2023北師大版新教材高中數(shù)學必修第一冊同步練習-§4 一元二次函數(shù)與一元二次不等式

2023北師大版新教材高中數(shù)學必修第一冊

第一章預備知識

§4一元二次函數(shù)與一元二次不等式

基礎過關練

題組一一元二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)

1.（2020江西I缶川二中月考）已知函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象如圖,則此函數(shù)的解

析式可能為（）

A.y=|x2-1x-3B.y=|x2-1x+3

C.y=-|x2+|x-3D.y=-1x2-1x+3

2.（2022湖南天壹名校聯(lián)盟聯(lián)考）如圖為函數(shù)y=ax+b的圖象，則函數(shù)

y=x2+ax+b的圖象可能為（）

3.若一元二次函數(shù)y=3x2+2（a-l）x+b在區(qū)間（-8口上的函數(shù)值y隨自變量x的

增大而減小，則（）

A.a<-2B.a<-2

C.3>-2D.3>-2

4.若函數(shù)y=ax2+2x-4的圖象位于x軸下方，則a的取值范圍是.

5.(2020湖南長沙長郡中學檢測)函數(shù)y=2(x-1/+1的圖象通過怎樣的變換可以

得到函數(shù)y=x2的圖象？

題組二一元二次不等式及其解法

6.(2022河南安陽高級中學期中)已知集合A={-2,0,L2},B={x|x(x-2)〈期則

AAB=()

A.{1}B.{0,l}

C.{-2,0,2}D.{1,2}

7.不等式組片丁：+3；。,的解集是()

(2x2-7x+6>0

A.(2,3)

B.(1,|)U(2,3)

C(8,|)U(3,+8)

D.(-oo,l)U(2,4-00)

8.(2021福建三明第一中學月考)已知a<0,關于x的一元二次不等式ax2-

(2+a)x+2>0的解集為()

A.{%|xV|,或x>ljB.{%||<x<1j

C.{%|xV1,或x>|}D.^x|l<x<|j

9.(2020山東臨沂蒙陰實驗中學月考)不等式-x2-3x+4>0的解集為.

題組三三個"二次"之間的關系

10.(2021河北石家莊月考)若關于x的不等式x2-mx+l<0的解集為。，則實數(shù)m

的取值范圍為()

A.(-oo,-2]U[2,+oo)

B.(-°°,-2)U(2,+oo)

C.[-2,2]

D.(-2,2)

11.若不等式ax2+bx-l>0的解集是{x|3<x<4},求實數(shù)a,b的值.

12.(2020湖南長沙雅禮中學檢測)若一元二次函數(shù)y=x2-(2k+l)x+k2+l的圖象

與x軸的兩個交點分別為(Xl,0),(X2,0),且X1,X2都大于1.

⑴求實數(shù)k的取值范圍；

⑵若現(xiàn)總求k的值

第22

題組四一元二次不等式的實際應用

13.(2020廣東揭陽三中月考)某商家一月份至五月份累計銷售額達3860萬元,

預測六月份銷售額為500萬元,七月份銷售額比六月份增長x%,八月份銷售額比

七月份增長X%,九、十月份銷售總額與七、八月份銷售總額相等.若一月份至十

月份銷售總額至少達7000萬元，則x的最小值是.

14.某單位決定投資3200元建一倉庫（長方體形狀），高度恒定，它的后墻利用舊墻

不花錢，正面用鐵柵，每米造價40元，兩側(cè)墻砌磚，每米造價45元，頂部每平方米造

價20元.

