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考研數學三(無窮級數)模擬試卷1(共6套)(共207題)考研數學三(無窮級數)模擬試卷第1套一、選擇題(本題共4題,每題1.0分,共4分。)1、下列結論中正確的是A、若數列{un}單調有界,則級數收斂.B、若級數部分和數列{Sn}單調有界,則級數收斂.C、若級數收斂,則數列{un}單調有界.D、若級數收斂,則級數部分和數列{Sn}單調有界.標準答案:B知識點解析:由級數收斂的概念知級數收斂就是其部分和數列{Sn}收斂.數列{un}單調有界只說明存在,未必有存在;由{Sn}單調有界必存在極限即可判定級數收斂,故選B.而由級數收斂,雖然可以確定數列{Sn}和{un}收斂,但{Sn}和{un}未必是單調的.2、現有命題其中真命題的序號是A、①與②B、②與③C、③與④D、①與④標準答案:B知識點解析:設un=(-1)n-1(n=1,2,3,…),于是收斂,但發(fā)散.可見命題①不正確.或把看成為是級數去掉括號后所得的級數.由級數的基本性質5:收斂級數加括號之后所得級數仍收斂,且收斂于原級數的和;但若加括號所得新級數發(fā)散時,則原級數必發(fā)散;而當加括號后所得新級數收斂時,則原級數的斂散性不能確定,即原級數未必收斂.故命題①不是真命題.設收斂,則其部分和Sn(n=1,2,…)滿足而的部分和Tn=Sn+1000一S1000,(n=1,2,…),從而即收斂.設由極限的保號性質可知,存在自然數N,使得當n>N時成立,這表明當n>N時un同號且后項與前項的比值大于1.無妨設uN+1>0,于是有0N+1N+2<…n<…(n>N),從而故發(fā)散.若級數有負項,可類似證明同樣結論成立.可見命題②與③都是真命題.設un=1,vn=-1(n=1,2,3…),于是收斂,但都發(fā)散.可見命題④不是真命題.故應選B.3、若級數當x>0時發(fā)散,而當x=0時收斂,則常數a=__________.A、1B、-1C、2D、-2標準答案:B知識點解析:本題是一個具體的冪級數,可直接求出該級數的收斂域,再根據題設條件確定a的取值.由知收斂半徑為1,從而收斂區(qū)間為|x-a|<1,即a-1<x<a+1.又當x-a=1即x=a+1時,原級數變?yōu)槭諗?;當x-a=-1即x=a-1時,原級數變?yōu)榘l(fā)散.因此,原級數的收斂域為a-1<x≤a+1.于是,由題設x=0時級數收斂,x>0時級數發(fā)散可知,x=0是收斂區(qū)間的一個端點,且位于收斂域內.因此只有a+1=0,從而a=-1.故選B.4、設常數λ>0且級數收斂,則級數A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、收斂性與λ有關標準答案:C知識點解析:利用不等式2|ab|≤a2+b2可得由于級數與均收斂,所以原級數絕對收斂,即C正確.故選C.二、解答題(本題共27題,每題1.0分,共27分。)5、已知級數證明級數收斂,并求此級數的和.標準答案:由級數收斂則它的任何加括號級數也收斂的性質及知,級數收斂,其和數為2,且an→0.又由于從而設的部分和為Sn,則S2n=a1+a2+…+a2n-1+a2n=(a1+a2)+…+(a2n-1+a2n)是的部分和,因此注意到S2n+1S2n+a2n+1,因此從而說明收斂且其和為8.知識點解析:注意到是的一個加括號級數,由題設知級數的奇數項構成的級數收斂,從而可以由級數的性質通過運算來判定收斂并求出其和.判定下列級數的斂散性:6、標準答案:當a>1時,1+an>an,因此由幾何級數的斂散性可知收斂,從而收斂.當0<a≤1時,l+an≤2,因此從而由級數收斂的必要條件可知發(fā)散.知識點解析:暫無解析7、標準答案:注意到xlnn=elnnlnx=nlnx,這樣原級數轉化為p-級數.由于級數當p>1時收斂,p≤1時發(fā)散可得:當lnx>1時收斂,當lnx≤1時發(fā)散.因此當x>e時收斂,當x≤e時發(fā)散.知識點解析:暫無解析判定下列正項級數的斂散性:8、標準答案:利用比值判別法.因故原級數收斂.知識點解析:暫無解析9、標準答案:利用比較判別法的一般形式.由于且級數發(fā)散,故原級數發(fā)散.知識點解析:暫無解析10、標準答案:利用比較判別法的極限形式.由于即而級數發(fā)散,故原級數也發(fā)散.知識點解析:暫無解析11、標準答案:利用比較判別法的極限形式.于是從而由收斂即知收斂.知識點解析:暫無解析12、標準答案:利用比較判別法的極限形式.取那么,由可知具有相同的斂散性.由于發(fā)散,從而原級數發(fā)散.知識點解析:暫無解析13、標準答案:考察由洛必達法則可得因此由極限不等式性質,當n>N,即由于收斂,根據正項級數比較判別法的極限形式可得收斂.知識點解析:暫無解析判定下列級數的斂散性,當級數收斂時判定是條件收斂還是絕對收斂:14、標準答案:由于而級數收斂,利用比較判別法即知收斂,所以此級數絕對收斂.知識點解析:暫無解析15、標準答案:由于當n充分大時有所以此級數為交錯級數,且此時還有由萊布尼茨判別法知級數收斂,又由于所以級數發(fā)散,故原級數條件收斂.知識點解析:暫無解析16、標準答案:注意到因為從而前一個級數絕對收斂,但后一個級數是條件收斂的,故原級數條件收斂.知識點解析:暫無解析求下列冪級數的收斂域:17、標準答案:因故收斂半徑當時,冪級數變?yōu)槭且粋€收斂的交錯級數;當時,冪級數變成它是發(fā)散的,所以的收斂域D為知識點解析:暫無解析18、標準答案:由于故原級數的收斂半徑R=+∞,即收斂域D為(-∞,+∞).