新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識總結(jié) 數(shù)列（含解析）

第四章數(shù)列要點一：數(shù)列的通項公式數(shù)列的通項公式一個數(shù)列SKIPIF1<0的第n項SKIPIF1<0與項數(shù)n之間的函數(shù)關(guān)系，如果可以用一個公式SKIPIF1<0來表示，我們就把這個公式叫做這個數(shù)列的通項公式.要點詮釋：①不是每個數(shù)列都能寫出它的通項公式.如數(shù)列1，2，3，―1，4，―2，就寫不出通項公式；②有的數(shù)列雖然有通項公式，但在形式上又不一定是唯一的.如：數(shù)列―1，1，―1，1，…的通項公式可以寫成SKIPIF1<0，也可以寫成SKIPIF1<0；③僅僅知道一個數(shù)列的前面的有限項，無其他說明，數(shù)列是不能確定的.通項SKIPIF1<0與前n項和SKIPIF1<0的關(guān)系：任意數(shù)列SKIPIF1<0的前n項和SKIPIF1<0；SKIPIF1<0要點詮釋：由前n項和SKIPIF1<0求數(shù)列通項時，要分三步進行：（1）求SKIPIF1<0，（2）求出當(dāng)n≥2時的SKIPIF1<0，（3）如果令n≥2時得出的SKIPIF1<0中的n=1時有SKIPIF1<0成立，則最后的通項公式可以統(tǒng)一寫成一個形式，否則就只能寫成分段的形式.數(shù)列的遞推式：如果已知數(shù)列的第一項或前若干項，且任一項SKIPIF1<0與它的前一項SKIPIF1<0或前若干項間的關(guān)系可以用一個公式來表示，那么這個公式就叫做這個數(shù)列的遞推公式，簡稱遞推式.要點詮釋：利用遞推關(guān)系表示數(shù)列時，需要有相應(yīng)個數(shù)的初始值，可用湊配法、換元法等.要點二：等差數(shù)列判定一個數(shù)列為等差數(shù)列的常用方法①定義法：SKIPIF1<0（常數(shù)）SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等差數(shù)列；②中項公式法：SKIPIF1<0是等差數(shù)列；③通項公式法：SKIPIF1<0（p，q為常數(shù)）SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等差數(shù)列；④前n項和公式法：SKIPIF1<0（A，B為常數(shù)）SKIPIF1<0SKIPIF1<0是等差數(shù)列.要點詮釋：對于探索性較強的問題，則應(yīng)注意從特例入手，歸納猜想一般特性.等差數(shù)列的有關(guān)性質(zhì)：（1）通項公式的推廣：SKIPIF1<0（2）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；特別，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（3）等差數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（4）公差為d的等差數(shù)列中，連續(xù)k項和SKIPIF1<0，…組成新的等差數(shù)列.（5）等差數(shù)列SKIPIF1<0，前n項和為SKIPIF1<0①當(dāng)n為奇數(shù)時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；②當(dāng)n為偶數(shù)時，SKIPIF1<0；SKIPIF1<0；SKIPIF1<0.（6）等差數(shù)列SKIPIF1<0，前n項和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（m、n∈N*，且m≠n）.（7）等差數(shù)列SKIPIF1<0中，若m+n=p+q（m、n、p、q∈N*，且m≠n，p≠q），則SKIPIF1<0.（8）等差數(shù)列SKIPIF1<0中，公差d，依次每k項和：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0成等差數(shù)列，新公差SKIPIF1<0.等差數(shù)列前n項和SKIPIF1<0的最值問題：等差數(shù)列SKIPIF1<0中=1\*GB3①若a1＞0，d＜0，SKIPIF1<0有最大值，可由不等式組SKIPIF1<0來確定n；=2\*GB3②若a1＜0，d＞0，SKIPIF1<0有最小值，可由不等式組SKIPIF1<0來確定n，也可由前n項和公式SKIPIF1<0來確定n.要點詮釋：等差數(shù)列的求和中的函數(shù)思想是解決最值問題的基本方法.要點三：等比數(shù)列判定一個數(shù)列是等比數(shù)列的常用方法（1）定義法：SKIPIF1<0（q是不為0的常數(shù)，n∈N*）SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（2）通項公式法：SKIPIF1<0（c、q均是不為0的常數(shù)n∈N*）SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（3）中項公式法：SKIPIF1<0（SKIPIF1<0，SKIPIF1<0）SKIPIF1<0是等比數(shù)列.等比數(shù)列的主要性質(zhì)：（1）通項公式的推廣：SKIPIF1<0（2）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0.