（1）倉庫頂部面積S（平方米）的最大允許值是多少？

（2）為使S達到最大，而實際投資又不超過預算，那么鐵柵應設計為多長？

能力提升練

題組-----元二次不等式及其解法

1.（2020河北辛集中學段考）不等式x2-x-21和x2-（2a+l）x+a2+a>0的解集分

別為A和B,且AcB,則實數(shù)a的取值范圍是（）

A.（0,l）B.[0,l]

C.[-l,l]D.（-l,l）

2.（2021廣東中山實驗中學等四校聯(lián)考）關于實數(shù)x的不等式a（x-

2僅+1）>。3￡尺）的解集不可能是（）

A.{x[x<-1,或x>a}

B.R

C.{x|-l<x<a}

D.{x|a<x<-1}

題組二三個"二次”的綜合應用

3.設b>0,若一元二次函數(shù)丫=2乂2+5乂+/1的圖象為下列圖象中的一個廁a的

值為（）

/（j\\x\J/x\xUx

①②③④

A.lB.-l

C.±lD.--±-

22

4.（多選）（2020北京朝陽期中）已知關于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為

僅僅<-2,或乂>3},則（）

A.a>0

B.不等式bx+c>0的解集是{x|x<-6}

C.a+b+c>0

D.不等式cx2-bx+a<0的解集為卜|xv或%>,

5.若使不等式x2+（a+2）x+2a<0成立的任意一個x都滿足不等式x-lwO,則實數(shù)

a的取值范圍為（）

A.{a|a>-1}B.{a|a>-1}

C.{a|a<-1}D.{a|a<-1}

6.（2021北京北大附屬實驗學校月考）關于x的不等式（ax-l）2<x2恰有2個整數(shù)

解,則實數(shù)a的取值范圍是（）

2332

力3,/4T4/,3

2332

L3/4T4,3

2332

c3//4T4/」3

2332

7.（2020山東濟南歷城二中月考）已知關于x的不等式x2-2mx+m+2<0（meR）

的解集為M.

⑴當M為空集時,求實數(shù)m的取值范圍；

⑵在⑴的條件下，求土爐的最小值；

m+1

⑶當M不為空集，且Mc{x|lwxw4}時,求實數(shù)m的取值范圍.

題組三一元二次不等式的恒信同成立問題

8.(2022遼寧葫蘆島協(xié)作校二聯(lián))若命題，x￡Rax2-2ax+12>0"是真命題，則

a的取值范圍為()

A.(0,4)B.[0,4)

C.(0,12)D.[0,12)

9.(2022安徽池州一中期中)若關于x的不等式2x2-5x-l-m>0在[1,3]上有解，則

實數(shù)m的取值范圍為()

A.(-oo,2)

B(8,用

C.(-oo,-4)

Ms書

10.(2020廣西南寧三中期末)已知a>0時,對任意x>0,有(x-a)(x2+bx-a)“恒成

立廁擲取值范圍是?

題組四一元二次不等式的實際應用

11.(2022福建廈門一中月考)為配制一種藥液進行了三次稀釋，先在容積為

V(V>10)的桶中盛滿純藥液，第一次將桶中藥液倒出10升后用水補滿，攪拌均勻，

第二次倒出8升后用水補滿，第三次倒出10升后用水補滿.若第二次稀釋后桶中

藥液含量不超過容積的60%,則V的取值范圍是

12.（2020山東棗莊期中）經(jīng)觀測，某段公路在某時間段內(nèi)的車流量y（千輛/時）與汽

車的平均速度V（千米/時）之間滿足函數(shù)關系y、2+；：；；600（v>0）.

⑴在該時段內(nèi)，當汽車的平均速度V為多少時,車流量V最大?最大車流量為多

少?（精確到0.01）

（2）為保證在該時段內(nèi)車流量至少為10千輛/時，汽車的平均速度應控制在什么范

圍內(nèi)？

13.某租賃公司擁有汽車100輛,當每輛車的月租金為3200元時,可全部租出;當

每輛車的月租金每增加50元時（租金增加為50元的整數(shù)倍），未租出的車將會增

加1輛.租出的車每輛每月需要維護費150元，未租出的車每輛每月需要維護費

50元.

（1）當每輛車的月租金定為3600元時，能租出多少輛車？

（2）設租金為（3200+50X）元/輛（x￡N）,用x表示租賃公司的月收益y（單位:元）；

（3）當每輛車的月租金定為多少元時，租賃公司的月收益最大?最大月收益是多少?