知識點解析:暫無解析19、標準答案:該冪級數缺偶次方項,即a2n=0,故不能用求R公式求其收斂半徑.此時,可將x看成數,把原冪級數當作一個數項級數來處理.由于故當4|x|2<1即時級數絕對收斂;當4|x|2>1即時通項不趨于0,級數發(fā)散,所以收斂半徑又在處,級數成為發(fā)散.故原冪級數的收斂域為知識點解析:暫無解析20、求及arctanx的麥克勞林級數.標準答案:利用公式(5.13),并以x2代替其中的x,則有=1-x2+x4-x6+…+(-1)nx2n+…,(|x|<1).由于故對的展開式實行逐項積分即得由于arctanx在[-1,1]上連續(xù),冪級數在[-1,1]上收斂,故當x=±1時上述展開式也成立.即知識點解析:暫無解析求下列冪級數的和函數:21、標準答案:令則易知S1(x)的收斂域為(-1,1),且S(x)=xS1(x).為求其和函數S(x)首先求.S1(x),在其收斂區(qū)間(-1,1)內進行逐項積分得因此于是知識點解析:暫無解析22、標準答案:方法1容易求得冪級數的收斂域為[-1,1).為求其和函數首先在收斂區(qū)間(-1,1)內進行逐項求導,得又因為S(0)=0,因此注意和函數S(x)與函數-ln(1-x)都在[-1,1)上連續(xù),它們又在(-1,1)內恒等,于是由連續(xù)性可知S(x)=-ln(1-x)也在x=-1處成立,即S(x)=-ln(1-x)(-1≤x<1).方法2由公式(5·11)可知故由于ln(1+x)的收斂域為(-1,1],故ln(1-x)的收斂域為[-1,1),-ln(1-x)的收斂域不變.知識點解析:暫無解析判別下列正項級數的斂散性:23、標準答案:由于所以,當p<e時,級數收斂;當p>e時,該級數發(fā)散;當p=e時,比值判別法失效.注意到數列是單調遞增趨于e的,所以當p=e時,即{un}單調遞增不是無窮小量,所以該級數也是發(fā)散的.從而,級數當p<e時收斂,p≥e時發(fā)散.知識點解析:暫無解析24、標準答案:因此,當β<1時,原級數收斂,當β>1時發(fā)散.若β=1,則原級數為因此,當α>1時收斂,α≤1時發(fā)散.知識點解析:暫無解析判別下列正項級數的斂散性:25、標準答案:利用比較判別法的極限形式,由于級數發(fā)散,而且當n→∞時所以原級數也發(fā)散.知識點解析:暫無解析26、標準答案:仍利用比較判別法的極限形式.先改寫方法1用泰勒公式確定關于的階.由于所以收斂.方法2轉化為考察無窮小量x-ln(1+x)當x→0時關于x的階.由即知當x→0時x-ln(1+x)~2,從而因此原級數收斂.知識點解析:暫無解析27、標準答案:注意到而且級數收斂,所以原級數也收斂.知識點解析:暫無解析判別下列正項級數的斂散性:28、標準答案:方法1因為函數單調遞減,所以再采用比較判別法,并將與收斂級數相比較,由于所以,級數收斂.再由上面導出的不等式知原級數收斂.方法2直接利用定義來判別其收斂性.由可知所以原級數收斂,且其和為4e-1.知識點解析:暫無解析29、其中{xn}是單調遞增而且有界的正數數列.標準答案:首先因為{xn}是單調遞增的有界正數數列,所以現考察原級數的部分和數列{Sn},由于又{xn}有界,即|xn|≤M(M>0為常數),故所以{Sn}也是有界的.由正項級數收斂的充要條件知原級數收斂.知識點解析:暫無解析考察級數其中p為常數.30、證明:標準答案:將an2改寫成由于再將an2改寫成知識點解析:暫無解析31、證明:級數當p>2時收斂,當p≤2時發(fā)散.標準答案:容易驗證比值判別法對級數失效,因此需要用適當放大縮小法與比較原理來討論它的斂散性.上題已給出了{an}上下界的估計,由注意當p>2即時收斂,當p≤2即時發(fā)散,因此級數當p>2時收斂,當p≤2時發(fā)散.知識點解析:暫無解析考研數學三(無窮級數)模擬試卷第2套一、選擇題(本題共18題,每題1.0分,共18分。)1、設級數收斂,則下列選項必為收斂級數的為()A、B、un2C、(u2n-1一u2n)。D、(un+un+1)。標準答案:D知識點解析:因為級數un收斂,而un+1與un只差一項,故un+1收斂,再由收斂級數的和仍收斂可知,級數(un+un+1)收斂,故選D。2、如果級數an和bn都發(fā)散,則()A、(an一bn)必發(fā)散。B、anbn必發(fā)散。C、(an+|bn|)必發(fā)散。D、(|an|+|bn|)必發(fā)散。標準答案:D知識點解析:由于an發(fā)散,則|an|發(fā)散,而|an|≤|an|+|bn|),故(|an|+|bn|)必發(fā)散,故選D。3、已知級數an收斂,則下列級數中必收斂的是()A、B、an2C、(a2n-1一l一a2n)。D、(an+an+k),k為正整數。標準答案:D知識點解析:由于(an+an+k)=an+an+k,而級數an+k為原級數an去掉了前k項,因此也收斂,故(an+an+k)必收斂,故選D。4、設an>0(n=1,2,…),且an>收斂,常數λ∈(0,),則級數()A、絕對收斂。B、條件收斂。C、發(fā)散。D、斂散性與λ有關。標準答案:A知識點解析:利用比較法。因為=λ>0,而由正項級數an收斂可知,a2n收斂,再由比較法的極限形式知,原級數絕對收斂,故選A。5、下列命題成立的是()A、若=0,則bn收斂時,an收斂。B、=∞,則an發(fā)散時,bn發(fā)散。C、若=1,則中至少有一個發(fā)散。D、若=0,則中至少有一個收斂。標準答案:C知識點解析:由于anbn=1,則an=0和bn=0中至少有一個不成立,則級數中至少有一個發(fā)散,故選C。6、設0≤an<。(n=1,2,…),則下列級數中一定收斂的是()A、

