2022年四川省成都實驗高級中學高三第二次聯(lián)考數(shù)學試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應位置上。2．請用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準考證號。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．在的展開式中，的系數(shù)為()A．-120 B．120 C．-15 D．152．如圖，在直角梯形ABCD中，AB∥DC，AD⊥DC，AD＝DC＝2AB，E為AD的中點，若，則λ＋μ的值為（）A． B． C． D．3．“”是“函數(shù)（為常數(shù)）為冪函數(shù)”的（）A．充分不必要條件 B．必要不充分條件C．充要條件 D．既不充分又不必要條件4．《普通高中數(shù)學課程標準（2017版）》提出了數(shù)學學科的六大核心素養(yǎng).為了比較甲、乙兩名高二學生的數(shù)學核心素養(yǎng)水平，現(xiàn)以六大素養(yǎng)為指標對二人進行了測驗，根據(jù)測驗結果繪制了雷達圖（如圖，每項指標值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），則下面敘述正確的是（）A．甲的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)高于乙B．甲的數(shù)學建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學抽象素養(yǎng)C．乙的六大素養(yǎng)中邏輯推理最差D．乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲5．已知P是雙曲線漸近線上一點，，是雙曲線的左、右焦點，，記，PO，的斜率為，k，，若，-2k，成等差數(shù)列，則此雙曲線的離心率為（）A． B． C． D．6．已知函數(shù)的圖像的一條對稱軸為直線，且，則的最小值為()A． B．0 C． D．7．我國古代數(shù)學巨著《九章算術》中，有如下問題：“今有女子善織，日自倍，五日織五尺，問日織幾何？”這個問題用今天的白話敘述為：有一位善于織布的女子，每天織的布都是前一天的2倍，已知她5天共織布5尺，問這位女子每天分別織布多少？根據(jù)上述問題的已知條件，若該女子共織布尺，則這位女子織布的天數(shù)是（）A．2 B．3 C．4 D．18．如圖，四邊形為正方形，延長至，使得，點在線段上運動.設，則的取值范圍是（）A． B． C． D．9．已知單位向量，的夾角為，若向量，，且，則（）A．2 B．2 C．4 D．610．集合的真子集的個數(shù)為()A．7 B．8 C．31 D．3211．已知函數(shù)，則的最小值為()A． B． C． D．12．三棱錐中，側棱底面，，，，，則該三棱錐的外接球的表面積為（）A． B． C． D．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．已知向量，滿足，，，則向量在的夾角為______.14．在區(qū)間內任意取一個數(shù)，則恰好為非負數(shù)的概率是________.15．函數(shù)的定義域是____________．（寫成區(qū)間的形式）16．若函數(shù)的圖像向左平移個單位得到函數(shù)的圖像.則在區(qū)間上的最小值為________.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（12分）已知函數(shù)．（1）當時，求曲線在點的切線方程；（2）討論函數(shù)的單調性．18．（12分）已知數(shù)列中，（實數(shù)為常數(shù)），是其前項和，且數(shù)列是等比數(shù)列，恰為與的等比中項．（1）證明：數(shù)列是等差數(shù)列；（2）求數(shù)列的通項公式；（3）若，當時，的前項和為，求證：對任意，都有．19．（12分）已知函數(shù).（1）當時，解不等式；（2）當時，不等式恒成立，求實數(shù)的取值范圍.20．（12分）已知橢圓：的四個頂點圍成的四邊形的面積為，原點到直線的距離為.（1）求橢圓的方程；（2）已知定點，是否存在過的直線，使與橢圓交于，兩點，且以為直徑的圓過橢圓的左頂點？若存在，求出的方程：若不存在，請說明理由.21．（12分）若關于的方程的兩根都大于2，求實數(shù)的取值范圍．22．（10分）記數(shù)列的前項和為，已知成等差數(shù)列.（1）證明：數(shù)列是等比數(shù)列，并求的通項公式；（2）記數(shù)列的前項和為，求.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的。1．C【解析】

寫出展開式的通項公式，令，即，則可求系數(shù)．【詳解】的展開式的通項公式為，令，即時，系數(shù)為．故選C【點睛】本題考查二項式展開的通項公式，屬基礎題．2．B【解析】

建立平面直角坐標系，用坐標表示，利用，列出方程組求解即可.【詳解】建立如圖所示的平面直角坐標系，則D(0，0).不妨設AB＝1，則CD＝AD＝2，所以C(2，0)，A(0，2)，B(1，2)，E(0，1)，∴(－2，2)＝λ(－2，1)＋μ(1，2)，解得則.故選：B【點睛】本題主要考查了由平面向量線性運算的結果求參數(shù)，屬于中檔題.3．A【解析】

根據(jù)冪函數(shù)定義，求得的值，結合充分條件與必要條件的概念即可判斷.【詳解】∵當函數(shù)為冪函數(shù)時，，解得或，∴“”是“函數(shù)為冪函數(shù)”的充分不必要條件.故選：A.【點睛】本題考查了充分必要條件的概念和判斷，冪函數(shù)定義的應用，屬于基礎題.4．D【解析】

