空間向量的線性運(yùn)算-【備作業(yè)】高二數(shù)學(xué)系列（蘇教版2019選擇性必修第二冊(cè)）

空間向量的線性運(yùn)算

一、單選題

1.平行六面體ABCD-A8C。中，若AC；=xAB+2），3c—3zCC1,貝ijx+y+z=（）

752

A.1B.—C.—D.一

663

【答案】B

【分析】

根據(jù)空間向量加法的平行四邊形法則，以及向量相等的概念，根據(jù)題意，列出等量關(guān)系，

求解即可.

【詳解】

因?yàn)锳R=AB+3C+CC],乂因?yàn)锳R=xA8+2y5C—3zCC；,且等式右邊的三個(gè)向量不

共面，

故可得》=1,2丫=1,-32=1,解得x=l,y=g,z=-；,

117

故可得x+y+z=l+z-：=z.

故選：B.

2.在平行六面體"88-A[8]GR中，A%+A3+A\=（）

―—>—>

A.AGB.CAtC.BD、D.DB,

【答案】A

【分析】

由空間向量的加法的平行四邊形法則和三角形法則，可得所求向量.

【詳解】

解：連接AC，可得6}+上）=n，又c3=^A，

所以AB+AD+A4,=AC+CC,=AC,■

故選：A

3.如圖，在四面體ABC。中，E,F,G,H分別為AB,BC,CD,AC的中點(diǎn),

則g（AB+BC+C0化簡(jiǎn)的結(jié)果為（）

D

A.BFB.EHC.HGD.FG

【答案】c

【分析】

根據(jù)向量的加法和數(shù)乘的幾何意義，即可得到答案：

【詳解】

^AB+BC+CD)=^AC+CD)=^AD=^x2HG=HG.

故選：C.

4.在長(zhǎng)方體ABCO-44G。中，AB+45+期等于()

A.ACB.AC,C.BC,D.BD,

【答案】B

【分析】

根據(jù)長(zhǎng)方體ABS-ABIGR,得到相等的向量，再利用空間向量的加法法則進(jìn)行計(jì)算.

【詳解】

如圖，可得AZ)=BC，BB\=CC\,所以+=A8+BC+CC1=AG.

5.在平行六面體中,E，F(xiàn)分別是棱CQ,8月的中點(diǎn)，記A8=a，AO=b，

例=c,則E尸等于（）

3-3

A.-a-vb+cB.—u+bH—c

222

^1,1

C.-a-b——cDr.——1a-b,+—1c

2222

【答案】C

【分析】

根據(jù)兒何體線段的位置關(guān)系，結(jié)合向量加減、數(shù)乘的幾何意義將E尸用/表

示即可.

【詳解】

111

EF=EC^CxF=-AB+CxB.+BxF=-d-b--c.

故選：C.

6.如圖，在平行六面體ABCO-AMGA中，M為AC與8。的交點(diǎn)，若

44=4,42=。，44=。，則與4“相等的向量是（）

B.——a+—b+c

22

D.——d——b+c

2222

【答案】B

【分析】

利用空間向量的加法運(yùn)算即可求解.

【詳解】

由空間向量的線性運(yùn)算可得

4M=81B+BM=AA+4BQ=3+g(AR-AM)

1/,\1.1,

=c+—p-tz=——a+—b+c.

2、)22

故選：B

7.在四面體。N5C中，QA=a，OB=b，OC=c，點(diǎn)/為ABC的重心，則OM=（）

L+4+尢

B.

333

D.匕+U+&

33333

【答案】A

【分析】

2

如圖所示，CM交A8于。,則。是AB中點(diǎn)，根據(jù)重心的性質(zhì)有CM=§8,利用向

量的運(yùn)算法則得到答案.

【詳解】

2__.

如圖所示：CA/交A3于。，則。是AB中點(diǎn)，根據(jù)重心的性質(zhì)：CM=-CD,

OM=OC+CM=OC+^CD=OC+^CA+CB)=OC+^(OA-OC+OB-OC^

=-OA+-OC+-OB=-a+-b+-c.