B、

C、

D、

標準答案:D知識點解析:由0≤an<可知,0≤an2<,而由收斂及正項級數的比較判別法知,級數an2收斂,從而(一1)nan2絕對收斂,故選D。7、級數(α>0,β>0)的斂散性()A、僅與β取值有關。B、僅與α取值有關。C、與α和β的取值都有關。D、與α和β的取值都無關。標準答案:C知識點解析:由于(1)當0<β<1時,級數發(fā)散。(2)當β>1時,級數收斂。(3)當β=1時,原級數為,當α>1時收斂,當α≤1時發(fā)散,故選C。8、設常數λ>0,且級數an2收斂,則級數()A、發(fā)散。B、條件收斂。C、絕對收斂。D、斂散性與λ有關。標準答案:C知識點解析:取an=,顯然滿足題設條件。而此時于是由比較判別法知,級數絕對收斂,故選C。9、設pn=,n=1,2,…,則下列命題正確的是()A、若an條件收斂,則都收斂。B、若an絕對收斂,則都收斂。C、若an條件收斂,則斂散性都不定。D、若an絕對收斂,則斂散性都不定。標準答案:B知識點解析:若an絕對收斂,即|an|收斂,由級數絕對收斂的性質知an收斂。而pn=,再由收斂級數的運算性質知,都收斂,故選B。10、an和bn符合下列哪一個條件可由an發(fā)散得出bn發(fā)散?()A、an≤bn。B、|an|≤bn。C、an≤|bn|。D、|an|≤|bn|。標準答案:B知識點解析:反證法。如果bn收斂,由|an|≤bn知,|an|收斂,從而an收斂與題設矛盾,故選B。11、若級數an收斂,bn發(fā)散,則()A、anbn必發(fā)散。B、an2必收斂。C、bn2必發(fā)散。D、(an+|bn|)必發(fā)散。標準答案:D知識點解析:由bn發(fā)散可知,|bn|必發(fā)散,而an收斂,則(an+|bn|)必發(fā)散,故選D。12、如果級數(an+bn)收斂,則級數()A、都收斂。B、都發(fā)散。C、斂散性不同。D、同時收斂或同時發(fā)散。標準答案:D知識點解析:由于an=(an+bn)一bn,且(an+bn)收斂,當bn收斂時,an必收斂;而當bn發(fā)散時,an必發(fā)散,故選D。13、設a是常數,則級數()A、絕對收斂。B、條件收斂。C、發(fā)散。D、斂散性與口的取值有關。標準答案:C知識點解析:由于收斂,則收斂,但發(fā)散,則發(fā)散,故選C。14、設(a2n-1+a2n)收斂,則()A、an收斂。B、an發(fā)散。C、an=0。D、當an>0時an必收斂。標準答案:D知識點解析:當an>0時,級數(a2n-1+a2n)為正項級數,由于該級數收斂,則其部分和數列=(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)有上界,從而可知正項級數an的部分和數列Sn=a1+a2+…+an有上界,則級數an必收斂,故選D。15、已知(一1)n-1an=2,a2n-1=5,則an等于()A、3。B、7。C、8。D、9。標準答案:C知識點解析:(一1)n-1an=2×5—2=8,故選C。16、正項級數an收斂是級數an2收斂的()A、充要條件。B、充分條件。C、必要條件。D、既非充分條件,又非必要條件。標準答案:B知識點解析:由于正項級數an收斂,則an=0。當n充分大時0≤an2≤an,從而ana2收斂。但an2收斂時,an不一定收斂,如an=。因此,正項級數an收斂是級數an2收斂的充分條件,故選B。17、設un=(一1)nln(1+),則()A、都收斂。B、都發(fā)散。C、un收斂而un2發(fā)散。D、un發(fā)散而un2收斂。標準答案:C知識點解析:是一個交錯級數,而ln(1+)單調遞減趨于零,由萊布尼茨定理知,級數un收斂。而ln2(當n→∞),發(fā)散,則發(fā)散,故選C。18、設冪級數anxn與bnxn的收斂半徑分別為,則冪級數的收斂半徑為()A、5。B、。C、。D、。標準答案:A知識點解析:設極限都存在,則由題設條件可知Ra=于是冪級數的收斂半徑為R==5,故選A。二、填空題(本題共15題,每題1.0分,共15分。)19、若數列{an}收斂,則級數(an+1一an)___________。標準答案:收斂知識點解析:由題干知,級數(an+1一an)的部分和數列為Sn=(a2一a1)+(a3一a2)+…+(an+1一an)=an+1一a1,因為數列{an}收斂,所以{Sn}收斂。因此,級數(an+1一an)收斂。20、設a1=1,=2021,則級數(an+1一an)的和為___________。標準答案:2020知識點解析:級數(an+1一an)的部分和數列為Sn=(a2一a1)+(a3一a2)+…+(an+1一an)=an+1一a1=an+1一1。則一1=2021—1=2020。21、若數列(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)+…發(fā)散,則級數an___________。標準答案:發(fā)散知識點解析:根據級數性質可知,收斂級數加括號后仍然收斂。假設an收斂,則級數(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)+…收斂,與題設矛盾,故an發(fā)散。22、冪級數的收斂半徑R=___________。標準答案:√3知識點解析:首先設an=,則當滿足條件<1時,即|x|<√3時,該冪級數是收斂的。因此,此冪級數的收斂半徑是√3。23、冪級數的收斂域為___________。標準答案:[一1,1)知識點解析:因為=1,則收斂半徑R=1。當x=一1時,原級數為收斂;當x=1時,原級數為發(fā)散。因此收斂域為[一l,1)。24、冪級數的收斂域為___________。標準答案:[4,6)知識點解析:冪級數的系數為An=.則有因此,冪級數的收斂半徑為R=1,其收斂區(qū)間為(4,6)。當x=4時,原級數為收斂;當x=6時,原級數為發(fā)散,故冪級數的收斂域是[4,6)。25、無窮級數的收斂區(qū)間為___________。標準答案:(一√2,√2)知識點解析:在原級數中令=t,原級數可化為,只需討論的收斂半徑和收斂區(qū)間即可。對于級數,由于因此,的收斂半徑為1,收斂區(qū)間為(一1,1)。由于=t,t∈(0,1)所以x=±√2t,即原級數的收斂區(qū)間為(一√2,√2)。26、冪級數的收斂半徑R=___________。標準答案:知識點解析:設an=,則當滿足條件=2x2<1時,即|x|<該冪級數是收斂的。因此,冪級數的收斂半徑是27、無窮級數的收斂區(qū)間為___________。標準答案:知識點解析:冪級數的系數為an=(1+)n2則因此,冪級數xn的收斂半徑為,收斂區(qū)間為。28、設冪級數anxn的收斂半徑為3,則冪級數nan(x一1)n+1的收斂區(qū)間為___________。標準答案:(一2,4)知識點解析:根據冪級數的性質對原冪級數逐項求導后,得,其收斂半徑不變,因此有nan(x一1)n+1=(x一1)2nan(x一1)n-1,其收斂區(qū)間為|x一1|<3,即(一2,4)。29、已知冪級數an(x+2)n在x=0處收斂,在x=一4處發(fā)散,則冪級數an(x一3)n的收斂域為___________。標準答案:(1,5]知識點解析:由題意可知,an(x+2)n的收斂域為(一4,0],則anxn的收斂域為(一2,2]。所以an(x一3)n的收斂域為(1,5]。30、已知冪級數anxn在x=1處條件收斂,則冪級數an(x一1)n的收斂半徑為___________。標準答案:1知識點解析:由題干已知冪級數anxn在x=1處條件收斂,那么x=1為該冪級數收斂區(qū)間的端點,其收斂半徑為l,因此冪級數an(x一1)n收斂半徑也為1。31、級數的和為___________。標準答案:知識點解析:由麥克勞林公式易知ln(1+x)=,則32、級數的和為___________。標準答案:知識點解析:令S(x)=nxn-1,(|x|<1),那么有33、f(x)=在x=一1處的泰勒展開式為___________。標準答案:(一1)n(x+1)n,(一2<x<0)知識點解析:f(x)=考研數學三(無窮級數)模擬試卷第3套一、選擇題(本題共15題,每題1.0分,共15分。)1、下列命題中正確的是()A、

B、

C、

D、

標準答案:D知識點解析:因為ωn<un<vn,所以0<un一ωn<vn一ωn.又因為收斂,因為只有當級數收斂時,才能比較其和的大小,所以不能選(A);選項(B),(C)將正項級數的結論用到了一般級數上,顯然不對.例如取級數可以說明(B)不對,取級數就可以說明(C)不對,故選(D).2、下列命題中錯誤的是()A、

B、

C、

D、

標準答案:D知識點解析:由級數收斂的性質知命題(A)正確;由反證法可知命題(B)正確.若設,這兩個級數都發(fā)散,但是收斂,可知命題(C)正確,命題(D)錯誤.3、已知級數條件收斂,則()A、

B、

C、

D、

標準答案:D知識點解析:設4、設a>0為常數,則A、絕對收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性與a有關標準答案:A知識點解析:5、對于級數其中un>0(n=1,2,3,…),則下列命題正確的是()A、

B、

C、

D、

標準答案:B知識點解析:因|(一1)n-1un|=|un|=un,由絕對收斂,故命題(B)正確;命題(A)錯誤:如;命題(C),(D)錯誤:如取6、下列結論正確的是()A、在收斂域上必絕對收斂B、的收斂半徑為R,則R一定是正常數C、若的收斂半徑為R,則其和函數S(x)在(-R,R)內必可微D、都是冪級數標準答案:C知識點解析:由冪級數的和函數S(x)在收斂區(qū)間(一R,R)上的性質可知,命題(C)正確.命題(A)錯誤:如收斂域為(一1,1],但在x=1處,命題(B)錯誤:因為收斂半徑可能為R=0或R=+∞;命題(D)錯誤:由冪級數的定義可知不是冪級數.7、設0≤un≤則下列級數中一定收斂的是()A、

B、

C、

D、

標準答案:D知識點解析:因收斂,由正項級數的比較審斂法知收斂,故絕對收斂,從而收斂,故選(D).8、已知級數則()A、級數①收斂,級數②發(fā)散B、級數①發(fā)散,級數②收斂C、兩級數都收斂D、兩級數都發(fā)散標準答案:D知識點解析:設則{u2n}為單調增數列,故從而級數①發(fā)散,由級數發(fā)散可知,級數②一般項極限不為零,故發(fā)散.9、當級勢A、一定條件收斂B、一定絕對收斂C、一定發(fā)散D、可能收斂,也可能發(fā)散標準答案:B知識點解析:因級數都為正項級數,且收斂,又由比較審斂法知,絕對收斂.故選(B).10、若正項級數發(fā)散,則()A、

