2022年江西省樟村中學(xué)高三適應(yīng)性調(diào)研考試數(shù)學(xué)試題含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷注意事項(xiàng):1．答題前，考生先將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)碼填寫(xiě)清楚，將條形碼準(zhǔn)確粘貼在條形碼區(qū)域內(nèi)。2．答題時(shí)請(qǐng)按要求用筆。3．請(qǐng)按照題號(hào)順序在答題卡各題目的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書(shū)寫(xiě)的答案無(wú)效；在草稿紙、試卷上答題無(wú)效。4．作圖可先使用鉛筆畫(huà)出，確定后必須用黑色字跡的簽字筆描黑。5．保持卡面清潔，不要折暴、不要弄破、弄皺，不準(zhǔn)使用涂改液、修正帶、刮紙刀。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知棱錐的三視圖如圖所示，其中俯視圖是等腰直角三角形，則該三棱錐的四個(gè)面中，最大面積為（）A． B． C． D．2．中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升，其三視圖如圖所示（單位：寸），若取3，當(dāng)該量器口密閉時(shí)其表面積為42.2（平方寸），則圖中x的值為()A．3 B．3.4 C．3.8 D．43．已知直三棱柱中，，，，則異面直線與所成的角的正弦值為（）．A． B． C． D．4．已知等差數(shù)列{an}，則“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”的（）A．充分而不必要條件B．必要而不充分條件C．充分必要條件D．既不充分也不必要條件5．已知函數(shù)，滿足對(duì)任意的實(shí)數(shù)，都有成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A． B． C． D．6．正三棱錐底面邊長(zhǎng)為3，側(cè)棱與底面成角，則正三棱錐的外接球的體積為（）A． B． C． D．7．已知四棱錐中，平面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，，為的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值為（）A． B． C． D．8．定義在R上的函數(shù)滿足，為的導(dǎo)函數(shù)，已知的圖象如圖所示，若兩個(gè)正數(shù)滿足，的取值范圍是（）A． B． C． D．9．設(shè)，，，則的大小關(guān)系是()A． B． C． D．10．已知集合，，則（）A． B．C． D．11．已知直線與圓有公共點(diǎn)，則的最大值為（）A．4 B． C． D．12．盒子中有編號(hào)為1，2，3，4，5，6，7的7個(gè)相同的球，從中任取3個(gè)編號(hào)不同的球，則取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的概率是（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．中，角的對(duì)邊分別為，且成等差數(shù)列，若，，則的面積為_(kāi)_________．14．在△ABC中，()⊥(＞1)，若角A的最大值為，則實(shí)數(shù)的值是_______．15．如圖，在中，，，，點(diǎn)在邊上，且，將射線繞著逆時(shí)針?lè)较蛐D(zhuǎn)，并在所得射線上取一點(diǎn)，使得，連接，則的面積為_(kāi)_________．16．已知（為虛數(shù)單位），則復(fù)數(shù)________．