特別，若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（3）等比數(shù)列SKIPIF1<0中，若SKIPIF1<0SKIPIF1<0.（4）公比為q的等比數(shù)列中，連續(xù)k項和SKIPIF1<0，…組成新的等比數(shù)列.（5）等比數(shù)列SKIPIF1<0，前n項和為SKIPIF1<0，當(dāng)n為偶數(shù)時，SKIPIF1<0.（6）等比數(shù)列SKIPIF1<0中，公比為q，依次每k項和：SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0…成公比為qk的等比數(shù)列.（7）若SKIPIF1<0為正項等比數(shù)列，則SKIPIF1<0（a＞0且a≠1）為等差數(shù)列；反之，若SKIPIF1<0為等差數(shù)列，則SKIPIF1<0（a＞0且a≠1）為等比數(shù)列.（8）等比數(shù)列SKIPIF1<0前n項積為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0等比數(shù)列的通項公式與函數(shù)：SKIPIF1<0①方程觀點：知二求一；②函數(shù)觀點：SKIPIF1<0SKIPIF1<0時，是關(guān)于n的指數(shù)型函數(shù)；SKIPIF1<0時，是常數(shù)函數(shù)；要點詮釋：當(dāng)SKIPIF1<0時，若SKIPIF1<0，等比數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列；若SKIPIF1<0，等比數(shù)列SKIPIF1<0是遞減數(shù)列；當(dāng)SKIPIF1<0時，若SKIPIF1<0，等比數(shù)列SKIPIF1<0是遞減數(shù)列；若SKIPIF1<0，等比數(shù)列SKIPIF1<0是遞增數(shù)列；當(dāng)SKIPIF1<0時，等比數(shù)列SKIPIF1<0是擺動數(shù)列；當(dāng)SKIPIF1<0時，等比數(shù)列SKIPIF1<0是非零常數(shù)列.要點四：常見的數(shù)列求和方法公式法：如果一個數(shù)列是等差數(shù)列或者等比數(shù)列，直接用其前n項和公式求和.分組求和法：將通項拆開成等差數(shù)列和等比數(shù)列相加或相減的形式，然后分別對等差數(shù)列和等比數(shù)列求和.如：an=2n+3n.裂項相消求和法：把數(shù)列的通項拆成兩項之差，正負(fù)相消，剩下首尾若干項的方法.一般通項的分子為非零常數(shù)，分母為非常數(shù)列的等差數(shù)列的兩項積的形式.若SKIPIF1<0，分子為非零常數(shù)，分母為非常數(shù)列的等差數(shù)列的兩項積的形式,則SKIPIF1<0，如an=SKIPIF1<0SKIPIF1<0錯位相減求和法：通項為非常數(shù)列的等差數(shù)列與等比數(shù)列的對應(yīng)項的積的形式：SKIPIF1<0,其中SKIPIF1<0是公差d≠0等差數(shù)列，SKIPIF1<0是公比q≠1等比數(shù)列，如an=(2n-1)2n.一般步驟：SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0所以有SKIPIF1<0要點詮釋：求和中觀察數(shù)列的類型，選擇合適的變形手段，注意錯位相減中變形的要點.要點五：數(shù)列應(yīng)用問題數(shù)列應(yīng)用問題是中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)與研究的一個重要內(nèi)容,解答數(shù)學(xué)應(yīng)用問題的核心是建立數(shù)學(xué)模型,有關(guān)平均增長率、利率（復(fù)利）以及等值增減等實際問題，需利用數(shù)列知識建立數(shù)學(xué)模型.建立數(shù)學(xué)模型的一般方法步驟.①認(rèn)真審題，準(zhǔn)確理解題意，達到如下要求：⑴明確問題屬于哪類應(yīng)用問題；⑵弄清題目中的主要已知事項；⑶明確所求的結(jié)論是什么.②抓住數(shù)量關(guān)系，聯(lián)想數(shù)學(xué)知識和數(shù)學(xué)方法，恰當(dāng)引入?yún)?shù)變量或適當(dāng)建立坐標(biāo)系，將文字語言翻譯成數(shù)學(xué)語言，將數(shù)量關(guān)系用數(shù)學(xué)式子表達.③將實際問題抽象為數(shù)學(xué)問題，將已知與所求聯(lián)系起來，據(jù)題意列出滿足題意的數(shù)學(xué)關(guān)系式（如函數(shù)關(guān)系、方程、不等式）.要點詮釋：數(shù)列的建模過程是解決數(shù)列應(yīng)用題的重點，要正確理解題意，恰當(dāng)設(shè)出數(shù)列的基本量.要點六數(shù)學(xué)歸納法一般地，證明一個與正整數(shù)SKIPIF1<0有關(guān)的命題，可按下列步驟進行：（1）歸納奠基：證明當(dāng)SKIPIF1<0取第一個值SKIPIF1<0時命題成立；（2）歸納遞推：假設(shè)當(dāng)SKIPIF1<0時命題成立，證明當(dāng)SKIPIF1<0時命題也成立．只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從SKIPIF1<0開始的所有正整數(shù)SKIPIF1<0都成立．