B、

C、

D、

標準答案:C知識點解析:級數存在N,當n>N時.an2≤an,由比較審斂法知,必收斂.故選(C).11、存在是級數(an一an+1)收斂的()A、充分條件而非必要條件B、必要條件而非充分條件C、既非充分又非必要條件D、充分必要條件標準答案:D知識點解析:(an一an+1)的前n項和為Sn=(a1一a2)+(a2一a3)+…+(an一an+1)=a1一an+112、設存在,則()A、必收斂B、(an2一an+12)必收斂C、(a2n-1一a2n)必收斂D、標準答案:B知識點解析:由于(an2一an+12)=a12—a2,所以選(B).13、若an(x一1)n在x=-1處收斂,則在x=2處是()A、條件收斂B、絕對收斂C、發(fā)散D、斂散性不確定標準答案:B知識點解析:由an(x一1)n在x=一1處收斂,則收斂半徑R≥|一1—1|=2.而在x=2處,|2—1|=1<R,所以x=2在收斂區(qū)間內,即原級數在x=2處絕對收斂,故應選(B).14、級數A、收斂B、發(fā)散C、條件收斂D、絕對收斂標準答案:C知識點解析:15、當|x|<1時,級數的和函數是()A、ln(1一x)B、C、ln(x-1)D、一ln(x一1)標準答案:B知識點解析:二、填空題(本題共9題,每題1.0分,共9分。)16、設a為常數,若級數標準答案:a知識點解析:因為級數17、級數的和為_______.標準答案:知識點解析:因為級數為等比級數,其公比q滿足18、級數,當______時絕對收斂;當________時條件收斂;當________時發(fā)散.標準答案:p>1;0<p≤1;p≤0知識點解析:19、常數項級數的斂散性為________.標準答案:發(fā)散知識點解析:將已給級數每相鄰兩項加括號得新級數因為級數發(fā)散,由于加括號后級數發(fā)散,故原級數必發(fā)散.20、的斂散性為_______.標準答案:發(fā)散知識點解析:21、正項級數收斂的充分必要條件為其部分和數列{Sn}_______.標準答案:有界(或有上界)知識點解析:級數,收斂等價于{Sn}收斂.對于正項級數{Sn}為單調遞增數列.由數列極限存在準則與數列收斂的必要條件可知,單調遞增數列{Sn}收斂等價于{Sn}有界(或有上界).22、級數的收斂域是_______.標準答案:(一1,1]知識點解析:因為不缺項的x的冪級數,又因故R=1.23、函數f(x)=展開成的x-1的冪級數為__________.標準答案:(一1)n(x一1)n,0<x<2知識點解析:因一1<x<1.故(一1)n(x一1)n,一1<x一1<1,即0<x<2.24、冪級數在收斂區(qū)間(-a,a)內的和函數S(x)為_______.標準答案:知識點解析:三、解答題(本題共10題,每題1.0分,共10分。)25、標準答案:知識點解析:暫無解析26、求(a為常數,0<|a|<e).標準答案:利用級數的收斂,求數列極限或證明數列收斂.若對于級數.由知識點解析:暫無解析27、判別下列級數的斂散性(k>1,a>1):標準答案:知識點解析:暫無解析28、判別級數的斂散性.標準答案:收斂,故原級數收斂.知識點解析:暫無解析29、將函數f(x)=展開成x的冪級數,并指出其收斂區(qū)間.標準答案:由已知展開式知知識點解析:暫無解析30、判別下列正項級數的斂散性:標準答案:知識點解析:暫無解析31、判別級數的斂散性.標準答案:易知當n充分大時,單調遞減且收斂于0,由萊布尼茨判別法知,級數收斂.知識點解析:暫無解析32、判別級數的斂散性.標準答案:由泰勒公式,有知識點解析:暫無解析33、判別級數的斂散性.標準答案:F(x)單調減少,因此級數滿足萊布尼茨判別法條件,是條件收斂的.但級數發(fā)散.由收斂級數與發(fā)散級數的代數和是發(fā)散級數,知原級數發(fā)散.知識點解析:暫無解析34、設兩條拋物線y=nx2+和y=(n+1)x2+記它們交點的橫坐標的絕對值為an.求:(1)這兩條拋物線所圍成的平面圖形的面積Sn;(2)級數的和.標準答案:(1)解方程得兩條拋物線交點的橫坐標的絕對值為根據對稱性可得知識點解析:暫無解析考研數學三(無窮級數)模擬試卷第4套一、選擇題(本題共11題,每題1.0分,共11分。)1、設級數收斂,則下列選項中一定收斂的級數為()A、B、C、D、標準答案:D知識點解析:方法一:令sn=u1+u2+…+un,因為收斂,所以且存在。設,令s’n=(u1+u2)+(u2+u3)+…+(un+un+1)=2sn-u1+un+1。因為,所以級數收斂。故選D。方法二:取,級數收斂,而發(fā)散,選項A不對;取,級數發(fā)散,選項B不對;取,級數發(fā)散,由比較判別法可知選項C不對。故選D。2、設級數收斂,則級數()A、收斂B、收斂C、收斂D、收斂標準答案:D知識點解析:方法一:令sn=a1+a2+…+an,因為收斂,所以且存在。設,令故極限存在,所以收斂,故選D。方法二:令,則級數為萊布尼茨級數,故收斂。而,由此可知,級數和均發(fā)散。故選D。3、設有兩個數列{an},{bn},若,則()A、當收斂時,收斂B、當收斂時,收斂C、當收斂時,收斂D、當收斂時,收斂標準答案:C知識點解析:方法一:因為,根據極限的定義存在一實數M>0,對一切n有︱an︱≤M。同理,若收斂,則,取M0=1,存在正整數N,當n>N時,︱bn︱<1,于是bn2≤︱bn︱,由正項級數的比較審斂法得收斂。由an2bn2≤M2bn2及收斂,得收斂,故選C。方法二:取,顯然收斂,但發(fā)散,選項A不對。取,顯然且發(fā)散,但收斂,選項B不對。取,顯然且發(fā)散,但收斂,選項D不對。由排除法可知,故選C。4、設an>0,n=1,2,3,…,且收斂,常數,則級數()A、絕對收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性與λ有關。標準答案:A知識點解析:由于為正項級數且收斂,則級數收斂,而且有則由比較判別法可知收斂,故絕對收斂。故選A。5、設為正項級數,下列結論中正確的是()A、若,則級數收斂B、若存在非零常數λ,使得,則級數發(fā)散C、若級數收斂,則D、若級數發(fā)散,則存在非零常數λ,使得標準答案:B知識點解析:方法一:取,則有,但級數發(fā)散,故選項A不對。取,級數收斂,但,故選項C不對。取,級數發(fā)散,但,選項D不對。故選B。方法二:設,取,因為,所以存在正整數N,當n>N時,,于是有,即。而發(fā)散,由正項級數的比較審斂法得發(fā)散。故選B。6、下列級數中屬于條件收斂的是()A、B、C、D、標準答案:D知識點解析:方法一:由于其中收斂,選項A發(fā)散。由于其中均收斂→選項B絕對收斂。由于收斂→選項C絕對收斂。故選D。方法二:直接證明選項D條件收斂。單調下降趨于零(n→∞),根據萊布尼茨定理可知交錯級數收斂。又有且發(fā)散,即選項D條件收斂。故選D。7、設a>0為常數,則()A、絕對收斂B、條件發(fā)散C、發(fā)散D、收斂性與a有關標準答案:A知識點解析:,且。由于收斂,故收斂,則絕對收斂。故選A。8、若在x=-1處收斂,則此級數在x=2處()A、條件收斂B、絕對收斂C、發(fā)散D、收斂性不確定標準答案:B知識點解析:因為x=-1為級數的收斂點,所以級數在︱x-1︱<︱-1-1︱=2內收斂,即當-1<x<3時級數絕對收斂,由于x=2在區(qū)間(-1,3)內,故選B。9、下列四個級數中發(fā)散的是()A、B、C、D、標準答案:B知識點解析:對于選項A,因為由比較審斂法知,級數收斂。對于選項B,因為而級數發(fā)散,由比較審斂法的極限形式知級數發(fā)散。對于選項C,這是一個交錯級數,而且令,則,當x>e2時,f’(x)<0,所以f(x)單調減少,即當n>[e2]([e2]表示不大于e2的最大整數)時,,由交錯級數的萊布尼茨定理知,級數收斂。對于選項D,因為而級數收斂,所以絕對收斂。故選B。