答案與分層梯度式解析

第一章預備知識

§4一元二次函數(shù)與一元二次不等式

基礎過關練

1.A由題圖可知,函數(shù)圖象開口向上,a>0排除C、D;頂點的橫坐標x=-Q0,故

b<0;圖象與v軸交于負半軸，故c<0才非除B.故選A.

2.A由題圖可知a<0,b<0,所以技>0,所以函數(shù)y=x2+ax+b的圖象的對稱軸在

y軸右側(cè)，令x=0碧y=b<0,所以函數(shù)圖象與y軸交于負半軸.故選A.

3.13由題意,得號21,解得aW-2.

4.答案a<-i

解析依題意，得的*6…，

解得a

5.解析將函數(shù)y=2(x-l)2+l的圖象向左平移1個單位長度，得到函數(shù)y=2x2+l

的圖象，再向下平移1個單位長度，得到函數(shù)y=2x2的圖象，然后橫坐標不變，縱坐

標縮短為原來的錄得到函數(shù)y=x2的圖象.

6.A易得B={x|0<x<2}廁ADB={1}.

7.13,.,x2-4x+3<0,.'.(x-l)(x-3)<0,/.l<x<3.

,.2乂2-7乂+6>0,「.a-2)(2乂-3)>0〃。<|或乂>2.

.??原不等式組的解集為(i,|)U(2,3).

8.13由題意,得(ax-2)(x-l)>0,

又因為a<0,所以卜|)(x-l)<0,且|<1,故|<x<L故選B.

9.答案(-4,1)

解信原不常式可化為x2+3x-4<0,解得-4<x<L所以原不等式的解集為(-4,1).

10r由題意，得△=(-m)2-440,解得-24mw2〃?.實數(shù)m的取值范圍為[-2,2].故

選C.

11.解析由題意知ax2+bx-l=0的兩根為3,4，且awO,

--=3+4

由根與系數(shù)的關系知；’

--=3x4,

解得

12.解析⑴由題意可知,X1,X2是關于X的方程x2-(2k+l)x+k2+l=0的兩個實

數(shù)根，

.■.xi+X2=2k+l,xiX2=k2+l.

又X1>1,X2>L

Z=[—(2k+l)]2-4(/c2+1)>0,

.*Jxr+x2>2,

解得ka且kN1.

???實數(shù)k的取值范圍是｛kIk>,且k/1).

%i+%2=2k+1,得卜=

⑵由

=1

X22%2=

丁?X1X2=等?竽=k2+1,

即k2-8k+7=0,解得—1(舍去).

??k的值為7.

13.答案20

解析由題意得3860+500+[500(l+x%)+500(l+x%)2]x2>7000化簡得

(x%)2+3-x%-0.641,解得x%>0.2或x%W-3.2(舍去)，所以x>20,gpx的最小值

為20.

14.解析(1)設鐵柵長為x米,一側(cè)磚墻長為y米，則頂部面積S=xy平方米.由題

意，知40x+2x45y+20xy<3200油基本不等式彳導3200>2

師西+20xy=120回+20xy=120/+20S(當且僅當40x=90y時取"="),

所以S+6M-160W0,即(痣-10)(行+16)40,

解得-16WMW10.

由題意知遙>0,故0(遍410,從而0<S<100.

故倉庫頂部面積S(平方米)的最大允許值是100.

(2)S取得最大值100的條件是40x=90y,且xy=100廨得x=15,即鐵柵應設計

為15米.

能力提升練

1.P由已知得A4x|xw-L或xN2},B={x|x<a,或x>a+l}.