三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（12分）如圖，在底面邊長(zhǎng)為1，側(cè)棱長(zhǎng)為2的正四棱柱中，P是側(cè)棱上的一點(diǎn)，.（1）若，求直線AP與平面所成角；（2）在線段上是否存在一個(gè)定點(diǎn)Q，使得對(duì)任意的實(shí)數(shù)m，都有，并證明你的結(jié)論.18．（12分）已知函數(shù).（1）當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，求的最小值；（2）設(shè)數(shù)列，其前項(xiàng)和為，證明：.19．（12分）數(shù)列滿足，，其前n項(xiàng)和為，數(shù)列的前n項(xiàng)積為.（1）求和數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）設(shè)，求的前n項(xiàng)和，并證明：對(duì)任意的正整數(shù)m、k，均有.20．（12分）已知.（1）若曲線在點(diǎn)處的切線也與曲線相切，求實(shí)數(shù)的值；（2）試討論函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù).21．（12分）已知函數(shù)，函數(shù)在點(diǎn)處的切線斜率為0.（1）試用含有的式子表示，并討論的單調(diào)性；（2）對(duì)于函數(shù)圖象上的不同兩點(diǎn)，，如果在函數(shù)圖象上存在點(diǎn)，使得在點(diǎn)處的切線，則稱存在“跟隨切線”.特別地，當(dāng)時(shí)，又稱存在“中值跟隨切線”.試問(wèn)：函數(shù)上是否存在兩點(diǎn)使得它存在“中值跟隨切線”，若存在，求出的坐標(biāo)，若不存在，說(shuō)明理由.22．（10分）新型冠狀病毒肺炎疫情發(fā)生以來(lái)，電子購(gòu)物平臺(tái)成為人們的熱門(mén)選擇.為提高市場(chǎng)銷售業(yè)績(jī)，某公司設(shè)計(jì)了一套產(chǎn)品促銷方案，并在某地區(qū)部分營(yíng)銷網(wǎng)點(diǎn)進(jìn)行試點(diǎn).運(yùn)作一年后，對(duì)“采用促銷”和“沒(méi)有采用促銷”的營(yíng)銷網(wǎng)點(diǎn)各選取了50個(gè)，對(duì)比上一年度的銷售情況，分別統(tǒng)計(jì)了它們的年銷售總額，并按年銷售總額增長(zhǎng)的百分點(diǎn)分成5組：，分別統(tǒng)計(jì)后制成如圖所示的頻率分布直方圖，并規(guī)定年銷售總額增長(zhǎng)10個(gè)百分點(diǎn)及以上的營(yíng)銷網(wǎng)點(diǎn)為“精英店”.（1）請(qǐng)你根據(jù)題中信息填充下面的列聯(lián)表，并判斷是否有的把握認(rèn)為“精英店與采用促銷活動(dòng)有關(guān)”；采用促銷沒(méi)有采用促銷合計(jì)精英店非精英店合計(jì)5050100（2）某“精英店”為了創(chuàng)造更大的利潤(rùn)，通過(guò)分析上一年度的售價(jià)(單位：元)和日銷量(單位：件)的一組數(shù)據(jù)后決定選擇作為回歸模型進(jìn)行擬合.具體數(shù)據(jù)如下表，表中的：①根據(jù)上表數(shù)據(jù)計(jì)算的值；②已知該公司成本為10元/件，促銷費(fèi)用平均5元/件，根據(jù)所求出的回歸模型，分析售價(jià)定為多少時(shí)日利潤(rùn)可以達(dá)到最大.附①：附②：對(duì)應(yīng)一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘法估計(jì)分別為.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