10、若級數收斂,發(fā)散,則()A、必發(fā)散B、必收斂C、必發(fā)散D、必發(fā)散標準答案:D知識點解析:方法一:(推理法)由發(fā)散,知一定發(fā)散,而收斂,則有一定發(fā)散。故選D。方法二:(排除法)取,則收斂,發(fā)散,但絕對收斂,排除選項A;發(fā)散,排除選項B;收斂,排除選項C。故選D。11、級數(a為常數)()A、絕對收斂B、條件收斂C、發(fā)散D、斂散性與a有關標準答案:D知識點解析:當a=0時,為交錯級數,且當n≥3時滿足萊布尼茨定理,所以收斂。當a=1時,的一般項不趨于零,發(fā)散。所以,斂散性與a有關。故選D。二、填空題(本題共9題,每題1.0分,共9分。)12、若級數(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)+…發(fā)散,則級數_____________________。標準答案:發(fā)散知識點解析:假設收斂,由級數性質知,收斂級數加括號仍收斂,則級數(a1+a2)+(a3+a4)+…+(a2n-1+a2n)+…收斂,與題設矛盾。因此發(fā)散。13、冪級數的收斂半徑為_____________________。標準答案:知識點解析:該冪級數的收斂半徑14、冪級數的和函數為_____________________。標準答案:In2-In(3-x),x∈[-1,3)知識點解析:令,則s(1)=0,對等式兩邊求導得其中,即-1<x<3。再對等式兩邊從1到x積分,得所以s(x)=In2-In(3-x),x∈(-1,3)。當x=-1時,s(x)連續(xù),收斂;當x=3時,s(x)無意義,發(fā)散,故冪級數的和函數為s(x)=In2-In(3-x),x∈(-1,3)。15、設有以下命題①若收斂,則收斂;②若收斂,則收斂;③若,則發(fā)散;④若收斂,則都收斂。則以上命題正確的序號是_____________________。標準答案:②③知識點解析:級數加括號收斂,原級數不一定收斂,如,則①不正確。是級數去掉了前100項,則由收斂可知收斂,則②正確。由于,則有則當n充分大時︱un+1︱>︱un︱>0,從而故級數發(fā)散,③正確。設,有收斂,而均發(fā)散,④不正確。16、已知冪級數在x>0時發(fā)散,且在x=0時收斂,則a的取值是_____________________。標準答案:-1知識點解析:由,可知該冪級數的收斂半徑為1,從而得其收斂區(qū)間為︱x-a︱<1,即a-1<x<a+1。當x-a=1,即x=a+1時,原函數為,收斂;當x-a=-1,即x=a-1時,原級數為,該級數發(fā)散。因此,原基數的收斂域為a-1<x≤a+1。由題設,x=0時級數收斂,x>0時級數發(fā)散,可知x=0是其收斂區(qū)間的一個端點,且位于收斂域內。因此只有a+1=0,即得a=-1。17、設級數,當_____________________時級數收斂,當_____________________時級數發(fā)散。標準答案:a>e,0<a≤e知識點解析:因為,所以a>e時級數收斂,0<a≤e時級數發(fā)散。18、設冪級數的收斂半徑為3,則冪級數的收斂區(qū)間為_____________________。標準答案:(-2,4)知識點解析:令t=x-1,則由于逐項求導后的冪級數與原級數有相同的收斂半徑,且已知的收斂半徑為3,所以的收斂半徑為3,從而的收斂半徑為3。收斂區(qū)間(-3,3)。因此對于原級數,它的收斂區(qū)間為-3<x-1<3,即(-2,4)。19、冪級數的收斂域為_____________________。標準答案:[-4,6)知識點解析:由,因此,冪級數的收斂半徑為R=1,則有︱x-5︱<1,即4<x<6。當x=4時,原級數收斂;當x=6時,原級數為發(fā)散。故冪級數的收斂域是[-4,6)。20、設f(x)=xIn(1+x2),則f(49)(0)=_____________________。標準答案:知識點解析:函數f(x)的麥克勞林展開式為。因為,所以,于是。由函數麥克勞林系數的唯一性得,于是三、解答題(本題共11題,每題1.0分,共11分。)21、判斷級數的斂散性。標準答案:設是的p級數,因此收斂。所以由比較判別法可知原級數收斂。知識點解析:暫無解析22、求級數的和函數。標準答案:知識點解析:暫無解析23、求冪級數的收斂域及和函數。標準答案:由于,所以收斂半徑R=1,且在x=±1處級數發(fā)散,故收斂域為(-1,1)。又設有,所以設有則,取不定積分得,s3(0)=0→C=0,所以和函數其中0<︱x︱<1,s(0)=3。知識點解析:暫無解析24、證明級數條件收斂。標準答案:令,n=2,3,…,則。因為級數發(fā)散,所以由比較判別法可知,級數發(fā)散,即級數不絕對收斂。注意到原級數雖然是交錯級數,但數列并沒有單調性,所以不能用萊布尼茨判別法判斷其斂散性。轉而考慮其部分和數列{s2n}{s2n+1}。因為(注意部分和數列從k=2開始)并且即數列{s2n}單調遞減有下界,所以由單調有界原理可知數列{s2n}收斂。再由s2n+1=s2n+a2n+2,且,可知數列{s2n+1}也收斂,且,所以部分和數列{sn}收斂。由級數收斂的定義可知,級數收斂,從而級數條件收斂。知識點解析:暫無解析25、判斷級數的斂散性。標準答案:因為則有故,所以根據級數收斂的定義知,收斂。知識點解析:暫無解析26、求冪級數的收斂域D和函數s(x)。標準答案:方法一:由,故級數的收斂半徑R=1,且級數在收斂區(qū)間(-1,1)的兩個端點x=-1與x=1處都收斂,因此級數的收斂域為[-1,1]。令,x∈[-1,1],用x2乘以冪級數s(x),則有對等式逐項求導三次可知再積分三次,則有令1-t=u,則故有其中x∈(-1,1),s(0)=0。方法二:收斂域同方法一,下面求和函數。用通項拆分法分解冪級數可得利用已知的和函數公式:當0<︱x︱<1時,其中x∈(-1,1),s(0)=0。代入得知識點解析:暫無解析27、設數列{an},{bn}滿足ebn=ean-an,且an>0,n=1,2,3,…,證明:(Ⅰ)bn>0;(Ⅱ)若收斂,則收斂。標準答案:(Ⅰ)由冪級數展開式可知,當x≠0時,ex-x>1恒成立。再由an>0可得,ebn=ean-an>1=e0,故bn>0。(Ⅱ)由ebn=ean-an可得,bn=In(ean-an)。因為an>0,且級數收斂,所以,則。再結合,可知由比較審斂法的極限形式可知,級數收斂。知識點解析:暫無解析28、設,其中n=1,2,…。證明:(Ⅰ)存在;(Ⅱ)級數收斂。標準答案:(Ⅰ)顯然an>0(n=1,2…),由均值不等式易知又因所以{an}單調遞減且有下界,故極限存在。(Ⅱ){an}單調遞減,則,原級數是正項級數。由an≥1得而級數的部分和為存在,則級數收斂。由比較判別法知收斂。知識點解析:暫無解析29、判定級數與級數的斂散性。標準答案:由泰勒公式并令可得從而級數可分解為兩個級數之差。因為這兩個級數都是收斂的,所以級數收斂。對于級數,因從而級數可以分解為級數與級數之和。由萊布尼茨判別法知交錯級數收斂;利用n→∞時可知,正項級數與正項級數有相同的斂散性,因此級數發(fā)散。再利用級數的運算性質知,級數是發(fā)散的。綜上所述可得,級數收斂,而級數發(fā)散。知識點解析:暫無解析30、設f(x)有二階導數,且,證明級數絕對收斂。標準答案:由得f(0)=1,由洛必達法則有于是有f’(0)=0。再由得f’’(0)=5。因為f(x)有二階導數,所以有令,于是。因為,而收斂,所以收斂,故級數絕對收斂。知識點解析:暫無解析31、求冪級數的收斂域與和函數。標準答案:由,因此級數的收斂半徑R=1,收斂區(qū)間為(-1,1)。當x=±1時,,而收斂,故原級數絕對收斂,所以得收斂域為[-1,1]。設當x=0時,s(0)=0。當x∈(-1,1)且x≠0時,有而有所以因s(x)在x=1處連續(xù),故時,原級數為所以s(x)的和函數為知識點解析:暫無解析考研數學三(無窮級數)模擬試卷第5套一、選擇題(本題共3題,每題1.0分,共3分。)1、設則級數A、