若AUB,則{弁7，2故

2.B當a>0時,不等式a(x-a)(x+l)>0可化為(x-a)(x+l)>0,解得x>a或x<-1;

當a=0時,不等式a(x-a)(x+l)>0可化為0>0,也時不等疝的解集為

當-l<a<0時,不等式a(x-a)(x+l)>0可化為(x-a)(x+l)<0,解得

當a=-l時,不等疝a(x-a)(x+l)>0可花為(x+l)2<0,此時不等我的解集為0；

當a<-l時,不等式a(x-a)(x+l)>0可化為(x-a)?(x+l)<0,解得a<x<-L

故A、C、D都有可能,B不可能.

故選B.

3.13由①與②,知函數(shù)圖象與x軸的兩個交點為對稱點,則兩根之和為0.已知

X1+X2=/0,故可排除由③與④，知一個根為0,另一個根為正數(shù)，即X1+X2=q>0,

又b>0,.'.a<0,圖象開口向下，應為③.由圖象過原點(0,0%得a2-l=0廨得a=-l或

a=l(舍去).故選B.

4.ABP;關于x的不等式ax2+bx+c>0的解集為{x[x<-2,或x>3}/.a>0,A正

確;易知-2和3是關于x的方程ax2+bx+c=0的兩根〃=氤則

Ia'

a+b+c=-6a<0,C錯誤;不等式bx+c>0即-ax-6a>0,即x+6<0,解得x<-6,B正

確;不等式ex2-bx+a<0即-6ax2+ax+a<0,即6x2-X-1>o,解得x<f或x吟D正

確.故選ABD.

5.13不等式x-140的解集為{x|xwl}.

由題意得不等式x2+(a+2)x+2a<0的解集是{x|xwl}的子集.

不等式x2+(a+2)x+2a<0,即(x+2)(x+a)40.

①當a=2時，不等式的解集為{-2},滿足{-2}q{x|x41};

②當a<2時，不等式的解集為兇-2wxw-a},

^{x|-2<x<-a}￡{x|x<l},

則-awl,所以-lwa<2;

③當a>2時，不等式的解集為{x卜a4x4-2},滿足{x卜a4x4-2}q{x|x41}.

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍為

故選B.

6.8不等式(ax-l)2<x2即不等式(ax-l)2-x2<0,即不等式[(a+l)x-l][(a-l)x-

1]<0恰有2個整數(shù)解，

.?.(a+l)(a-l)>0,解得a>l或a<-l.

當a>1時,不等式的解集為上島<x<用，

個整數(shù)解為1,2,

??.2+3,即2a-2<l<3a-3>^1<a<|;

當a<-1時，不等式的解集為同今<x〈用，

個整數(shù)解為-L-2,

???-34今<-2,即-2(a+l)<lw-3(a+l),

解得-|<a

綜上所述，實數(shù)a的取值范圍是-|<awW或處a<|.故選B.

7.解析⑴???M為空集，

.??A=4m2-4(m+2)<0,即m2-m-2<0,

角隼得-1<m<2/

」?實數(shù)m的取'值范圍為

(2)由⑴知則0<m+l<3,

?m2+2m+5_(m+l)2+4

m+1m+1

=(m+l)+^>2j(m+i)-^=4,

當且僅當m+l=《p即m=l時等號成立.

「?/羅的最小值為4.

⑶設函數(shù)y=x2-2mx+m+2,結合其圖象(圖略)可知，

當M不為空集時而MRx"xw4},得

2

』=4m-4(m+2)>0;

l2-2m+m+2>0,

{42-8m+m+2>0,

1<m<4,

解得24m端.

綜上,實數(shù)m的取值范圍為jm|2<m<y］.

8.P當a=0時,原式為12>0,符合題意;當a>0時,△=4a2-48a<0,解得

0<a<12;當a<0時，易知不符合題意.綜上,a的取值范圍為。12).

9.A令y=2x2-5x-L故問題轉(zhuǎn)化為求函數(shù)y=2x2-5x-l在［1,3］上的最大值.

因為拋物線y=2x2-5x-l的對稱軸為直線x=?且|i-*卜臼所以ymax=2x9-

5x3-l=2,故m<2.

10.答案(-oo,-l)U(0,+oo)

解析因為對任意x>0