333333

故選：A.

8.如圖所示，在平行六面體ABC。-44GA中，點(diǎn)￡為上底面對(duì)角線AG的中點(diǎn)，若

BE=AA,+xAB+yAD,貝!!()

1111

A.x=一一,y=—B.x=—,y=——

2222

1111

C.x=一一,y=——D.x=—,y=—

2222

【答案】A

【分析】

根據(jù)空間向量的線性運(yùn)算即可求解.

【詳解】

根據(jù)題意，得；BE=BB1*BA+BC)

…+抑+?c

又BE=AAi+xAB+yAD

11

?'?x=一一=-

22

故選：A

二、多選題

9.已知向量”，〃，c，則下列等式錯(cuò)誤的有（）

A.a+（6+c）=（0+人）+cB.a-（人一c）=（a-〃）+c

C.a-^b-c^=（a-b^-cD.a+b-c=a+c-b

【答案】CD

【分析】

以正方體為載體，結(jié)合向量的加法與減法運(yùn)算，逐一驗(yàn)證即可求解

【詳解】

在正方體A8C￡>-A|8|C|￡）|中，不妨令a=A3,b=AE>,c=M，

對(duì)于A：a+{b+c^=AB+ADi=AC,,^a+h^+c=AC+AAt=AC,,故A正確；

對(duì)于B：a-(b-c\=AB-(AD-AA^=AB-\D=A,Bx-AxD=DB[,

(a-b)+c=^AB-AD)+AAx=DB+BB[=DB.,故B正確；

對(duì)于C：a-(b-c)=AB-^AD-AA^=AB-\D=A{Bx-AxD=DBx,

^a-l^-c=^AB-AD^-AAx=DB-BBx=DB+BxB=DxBx+BxB=DxB,

DB產(chǎn)QB,故C錯(cuò)誤；

對(duì)于D：a+b-c=AB+AD-AAi=AC-AAx^AxC,

a+c-b=AB+AAi-AD=ABl-AD=DBt,/\C#RB,故D錯(cuò)誤；

故選：CD

10.下列命題中為真命題的是（）

A.向量AB與m的長(zhǎng)度相等

B.將空間中所有單位向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)圓

C.空間向量就是空間中的一條有向線段

D.方向相同且模相等的兩個(gè)向量是相等向量

【答案】AD

【分析】

直接利用平面向量的定義，相等向量，相反向量的定義，空間向量的定義判定A、B、

C、D的真假性.

【詳解】

對(duì)于選項(xiàng)A：向量AB與區(qū)4是相反向量，長(zhǎng)度相等，故A為真命題.

對(duì)于選項(xiàng)B：將空間中所有單位向量的起點(diǎn)移到同一點(diǎn)，則它們的終點(diǎn)構(gòu)成一個(gè)球，故

B為假命題.

對(duì)于選項(xiàng)C：空間向量可以用空間中的一條有向線段表示，但是不是有向線段，故C為

假命題.

對(duì)于選項(xiàng)D：方向相同旦模相等的兩個(gè)向量是相等向量，符合相等向量的定義，故D

為真命題.

故選：AD

11.（多選）下列命題中，真命題是（）

A.向量AB與BA的長(zhǎng)度相等

B.兩個(gè)相等的向量，若起點(diǎn)相同，則終點(diǎn)也相同

C.只有零向量的模等于0

D.共線的單位向量都相等

【答案】ABC

【分析】

根據(jù)向量的概念逐一判斷即可.

【詳解】

共線的單位向量方向相同或相反，只有D錯(cuò)誤.

故選：ABC

12.下列命題中正確的是（）.

A.單位向量都相等

B.任一向量與它的相反向量不相等

C.若A、B、C、O四點(diǎn)不共線，四邊形ABCO是平行四邊形的充要條件是AB=DC

D.模為0是一個(gè)向量方向不確定的充要條件

【答案】CD

【分析】

利用空間向量的概念可判斷A選項(xiàng)的正誤；取零向量可判斷B選項(xiàng)的正誤；利用相等

向量的概念與充要條件的定義可判斷C選項(xiàng)的正誤；利用零向量的概念可判斷D選項(xiàng)

的正誤.

