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4.5.2形形色色的函數(shù)模型新知初探課前預(yù)習(xí)題型探究課堂解透新知初探課前預(yù)習(xí)教材要點(diǎn)要點(diǎn)一幾類(lèi)已知函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f(x)=ax+b(a,b為常數(shù)a≠0)反比例函數(shù)模型f(x)=+b(k,b為常數(shù)且k≠0)二次函數(shù)模型f(x)=ax2+bx+c(a,b,c為常數(shù),a≠0)指數(shù)型函數(shù)模型f(x)=bax+c(a,b,c為常數(shù),b≠0,a>0且a≠1)對(duì)數(shù)型函數(shù)模型f(x)=blogax+c(a,b,c為常數(shù),b≠0,a>0且a≠1)冪函數(shù)型模型f(x)=axn+b(a,b為常數(shù),a≠0)要點(diǎn)二數(shù)學(xué)建模的步驟(1)正確理解并簡(jiǎn)化實(shí)際問(wèn)題:了解問(wèn)題的實(shí)際背景,明確其實(shí)際意義,掌握對(duì)象的各種信息.根據(jù)實(shí)際對(duì)象的特征和建模的目的,對(duì)問(wèn)題進(jìn)行必要的簡(jiǎn)化,并用精確的語(yǔ)言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè).(2)建立數(shù)學(xué)模型:在上述基礎(chǔ)上,利用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來(lái)刻畫(huà)各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系,建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu).(3)求得數(shù)學(xué)問(wèn)題的解.(4)將求解時(shí)分析計(jì)算的結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較,驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和實(shí)用性.狀元隨筆建立函數(shù)模型解決實(shí)際問(wèn)題的基本思路基礎(chǔ)自測(cè)1.思考辨析(正確的畫(huà)“√”,錯(cuò)誤的畫(huà)“×”)(1)實(shí)際問(wèn)題中兩個(gè)變量之間一定有確定的函數(shù).()(2)解決某一實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)模型是唯一的.()(3)在選擇實(shí)際問(wèn)題的函數(shù)模型時(shí),必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型.()(4)對(duì)于一個(gè)實(shí)際問(wèn)題,收集到的數(shù)據(jù)越多,建立的函數(shù)模型的模擬效果越好.()×××√2.某廠(chǎng)日產(chǎn)手套總成本y(元)與手套日產(chǎn)量x(副)的關(guān)系式為y=5x+4000,而手套出廠(chǎng)價(jià)格為每副10元,則該廠(chǎng)為了不虧本,日產(chǎn)手套至少為(
)A.200副B.400副C.600副
D.800副答案:D解析:利潤(rùn)z=10x-y=10x-(5x+4000)≥0.解得x≥800.故選D.3.某公司在甲、乙兩地銷(xiāo)售一種品牌車(chē),利潤(rùn)(單位:萬(wàn)元)分別為L(zhǎng)1=5.06x-0.15x2和L2=2x,其中x為銷(xiāo)售量(單位:輛).若該公司在這兩地共銷(xiāo)售15輛車(chē),則能獲得的最大利潤(rùn)為(
)A.45.606萬(wàn)元B.45.6萬(wàn)元C.45.56萬(wàn)元
D.45.51萬(wàn)元答案:B解析:依題意可設(shè)甲銷(xiāo)售x輛,則乙銷(xiāo)售(15-x)輛,總利潤(rùn)S=L1+L2,則總利潤(rùn)S=5.06x-0.15x2+2(15-x)=-0.15x2+3.06x+30=-0.15(x-10.2)2+0.15×10.22+30(0≤x≤15且x∈N),所以當(dāng)x=10時(shí),Smax=45.6(萬(wàn)元).故選B.4.某種動(dòng)物繁殖數(shù)量y(只)與時(shí)間x(年)的關(guān)系為y=alog2(x+1),若這種動(dòng)物第一年有100只,則到第15年會(huì)有
只.400解析:當(dāng)x=1時(shí),y=100代入y=alog2(x+1)可得100=alog22=a∴a=100∴y=100log2(x+1)∴當(dāng)x=15時(shí),100log216=400.題型探究課堂解透
方法歸納二次函數(shù)模型解題思路二次函數(shù)模型的解析式為g(x)=ax2+bx+c(a≠0).在函數(shù)建模中,它占有重要的地位,在根據(jù)實(shí)際問(wèn)題建立函數(shù)解析式后,可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來(lái)求函數(shù)的最值,從而解決實(shí)際問(wèn)題中的最值問(wèn)題.二次函數(shù)求最值最好結(jié)合二次函數(shù)的圖象來(lái)解答.
