2022年山西省呂梁市汾陽中學(xué)高三第二次模擬考試數(shù)學(xué)試卷含解析_第1頁
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文檔簡介

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知:1.全卷分選擇題和非選擇題兩部分,全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂;非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2.請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號。3.保持卡面清潔,不要折疊,不要弄破、弄皺,在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.若實(shí)數(shù)滿足的約束條件,則的取值范圍是()A. B. C. D.2.已知數(shù)列滿足,(),則數(shù)列的通項(xiàng)公式()A. B. C. D.3.在直角梯形中,,,,,點(diǎn)為上一點(diǎn),且,當(dāng)?shù)闹底畲髸r(shí),()A. B.2 C. D.4.在三棱錐中,,,,,點(diǎn)到底面的距離為2,則三棱錐外接球的表面積為()A. B. C. D.5.設(shè)P={y|y=-x2+1,x∈R},Q={y|y=2x,x∈R},則A.PQ B.QPC.Q D.Q6.若的展開式中含有常數(shù)項(xiàng),且的最小值為,則()A. B. C. D.7.若不相等的非零實(shí)數(shù),,成等差數(shù)列,且,,成等比數(shù)列,則()A. B. C.2 D.8.總體由編號為01,02,...,39,40的40個個體組成.利用下面的隨機(jī)數(shù)表選取5個個體,選取方法是從隨機(jī)數(shù)表(如表)第1行的第4列和第5列數(shù)字開始由左到右依次選取兩個數(shù)字,則選出來的第5個個體的編號為()A.23 B.21 C.35 D.329.已知函數(shù),集合,,則()A. B.C. D.10.復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)在()A.第一象限 B.第二象限 C.第三象限 D.第四象限11.正四棱錐的五個頂點(diǎn)在同一個球面上,它的底面邊長為,側(cè)棱長為,則它的外接球的表面積為()A. B. C. D.12.已知實(shí)數(shù)滿足,則的最小值為()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.已知的終邊過點(diǎn),若,則__________.14.若正三棱柱的所有棱長均為2,點(diǎn)為側(cè)棱上任意一點(diǎn),則四棱錐的體積為__________.15.從4名男生和3名女生中選出4名去參加一項(xiàng)活動,要求男生中的甲和乙不能同時(shí)參加,女生中的丙和丁至少有一名參加,則不同的選法種數(shù)為______.(用數(shù)字作答)16.在平面直角坐標(biāo)系中,點(diǎn)P在直線上,過點(diǎn)P作圓C:的一條切線,切點(diǎn)為T.若,則的長是______.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)已知橢圓:的離心率為,直線:與以原點(diǎn)為圓心,以橢圓的短半軸長為半徑的圓相切.為左頂點(diǎn),過點(diǎn)的直線交橢圓于,兩點(diǎn),直線,分別交直線于,兩點(diǎn).(1)求橢圓的方程;(2)以線段為直徑的圓是否過定點(diǎn)?若是,寫出所有定點(diǎn)的坐標(biāo);若不是,請說明理由.18.(12分)已知橢圓C的中心在坐標(biāo)原點(diǎn),其短半軸長為1,一個焦點(diǎn)坐標(biāo)為,點(diǎn)在橢圓上,點(diǎn)在直線上,且.(1)證明:直線與圓相切;(2)設(shè)與橢圓的另一個交點(diǎn)為,當(dāng)?shù)拿娣e最小時(shí),求的長.19.(12分)某職稱晉級評定機(jī)構(gòu)對參加某次專業(yè)技術(shù)考試的100人的成績進(jìn)行了統(tǒng)計(jì),繪制了頻率分布直方圖(如圖所示),規(guī)定80分及以上者晉級成功,否則晉級失?。畷x級成功晉級失敗合計(jì)男16女50合計(jì)(1)求圖中的值;(2)根據(jù)已知條件完成下面列聯(lián)表,并判斷能否有的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān)?(3)將頻率視為概率,從本次考試的所有人員中,隨機(jī)抽取4人進(jìn)行約談,記這4人中晉級失敗的人數(shù)為,求的分布列與數(shù)學(xué)期望.(參考公式:,其中)0.400.250.150.100.050.0250.7801.3232.0722.7063.8415.02420.(12分)已知分別是內(nèi)角的對邊,滿足(1)求內(nèi)角的大小(2)已知,設(shè)點(diǎn)是外一點(diǎn),且,求平面四邊形面積的最大值.21.(12分)已知△ABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,若c=2a,bsinB﹣asinA=asinC.(Ⅰ)求sinB的值;(Ⅱ)求sin(2B+)的值.22.(10分)每年3月20日是國際幸福日,某電視臺隨機(jī)調(diào)查某一社區(qū)人們的幸福度.現(xiàn)從該社區(qū)群中隨機(jī)抽取18名,用“10分制”記錄了他們的幸福度指數(shù),結(jié)果見如圖所示莖葉圖,其中以小數(shù)點(diǎn)前的一位數(shù)字為莖,小數(shù)點(diǎn)后的一位數(shù)字為葉.若幸福度不低于8.5分,則稱該人的幸福度為“很幸?!保?Ⅰ)求從這18人中隨機(jī)選取3人,至少有1人是“很幸?!钡母怕?;(Ⅱ)以這18人的樣本數(shù)據(jù)來估計(jì)整個社區(qū)的總體數(shù)據(jù),若從該社區(qū)(人數(shù)很多)任選3人,記表示抽到“很幸?!钡娜藬?shù),求的分布列及.