B、

C、

D、

標準答案:C知識點解析:是交錯級數,滿足萊布尼茨判別法的兩個條件,所以是收斂的.而是正項級數,且由級數發(fā)散即得發(fā)散.這就說明C正確.2、設a>0為常數,則級數A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、斂散性與a有關標準答案:B知識點解析:用分解法.分解級數的一般項3、設常數a>2,則級數A、發(fā)散B、條件收斂C、絕對收斂D、斂散性與α有關標準答案:C知識點解析:由于設常數p滿足1<p<α-1,則有由正項級數比較判別法的極限形式知級數收斂,進而知當α>2時絕對收斂,即C正確.二、解答題(本題共28題,每題1.0分,共28分。)判別下列正項級數的斂散性:4、標準答案:當p≤0時,有成立,即級數的一般項不是無窮小量,故級數發(fā)散.當p>0時,令由于從而又發(fā)散,故級數發(fā)散.綜合即知:無論常數p取何值,題設的級數總是發(fā)散的.知識點解析:暫無解析5、標準答案:因(lnn)lnn=elnn·ln(lnn)=nln(lnn)>n2(n>ee2),又因收斂,故級數收斂.知識點解析:暫無解析6、標準答案:當p>1時,由于n≥3時有又收斂,故級數收斂.當p<1時,因又發(fā)散,故級數發(fā)散.當p=1時,因所以這表明級數的部分和Sn無界,即級數發(fā)散.綜合得當p>1時收斂,當p≤1時發(fā)散.知識點解析:暫無解析7、標準答案:當p≤1時,因又由上題知發(fā)散,故級數發(fā)散.當p>1時,因所以這表明此時部分和有界,故級數收斂.綜合得當p>1時收斂;當p≤1時發(fā)散.知識點解析:暫無解析8、討論級數的斂散性,其中標準答案:當x∈[0,1]時,x(1-x)sin2nx≥0,從而un≥0.故為正項級數.又sin2nx≤x2n(x∈[0,1]),所以而收斂,所以收斂.知識點解析:暫無解析判別下列級數的斂散性(包括絕對收斂或條件收斂):9、標準答案:由于而且級數發(fā)散,所以原級數不是絕對收斂的.原級數是交錯級數,易知為考察的單調性,令記由x充分大時可知當x充分大時g(x)單調增加,從而f(x)單調增加.故當n充分大時單調減少.這說明級數滿足萊布尼茨判別法的兩個條件,所以該級數收斂,并且是條件收斂的.知識點解析:暫無解析10、標準答案:由于所以此級數是交錯級數.又由于而且發(fā)散,這說明原級數不是絕對收斂的.由于sinx在第一象限是單調遞增函數,而是單調減少的,所以,隨著n的增加而單調遞減.又因這說明級數滿足萊布尼茨判別法的兩個條件,從而它是收斂的.結合前面的討論,知其為條件收斂.知識點解析:暫無解析11、判別級數的斂散性.標準答案:【解法一】注意級數的一般項滿足且條件收斂,發(fā)散,故原級數發(fā)散.【解法二】計算級數相鄰兩項之和可得由此可見級數是正項級數,且滿足從而,級數發(fā)散,于是級數發(fā)散,再利用級數性質可知原級數發(fā)散.知識點解析:設則級數可寫成對于交錯級數首先要討論它是否絕對收斂,為此采取比較判別法的極限形式,由于un滿足可見級數不絕對收斂.又因級數的一般項的絕對值不是單調減少的,從而不能用萊布尼茨判別法來判別這個級數的條件收斂性,必須用其他方法來討論它是否條件收斂.以下介紹兩種方法.12、判斷如下命題是否正確:設無窮小un~vn(n→∞),若級數收斂,則也收斂.證明你的判斷.標準答案:對于正項級數,比較判別法的極限形式就是:若0<A<+∞,則與同時收斂或同時發(fā)散.本題未限定為正項級數,由收斂不能斷定一定收斂.比如,取則即un-vn(n→∞).級數是收斂的,然而級數是不收斂的.這個例子說明:對正項級數的比較判別法的極限形式不能用于判定任意項級數的條件收斂性.要注意變號級數與正項級數的區(qū)別.知識點解析:暫無解析求下列冪級數的收斂域:13、標準答案:有相同的收斂半徑,可以用求收斂半徑公式計算收斂半徑,首先計算所以R=1.再考察冪級數在兩個端點x=±1處的斂散性.當x=1時,級數是發(fā)散的.而當x=-1時是交錯級數,同時為證明單調遞減,令由于而且當x≥2時ln(1+x)>1,從而當x≥2時有f’(x)血壓0,即f(x)當x≥2時單調遞減,所以從而滿足萊布尼茨判別法的兩個條件,故該級數收斂.這樣即得的收斂域為[-1,1).知識點解析:暫無解析14、標準答案:由于所以其收斂半徑為2.又由于本題是關于x+1的冪級數,所以收斂區(qū)間的兩個端點為x=-3與x=1.當x=-3時,原級數為是發(fā)散的;而當x=1時,原級數是一個交錯級數,而且容易看出它滿足萊布尼茨判別法的兩個條件,所以是收斂的.這表明冪級數的收斂域為(-3,1].知識點解析:暫無解析15、其中的收斂半徑R=3;(只求收斂區(qū)間)標準答案:由冪級數收斂性的特點知,與有相同的收斂半徑R=3.因而其收斂區(qū)間為(-2,4).知識點解析:暫無解析16、其中x=0時收斂,x=6時發(fā)散.標準答案:考察由題設t=-3時它收斂知收斂半徑R≥3,又t=3時其發(fā)散知R≤3.因此R=3,由此可知的收斂域是[-3,3),故原級數的收斂域是[0,6).知識點解析:暫無解析求下列冪級數的收斂域及其和函數:17、標準答案:由于而且在x=±1處,級數均發(fā)散,所以其收斂域為(-1,1).為求其和函數,先進行代數運算,使其能夠通過逐項求導與逐項積分等手段變成幾何級數.設并令則由可得從可得,于是故S(x)=S1(x)-S2(x)+S3(x)當x=0時,上面的運算不能進行,然而從原級數可直接得出S(0)=a0=1.綜合得冪級數的和函數容易看這就說明S(x)在x=0處還是連續(xù)的,這一點也正是冪級數的和函數必須具備的性質.知識點解析:暫無解析18、標準答案:利用同樣的方法容易求得級數的收斂域為(-1,1).令為求應先進行兩次逐項積分,即再進行兩次求導,則故知識點解析:暫無解析將下列函數展成麥克勞林級數并指出展開式成立的區(qū)間:19、ln(1+x+x2);標準答案:由于利用公式(5.11),并分別以(-x3)與(-x)代替其中的x,就有于是知識點解析:暫無解析20、標準答案:由于利用公式(5.13),并以x2代替其中的x,就有上式兩端再進行積分,注意到所以由即得注意函數在端點x=-1處連續(xù),冪級數在點x=-1處也收斂,從而上式在端點x=-1處也成立,即知識點解析:暫無解析將下列函數在指定點處展開為泰勒級數:21、在x=1處;標準答案:其中即-1<x<3.在上述展式中就是以代替(5.13)式中的x.類似地,有所以知識點解析:暫無解析22、ln(2x2+x-3),在x=3處.標準答案:由于ln(2x2+x-3)=ln(2x+3)(x-1)=ln(2x+3)+ln(x-1),對于右端兩項應用公式(5.11),得知識點解析:暫無解析23、將展開為x的冪級數,并求f(n)(0),其中n=1,2,3,….標準答案:故于是xn的系數由此可知當n≥2時有此外還有f’(0)=0.知識點解析:暫無解析將下列函數展開成x的冪級數:24、標準答案:由于其中所以知識點解析:暫無解析25、標準答案:由于-∞<x<+∞,x≠0,所以其中-∞<x<+∞,x≠0.知識點解析:暫無解析26、將函數展開成x的冪級數,并求其收斂域.標準答案:將f"(x)展開,有從而當|x|<1時有當x=±1時,右邊級數收斂,又f(x)連續(xù),所以收斂域為-1≤x≤1.知識點解析:暫無解析27、設試將f(x)展開成x的冪級數.標準答案:因為故由于上式右端的級數在點x=±1處收斂,因此上面等式在|x|≤1上成立.于是當0<|x|≤1時由于f(x)在點x=0處連續(xù),且根據冪級數的和函數在收斂區(qū)間內處處連續(xù)可得上式在點x=0處也成立,知識點解析:暫無解析28、設an>0,bn>O,(n=1,2,…),且滿足試證:(I)若級數收斂,則收斂;(Ⅱ)若級數發(fā)散,則發(fā)散.標準答案:由于an>0,bn>0,故所以從而由比較判別法即知:當收斂時收斂,而當發(fā)散時發(fā)散.知識點解析:暫無解析設29、求的值;標準答案:由于所以知識點解析:暫無解析30、試證:對任意的常數λ>0級數收斂.標準答案:是正項級數,可用比較判別法判別其斂散性.由于所以由1+λ>1,即知收斂,從而收斂.知識點解析:暫無解析31、(I)求函數所滿足的二階常系數線性微分方程;(Ⅱ)求(I)中冪級數的和函數y(x)的表達式.標準答案:(I)當-∞<x<+∞時題設的冪級數可任意次逐項求導,且由此可見y(x)滿足二階常系數齊次線性微分方程y"-y=0.(Ⅱ)直接計算可得y(0)=1,y’(0)=從而函數y(x)是二階常系數線性微分方程初值問題的特解.注意特征方程λ2-1=0有二相異特征根λ1=1與λ2=-1,可見微分方程的通解為y(x)=C1ex+C2e-x.利用初值y(0)=1與可確定常數故(I)中冪級數的和函數知識點解析:暫無解析考研數學三(無窮級數)模擬試卷第6套一、選擇題(本題共12題,每題1.0分,共12分。)1、設平面區(qū)域D:|x|+|y|≤1,則(x+y)dxdy=()A、0B、C、D、1標準答案:C知識點解析:因為D關于x,y軸都對稱,故,且有其中D1={(x,y)|x+y≤1,x≥0,y≥0}.于是2、設平面區(qū)域D由曲線y=(xy3一1)dσ等于()A、2B、一2C、πD、一π標準答案:D知識點解析:如圖1.5—1所示,用曲線y=-sinx將區(qū)域D劃分為D1和D2兩部分,則D1關于x軸對稱,D2關于y軸對稱,于是有由于區(qū)域D的面積與直線y=0,y=1,所圍成矩形的面積相等,故SD=π,故應選(D).3、設平面區(qū)域D由x=0,y=0,x+y=,x+y=1圍成,若,則I1,I2,I3的大小順序為()A、I1<I2<I3B、I3<I2<I1C、I1<I3<I2D、I3<I1<I2標準答案:C知識點解析:在積分區(qū)域D內,≤x+y≤1,所以ln(x+y)≤0<sin(x+y)<x+y,于是4、累次積分f(x2+y2)dx(R>0)化為極坐標形式的累次積分為()A、