【詳解】

A不正確，單位向量的模均相等且為1,但方向并不一定相同：

B不正確，零向量的相反向量仍是零向量，但零向量與零向量是相等的；

C正確，充分性：若四邊形A8CO是平行四邊形，則AB//CD且=,AB=OC；

必要性：若=目.A、B、C、。四點(diǎn)不共線，則且AB=CD,所以,

四邊形ABC。是平行四邊形.

所以，四邊形ABCD是平行四邊形的充要條件是AB=DC-.

D正確，若一個(gè)向量的模為0,則該向量為零向量，該向量的方向不確定.

故選：CD.

【點(diǎn)睛】

本題考查與空間向量有關(guān)命題真假的判斷，考查推理能力，屬于基礎(chǔ)題.

三、填空題

13.設(shè)a,人是空間中兩個(gè)不共線的向量，已知AB=9a+〃歷，BC=-2a-b>DC=a-2b>

且A,3,0三點(diǎn)共線，則實(shí)數(shù)”=..

【答案】-3

【分析】

利用向量線性運(yùn)算可得8。=-34+6，由三點(diǎn)共線可得AB=280，由此可構(gòu)造方程組

求得結(jié)果.

【詳解】

BC=—2a—brDC=a-2b，

:.BD=BC+CD=BC-DC=[-2a-b)-[a-2b)=-3a+b,

A,B,￡)三點(diǎn)共線，.?.存在實(shí)數(shù)4,使得A8=48。，EP9a+mb=A^a+b'j,

收=-34,

°,解得：m=2=-3.

[m=A

故答案為：-3.

14.在正方體ABC。-AUG。中，點(diǎn)區(qū)戶分別是底面A/CQ和側(cè)面CG的中心，

若斯+4AO=°(XGR)，則丸=.

【答案】-J##

【分析】

作圖，連接連接AC，C，D,構(gòu)造三角形中位線解題.

【詳解】

如圖，連接AG，G。，

則點(diǎn)E在4c上，點(diǎn)尸在G。上，

易知EFAtD,且EF=；A。，

111

EF=-A,DfBPEF--A1D=O,口%=——.

故答案為：

15.光岳樓，又稱“余木樓”“鼓樓”“東昌樓”，位于山東省聊城市，始建于公元1374年,

在《中國(guó)名樓》站臺(tái)票紀(jì)念冊(cè)中，光岳樓與鶴雀樓、黃鶴樓、岳陽(yáng)樓、太白樓、滕王閣、

蓬萊閣、鎮(zhèn)江樓、甲秀樓、大觀樓共同組成中國(guó)十大名樓.其墩臺(tái)為磚石切成的正四棱

91

臺(tái)，直觀圖如圖所示，其上緣邊長(zhǎng)與底邊邊長(zhǎng)之比約為6，則HE+FB+gDC

【答案】HA

【分析】

延長(zhǎng)E4,FB,GC,HD相交了一點(diǎn)。，根據(jù)題設(shè)比例關(guān)系及空間向量數(shù)乘的幾何意義有

FB=—,DC=—HG,HG=EF，再由空間向量加法的幾何意義，結(jié)合幾何體即可求

1010

得目標(biāo)式所表示的空間向量.

【詳解】

延長(zhǎng)EA,FB,GC,HD相交于一點(diǎn)。，則F黑B=21,*DC=19且〃G=m,

FO10HG10

:.HE+FB+-DC=HE+—FO+—HG=HE+—FO+—EF=HE+—EO=HE+EA=HA

91010101010

故答案為：HA

16.如圖，在正四棱錐尸-ABCD中，E,￡G分別為側(cè)棱上的點(diǎn)，A,E,F,G

31PC'

四點(diǎn)共面，若PE=qPB,PF=：PC,則卷=.

