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2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.定義在R上的函數(shù),,若在區(qū)間上為增函數(shù),且存在,使得.則下列不等式不一定成立的是()A. B.C. D.2.已知雙曲線,點(diǎn)是直線上任意一點(diǎn),若圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn),則雙曲線的離心率取值范圍是().A. B. C. D.3.的展開式中各項(xiàng)系數(shù)的和為2,則該展開式中常數(shù)項(xiàng)為A.-40 B.-20 C.20 D.404.已知函數(shù),,若對(duì)任意的,存在實(shí)數(shù)滿足,使得,則的最大值是()A.3 B.2 C.4 D.55.已知函數(shù),則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是()A.函數(shù)的最小正周期為πB.函數(shù)的圖象關(guān)于點(diǎn)對(duì)稱C.函數(shù)在上單調(diào)遞增D.函數(shù)的圖象可由的圖象向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到6.?dāng)?shù)列滿足,且,,則()A. B.9 C. D.77.射線測(cè)厚技術(shù)原理公式為,其中分別為射線穿過被測(cè)物前后的強(qiáng)度,是自然對(duì)數(shù)的底數(shù),為被測(cè)物厚度,為被測(cè)物的密度,是被測(cè)物對(duì)射線的吸收系數(shù).工業(yè)上通常用镅241()低能射線測(cè)量鋼板的厚度.若這種射線對(duì)鋼板的半價(jià)層厚度為0.8,鋼的密度為7.6,則這種射線的吸收系數(shù)為()(注:半價(jià)層厚度是指將已知射線強(qiáng)度減弱為一半的某種物質(zhì)厚度,,結(jié)果精確到0.001)A.0.110 B.0.112 C. D.8.設(shè)等差數(shù)列的前n項(xiàng)和為,若,則()A. B. C.7 D.29.已知向量,且,則m=()A.?8 B.?6C.6 D.810.已知與分別為函數(shù)與函數(shù)的圖象上一點(diǎn),則線段的最小值為()A. B. C. D.611.一只螞蟻在邊長(zhǎng)為的正三角形區(qū)域內(nèi)隨機(jī)爬行,則在離三個(gè)頂點(diǎn)距離都大于的區(qū)域內(nèi)的概率為()A. B. C. D.12.設(shè)是虛數(shù)單位,復(fù)數(shù)()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.平面區(qū)域的外接圓的方程是____________.14.已知四棱錐的底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的正方形,且.若四棱錐P-ABCD的五個(gè)頂點(diǎn)在以4為半徑的同一球面上,當(dāng)PA最長(zhǎng)時(shí),則______________;四棱錐P-ABCD的體積為______________.15.若直線與直線交于點(diǎn),則長(zhǎng)度的最大值為____.16.已知點(diǎn)是橢圓上一點(diǎn),過點(diǎn)的一條直線與圓相交于兩點(diǎn),若存在點(diǎn),使得,則橢圓的離心率取值范圍為_________.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)在中,內(nèi)角的邊長(zhǎng)分別為,且.(1)若,,求的值;(2)若,且的面積,求和的值.18.(12分)心形線是由一個(gè)圓上的一個(gè)定點(diǎn),當(dāng)該圓在繞著與其相切且半徑相同的另外一個(gè)圓周上滾動(dòng)時(shí),這個(gè)定點(diǎn)的軌跡,因其形狀像心形而得名,在極坐標(biāo)系中,方程()表示的曲線就是一條心形線,如圖,以極軸所在的直線為軸,極點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系中.