上述證明方法叫做數(shù)學(xué)歸納法，數(shù)學(xué)歸納法的框圖表示如下：歸納奠基歸納奠基歸納遞推驗證當(dāng)SKIPIF1<0時命題成立若當(dāng)SKIPIF1<0時命題成立，證明當(dāng)SKIPIF1<0時命題也成立命題對從SKIPIF1<0開始的所有正整數(shù)SKIPIF1<0都成立要點詮釋一般地，對于一些可以遞推的與正整數(shù)有關(guān)的命題，都可以用數(shù)學(xué)歸納法來證明．其常見應(yīng)用類型有：（1）證明恒等式；（2）證明不等式；（3）整除性的證明；（4）探求平面幾何中的問題；（5）探求數(shù)列的通項．專題一求數(shù)列的通項公式數(shù)列的通項公式是數(shù)列的核心內(nèi)容之一,它如同函數(shù)中的解析式一樣，有了解析式就可以研究函數(shù)的性質(zhì)，而有了數(shù)列的通項公式便可以求出數(shù)列中的任何一項．所以求數(shù)列的通項公式往往是解題的關(guān)鍵點和突破口，常用的求數(shù)列通項公式的方法有：（1）觀察法：就是觀察數(shù)列的特征，找出各項共同的構(gòu)成規(guī)律，歸納出通項公式．（2）遞推公式法：就是根據(jù)數(shù)列的遞推公式，采用迭代、疊加、累乘、轉(zhuǎn)化等方法產(chǎn)生SKIPIF1<0與SKIPIF1<0（或SKIPIF1<0）的關(guān)系，得出通項公式．（3）前SKIPIF1<0項和公式法：就是利用SKIPIF1<0，求通項公式，這里應(yīng)當(dāng)注意檢驗SKIPIF1<0是否符合SKIPIF1<0時的形式．1．利用觀察法求通項公式例1將乒乓球堆成若干堆“正三棱錐”形的展品，其中第1堆只有1層，就一個球；第2,3,4，…堆最底層（第一層）分別按人頭SKIPIF1<0所示方式固定擺放，從第二層開始，每層的小球自然壘放在下一層之上，第SKIPIF1<0堆第SKIPIF1<0層就放一個乒乓球．以SKIPIF1<0表示第SKIPIF1<0堆的乒乓球總數(shù)，則SKIPIF1<0；SKIPIF1<0（答案用SKIPIF1<0表示）．解析：方法1：SKIPIF1<0表示第3堆的乒乓球總數(shù)，則SKIPIF1<0．設(shè)第SKIPIF1<0堆的最底層有SKIPIF1<0個乒乓球，則SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．方法2．易知SKIPIF1<0．由題意，知SKIPIF1<0比SKIPIF1<0多最底層，有SKIPIF1<0個，SKIPIF1<0比SKIPIF1<0多最底層，有SKIPIF1<0個，SKIPIF1<0比SKIPIF1<0多最底層，有SKIPIF1<0個，……,SKIPIF1<0比SKIPIF1<0多最底層，有SKIPIF1<0個，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．所以由累加法可得SKIPIF1<0．答案：SKIPIF1<0SKIPIF1<0解后反思：利用觀察法求通項公式，體現(xiàn)了由特殊到一般的認(rèn)識事物的規(guī)律．解決這類問題一定要注意觀察項與項數(shù)的關(guān)系和相鄰項間的關(guān)系．2．公式法求通項公式等差數(shù)列與等比數(shù)列是兩種常見且重要的數(shù)列，所謂公式法就是先分析后項與前項的差或比是否符合等差數(shù)列、等比數(shù)列的定義．求通項時，只需先求出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0或SKIPIF1<0與SKIPIF1<0，再代入等差數(shù)列通項公式SKIPIF1<0或等比數(shù)列通項公式SKIPIF1<0中即可．例2已知等差數(shù)列SKIPIF1<0滿足：SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0成等比數(shù)列．（1）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式；（2）記SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，是否存在正整數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0？若存在，求SKIPIF1<0的最小值；若不存在，說明理由．分析：（1）設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，利用等比數(shù)列的性質(zhì)得到SKIPIF1<0，并利用SKIPIF1<0表示SKIPIF1<0來求解公差SKIPIF1<0，進而求出通項；（2）首先利用（1）的結(jié)論與等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項和公式求解SKIPIF1<0，然后根據(jù)列不等式SKIPIF1<0求解．解：設(shè)等差數(shù)列SKIPIF1<0的公差為SKIPIF1<0，依題意，知SKIPIF1<0成等比數(shù)列，故SKIPIF1<0，化簡，得SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，故數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0或SKIPIF1<0．