參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項(xiàng)中,只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1.B【解析】

根據(jù)所給不等式組,畫出不等式表示的可行域,將目標(biāo)函數(shù)化為直線方程,平移后即可確定取值范圍.【詳解】實(shí)數(shù)滿足的約束條件,畫出可行域如下圖所示:將線性目標(biāo)函數(shù)化為,則將平移,平移后結(jié)合圖像可知,當(dāng)經(jīng)過原點(diǎn)時(shí)截距最小,;當(dāng)經(jīng)過時(shí),截距最大值,,所以線性目標(biāo)函數(shù)的取值范圍為,故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了線性規(guī)劃的簡單應(yīng)用,線性目標(biāo)函數(shù)取值范圍的求法,屬于基礎(chǔ)題.2.A【解析】

利用數(shù)列的遞推關(guān)系式,通過累加法求解即可.【詳解】數(shù)列滿足:,,可得以上各式相加可得:,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列的遞推關(guān)系式的應(yīng)用,數(shù)列累加法以及通項(xiàng)公式的求法,考查計(jì)算能力.3.B【解析】

由題,可求出,所以,根據(jù)共線定理,設(shè),利用向量三角形法則求出,結(jié)合題給,得出,進(jìn)而得出,最后利用二次函數(shù)求出的最大值,即可求出.【詳解】由題意,直角梯形中,,,,,可求得,所以·∵點(diǎn)在線段上,設(shè),則,即,又因?yàn)樗?,所以,?dāng)時(shí),等號成立.所以.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查平面向量線性運(yùn)算中的加法運(yùn)算、向量共線定理,以及運(yùn)用二次函數(shù)求最值,考查轉(zhuǎn)化思想和解題能力.4.C【解析】

首先根據(jù)垂直關(guān)系可確定,由此可知為三棱錐外接球的球心,在中,可以算出的一個表達(dá)式,在中,可以計(jì)算出的一個表達(dá)式,根據(jù)長度關(guān)系可構(gòu)造等式求得半徑,進(jìn)而求出球的表面積.【詳解】取中點(diǎn),由,可知:,為三棱錐外接球球心,過作平面,交平面于,連接交于,連接,,,,,,為的中點(diǎn)由球的性質(zhì)可知:平面,,且.設(shè),,,,在中,,即,解得:,三棱錐的外接球的半徑為:,三棱錐外接球的表面積為.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查三棱錐外接球的表面積的求解問題,求解幾何體外接球相關(guān)問題的關(guān)鍵是能夠利用球的性質(zhì)確定外接球球心的位置.5.C【解析】

解:因?yàn)镻={y|y=-x2+1,x∈R}={y|y1},Q={y|y=2x,x∈R}={y|y>0},因此選C6.C【解析】展開式的通項(xiàng)為,因?yàn)檎归_式中含有常數(shù)項(xiàng),所以,即為整數(shù),故n的最小值為1.所以.故選C點(diǎn)睛:求二項(xiàng)展開式有關(guān)問題的常見類型及解題策略(1)求展開式中的特定項(xiàng).可依據(jù)條件寫出第項(xiàng),再由特定項(xiàng)的特點(diǎn)求出值即可.(2)已知展開式的某項(xiàng),求特定項(xiàng)的系數(shù).可由某項(xiàng)得出參數(shù)項(xiàng),再由通項(xiàng)寫出第項(xiàng),由特定項(xiàng)得出值,最后求出其參數(shù).7.A【解析】