已知曲線的參數(shù)方程為(為參數(shù)).(1)求曲線的極坐標(biāo)方程;(2)若曲線與相交于、、三點(diǎn),求線段的長(zhǎng).19.(12分)如圖,在四棱錐中,底面為菱形,為正三角形,平面平面分別是的中點(diǎn).(1)證明:平面(2)若,求二面角的余弦值.20.(12分)如圖,在三棱錐中,,,,平面平面,、分別為、中點(diǎn).(1)求證:;(2)求二面角的大小.21.(12分)某社區(qū)服務(wù)中心計(jì)劃按月訂購(gòu)一種酸奶,每天進(jìn)貨量相同,進(jìn)貨成本每瓶5元,售價(jià)每瓶7元,未售出的酸奶降價(jià)處理,以每瓶2元的價(jià)格當(dāng)天全部處理完.根據(jù)往年銷售經(jīng)驗(yàn),每天需求量與當(dāng)天最高氣溫(單位:攝氏度℃)有關(guān).如果最高氣溫不低于25,需求量為600瓶;如果最高氣溫位于區(qū)間,需求量為500瓶;如果最高氣溫低于20,需求量為300瓶.為了確定六月份的訂購(gòu)計(jì)劃,統(tǒng)計(jì)了前三年六月份各天的最高氣溫?cái)?shù)據(jù),得下面的頻數(shù)分布表:最高氣溫天數(shù)414362763以最高氣溫位于各區(qū)間的頻率代替最高氣溫位于該區(qū)間的概率.(1)求六月份這種酸奶一天的需求量(單位:瓶)的分布列;(2)設(shè)六月份一天銷售這種酸奶的利潤(rùn)為(單位:元),當(dāng)六月份這種酸奶一天的進(jìn)貨量為(單位:瓶)時(shí),的數(shù)學(xué)期望的取值范圍?22.(10分)在一次電視節(jié)目的答題游戲中,題型為選擇題,只有“A”和“B”兩種結(jié)果,其中某選手選擇正確的概率為p,選擇錯(cuò)誤的概率為q,若選擇正確則加1分,選擇錯(cuò)誤則減1分,現(xiàn)記“該選手答完n道題后總得分為”.(1)當(dāng)時(shí),記,求的分布列及數(shù)學(xué)期望;(2)當(dāng),時(shí),求且的概率.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.D【解析】
根據(jù)題意判斷出函數(shù)的單調(diào)性,從而根據(jù)單調(diào)性對(duì)選項(xiàng)逐個(gè)判斷即可.【詳解】由條件可得函數(shù)關(guān)于直線對(duì)稱;在,上單調(diào)遞增,且在時(shí)使得;又,,所以選項(xiàng)成立;,比離對(duì)稱軸遠(yuǎn),可得,選項(xiàng)成立;,,可知比離對(duì)稱軸遠(yuǎn),選項(xiàng)成立;,符號(hào)不定,,無法比較大小,不一定成立.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了函數(shù)的基本性質(zhì)及其應(yīng)用,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平和分析推理能力.2.B【解析】
先求出雙曲線的漸近線方程,可得則直線與直線的距離,根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn),可得,解得即可.【詳解】由題意,雙曲線的一條漸近線方程為,即,∵是直線上任意一點(diǎn),則直線與直線的距離,∵圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn),則,∴,即,又故的取值范圍為,故選:B.【點(diǎn)睛】本題主要考查了直線和雙曲線的位置關(guān)系,以及兩平行線間的距離公式,其中解答中根據(jù)圓與雙曲線的右支沒有公共點(diǎn)得出是解答的關(guān)鍵,著重考查了推理與運(yùn)算能力,屬于基礎(chǔ)題.3.D【解析】令x=1得a=1.故原式=.的通項(xiàng),由5-2r=1得r=2,對(duì)應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)=80,由5-2r=-1得r=3,對(duì)應(yīng)的常數(shù)項(xiàng)=-40,故所求的常數(shù)項(xiàng)為40,選D解析2.用組合提取法,把原式看做6個(gè)因式相乘,若第1個(gè)括號(hào)提出x,從余下的5個(gè)括號(hào)中選2個(gè)提出x,選3個(gè)提出;若第1個(gè)括號(hào)提出,從余下的括號(hào)中選2個(gè)提出,選3個(gè)提出x.故常數(shù)項(xiàng)==-40+80=404.A【解析】