（2）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，顯然SKIPIF1<0，此時不存在正整數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0或SKIPIF1<0（舍去），此時存在正整數(shù)SKIPIF1<0，使得SKIPIF1<0成立，SKIPIF1<0的最小值為SKIPIF1<0．綜上，當(dāng)SKIPIF1<0時，不存在滿足題意的SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，存在滿足題意的SKIPIF1<0，其最小值為SKIPIF1<0．解后反思：運用公式法求數(shù)列的通項公式的關(guān)鍵是在已知數(shù)列是等差數(shù)列還是等比數(shù)列的前提下，先求出首相和公差或公比，再代入求出相應(yīng)的通項公式．3．利用SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系求通項公式如果給出條件中是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系式，可利用SKIPIF1<0，先求出SKIPIF1<0，若計算出的SKIPIF1<0中，當(dāng)SKIPIF1<0時，也有SKIPIF1<0,則可合并為一個通項公式，否則要分段表述．例3設(shè)各項均為正數(shù)的數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0滿足SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0的值；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式．分析（1）有SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系直接求出SKIPIF1<0的值；（2）利用前SKIPIF1<0項和與第SKIPIF1<0項的關(guān)系求解．解：（1）當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，解得SKIPIF1<0（負(fù)值舍去）．（2）由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．又已知各項均為正數(shù)，故SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0也滿足上式，所以SKIPIF1<0．解后反思：前SKIPIF1<0項和的關(guān)系式有兩種形式：一種是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系式，記為SKIPIF1<0，可由公式SKIPIF1<0直接求出SKIPIF1<0，但要注意SKIPIF1<0與SKIPIF1<0兩種情況能否統(tǒng)一；另一種是SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系式，記為SKIPIF1<0，可由它求通項SKIPIF1<0．4．利用累加法求通項公式對于形如SKIPIF1<0形的遞推公式求通項公式，（1）當(dāng)SKIPIF1<0為常數(shù)時，為等差數(shù)列，則SKIPIF1<0；（2）當(dāng)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的函數(shù)時，用累加法，方法如下：由SKIPIF1<0，得當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0……SKIPIF1<0SKIPIF1<0以上SKIPIF1<0個等式累加，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．為了書寫方便，也可以這樣寫：因為當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0（3）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0可以是關(guān)于SKIPIF1<0的一次函數(shù)、二次函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、分式函數(shù)，求SKIPIF1<0．①若SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的一次函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等差數(shù)列求和；②若SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的二次函數(shù)，累加后可分組求和；③若SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的指數(shù)函數(shù)，累加后可轉(zhuǎn)化為等比數(shù)列求和；④若SKIPIF1<0是關(guān)于SKIPIF1<0的分式函數(shù)，累加后可裂項求和．例4已知在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，求數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式．