根據(jù)雷達圖對選項逐一分析，由此確定敘述正確的選項.【詳解】對于A選項，甲的數(shù)據(jù)分析分，乙的數(shù)據(jù)分析分，甲低于乙，故A選項錯誤.對于B選項，甲的建模素養(yǎng)分，乙的建模素養(yǎng)分，甲低于乙，故B選項錯誤.對于C選項，乙的六大素養(yǎng)中，邏輯推理分，不是最差，故C選項錯誤.對于D選項，甲的總得分分，乙的總得分分，所以乙的六大素養(yǎng)整體平均水平優(yōu)于甲，故D選項正確.故選：D【點睛】本小題主要考查圖表分析和數(shù)據(jù)處理，屬于基礎題.5．B【解析】

求得雙曲線的一條漸近線方程，設出的坐標，由題意求得，運用直線的斜率公式可得，，，再由等差數(shù)列中項性質和離心率公式，計算可得所求值．【詳解】設雙曲線的一條漸近線方程為，且，由，可得以為圓心，為半徑的圓與漸近線交于，可得，可取，則，設，，則，，，由，，成等差數(shù)列，可得，化為，即，可得，故選：．【點睛】本題考查雙曲線的方程和性質，主要是漸近線方程和離心率，考查方程思想和運算能力，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平．6．D【解析】

運用輔助角公式，化簡函數(shù)的解析式，由對稱軸的方程，求得的值，得出函數(shù)的解析式，集合正弦函數(shù)的最值，即可求解，得到答案.【詳解】由題意，函數(shù)為輔助角，由于函數(shù)的對稱軸的方程為，且，即，解得，所以，又由，所以函數(shù)必須取得最大值和最小值，所以可設，，所以，當時，的最小值，故選D.【點睛】本題主要考查了正弦函數(shù)的圖象與性質，其中解答中利用三角恒等變換的公式，化簡函數(shù)的解析式，合理利用正弦函數(shù)的對稱性與最值是解答的關鍵，著重考查了分析問題和解答問題的能力，屬于中檔試題.7．B【解析】

將問題轉化為等比數(shù)列問題，最終變?yōu)榍蠼獾缺葦?shù)列基本量的問題.【詳解】根據(jù)實際問題可以轉化為等比數(shù)列問題，在等比數(shù)列中，公比，前項和為，，，求的值．因為，解得，，解得．故選B．【點睛】本題考查等比數(shù)列的實際應用，難度較易.熟悉等比數(shù)列中基本量的計算，對于解決實際問題很有幫助.8．C【解析】

以為坐標原點，以分別為x軸，y軸建立直角坐標系，利用向量的坐標運算計算即可解決.【詳解】以為坐標原點建立如圖所示的直角坐標系，不妨設正方形的邊長為1，則，，設，則，所以，且，故.故選：C.【點睛】本題考查利用向量的坐標運算求變量的取值范圍，考查學生的基本計算能力，本題的關鍵是建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，是一道基礎題.9．C【解析】

根據(jù)列方程，由此求得的值，進而求得.【詳解】由于，所以，即，解得.所以所以.故選：C【點睛】本小題主要考查向量垂直的表示，考查向量數(shù)量積的運算，考查向量模的求法，屬于基礎題.10．A【解析】

計算，再計算真子集個數(shù)得到答案.【詳解】，故真子集個數(shù)為：.故選：.【點睛】本題考查了集合的真子集個數(shù)，意在考查學生的計算能力.11．C【解析】

利用三角恒等變換化簡三角函數(shù)為標準正弦型三角函數(shù)，即可容易求得最小值.【詳解】由于，故其最小值為：.故選：C.【點睛】本題考查利用降冪擴角公式、輔助角公式化簡三角函數(shù)，以及求三角函數(shù)的最值，屬綜合基礎題.12．B【解析】由題，側棱底面，，，，則根據(jù)余弦定理可得，的外接圓圓心三棱錐的外接球的球心到面的距離則外接球的半徑，則該三棱錐的外接球的表面積為點睛：本題考查的知識點是球內接多面體，熟練掌握球的半徑公式是解答的關鍵．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．【解析】

把平方利用數(shù)量積的運算化簡即得解.【詳解】因為，，，所以，∴，∴，因為所以.故答案為：【點睛】本題主要考查平面向量的數(shù)量積的運算法則，考查向量的夾角的計算，意在考查學生對這些知識的理解掌握水平.14．【解析】

先分析非負數(shù)對應的區(qū)間長度，然后根據(jù)幾何概型中的長度模型，即可求解出“恰好為非負數(shù)”的概率.【詳解】當是非負數(shù)時，，區(qū)間長度是，又因為對應的區(qū)間長度是，所以“恰好為非負數(shù)”的概率是.故答案為：.【點睛】本題考查幾何概型中的長度模型，難度較易.解答問題的關鍵是能判斷出目標事件對應的區(qū)間長度.15．【解析】