由三視圖可知，該三棱錐如圖,其中底面是等腰直角三角形，平面,結(jié)合三視圖求出每個(gè)面的面積即可.【詳解】由三視圖可知，該三棱錐如圖所示：其中底面是等腰直角三角形，平面,由三視圖知，因?yàn)?,所以,所以,因?yàn)闉榈冗吶切?，所?所以該三棱錐的四個(gè)面中，最大面積為.故選：B【點(diǎn)睛】本題考查三視圖還原幾何體并求其面積;考查空間想象能力和運(yùn)算求解能力;三視圖正確還原幾何體是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.2．D【解析】

根據(jù)三視圖即可求得幾何體表面積，即可解得未知數(shù).【詳解】由圖可知，該幾何體是由一個(gè)長(zhǎng)寬高分別為和一個(gè)底面半徑為，高為的圓柱組合而成.該幾何體的表面積為，解得，故選：D.【點(diǎn)睛】本題考查由三視圖還原幾何體，以及圓柱和長(zhǎng)方體表面積的求解，屬綜合基礎(chǔ)題.3．C【解析】

設(shè)M,N,P分別為和的中點(diǎn)，得出的夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角，根據(jù)中位線定理，結(jié)合余弦定理求出和的余弦值再求其正弦值即可.【詳解】根據(jù)題意畫(huà)出圖形:設(shè)M,N,P分別為和的中點(diǎn)，則的夾角為MN和NP夾角或其補(bǔ)角可知，.作BC中點(diǎn)Q，則為直角三角形；中，由余弦定理得，在中，在中，由余弦定理得所以故選：C【點(diǎn)睛】此題考查異面直線夾角，關(guān)鍵點(diǎn)通過(guò)平移將異面直線夾角轉(zhuǎn)化為同一平面內(nèi)的夾角，屬于較易題目.4．C【解析】試題分析：根據(jù)充分條件和必要條件的定義進(jìn)行判斷即可．解：在等差數(shù)列{an}中，若a2＞a1，則d＞0，即數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，若數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列，則a2＞a1，成立，即“a2＞a1”是“數(shù)列{an}為單調(diào)遞增數(shù)列”充分必要條件，故選C．考點(diǎn)：必要條件、充分條件與充要條件的判斷．5．B【解析】

由題意可知函數(shù)為上為減函數(shù)，可知函數(shù)為減函數(shù)，且，由此可解得實(shí)數(shù)的取值范圍.【詳解】由題意知函數(shù)是上的減函數(shù)，于是有，解得，因此，實(shí)數(shù)的取值范圍是．故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查利用分段函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)，一般要分析每支函數(shù)的單調(diào)性，同時(shí)還要考慮分段點(diǎn)處函數(shù)值的大小關(guān)系，考查運(yùn)算求解能力，屬于中等題.6．D【解析】

由側(cè)棱與底面所成角及底面邊長(zhǎng)求得正棱錐的高，再利用勾股定理求得球半徑后可得球體積．【詳解】如圖，正三棱錐中，是底面的中心，則是正棱錐的高，是側(cè)棱與底面所成的角，即＝60°，由底面邊長(zhǎng)為3得，∴．正三棱錐外接球球心必在上，設(shè)球半徑為，則由得，解得，∴．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查球體積，考查正三棱錐與外接球的關(guān)系．掌握正棱錐性質(zhì)是解題關(guān)鍵．7．B【解析】

由題意建立空間直角坐標(biāo)系，表示出各點(diǎn)坐標(biāo)后，利用即可得解.【詳解】平面，底面是邊長(zhǎng)為2的正方形，如圖建立空間直角坐標(biāo)系，由題意：，，，，，為的中點(diǎn)，.，，，異面直線與所成角的余弦值為即為.故選：B.【點(diǎn)睛】本題考查了空間向量的應(yīng)用，考查了空間想象能力，屬于基礎(chǔ)題.8．C【解析】

先從函數(shù)單調(diào)性判斷的取值范圍，再通過(guò)題中所給的是正數(shù)這一條件和常用不等式方法來(lái)確定的取值范圍.【詳解】由的圖象知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，而，故由可知.故，又有，綜上得的取值范圍是.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)單調(diào)性和不等式的基礎(chǔ)知識(shí)，屬于中檔題.9．A【解析】

選取中間值和，利用對(duì)數(shù)函數(shù)，和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解.【詳解】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)在上單調(diào)遞減,所以，因?yàn)橹笖?shù)函數(shù)在上單調(diào)遞增,所以,綜上可知,.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查利用對(duì)數(shù)函數(shù)和指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性比較大小;考查邏輯思維能力和知識(shí)的綜合運(yùn)用能力;選取合適的中間值是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題、常考題型.10．C【解析】

求出集合，計(jì)算出和，即可得出結(jié)論.【詳解】，，，.故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查交集和并集的計(jì)算，考查計(jì)算能力，屬于基礎(chǔ)題.11．C【解析】

根據(jù)表示圓和直線與圓有公共點(diǎn)，得到，再利用二次函數(shù)的性質(zhì)求解.【詳解】因?yàn)楸硎緢A，所以，解得，因?yàn)橹本€與圓有公共點(diǎn)，所以圓心到直線的距離，即，解得，此時(shí)，因?yàn)?，在遞增，所以的最大值.故選：C【點(diǎn)睛】本題主要考查圓的方程，直線與圓的位置關(guān)系以及二次函數(shù)的性質(zhì)，還考查了運(yùn)算求解的能力，屬于中檔題.12．B【解析】