分析：由于給出了數(shù)列SKIPIF1<0中連續(xù)兩項的差，故可考慮用累加法求解．解：由SKIPIF1<0,得SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，以上SKIPIF1<0個等式兩邊分別相加，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0．又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．因為當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0也適合上式，所以數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）．解后反思：累加法是從SKIPIF1<0開始，累加到SKIPIF1<0，此時SKIPIF1<0，所以求出的SKIPIF1<0只滿足SKIPIF1<0的所有項，容易漏掉SKIPIF1<0這一項的檢驗．在學(xué)習(xí)過程中，要勇氣重視以減少不必要的失分．5．利用累乘法求通項公式對于由形如SKIPIF1<0型的遞推公式求通項公式．（1）當(dāng)SKIPIF1<0為常數(shù)時，即SKIPIF1<0（其中SKIPIF1<0是不為SKIPIF1<0的常數(shù)），此時數(shù)列為等比數(shù)列，SKIPIF1<0；（2）當(dāng)SKIPIF1<0為SKIPIF1<0的函數(shù)時，用累乘法．由SKIPIF1<0，得當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．例5如圖所示，互不相同的點SKIPIF1<0和分別在角SKIPIF1<0的兩條邊上，所有SKIPIF1<0相互平行，且所有梯形SKIPIF1<0的面積均相等．設(shè)SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式是．分析：利用梯形面積之間的關(guān)系探究出SKIPIF1<0與SKIPIF1<0之間的關(guān)系，累乘后即可得出通項公式．解析：令SKIPIF1<0，因為所有SKIPIF1<0相互平行且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，……，SKIPIF1<0，以上各式SKIPIF1<0，因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．答案：SKIPIF1<0．解后反思：SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為常數(shù)時，則數(shù)列為等比數(shù)列，可用公式法求通項公式；當(dāng)SKIPIF1<0為關(guān)于SKIPIF1<0的表達式時，則用累乘法求通項公式．6．利用構(gòu)造法求通項公式形如SKIPIF1<0轉(zhuǎn)化為SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為待定系數(shù)）的形式，比較SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的系數(shù)，得SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．所以有SKIPIF1<0，因此數(shù)列SKIPIF1<0是首項為SKIPIF1<0,公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列，于是SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．例6在數(shù)列SKIPIF1<0中，SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的通項公式．分析：構(gòu)造以SKIPIF1<0為公比的等比數(shù)列求解．解：方法1：因為SKIPIF1<0,①所以SKIPIF1<0②①SKIPIF1<0②，得SKIPIF1<0令SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0為等比數(shù)列，公比為SKIPIF1<0，首項SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．即SKIPIF1<0③由①③兩式，得SKIPIF1<0．方法2：令SKIPIF1<0（SKIPIF1<0為常數(shù)），則SKIPIF1<0，把該式與已知SKIPIF1<0對應(yīng)得SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0．令SKIPIF1<0，則數(shù)列SKIPIF1<0是首相為SKIPIF1<0，公比為SKIPIF1<0的等比數(shù)列．所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0．解后反思：方法1是解數(shù)列問題經(jīng)常采用的方法；方法2中利用待定系數(shù)法確定常數(shù)SKIPIF1<0，構(gòu)造新的等比數(shù)列，進而求通項公式，該方法也是常用的解法．專題二數(shù)列前SKIPIF1<0項和的求法求數(shù)列的前SKIPIF1<0項和是數(shù)列運算的重要內(nèi)容之一，也是歷年高考考查的熱點．