根據(jù)條件將問題轉(zhuǎn)化為,對(duì)于恒成立,然后構(gòu)造函數(shù),然后求出的范圍,進(jìn)一步得到的最大值.【詳解】,,對(duì)任意的,存在實(shí)數(shù)滿足,使得,易得,即恒成立,,對(duì)于恒成立,設(shè),則,令,在恒成立,,故存在,使得,即,當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞減;當(dāng)時(shí),,單調(diào)遞增.,將代入得:,,且,故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性,零點(diǎn)存在定理和不等式恒成立問題,考查了轉(zhuǎn)化思想,屬于難題.5.D【解析】
由可判斷選項(xiàng)A;當(dāng)時(shí),可判斷選項(xiàng)B;利用整體換元法可判斷選項(xiàng)C;可判斷選項(xiàng)D.【詳解】由題知,最小正周期,所以A正確;當(dāng)時(shí),,所以B正確;當(dāng)時(shí),,所以C正確;由的圖象向左平移個(gè)單位,得,所以D錯(cuò)誤.故選:D.【點(diǎn)睛】本題考查余弦型函數(shù)的性質(zhì),涉及到周期性、對(duì)稱性、單調(diào)性以及圖象變換后的解析式等知識(shí),是一道中檔題.6.A【解析】
先由題意可得數(shù)列為等差數(shù)列,再根據(jù),,可求出公差,即可求出.【詳解】數(shù)列滿足,則數(shù)列為等差數(shù)列,,,,,,,故選:.【點(diǎn)睛】本題主要考查了等差數(shù)列的性質(zhì)和通項(xiàng)公式的求法,意在考查學(xué)生對(duì)這些知識(shí)的理解掌握水平,屬于基礎(chǔ)題.7.C【解析】
根據(jù)題意知,,代入公式,求出即可.【詳解】由題意可得,因?yàn)?所以,即.所以這種射線的吸收系數(shù)為.故選:C【點(diǎn)睛】本題主要考查知識(shí)的遷移能力,把數(shù)學(xué)知識(shí)與物理知識(shí)相融合;重點(diǎn)考查指數(shù)型函數(shù),利用指數(shù)的相關(guān)性質(zhì)來研究指數(shù)型函數(shù)的性質(zhì),以及解指數(shù)型方程;屬于中檔題.8.B【解析】
根據(jù)等差數(shù)列的性質(zhì)并結(jié)合已知可求出,再利用等差數(shù)列性質(zhì)可得,即可求出結(jié)果.【詳解】因?yàn)?,所以,所以,所以,故選:B【點(diǎn)睛】本題主要考查等差數(shù)列的性質(zhì)及前項(xiàng)和公式,屬于基礎(chǔ)題.9.D【解析】
由已知向量的坐標(biāo)求出的坐標(biāo),再由向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算得答案.【詳解】∵,又,∴3×4+(﹣2)×(m﹣2)=0,解得m=1.故選D.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查向量垂直的坐標(biāo)運(yùn)算,屬于基礎(chǔ)題.10.C【解析】
利用導(dǎo)數(shù)法和兩直線平行性質(zhì),將線段的最小值轉(zhuǎn)化成切點(diǎn)到直線距離.【詳解】已知與分別為函數(shù)與函數(shù)的圖象上一點(diǎn),可知拋物線存在某條切線與直線平行,則,設(shè)拋物線的切點(diǎn)為,則由可得,,所以切點(diǎn)為,則切點(diǎn)到直線的距離為線段的最小值,則.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義的應(yīng)用,以及點(diǎn)到直線的距離公式的應(yīng)用,考查轉(zhuǎn)化思想和計(jì)算能力.11.A【解析】