要使函數(shù)有意義，需滿足，即，解得，故函數(shù)的定義域是．16．【解析】

注意平移是針對自變量x，所以，再利用整體換元法求值域（最值）即可.【詳解】由已知，，，又，故，，所以的最小值為.故答案為：.【點睛】本題考查正弦型函數(shù)在給定區(qū)間上的最值問題，涉及到圖象的平移變換、輔助角公式的應用，是一道基礎題.三、解答題：共70分。解答應寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17．（1）；（2）當時,在上單調遞增,在上單調遞減；當時,在和上單調遞增,在上單調遞減；當時,在上單調遞增；當時,在和上單調遞增,在上單調遞減.【解析】

(1)根據(jù)導數(shù)的幾何意義求解即可.(2)易得函數(shù)定義域是,且.故分,和與四種情況,分別分析得極值點的關系進而求得原函數(shù)的單調性即可.【詳解】（1）當時,,則切線的斜率為.又,則曲線在點的切線方程是,即.（2）的定義域是..①當時,,所以當時,；當時,,所以在上單調遞增,在上單調遞減；②當時,,所以當和時,；當時,,所以在和上單調遞增,在上單調遞減；③當時,,所以在上恒成立.所以在上單調遞增；④當時,,所以和時,；時,.所以在和上單調遞增,在上單調遞減.綜上所述,當時,在上單調遞增,在上單調遞減；當時,在和上單調遞增,在上單調遞減；當時,在上單調遞增；當時,在和上單調遞增,在上單調遞減.【點睛】本題主要考查了導數(shù)的幾何意義以及含參數(shù)的函數(shù)單調性討論,需要根據(jù)題意求函數(shù)的極值點,再根據(jù)極值點的大小關系分類討論即可.屬于常考題.18．（1）見解析（2）（3）見解析【解析】

（1）令可得，即．得到，再利用通項公式和前n項和的關系求解，（2）由（1）知，．設等比數(shù)列的公比為，所以，再根據(jù)恰為與的等比中項求解，（3）由（2）得到時，，，求得，再代入證明?！驹斀狻浚?）解：令可得，即．所以．時，可得，當時，所以．顯然當時，滿足上式．所以．，所以數(shù)列是等差數(shù)列，（2）由（1）知，．設等比數(shù)列的公比為，所以，恰為與的等比中項，所以，解得，所以（3）時，，，而時，，，所以當時，.當時，，∴對任意，都有，【點睛】本題主要考查數(shù)列的通項公式和前n項和的關系，等差數(shù)列，等比數(shù)列的定義和性質以及數(shù)列放縮的方法，還考查了轉化化歸的思想和運算求解的能力，屬于難題，19．（1）；（2）.【解析】

（1）分類討論去絕對值，得到每段的解集，然后取并集得到答案.（2）先得到的取值范圍，判斷，為正，去掉絕對值，轉化為在時恒成立,得到，，在恒成立，從而得到的取值范圍.【詳解】（1）當時，，由，得，即，或，即，或，即，綜上：或，所以不等式的解集為.（2），，因為，，所以，又，，，得.不等式恒成立，即在時恒成立，不等式恒成立必須，，解得.所以，解得，結合，所以，即的取值范圍為.【點睛】本題考查分類討論解絕對值不等式，含有絕對值的不等式的恒成立問題.屬于中檔題.20．（1）；（2）存在，且方程為或.【解析】

（1）依題意列出關于a,b,c的方程組，求得a,b,進而可得到橢圓方程；（2）聯(lián)立直線和橢圓得到，要使以為直徑的圓過橢圓的左頂點，則，結合韋達定理可得到參數(shù)值.【詳解】（1）直線的一般方程為.依題意，解得，故橢圓的方程式為.（2）假若存在這樣的直線，當斜率不存在時，以為直徑的圓顯然不經(jīng)過橢圓的左頂點，所以可設直線的斜率為，則直線的方程為.由，得.由，得.記，的坐標分別為，，則，，而.要使以為直徑的圓過橢圓的左頂點，則，即，所以，整理解得或，所以存在過的直線，使與橢圓交于，兩點，且以為直徑的圓過橢圓的左頂點，直線的方程為或.【點睛】本題主要考查直線與圓錐曲線位置關系，所使用方法為韋達定理法：因直線的方程是一次的，圓錐曲線的方程是二次的，故直線與圓錐曲線的問題常轉化為方程組關系問題，最終轉化為一元二次方程問題，故用韋達定理及判別式是解決圓錐曲線問題的重點方法之一，尤其是弦中點問題，弦長問題，可用韋達定理直接解決，但應注意不要忽視判別式的作用．21．【解析】

先令，根據(jù)題中條件得到，求解，即可得出結果.【詳解