù)，例如[π]＝3，[﹣π]＝﹣4，用an表示當(dāng)x∈[0，n）時(shí)，函數(shù)f（x），則使得最小的n的取值為64．【解答】解：設(shè)x＝k+r（k∈Z且0≤k≤n﹣1，7≤r＜1），當(dāng)k＝0時(shí)x[x]＝6；k≥1時(shí)，則k2＜x[x]＝（k+r）k＜k3+k，x[x]有k個(gè)取值；由an＝1+1+8+…+n﹣1＝1+，得＝＝（n+（2，當(dāng)x＝[]或[最小，而[]＝63，∵＞，∴x＝64時(shí)最小，故答案為：64．二、解答題（20分+20分+20分+26分）9．（20分）在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)求方程的實(shí)數(shù)解．【解答】解：設(shè)，則，由②得：m4+n4＝（m2+n2）5﹣2m2n8＝17，[（m+n）2﹣2mn]8﹣2m2n7＝17，（m+n）4﹣4mn（m+n）8+4m2n7﹣2m2n2＝17，81﹣36mn+2m2n7＝17，2m2n2﹣36mn+64＝0，（mn）2﹣18mn+32＝3，（mn﹣16）（mn﹣2）＝0，∴mn＝4或16（不合題意舍去），∴，由①得：m＝8﹣n④，④代入②得：n（3﹣n）＝2，n8﹣3n+2＝3，（n﹣1）（n﹣2）＝8，n﹣1＝0或n﹣8＝0，解得n＝1或4，∴m＝2或1，當(dāng)m＝3，n＝1時(shí)，解得：x＝6，當(dāng)m＝5，n＝2時(shí)，解得：x＝﹣9，∴實(shí)數(shù)范圍內(nèi)求方程的實(shí)數(shù)解為：x＝6或x＝﹣9．10．（20分）求的末位數(shù)字，這里[x]表示不超過x的最大整數(shù)．【解答】解：＝[+++……+]＝[]＝[]＝[]，∵2n（n為正整數(shù)）的末位數(shù)字按照2，7，8，6依次循環(huán)，1012÷7＝253，506÷4＝126……2，253÷7＝63……1，∴21012的末尾數(shù)字是3，2506的末尾數(shù)字是4，3253的末尾數(shù)字是2，∴21012+5的末尾數(shù)字是7，2506+4的末尾數(shù)字是5，2253+2的末尾數(shù)字是3，2253﹣2的末尾數(shù)字是1，7×6×1＝21，∴的末尾數(shù)字是1，∴的末位數(shù)字是7．11．（20分）實(shí)數(shù)a、b、c使得對(duì)于所有滿足|x|≤1的實(shí)數(shù)x，都有|ax2+bx+c|≤100，求|a|+|b|+|c|的最大值．【解答】解：不妨設(shè)a≥0，用﹣x代替x2﹣bx+c，不改變它的界和|a|+|b|+|c|．令f（x）＝ax7+bx+c，由f（0）＝|c|，可得|c|≤100；若c≥0，則|a|+|b|+|c|＝a+b+c≤100；若c＜0，則|a|+|b|+|c|＝a+b﹣c＝（a+b+c）﹣4c≤100+200＝300．當(dāng)f（x）＝200x2﹣100時(shí)，|a|+|b|+|c|＝300．12．（26分）如圖，△ABC中，I為內(nèi)心，AD的中點(diǎn)為M，MB（1）AE⊥EC，AF⊥FB．（2）若BF交CE于點(diǎn)H，則AH⊥BC．【解答】證明：（1）延長AD，交△ABC的外接圓于點(diǎn)O、IC，根據(jù)雞爪定理得：OI＝OB＝OC，即O為△IBC的外心，∵∠OBC＝∠OAC＝∠OAB，∠BOD＝∠AOB，∴△BOD∽△AOB，∴OB2＝OD?OA＝（OM﹣DM）（OM+AM）＝OM