求出滿足條件的正的面積,再求出滿足條件的正內(nèi)的點(diǎn)到頂點(diǎn)、、的距離均不小于的圖形的面積,然后代入幾何概型的概率公式即可得到答案.【詳解】滿足條件的正如下圖所示:其中正的面積為,滿足到正的頂點(diǎn)、、的距離均不小于的圖形平面區(qū)域如圖中陰影部分所示,陰影部分區(qū)域的面積為.則使取到的點(diǎn)到三個(gè)頂點(diǎn)、、的距離都大于的概率是.故選:A.【點(diǎn)睛】本題考查幾何概型概率公式、三角形的面積公式、扇形的面積公式的應(yīng)用,考查計(jì)算能力,屬于中等題.12.D【解析】
利用復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,化簡(jiǎn)復(fù)數(shù),即可求解,得到答案.【詳解】由題意,復(fù)數(shù),故選D.【點(diǎn)睛】本題主要考查了復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算,其中解答中熟記復(fù)數(shù)的除法運(yùn)算法則是解答的關(guān)鍵,著重考查了運(yùn)算與求解能力,屬于基礎(chǔ)題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
作出平面區(qū)域,可知平面區(qū)域?yàn)槿切?,求出三角形的三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo),設(shè)三角形的外接圓方程為,將三角形三個(gè)頂點(diǎn)坐標(biāo)代入圓的一般方程,求出、、的值,即可得出所求圓的方程.【詳解】作出不等式組所表示的平面區(qū)域如下圖所示:由圖可知,平面區(qū)域?yàn)?,?lián)立,解得,則點(diǎn),同理可得點(diǎn)、,設(shè)的外接圓方程為,由題意可得,解得,,,因此,所求圓的方程為.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查三角形外接圓方程的求解,同時(shí)也考查了一元二次不等式組所表示的平面區(qū)域的求作,考查數(shù)形結(jié)合思想以及運(yùn)算求解能力,屬于中等題.14.90°【解析】
易得平面PAD,P點(diǎn)在與BA垂直的圓面內(nèi)運(yùn)動(dòng),顯然,PA是圓的直徑時(shí),PA最長(zhǎng);將四棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體,易得為球的直徑即可得到PD,從而求得四棱錐的體積.【詳解】如圖,由及,得平面PAD,即P點(diǎn)在與BA垂直的圓面內(nèi)運(yùn)動(dòng),易知,當(dāng)P、、A三點(diǎn)共線時(shí),PA達(dá)到最長(zhǎng),此時(shí),PA是圓的直徑,則;又,所以平面ABCD,此時(shí)可將四棱錐補(bǔ)形為長(zhǎng)方體,其體對(duì)角線為,底面邊長(zhǎng)為2的正方形,易求出,高,故四棱錐體積.故答案為:(1)90°;(2).【點(diǎn)睛】本題四棱錐外接球有關(guān)的問題,考查學(xué)生空間想象與邏輯推理能力,是一道有難度的壓軸填空題.15.【解析】
根據(jù)題意可知,直線與直線分別過定點(diǎn),且這兩條直線互相垂直,由此可知,其交點(diǎn)在以為直徑的圓上,結(jié)合圖形求出線段的最大值即可.【詳解】由題可知,直線可化為,所以其過定點(diǎn),直線可化為,所以其過定點(diǎn),且滿足,所以直線與直線互相垂直,其交點(diǎn)在以為直徑的圓上,作圖如下:結(jié)合圖形可知,線段的最大值為,因?yàn)闉榫€段的中點(diǎn),所以由中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得,所以線段的最大值為.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查過交點(diǎn)的直線系方程、動(dòng)點(diǎn)的軌跡問題及點(diǎn)與圓的位置關(guān)系;考查數(shù)形結(jié)合思想和運(yùn)算求解能力;根據(jù)圓的定義得到交點(diǎn)在以為直徑的圓上是求解本題的關(guān)鍵;屬于中檔題.16.【解析】
