形形色色的函數(shù)模型 高一上學(xué)期數(shù)學(xué)湘教版（2019）必修第一冊

4．5.2形形色色的函數(shù)模型新知初探課前預(yù)習(xí)題型探究課堂解透新知初探課前預(yù)習(xí)教材要點(diǎn)要點(diǎn)一幾類已知函數(shù)模型函數(shù)模型函數(shù)解析式一次函數(shù)模型f（x）＝ax＋b（a，b為常數(shù)a≠0）反比例函數(shù)模型f（x）＝＋b（k，b為常數(shù)且k≠0）二次函數(shù)模型f（x）＝ax2＋bx＋c（a，b，c為常數(shù)，a≠0）指數(shù)型函數(shù)模型f（x）＝bax＋c（a，b，c為常數(shù)，b≠0，a＞0且a≠1）對數(shù)型函數(shù)模型f（x）＝blogax＋c（a，b，c為常數(shù)，b≠0，a＞0且a≠1）冪函數(shù)型模型f（x）＝axn＋b（a，b為常數(shù)，a≠0）要點(diǎn)二數(shù)學(xué)建模的步驟(1)正確理解并簡化實(shí)際問題：了解問題的實(shí)際背景，明確其實(shí)際意義，掌握對象的各種信息．根據(jù)實(shí)際對象的特征和建模的目的，對問題進(jìn)行必要的簡化，并用精確的語言提出一些恰當(dāng)?shù)募僭O(shè)．(2)建立數(shù)學(xué)模型：在上述基礎(chǔ)上，利用恰當(dāng)?shù)臄?shù)學(xué)工具來刻畫各變量之間的數(shù)學(xué)關(guān)系，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)結(jié)構(gòu)．(3)求得數(shù)學(xué)問題的解．(4)將求解時分析計算的結(jié)果與實(shí)際情形進(jìn)行比較，驗(yàn)證模型的準(zhǔn)確性、合理性和實(shí)用性．狀元隨筆建立函數(shù)模型解決實(shí)際問題的基本思路基礎(chǔ)自測1.思考辨析（正確的畫“√”，錯誤的畫“×”）（1）實(shí)際問題中兩個變量之間一定有確定的函數(shù)．（）（2）解決某一實(shí)際問題的函數(shù)模型是唯一的．（）（3）在選擇實(shí)際問題的函數(shù)模型時，必須使所有的數(shù)據(jù)完全符合該函數(shù)模型．（）（4）對于一個實(shí)際問題，收集到的數(shù)據(jù)越多，建立的函數(shù)模型的模擬效果越好．（）×××√2．某廠日產(chǎn)手套總成本y(元)與手套日產(chǎn)量x(副)的關(guān)系式為y＝5x＋4000，而手套出廠價格為每副10元，則該廠為了不虧本，日產(chǎn)手套至少為(

)A．200副B．400副C．600副

D．800副答案：D解析：利潤z＝10x－y＝10x－(5x＋4000)≥0.解得x≥800.故選D.3．某公司在甲、乙兩地銷售一種品牌車，利潤(單位：萬元)分別為L1＝5.06x－0.15x2和L2＝2x，其中x為銷售量(單位：輛)．若該公司在這兩地共銷售15輛車，則能獲得的最大利潤為(

)A．45.606萬元B．45.6萬元C．45.56萬元

D．45.51萬元答案：B解析：依題意可設(shè)甲銷售x輛，則乙銷售(15－x)輛，總利潤S＝L1＋L2，則總利潤S＝5.06x－0.15x2＋2(15－x)＝－0.15x2＋3.06x＋30＝－0.15(x－10.2)2＋0.15×10.22＋30(0≤x≤15且x∈N)，所以當(dāng)x＝10時，Smax＝45.6(萬元).故選B.4．某種動物繁殖數(shù)量y（只）與時間x（年）的關(guān)系為y＝alog2（x＋1），若這種動物第一年有100只，則到第15年會有

只．400解析：當(dāng)x＝1時，y＝100代入y＝alog2(x＋1)可得100＝alog22＝a∴a＝100∴y＝100log2(x＋1)∴當(dāng)x＝15時，100log216＝400.題型探究課堂解透

方法歸納二次函數(shù)模型解題思路二次函數(shù)模型的解析式為g(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．在函數(shù)建模中，它占有重要的地位，在根據(jù)實(shí)際問題建立函數(shù)解析式后，可利用配方法、判別式法、換元法、函數(shù)的單調(diào)性等方法來求函數(shù)的最值，從而解決實(shí)際問題中的最值問題．二次函數(shù)求最值最好結(jié)合二次函數(shù)的圖象來解答．