題型2指數(shù)函數(shù)模型例1(1)酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為.為了保障交通安全,根據(jù)國(guó)家有關(guān)規(guī)定:100mL血液中酒精含量達(dá)到20~79mg的駕駛員即為酒后駕車(chē),80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車(chē).假設(shè)某駕駛員一天晚上8點(diǎn)喝了一定量的酒后,其血液中的酒精含量上升到0.6mg/mL,如果在停止喝酒后,他血液中酒精含量會(huì)以每小時(shí)10%的速度減少,則他次日上午最早幾點(diǎn)(結(jié)果取整數(shù))開(kāi)車(chē)才不構(gòu)成酒后駕車(chē)?()(參考數(shù)據(jù):lg3≈0.477)A.6B.7C.8D.9答案:B
方法歸納指數(shù)型函數(shù)在實(shí)際問(wèn)題中的應(yīng)用:解析式可以表示為y=N(1+p)x(其中N為基礎(chǔ)數(shù),p為增長(zhǎng)率,x為時(shí)間)的形式.本節(jié)中,我們給出指數(shù)型函數(shù)模型y=max+b(a>0,a≠1,m≠0),有關(guān)人口增長(zhǎng)、細(xì)胞分裂等增長(zhǎng)率問(wèn)題??梢杂弥笖?shù)型函數(shù)模型表示.
答案:D
③
方法歸納函數(shù)擬合與預(yù)測(cè)的一般步驟(1)根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格,繪出散點(diǎn)圖.(2)通過(guò)觀(guān)察散點(diǎn)圖,畫(huà)出擬合直線(xiàn)或擬合曲線(xiàn).(3)求出擬合直線(xiàn)或擬合曲線(xiàn)的函數(shù)關(guān)系式.(4)利用函數(shù)關(guān)系式,根據(jù)條件對(duì)所給問(wèn)題進(jìn)行預(yù)測(cè)和控制,為決策和管理提供依據(jù).跟蹤訓(xùn)練3
某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品,根據(jù)預(yù)測(cè)可知,進(jìn)入21世紀(jì)以來(lái),該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長(zhǎng).記2018年為第1年,且前4年中,第x年與年產(chǎn)量f(x)(萬(wàn)件)之間的關(guān)系如下表所示:
若f(x)近似符合以下三種函數(shù)模型之一:f(x)=ax+b,f(x)=2x+a,f(x)=logx+a.找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型,并說(shuō)明理由,然后選取2018年和2020年的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式.x1234f(x)4.005.587.008.44
易錯(cuò)警示易錯(cuò)原因糾錯(cuò)心得忽視自變量的取值范圍,特別是運(yùn)用換元法求二次函數(shù)的最值時(shí)易忽視新元范圍,直接得出t=時(shí),ymin=20-,導(dǎo)致漏解.解答函數(shù)應(yīng)用題時(shí),我們不僅要關(guān)注函數(shù)的定義域,更要關(guān)注其中有關(guān)參數(shù)的限制條件,并使所有的量都有實(shí)際意義.課堂十分鐘1.據(jù)調(diào)查,某自行車(chē)存車(chē)處在某星期日的存車(chē)量為2000輛次,其中變速車(chē)存車(chē)費(fèi)是每輛一次0.8元,普通車(chē)存車(chē)費(fèi)是每輛一次0.5元,若普通車(chē)存車(chē)數(shù)為x輛次,存車(chē)費(fèi)總收入為y元,則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是(
)A.y=0.3x+800(0≤x≤2000,x∈N*)B.y=0.3x+1600(0≤x≤2000,x∈N*)C.y=-0.3x+800(0≤x≤2000,x∈N*)D.y=-0.3x+1600(0≤x≤2000,x∈N*)答案:D解析:由題意知,變速車(chē)存車(chē)數(shù)為(2000-x)輛次,則總收入y=0.5x+(2000-x)×0.8=0.5x+1600-0.8x=-0.3x+1600(0≤x≤2000,x∈N*).故選D.2.某種型號(hào)的手機(jī)自投放市場(chǎng)以來(lái),經(jīng)過(guò)兩次降價(jià),單價(jià)由原來(lái)的2000元降到1280元,則這種手機(jī)平均每次降價(jià)的百分率是()A.10%B.15%C.18%D.20%答案:D解析:設(shè)平均每次降價(jià)的百分率為x,則2000·(1-x)2=1280,所以x=20%.故選D.3.如果在今后若干年內(nèi),我國(guó)國(guó)民經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)總值都控制在平均每年增長(zhǎng)9%的水平,那么要達(dá)到國(guó)民經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)總值比2005年翻兩番的年份大約是(lg2=0.3010,lg3=0.4771,lg109=2.0374,lg0.09=-1.0458)()A.2025
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