B、

C、

D、

標準答案:C知識點解析:積分區(qū)域D為,0≤y≤2R,如圖1.5—2所示.在極坐標系下區(qū)域D可表示為0≤r≤2Rsinθ,0≤θ≤故5、設平面區(qū)域D:(x一2)2+(y一1)2≤1,若,則有()A、I1=I2B、I1>I2C、I1<I2D、無法確定標準答案:C知識點解析:由二重積分的比較性質,只需比較平面區(qū)域D上(x+y)2與(x+y)3的大小,即x+y與1的大?。畯膸缀蔚慕嵌纫簿褪强疾閳A域D與直線x+y=1的位置關系.因積分域D的圓心(2,1)到直線x+y=1的距離(1為圓的半徑),故閉區(qū)域D在直線x+y=1的1=3,即當(x,y)∈D時,有x+y>1,從而在D上(x+y)2<(x+y)3,則I1<I2.6、設積分其中D1={(x,y)|(x一2)2+(y一1)2≤2),D2={(x,y)|x2+(y+1)2≤2},則下列選項正確的是()A、I1<II2<I3<I4B、I4<I3<I2<I1C、I4<I3<I1<I2D、I1<I3<I2<I4標準答案:C知識點解析:如圖1.5-3所示,積分域D1的邊界為圓周(x-2)2+(y一1)2=2,它與x軸交于點(1,0),與直線x+y=1相切.而區(qū)域D1位于直線的上方,故在D1上x+y≥1,從而(x+y)10≤(x+y)11,因此有同樣,在D2上x+y≤1,從而(x+y)10≥(x+y)11,因此有7、已知f(x,y)dy,則I=()A、

B、

C、

D、

標準答案:A知識點解析:積分域由兩部分組成(如圖1.5—4所示).設將D=D1∪D2視為Y型區(qū)域,則故應選(A).8、交換二次積分f(x,y)dy次序正確的是()A、