題型2指數(shù)函數(shù)模型例1(1)酒駕是嚴(yán)重危害交通安全的違法行為．為了保障交通安全，根據(jù)國家有關(guān)規(guī)定：100mL血液中酒精含量達(dá)到20～79mg的駕駛員即為酒后駕車，80mg及以上認(rèn)定為醉酒駕車．假設(shè)某駕駛員一天晚上8點(diǎn)喝了一定量的酒后，其血液中的酒精含量上升到0.6mg/mL，如果在停止喝酒后，他血液中酒精含量會以每小時10%的速度減少，則他次日上午最早幾點(diǎn)（結(jié)果取整數(shù)）開車才不構(gòu)成酒后駕車？（）（參考數(shù)據(jù)：lg3≈0.477）A．6B．7C．8D．9答案：B

方法歸納指數(shù)型函數(shù)在實(shí)際問題中的應(yīng)用：解析式可以表示為y＝N（1＋p）x（其中N為基礎(chǔ)數(shù)，p為增長率，x為時間）的形式．本節(jié)中，我們給出指數(shù)型函數(shù)模型y＝max＋b（a＞0，a≠1，m≠0），有關(guān)人口增長、細(xì)胞分裂等增長率問題常可以用指數(shù)型函數(shù)模型表示．

答案：D

③

方法歸納函數(shù)擬合與預(yù)測的一般步驟（1）根據(jù)原始數(shù)據(jù)、表格，繪出散點(diǎn)圖．（2）通過觀察散點(diǎn)圖，畫出擬合直線或擬合曲線．（3）求出擬合直線或擬合曲線的函數(shù)關(guān)系式．（4）利用函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)條件對所給問題進(jìn)行預(yù)測和控制，為決策和管理提供依據(jù)．跟蹤訓(xùn)練3

某企業(yè)常年生產(chǎn)一種出口產(chǎn)品，根據(jù)預(yù)測可知，進(jìn)入21世紀(jì)以來，該產(chǎn)品的產(chǎn)量平穩(wěn)增長．記2018年為第1年，且前4年中，第x年與年產(chǎn)量f（x）（萬件）之間的關(guān)系如下表所示：

若f（x）近似符合以下三種函數(shù)模型之一：f（x）＝ax＋b，f（x）＝2x＋a，f（x）＝logx＋a.找出你認(rèn)為最適合的函數(shù)模型，并說明理由，然后選取2018年和2020年的數(shù)據(jù)求出相應(yīng)的解析式．x1234f（x）4.005.587.008.44

易錯警示易錯原因糾錯心得忽視自變量的取值范圍，特別是運(yùn)用換元法求二次函數(shù)的最值時易忽視新元范圍，直接得出t＝時，ymin＝20－，導(dǎo)致漏解．解答函數(shù)應(yīng)用題時，我們不僅要關(guān)注函數(shù)的定義域，更要關(guān)注其中有關(guān)參數(shù)的限制條件，并使所有的量都有實(shí)際意義．課堂十分鐘1．據(jù)調(diào)查，某自行車存車處在某星期日的存車量為2000輛次，其中變速車存車費(fèi)是每輛一次0.8元，普通車存車費(fèi)是每輛一次0.5元，若普通車存車數(shù)為x輛次，存車費(fèi)總收入為y元，則y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式是(

)A．y＝0.3x＋800(0≤x≤2000，x∈N*)B．y＝0.3x＋1600(0≤x≤2000，x∈N*)C．y＝－0.3x＋800(0≤x≤2000，x∈N*)D．y＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000，x∈N*)答案：D解析：由題意知，變速車存車數(shù)為(2000－x)輛次，則總收入y＝0.5x＋(2000－x)×0.8＝0.5x＋1600－0.8x＝－0.3x＋1600(0≤x≤2000，x∈N*).故選D.2．某種型號的手機(jī)自投放市場以來，經(jīng)過兩次降價，單價由原來的2000元降到1280元，則這種手機(jī)平均每次降價的百分率是（）A．10%B．15%C．18%D．20%答案：D解析：設(shè)平均每次降價的百分率為x，則2000·(1－x)2＝1280，所以x＝20%.故選D.3．如果在今后若干年內(nèi)，我國國民經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)總值都控制在平均每年增長9%的水平，那么要達(dá)到國民經(jīng)濟(jì)生產(chǎn)總值比2005年翻兩番的年份大約是（lg2＝0.3010，lg3＝0.4771，lg109＝2.0374，lg0.09＝－1.0458）（）A.2025