【答案】3.

【分析】

^O-PMR,OP,OQ.OR.PG

先證明廠③二木■?焉?奈成立，設(shè)正四棱錐P-ABCD的體積為V,*x,應(yīng)

VU/UK

O-P2Q2R222PD

v3VQVPG

用結(jié)論可得匕=：工+77二=工，從而可解得x，進(jìn)而可得大工.

42020GD

【詳解】

先證明一個(gè)結(jié)論：如圖，若不在同一平面內(nèi)的射線OP,OQ,OR上分別存在點(diǎn)耳,2,點(diǎn)

2Q和點(diǎn)舄出，

y_OP,OQOR.

則四面體體積之比產(chǎn)&X

V麗.頌西

O-P2Q2R2

事實(shí)匕設(shè)"也分別是點(diǎn)凡，&到平面。＜2,。鳥(niǎo)。2的距離，則太%=溢OR.，從而

%一6。內(nèi)_VRLQI_S陽(yáng).九_(tái)S9烏OR】_。匕OR、

OPQRIOPQSo02

^-222^R-22瑪也Sop%]OR20P20Q2OR2

設(shè)正四棱錐尸-ABC。的體積為V,割=工，應(yīng)用I上述結(jié)論可得

匕，八"PAPFPG1111V

六：=方正,而=5*'則以皿=/展〃=于.井二X'

VA”P(pán)APFPE33313V

七p廠西,正7r6則%"=式"『”=而'

…V3V

所以Vp-AGFE=Vp.AGF+VP-AEF="4%+20；

3V3V9V

,同4理—1-*可t得4力r—AlCjrFt.E=VrP—A,lrib.￡+Kt—rFUtC.=一[Qx+—20x=一20x.

3V_9V3PG3yPGQ

所以片+獷獷‘解得x="H"rl而="從而而=3.

故答案為：3.

【點(diǎn)睛】

結(jié)論點(diǎn)睛：若不在同一平面內(nèi)的射線0只。。，OR上分別存在點(diǎn)勺，6，點(diǎn)。，。2和點(diǎn)&&,

則四面體體積之比曾3生絲.史

麗麗

%-鳥(niǎo)。2小3^

四、解答題

17.如圖，已知“，N分別是空間四邊形43C。的對(duì)角線AC和8。的中點(diǎn)，求證:

【答案】證明見(jiàn)解析.

【分析】

11

取8c的中點(diǎn)尸，連接PM，PN,由=PN=-CD,MN="P+PN即可求

證.

【詳解】

取BC的中點(diǎn)P,連接PM,PN,

在，ABC中，MP=-AB,在/XBCD中，PN=-CD,

22

所以MN=MP+PN=：AB+；CO=g（A8+C￡＞）.

18.如圖，已知。,4,民心￡）,民尸,6,4為空間的9個(gè)點(diǎn)，ROE=kOA，OF=kOB，

OH=kOD，AC=AD+mAB,EG=EH+mEF,

求證：（1）ACIIEG;

（2）OG=kOC-

【答案】（1）證明見(jiàn)解析；（2）證明見(jiàn)解析.

【分析】

（1）山題意，EG=EH+mEF,轉(zhuǎn)4匕EH=OH—OE,EF=OF-OE,代入結(jié)合題干條

件運(yùn)算即得證；

(2)由題意，OG=OE+EG，IOE=kOA,EG=kAC、運(yùn)算即得證

【詳解】

證明：(1)EG^EH+mEF=OH-OE+m(OF-OE)

=k(OD-0A)+km(OB-OA)

=kAD+kmAB=k^AD+mAB^=kAC

ACIIEG-

(2)OG=OE+EG=kOA+kAC=k(<OA+AC)=kOC.

19.如圖，在正方體ABC。-A旦G。中，E在AR上，且AE=2ER,尸在對(duì)角線4c

2

上，且A|F=§FC.若AB=a,AD=b,A4,=c.

(1)用a,6,c表示E8.

(2)求證：E,F,8三點(diǎn)共線.