由題意，取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的情況有，所有的情況有種，由古典概型的概率公式即得解.【詳解】由題意，取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的情況有，所有的情況有種由古典概型，取的3個(gè)球的編號(hào)的中位數(shù)恰好為5的概率為：故選：B【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合在古典概型中的應(yīng)用，考查了學(xué)生綜合分析，概念理解，數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力，屬于中檔題.二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．.【解析】

由A，B，C成等差數(shù)列得出B＝60°，利用正弦定理得進(jìn)而得代入三角形的面積公式即可得出．【詳解】∵A，B，C成等差數(shù)列，∴A+C＝2B，又A+B+C＝180°，∴3B＝180°，B＝60°．故由正弦定理，故所以S△ABC，故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查了等差數(shù)列的性質(zhì)，三角形的面積公式，考查正弦定理的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題．14．1【解析】

把向量進(jìn)行轉(zhuǎn)化，用表示，利用基本不等式可求實(shí)數(shù)的值.【詳解】，解得＝1．故答案為：1.【點(diǎn)睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積應(yīng)用，綜合了基本不等式，側(cè)重考查數(shù)學(xué)運(yùn)算的核心素養(yǎng).15．【解析】

由余弦定理求得，再結(jié)合正弦定理得，進(jìn)而得，得，則面積可求【詳解】由，得，解得.因?yàn)椋?，，所?又因?yàn)?，所?因?yàn)?，所?故答案為【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理的應(yīng)用，考查運(yùn)算求解能力，是中檔題16．【解析】

解：故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查復(fù)數(shù)代數(shù)形式的乘除運(yùn)算，屬于基礎(chǔ)題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明過(guò)程或演算步驟。17．（1）；（2）存在，Q為線段中點(diǎn)【解析】

解法一：（1）作出平面與平面的交線，可證平面，計(jì)算，，得出，從而得出的大??；（2）證明平面，故而可得當(dāng)Q為線段的中點(diǎn)時(shí).解法二，以為原點(diǎn)，以為建立空間直角坐標(biāo)系：（1）由，利用空間向量的數(shù)量積可求線面角；（2）設(shè)上存在一定點(diǎn)Q，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，可得，由向量垂直，數(shù)量積等于零即可求解.【詳解】（1）解法一：連接交于，設(shè)與平面的公共點(diǎn)為，連接，則平面平面，四邊形是正方形，，平面，平面，，又，平面，為直線AP與平面所成角，平面，平面，平面平面，，又為的中點(diǎn)，，，，直線AP與平面所成角為.（2）四邊形正方形，，平面，平面，，又,平面，又平面，，當(dāng)Q為線段中點(diǎn)時(shí)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有.解法二：（1）建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，則，，所以，，，又由，，則為平面的一個(gè)法向量，設(shè)直線AP與平面所成角為，則，故當(dāng)時(shí)，直線AP與平面所成角為.（2）若在上存在一定點(diǎn)Q，設(shè)此點(diǎn)的橫坐標(biāo)為，則，，依題意，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)要使，等價(jià)于，即，解得，即當(dāng)Q為線段中點(diǎn)時(shí)，對(duì)于任意的實(shí)數(shù)，都有.【點(diǎn)睛】本題考查了線面垂直的判定定理、線面角的計(jì)算，考查了空間向量在立體幾何中的應(yīng)用，屬于中檔題.18．（1）；（2）證明見(jiàn)解析.【解析】

（1），分，，三種情況推理即可；（2）由（1）可得，即，利用累加法即可得到證明.【詳解】（1）由，得.當(dāng)時(shí)，方程的，因此在區(qū)間上恒為負(fù)數(shù).所以時(shí)，，函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減.又，所以函數(shù)在區(qū)間上恒成立；當(dāng)時(shí)，方程有兩個(gè)不等實(shí)根，且滿足，所以函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)在區(qū)間上大于零，函數(shù)在區(qū)間上單增，又，所以函數(shù)在區(qū)間上恒大于零，不滿足題意；當(dāng)時(shí)，在區(qū)間上，函數(shù)在區(qū)間上恒為正數(shù)，所以在區(qū)間上恒為正數(shù)，不滿足題意；綜上可知：若時(shí)，不等式恒成立，的最小值為.（2）由第（1）知：若時(shí)，.若，則，即成立.將換成，得成立，即，以此類推，得，，上述各式相加，得，又，所以.【點(diǎn)睛】本題考查利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)恒成立問(wèn)題、證明數(shù)列不等式問(wèn)題，考查學(xué)生的邏輯推理能力以及數(shù)學(xué)計(jì)算能力，是一道難題.19．（1），；（2），證明見(jiàn)解析【解析】