由題意,可得,,消去得,可得,繼而得到,代入即得解【詳解】由,,成等差數(shù)列,所以,又,,成等比數(shù)列,所以,消去得,所以,解得或,因?yàn)?,,是不相等的非零?shí)數(shù),所以,此時(shí),所以.故選:A【點(diǎn)睛】本題考查了等差等比數(shù)列的綜合應(yīng)用,考查了學(xué)生概念理解,轉(zhuǎn)化劃歸,數(shù)學(xué)運(yùn)算的能力,屬于中檔題.8.B【解析】

根據(jù)隨機(jī)數(shù)表法的抽樣方法,確定選出來的第5個個體的編號.【詳解】隨機(jī)數(shù)表第1行的第4列和第5列數(shù)字為4和6,所以從這兩個數(shù)字開始,由左向右依次選取兩個數(shù)字如下46,64,42,16,60,65,80,56,26,16,55,43,50,24,23,54,89,63,21,…其中落在編號01,02,…,39,40內(nèi)的有:16,26,16,24,23,21,…依次不重復(fù)的第5個編號為21.故選:B【點(diǎn)睛】本小題主要考查隨機(jī)數(shù)表法進(jìn)行抽樣,屬于基礎(chǔ)題.9.C【解析】

分別求解不等式得到集合,再利用集合的交集定義求解即可.【詳解】,,∴.故選C.【點(diǎn)睛】本題主要考查了集合的基本運(yùn)算,難度容易.10.B【解析】

利用復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及幾何意義即可求解.【詳解】解:,則復(fù)數(shù)(i是虛數(shù)單位)在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)的點(diǎn)的坐標(biāo)為:,位于第二象限.故選:B.【點(diǎn)睛】本題考查了復(fù)數(shù)的四則運(yùn)算以及復(fù)數(shù)的幾何意義,屬于基礎(chǔ)題.11.C【解析】

如圖所示,在平面的投影為正方形的中心,故球心在上,計(jì)算長度,設(shè)球半徑為,則,解得,得到答案.【詳解】如圖所示:在平面的投影為正方形的中心,故球心在上,,故,,設(shè)球半徑為,則,解得,故.故選:.【點(diǎn)睛】本題考查了四棱錐的外接球問題,意在考查學(xué)生的空間想象能力和計(jì)算能力.12.A【解析】

所求的分母特征,利用變形構(gòu)造,再等價(jià)變形,利用基本不等式求最值.【詳解】解:因?yàn)闈M足,則,當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取等號,故選:.【點(diǎn)睛】本題考查通過拼湊法利用基本不等式求最值.拼湊法的實(shí)質(zhì)在于代數(shù)式的靈活變形,拼系數(shù)、湊常數(shù)是關(guān)鍵.(1)拼湊的技巧,以整式為基礎(chǔ),注意利用系數(shù)的變化以及等式中常數(shù)的調(diào)整,做到等價(jià)變形;(2)代數(shù)式的變形以拼湊出和或積的定值為目標(biāo)(3)拆項(xiàng)、添項(xiàng)應(yīng)注意檢驗(yàn)利用基本不等式的前提.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】

】由題意利用任意角的三角函數(shù)的定義,求得的值.【詳解】∵的終邊過點(diǎn),若,.即答案為-2.【點(diǎn)睛】本題主要考查任意角的三角函數(shù)的定義和誘導(dǎo)公式,屬基礎(chǔ)題.14.【解析】

依題意得,再求點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到直線的距離,用公式所以即可得出答案.【詳解】解:正三棱柱的所有棱長均為2,則,點(diǎn)到平面的距離為點(diǎn)到直線的距離所以,所以.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查椎體的體積公式,考查運(yùn)算能力,是基礎(chǔ)題.15.1【解析】

由排列組合及分類討論思想分別討論:①設(shè)甲參加,乙不參加,②設(shè)乙參加,甲不參加,③設(shè)甲,乙都不參加,可得不同的選法種數(shù)為9+9+5=1,得解.【詳解】①設(shè)甲參加,乙不參加,由女生中的丙和丁至少有一名參加,可得不同的選法種數(shù)為9,②設(shè)乙參加,甲不參加,由女生中的丙和丁至少有一名參加,可得不同的選法種數(shù)為9,③設(shè)甲,乙都不參加,由女生中的丙和丁至少有一名參加,可得不同的選法種數(shù)為5,綜合①②③得:不同的選法種數(shù)為9+9+5=1,故答案為:1.【點(diǎn)睛】本題考查了排列組合及分類討論思想,準(zhǔn)確分類及計(jì)算是關(guān)鍵,屬中檔題.16.【解析】