對于等差數(shù)列、等比數(shù)列，可以直接利用求和公式計算，對于一些具有特殊結(jié)構(gòu)的運算數(shù)列，常用倒序相加法、裂項相消法、錯位相減法等求和．1．公式法如果一個數(shù)列的每一項是由幾個獨立的項組合而成，并且各獨立項也可組成等差數(shù)列或等比數(shù)列，則該數(shù)列的前SKIPIF1<0項和可考慮拆項后利用公式求解．例7已知數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式SKIPIF1<0，求由其奇數(shù)項所組成的數(shù)列的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．分析：由SKIPIF1<0，知SKIPIF1<0是等比數(shù)列，所以其奇數(shù)項也成等比數(shù)列，確定其首項和公比，直接利用等比數(shù)列的前SKIPIF1<0項公式求和即可．解：由SKIPIF1<0，得SKIPIF1<0．又因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0是等比數(shù)列，其公比SKIPIF1<0，首項SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0的奇數(shù)項也成等比數(shù)列，公比為SKIPIF1<0，首項為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0SKIPIF1<0．解后反思：若已知是等差數(shù)列或等比數(shù)列，則直接利用相應(yīng)的前SKIPIF1<0項和公式求解．2．倒序相加法這是推導(dǎo)等差數(shù)列的前SKIPIF1<0項和公式時所用的方法，也就是將一個數(shù)列倒過來排列（反序），當(dāng)它與原數(shù)列相加時，若有公因式可提，并且剩余項的和易于求得，則這樣的舒蕾可用倒序相加法求和．例8已知SKIPIF1<0，其中SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0．分析：觀察首項和末項的真數(shù)的積與第二項和倒數(shù)第二項的真數(shù)的積相同，可用倒序相加法求和．解：將和式中各項倒序排列，得SKIPIF1<0將此式與原式兩邊對應(yīng)相加，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．解后反思：對某些前后具有對稱性的數(shù)列，可以運用倒序相加法求其前SKIPIF1<0項和．3．錯位相減法若數(shù)列SKIPIF1<0為等差數(shù)列，數(shù)列SKIPIF1<0為等比數(shù)列，由這兩個數(shù)列的對應(yīng)項乘積組成的新數(shù)列為SKIPIF1<0，當(dāng)求該新數(shù)列的前SKIPIF1<0項的和時，常常采用將SKIPIF1<0的各項乘以公比SKIPIF1<0，并向后錯位一項與SKIPIF1<0的同次項對應(yīng)相減，即可轉(zhuǎn)化為特殊數(shù)列的求和，所以這種數(shù)列求和的方法稱為錯位相減法．例9數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和為SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0．（1）求SKIPIF1<0；（2）求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．分析：（1）先利用SKIPIF1<0與SKIPIF1<0的關(guān)系求出SKIPIF1<0，再分類討論得出SKIPIF1<0；（2）利用錯位相減法求前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．解：（1）因為SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．又因為SKIPIF1<0．所以SKIPIF1<0是首項為1，公比為3的等比數(shù)列．所以SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0時SKIPIF1<0，且SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．（2）SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0；當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0，①所以SKIPIF1<0，②①SKIPIF1<0②，得SKIPIF1<0SKIPIF1<0,所以SKIPIF1<0．又因為SKIPIF1<0也滿足上式，所以SKIPIF1<0．解后反思：利用錯位相減法求和時，一定要注意作差后項的符號及項的變化．4．拆項（分組）求和法如果一個數(shù)列中連續(xù)分段的和具有一定的規(guī)律性，那么可考慮分組求和．分組求和實際上就是首先通過“拆”和“組”的手段把問題劃歸為等差數(shù)列或等比數(shù)列，然后由等差數(shù)列、等比數(shù)列求和公式求解．解題時要根據(jù)各組的特點，對SKIPIF1<0的取值進行討論．例10設(shè)SKIPIF1<0為數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和，SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（1）SKIPIF1<0；（2）SKIPIF1<0．