（1）利用已知條件建立等量關(guān)系求出數(shù)列的通項(xiàng)公式．（2）利用裂項(xiàng)相消法求出數(shù)列的和，進(jìn)一步利用放縮法求出結(jié)論．【詳解】（1），，得是公比為的等比數(shù)列，，，當(dāng)時(shí)，數(shù)列的前項(xiàng)積為，則，兩式相除得，得，又得，；（2），故.【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：數(shù)列的通項(xiàng)公式的求法及應(yīng)用，數(shù)列的前項(xiàng)和的應(yīng)用，裂項(xiàng)相消法在數(shù)列求和中的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)換能力，屬于中檔題．20．（1）（2）答案不唯一具體見(jiàn)解析【解析】

（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，設(shè)切點(diǎn)的坐標(biāo)，用不同的方式求出兩種切線方程，但兩條切線本質(zhì)為同一條，從而得到方程組，再構(gòu)造函數(shù)研究其最大值，進(jìn)而求得；（2）對(duì)函數(shù)進(jìn)行求導(dǎo)后得，對(duì)分三種情況進(jìn)行一級(jí)討論，即，，，結(jié)合函數(shù)圖象的單調(diào)性及零點(diǎn)存在定理，可得函數(shù)零點(diǎn)情況.【詳解】解:（1）曲線在點(diǎn)處的切線方程為，即.令切線與曲線相切于點(diǎn)，則切線方程為，∴，∴，令，則，記，于是，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，∴，于是，.（2），①當(dāng)時(shí)，恒成立，在上單調(diào)遞增，且，∴函數(shù)在上有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；②當(dāng)時(shí)，在R上沒(méi)有零點(diǎn)；③當(dāng)時(shí)，令，則，即函數(shù)的增區(qū)間是，同理，減區(qū)間是，∴.?。┤?，則，在上沒(méi)有零點(diǎn)；ⅱ）若，則有且僅有一個(gè)零點(diǎn)；ⅲ）若，則.，令，則，∴當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，.∴又∵，∴在R上恰有兩個(gè)零點(diǎn)，綜上所述，當(dāng)時(shí)，函數(shù)沒(méi)有零點(diǎn)；當(dāng)或時(shí)，函數(shù)恰有一個(gè)零點(diǎn)；當(dāng)時(shí)，恰有兩個(gè)零點(diǎn).【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義、切線方程、零點(diǎn)等知識(shí)，求解切線有關(guān)問(wèn)題時(shí)，一定要明確切點(diǎn)坐標(biāo).以導(dǎo)數(shù)為工具，研究函數(shù)的圖象特征及性質(zhì)，從而得到函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)，此時(shí)如果用到零點(diǎn)存在定理，必需說(shuō)明在區(qū)間內(nèi)單調(diào)且找到兩個(gè)端點(diǎn)值的函數(shù)值相乘小于0，才算完整的解法.21．（1），單調(diào)性見(jiàn)解析；（2）不存在，理由見(jiàn)解析【解析】

（1）由題意得，即可得；求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，再根據(jù)、、、分類討論，分別求出、的解集即可得解；（2）假設(shè)滿足條件的、存在，不妨設(shè)，且，由題意得可得，令（），構(gòu)造函數(shù)（），求導(dǎo)后證明即可得解.【詳解】（1）由題可得函數(shù)的定義域?yàn)榍遥?，整理?.（?。┊?dāng)時(shí)，易知，，時(shí).故在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.（ⅱ）當(dāng)時(shí)，令，解得或，則①當(dāng)，即時(shí)，在上恒成立，則在上遞增.②當(dāng)，即時(shí)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)