作出圖像,設(shè)點(diǎn),根據(jù)已知可得,,且,可解出,計(jì)算即得.【詳解】如圖,設(shè),圓心坐標(biāo)為,可得,,,,,解得,,即的長是.故答案為:【點(diǎn)睛】本題考查直線與圓的位置關(guān)系,以及求平面兩點(diǎn)間的距離,運(yùn)用了數(shù)形結(jié)合的思想.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(1);(2)是,定點(diǎn)坐標(biāo)為或【解析】

(1)根據(jù)相切得到,根據(jù)離心率得到,得到橢圓方程.(2)設(shè)直線的方程為,點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為,,聯(lián)立方程得到,,計(jì)算點(diǎn)的坐標(biāo)為,點(diǎn)的坐標(biāo)為,圓的方程可化為,得到答案.【詳解】(1)根據(jù)題意:,因?yàn)?,所以,所以橢圓的方程為.(2)設(shè)直線的方程為,點(diǎn)、的坐標(biāo)分別為,,把直線的方程代入橢圓方程化簡得到,所以,,所以,,因?yàn)橹本€的斜率,所以直線的方程,所以點(diǎn)的坐標(biāo)為,同理,點(diǎn)的坐標(biāo)為,故以為直徑的圓的方程為,又因?yàn)椋?,所以圓的方程可化為,令,則有,所以定點(diǎn)坐標(biāo)為或.【點(diǎn)睛】本題考查了橢圓方程,圓過定點(diǎn)問題,意在考查學(xué)生的計(jì)算能力和綜合應(yīng)用能力.18.(1)見解析;(2).【解析】

(1)分斜率為0,斜率不存在,斜率不為0三種情況討論,設(shè)的方程為,可求解得到,,可得到的距離為1,即得證;(2)表示的面積為,利用均值不等式,即得解.【詳解】(1)由題意,橢圓的焦點(diǎn)在x軸上,且,所以.所以橢圓的方程為.由點(diǎn)在直線上,且知的斜率必定存在,當(dāng)?shù)男甭蕿?時(shí),,,于是,到的距離為1,直線與圓相切.當(dāng)?shù)男甭什粸?時(shí),設(shè)的方程為,與聯(lián)立得,所以,,從而.而,故的方程為,而在上,故,從而,于是.此時(shí),到的距離為1,直線與圓相切.綜上,直線與圓相切.(2)由(1)知,的面積為,上式中,當(dāng)且僅當(dāng)?shù)忍柍闪?,所以面積的最小值為1.此時(shí),點(diǎn)在橢圓的長軸端點(diǎn),為.不妨設(shè)為長軸左端點(diǎn),則直線的方程為,代入橢圓的方程解得,即,,所以.【點(diǎn)睛】本題考查了直線和橢圓綜合,考查了直線和圓的位置關(guān)系判斷,面積的最值問題,考查了學(xué)生綜合分析,數(shù)學(xué)運(yùn)算能力,屬于較難題.19.(1);(2)列聯(lián)表見解析,有超過的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān);(3)分布列見解析,=3【解析】

(1)由頻率和為1,列出方程求的值;(2)由頻率分布直方圖求出晉級成功的頻率,計(jì)算晉級成功的人數(shù),填寫列聯(lián)表,計(jì)算觀測值,對照臨界值得出結(jié)論;(3)由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率,將頻率視為概率,知隨機(jī)變量服從二項(xiàng)分布,計(jì)算對應(yīng)的概率值,寫出分布列,計(jì)算數(shù)學(xué)期望.【詳解】解:(1)由頻率分布直方圖各小長方形面積總和為1,可知,解得;(2)由頻率分布直方圖知,晉級成功的頻率為,所以晉級成功的人數(shù)為(人),填表如下:晉級成功晉級失敗合計(jì)男163450女94150合計(jì)2575100假設(shè)“晉級成功”與性別無關(guān),根據(jù)上表數(shù)據(jù)代入公式可得,所以有超過的把握認(rèn)為“晉級成功”與性別有關(guān);(3)由頻率分布直方圖知晉級失敗的頻率為,將頻率視為概率,則從本次考試的所有人員中,隨機(jī)抽取1人進(jìn)行約談,這人晉級失敗的概率為0.75,所以可視為服從二項(xiàng)分布,即,,故,,,,.所以的分布列為:01234數(shù)學(xué)期望為.或().【點(diǎn)睛】本題考查了頻率分布直方圖和離散型隨機(jī)變量的分布列、數(shù)學(xué)期望的應(yīng)用問題,屬于中檔題.若離散型隨機(jī)變量,則.20.(1)(2)【解析】

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