分析：（1）根據(jù)SKIPIF1<0建立關(guān)于SKIPIF1<0的關(guān)系式，并由SKIPIF1<0的關(guān)系式歸納尋找其規(guī)律后求解；（2）將遞推關(guān)系應(yīng)用到SKIPIF1<0中，將和式分組后求和．解析：（1）因為SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0，所以當(dāng)SKIPIF1<0時，SKIPIF1<0．（2）當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0，當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0，可得當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0，故SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．答案：（1）SKIPIF1<0（2）SKIPIF1<0解后反思：數(shù)列求和應(yīng)從通項公式入手，若無通項公式，則先求其通項公式，再通過對通項公式的變形，轉(zhuǎn)化為求等差數(shù)列或等比數(shù)列的前SKIPIF1<0項和．5．并項求和法一個數(shù)列的前SKIPIF1<0項和中，若可兩兩結(jié)合求解，則稱之為并項求和．形如SKIPIF1<0的類型，可采用兩項合并求解．例如，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．例11數(shù)列SKIPIF1<0的通項公式為SKIPIF1<0，求：（1）數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0；（2）數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．分析：形如SKIPIF1<0，運用并項求和法，先判斷相鄰兩項和的關(guān)系．SKIPIF1<0，所以SKIPIF1<0，即SKIPIF1<0可以兩兩合并進行求解．由于SKIPIF1<0的奇偶性未知，應(yīng)分SKIPIF1<0為奇數(shù)和SKIPIF1<0為偶數(shù)兩種情況討論．解：（1）SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．（2）當(dāng)SKIPIF1<0為偶數(shù)時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0．因為SKIPIF1<0成等差數(shù)列，共SKIPIF1<0項，所以SKIPIF1<0．當(dāng)SKIPIF1<0為奇數(shù)時，SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．故SKIPIF1<0．解后反思：在并項求和時，要先判斷項數(shù)的多少，由于是兩兩合并，就要知道最后一項是奇數(shù)項還是偶數(shù)項，若不確定，則需分類討論．6．裂項相消法對于裂項后明顯有能夠相消的項的一類數(shù)列，在求和時常用“裂項法”，分式的求和多利用此法．可用待定系數(shù)法對通項公式進行裂項，相消時應(yīng)注意消去項的規(guī)律，即消去哪些項，保留哪些項．常見的裂項公式有：①SKIPIF1<0；②若SKIPIF1<0為等差數(shù)列，公差為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0等．例12求數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和SKIPIF1<0．分析：先求出通項公式SKIPIF1<0，對通項公式化簡后，再分成兩項的差，使用裂項相消法求和．解：數(shù)列的通項公式SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0SKIPIF1<0SKIPIF1<0．解后反思：（1）裂項原則：直到發(fā)現(xiàn)被消去項的規(guī)律為止；（2）消項規(guī)律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊剩倒數(shù)第幾項．專題三數(shù)列的綜合應(yīng)用數(shù)列（特別是等差數(shù)列與等比數(shù)列）涉及的內(nèi)容多、聯(lián)系多、綜合性強，在處理與數(shù)列有關(guān)的綜合問題是，一定要靈活應(yīng)用數(shù)列的基本知識與方法．?dāng)?shù)列始終處在知識的交匯點上，常與函數(shù)、方程、不等式等其他知識交匯進行命題．例13以數(shù)列SKIPIF1<0的任意相鄰兩項為橫坐標(biāo)、縱坐標(biāo)的點SKIPIF1<0均在一次函數(shù)SKIPIF1<0的圖像上，數(shù)列SKIPIF1<0．（1）求證：數(shù)列SKIPIF1<0是等比數(shù)列；（2）設(shè)數(shù)列SKIPIF1<0的前SKIPIF1<0項和分別為SKIPIF1<0，若SKIPIF1<0，求SKIPIF1<0的值．分析：本題考查等比數(shù)列與函數(shù)的知識．先由SKIPIF1<0在一次函數(shù)SKIPIF1<0上，結(jié)合SKIPIF1<0，求出SKIPIF1<0