設(shè),設(shè)出直線AB的參數(shù)方程,利用參數(shù)的幾何意義可得,由題意得到,據(jù)此求得離心率的取值范圍.【詳解】設(shè),直線AB的參數(shù)方程為,(為參數(shù))代入圓,化簡(jiǎn)得:,,,,存在點(diǎn),使得,,即,,,,故答案為:【點(diǎn)睛】本題主要考查了橢圓離心率取值范圍的求解,考查直線、圓與橢圓的綜合運(yùn)用,考查直線參數(shù)方程的運(yùn)用,屬于中檔題.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2).【解析】
(1)先由余弦定理求得,再由正弦定理計(jì)算即可得到所求值;
(2)運(yùn)用二倍角的余弦公式和兩角和的正弦公式,化簡(jiǎn)可得sinA+sinB=5sinC,運(yùn)用正弦定理和三角形的面積公式可得a,b的方程組,解方程即可得到所求值.【詳解】解:(1)由余弦定理由正弦定理得(2)由已知得:所以------①又所以------②由①②解得【點(diǎn)睛】本題考查正弦定理、余弦定理和面積公式的運(yùn)用,以及三角函數(shù)的恒等變換,考查化簡(jiǎn)整理的運(yùn)算能力,屬于中檔題.18.(1)();(2).【解析】
(1)化簡(jiǎn)得到直線方程為,再利用極坐標(biāo)公式計(jì)算得到答案.(2)聯(lián)立方程計(jì)算得到,,計(jì)算得到答案.【詳解】(1)由消得,即,是過原點(diǎn)且傾斜角為的直線,∴的極坐標(biāo)方程為().(2)由得,∴,由得∴,∴.【點(diǎn)睛】本題考查了參數(shù)方程,極坐標(biāo)方程,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和應(yīng)用能力.19.(1)詳見解析;(2).【解析】
(1)連接,由菱形的性質(zhì)以及中位線,得,由平面平面,且交線,得平面,故而,最后由線面垂直的判定得結(jié)論.(2)以為原點(diǎn)建平面直角坐標(biāo)系,求出平面平與平面的法向量,,最后求得二面角的余弦值為.【詳解】解:(1)連結(jié)∵,且是的中點(diǎn),∴∵平面平面,平面平面,∴平面.∵平面,∴又為菱形,且為棱的中點(diǎn),∴∴.又∵,平面∴平面.(2)由題意有,∵四邊形為菱形,且∴分別以,,所在直線為軸,軸,軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,設(shè),則設(shè)平面的法向量為由,得,令,得取平面的法向量為∴二面角為銳二面角,∴二面角的余弦值為【點(diǎn)睛】處理線面垂直問題時(shí),需要學(xué)生對(duì)線面垂直的判定定理特別熟悉,運(yùn)用幾何語(yǔ)言表示出來方才過關(guān),一定要在已知平面中找兩條相交直線與平面外的直線垂直,才可以證得線面垂直,其次考查了學(xué)生運(yùn)用空間向量處理空間中的二面角問題,培養(yǎng)了學(xué)生的計(jì)算能力和空間想象力.20.(1)證明見解析;(2)60°.【解析】試題分析:(1)連結(jié)PD,由題意可得,則AB⊥平面PDE,;(2)法一:結(jié)合幾何關(guān)系做出二面角的平面角,計(jì)算可得其正切值為,故二面角的大小為;法二:以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,計(jì)算可得平面PBE的法向量.平面PAB的法向量為.據(jù)此計(jì)算可得二面角的大小為.試題解析:(1)連結(jié)PD,PA=PB,PDAB.,BCAB,DEAB.又,AB平面PDE,PE平面PDE,∴ABPE.(2)法一:平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PDAB,PD平面ABC.則DEPD,又EDAB,PD平面AB=D,DE平面PAB,過D做DF垂直PB與F,連接EF,則EFPB,∠DFE為所求二面角的平面角,則:DE=,DF=,則,故二面角的大小為法二:平面PAB平面ABC,平面PAB平面ABC=AB,PDAB,PD平面ABC.如圖,以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系,B(1,
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