B、

C、

D、

標準答案:A知識點解析:交換積分次序的步驟是:①由原累次積分的上下限寫出表示為積分區(qū)域D的聯立不等式,并作出D的草圖,原積分變成二重積分②按新的累次積分次序的要求寫出新的累次積分表達式.由已知積分的上下限,可知積分區(qū)域的不等式表示為:如圖1.5—5所示,則9、已知其中D={(x,y)|x2+y2≤1},則()A、c>b>aB、a>b>cC、b>a>cD、c>a>b標準答案:A知識點解析:由于D={(x,y)|x2+y2≤1},所以(x2+y2)2≤x2+y2≤由cosx在上單調減少可得cos(x2+y2)2≥cos(x2+y2)≥cos(x2+y2)2≥cos(x2+y2)≥因此有c>b>a.10、設D由直線x=0,y=0,x+y=1圍成,已知∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx,則A、2B、0C、D、1標準答案:B知識點解析:由∫01f(x)dx=∫01xf(x)dx,有∫01(1一x)f(x)dx=0,于是=∫01dx∫01-xf(x)dy=∫01(1一x)f(x)dx=0.11、設f(x,y)為連續(xù)函數,交換累次積分∫02πdx∫0sinxf(x,y)dy的次序為先x后y成為()A、∫01dy∫arcsinyπ-arcsinyf(xy)dx+∫-10dy∫π-arcsiny2π+arcsinyf(x,y)dxB、∫01dy∫arcsinyπ-arcsinyf(xy)dx-∫-10dy∫π-arcsiny2π+arcsinyf(x,y)dxC、∫01dy∫arcsinyπ-arcsinyf(xy)dx+∫-10dy∫π+arcsiny2π-arcsinyf(x,y)dxD、∫01dy∫arcsinyπ-arcsinyf(xy)dx-∫-10dy∫π+arcsiny2π-arcsinyf(x,y)dx標準答案:B知識點解析:在區(qū)間[0,2π]上,∫0sinxf(x,y)dy的上限sinx可能小于下限0.所以∫02πdx∫0sinxf(x,y)dy只是一個累次積分,而不是一個二重積分,所以應先變形,化成兩個二重積分,即∫02πdx∫0sinxf(x,y)dy=∫0πdx∫0sinxf(x,y)dy+∫π2πdx∫0sinxf(x,y)dy=∫0πdx∫0sinxf(x,y)dy—∫π2πdx∫sinx0f(x,y)dy.交換積分次序,有∫0πdx∫0sinxf(x,y)dy=∫01dy∫arcsinyπ-arcsinyf(x,y)dx,∫02πdx∫sinx0f(x,y)dy=∫-10dy∫π-arcsiny2π+arcsinyf(x,y)dx,故選(B).12、設f(x)為連續(xù)函數,F(y)=∫0yf(x)dx,則∫01dz∫0zF(y)dy=()A、

B、

C、

D、

標準答案:B知識點解析:∫0zF(y)dy=∫0zdy∫0yf(x)dx.交換積分次序為先y后x.將z看成常數,有∫0zF(y)dy=∫0zdy∫0yf(x)dx=∫0zdx∫xzf(x)dy=∫0z(z-x)f(x)dx∫01dz∫0zF(y)dy=∫01dz∫0z(z-x)f(x)dx=∫01dx∫x1(z-x)f(x)dz=二、填空題(本題共9題,每題1.0分,共9分。)13、由曲線y=lnx及直線x+y=e+1,y=0所圍成的平面圖形D的面積可用二重積分表示為_______,其值等于_______.標準答案:知識點解析:由得交點A(e,1).所求平面圖形的面積為14、二重積分ln(x2+y2)dxdy的符號為_______.標準答案:負號知識點解析:二重積分的積分值的符號由被積函數在積分區(qū)域內的正負號所確定.積分區(qū)域D:|x|+|y|≤1,因0≤x2+y2≤(|x|+|y|)2≤1,故ln(x2+y2)≤ln1=0,但又不恒等于零,故ln(x2+y2)dxdy<0.15、設D={(x,y)|1≤x2+y2≤e2},則二重積分標準答案:知識點解析:被積函數含有x2+y2的形式,且積分域是以原點為中心的圓環(huán)域,選用極坐標計算較方便.16、設f(u)為連續(xù)函數,D是由y=1,x2一y2=1及y=0所圍成的平面閉區(qū)域,則標準答案:0知識點解析:因積分域D關于y軸對稱,被積函數xf(y2)關于變量x是奇函數,故17、設.交換積分次序后I=______.標準答案:知識點解析:積分域D:ex≤y≤e2x,0≤x≤1.曲線y=e2x,y=ex與直線x=1的交點分別為(1,e2)與(1,e).故18、標準答案:知識點解析:令x=rsinθ,y=rcosθ,則19、交換二次積分次序:標準答案:知識點解析:由題意知,所求積分區(qū)域為x=2y,x=y2所圍成的區(qū)域,所以20、設f(x)為連續(xù)函數,a與m是常數且a>0,將二次積分I=∫0ady∫0yem(a-x)f(x)dx化為定積分,則I=______.標準答案:∫0aem(a-x)f(x)(a一x)dx知識點解析:被積函數僅是關于x的函數,交換積分次序即可化為定積分.由二次積分的積分限可知D:0≤x≤y,0≤y≤a,故I=∫0adx∫xaem(a-x)f(x)dy=∫0aem(a-x)f(x)(a-x)dx.21、標準答案:知識點解析:交換積分次序,有三、解答題(本題共26題,每題1.0分,共26分。)22、設F(x,y)=在D=[a,b]×[c,d]上連續(xù),求并證明:I≤2(M一m),其中M和m分別是f(x,y)在D上的最大值和最小值.標準答案:顯然I≤2(M—m).知識點解析:暫無解析23、計算二重積分其中D是第一象限中由直線y=x和曲線y=x3所圍成的封閉區(qū)域.標準答案:知識點解析:暫無解析24、計算二重積分其中D={(x,y)|0≤y≤x,x2+y2≤2x}.標準答案:知識點解析:暫無解析25、求二重積分.其中D是由曲線,直線y=2,y=x所圍成的平面區(qū)域.標準答案:知識點解析:暫無解析26、設f(x,y)=其中D={(x,y)|0≤x≤1,0≤y≤1}.標準答案:知識點解析:暫無解析27、平面區(qū)域D=((x,y)||x|+|y|≤1},計算如下二重積分:(1)其中f(t)為定義在(一∞,+∞)上的連續(xù)正值函數,常數a>0,b>0;(2)(eλx一e-λy)dσ,常數λ>0.標準答案:(1)易見,積分區(qū)域D是邊長為的正方形,故其面積SD=2,因為積分區(qū)域D關于直線y=x對稱,則由二重積分的性質便有(2)因為積分區(qū)域D關于直線y=x對稱,又關于y軸,x軸對稱,函數eλx一e-λx,eλy一e-λy分別關于x,y為奇函數,則由二重積分的性質得知識點解析:暫無解析28、設p(x)在[a,b]上非負連續(xù),f(x)與g(x)在[a,b]上連續(xù)且有相同的單調性,其中D={(x,y)|a≤x≤b,a≤y≤b),比較的大小,并說明理由.標準答案:I1一I2=p(x)p(y)g(y)[f(x)一f(y)]dxdy,由于D關于直線y=x對稱,所以I1一I2又可以寫成I1一I2=p(y)p(x)g(x)[f(y)一f(x)]dxdy,所以2(I1一I2)=p(x)p(y)[g(y)一g(x)][f(x)一f(y)]dxdy.因g(x)與f(x)的單調性相同,所以[f(x)一f(y)][g(x)-g(y)]≥0,從而知I1一I2≤0,有I1≤I2.知識點解析:暫無解析29、設函數f(x,y)在D上連續(xù),且其中D由,x=1,y=2圍成,求f(x,y).

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