數(shù)學(xué)全等三角形-添加輔助線技巧

數(shù)學(xué)全等三角形--添加輔助線技巧1.如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，并交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，求△DEB的周長(zhǎng)。2.如右圖，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于點(diǎn)D，若BD=CD.求證：AD平分∠BAC.初二數(shù)學(xué)第十一章全等三角形綜合復(fù)習(xí)切記：“有三個(gè)角對(duì)應(yīng)相等”和“有兩邊及其中一邊的對(duì)角對(duì)應(yīng)相等”的兩個(gè)三角形不一定全等。例1.如圖，四點(diǎn)共線，，，，。求證：。例2.如圖，在中，是∠ABC的平分線，，垂足為。求證：。例3.如圖，在中，，。為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，點(diǎn)在上，，連接和。求證：。例4.如圖，//，//，求證：。例5.如圖，分別是外角和的平分線，它們交于點(diǎn)。求證：為的平分線。例6.如圖，是的邊上的點(diǎn)，且，，是的中線。求證：。例7.如圖，在中，，，為上任意一點(diǎn)。求證：。同步練習(xí)一、選擇題：1.能使兩個(gè)直角三角形全等的條件是() A.兩直角邊對(duì)應(yīng)相等 B.一銳角對(duì)應(yīng)相等 C.兩銳角對(duì)應(yīng)相等 D.斜邊相等2.根據(jù)下列條件，能畫(huà)出唯一的是() A.，， B.，， C.，， D.，3.如圖，已知，，增加下列條件：①；②；③；④。其中能使的條件有() A.4個(gè) B.3個(gè) C.2個(gè) D.1個(gè)（第3題）（第4題）（第5題）（第6題）4.如圖，已知，，，則等于() A. B. C. D.無(wú)法確定二、填空題：5.如圖，在中，，的平分線交于點(diǎn)，且，，則點(diǎn)到的距離等于__________；6.將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，為折痕，則的大小為_(kāi)________；三、解答題：7.如圖，為等邊三角形，點(diǎn)分別在上，且，與交于點(diǎn)。求的度數(shù)。8.如圖，，，為上一點(diǎn)，，，交延長(zhǎng)線于點(diǎn)。求證：。9.如圖，已知AE⊥AD，AF⊥AB，AF=AB，AE=AD=BC，AD//BC.求證：（1）AC=EF，（2）AC⊥EF10.已知：如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延長(zhǎng)線于E.求證：BD=2CE.11、如圖，△ABC中，AD是高，CE是中線，DC＝BE，DG⊥CE于G。（1）求證：G是CE的中點(diǎn)；（2）∠B＝2∠BCE。12、在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE＝EC，過(guò)D作DF∥BA交AE于點(diǎn)F，DF＝AC，求證：AE平分∠BAC。13、如圖，在△ABC中，∠B＝22.50，∠C＝600，AB的垂直平分線交BC于點(diǎn)D，BD＝，AE⊥BC于點(diǎn)E，求EC的長(zhǎng)。答案例1.思路分析：從結(jié)論入手，全等條件只有；由兩邊同時(shí)減去得到，又得到一個(gè)全等條件。還缺少一個(gè)全等條件，可以是，也可以是。由條件，可得，再加上，，可以證明，從而得到。解答過(guò)程：，在與中 ∴(HL)，即在與中(SAS)解題后的思考：本題的分析方法實(shí)際上是“兩頭湊”的思想方法：一方面從問(wèn)題或結(jié)論入手，看還需要什么條件；另一方面從條件入手，看可以得出什么結(jié)論。再對(duì)比“所需條件”和“得出結(jié)論”之間是否吻合或具有明顯的聯(lián)系，從而得出解題思路。小結(jié)：本題不僅告訴我們?nèi)绾稳ふ胰热切渭捌淙葪l件，而且告訴我們?nèi)绾稳シ治鲆粋€(gè)題目，得出解題思路。例2.思路分析：直接證明比較困難，我們可以間接證明，即找到，證明且。也可以看成將“轉(zhuǎn)移”到。那么在哪里呢？角的對(duì)稱(chēng)性提示我們將延長(zhǎng)交于，則構(gòu)造了△FBD，可以通過(guò)證明三角形全等來(lái)證明∠2=∠DFB，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。解答過(guò)程：延長(zhǎng)交于在與中 (ASA又。解題后的思考：由于角是軸對(duì)稱(chēng)圖形，所以我們可以利用翻折來(lái)構(gòu)造或發(fā)現(xiàn)全等三角形。例3.思路分析：可以利用全等三角形來(lái)證明這兩條線段相等，關(guān)鍵是要找到這兩個(gè)三角形。以線段為邊的繞點(diǎn)順時(shí)針旋轉(zhuǎn)到的位置，而線段正好是的邊，故只要證明它們?nèi)燃纯?。解答過(guò)程：，為延長(zhǎng)線上一點(diǎn)在與中(SAS)。解題后的思考：利用旋轉(zhuǎn)的觀點(diǎn)，不但有利于尋找全等三角形，而且有利于找對(duì)應(yīng)邊和對(duì)應(yīng)角。小結(jié)：利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法，但有時(shí)不容易找到需證明的三角形。這時(shí)我們就可以根據(jù)需要利用平移、翻折和旋轉(zhuǎn)等圖形變換的觀點(diǎn)來(lái)尋找或利用輔助線構(gòu)造全等三角形。例4.思路分析：關(guān)于四邊形我們知之甚少，通過(guò)連接四邊形的對(duì)角線，可以把原問(wèn)題轉(zhuǎn)化為全等三角形的問(wèn)題。解答過(guò)程：連接//，//，在與中(ASA)。解題后的思考：連接四邊形的對(duì)角線，是構(gòu)造全等三角形的常用方法。例5.思路分析：要證明“為的平分線”，可以利用點(diǎn)到的距離相等來(lái)證明，故應(yīng)過(guò)點(diǎn)向作垂線；另一方面，為了利用已知條件“分別是和的平分線”，也需要作出點(diǎn)到兩外角兩邊的距離。解答過(guò)程：過(guò)作于，于，于平分，于，于平分，于，于，，且于，于為的平分線。解題后的思考：題目已知中有角平分線的條件，或者有要證明角平分線的結(jié)論時(shí)，常過(guò)角平分線上的一點(diǎn)向角的兩邊作垂線，利用角平分線的性質(zhì)或判定來(lái)解答問(wèn)題。例6.思路分析：要證明“”，不妨構(gòu)造出一條等于的線段，然后證其等于。因此，延長(zhǎng)至，使。解答過(guò)程：延長(zhǎng)至點(diǎn)，使，連接在與中(SAS)，又，在與中(SAS)又。解題后的思考：三角形中倍長(zhǎng)中線，可以構(gòu)造全等三角形，繼而得出一些線段和角相等，甚至可以證明兩條直線平行。例7.思路分析：欲證，不難想到利用三角形中三邊的不等關(guān)系來(lái)證明。由于結(jié)論中是差，故用兩邊之差小于第三邊來(lái)證明，從而想到構(gòu)造線段。而構(gòu)造可以采用“截長(zhǎng)”和“補(bǔ)短”兩種方法。解答過(guò)程：法一：在上截取，連接在與中(SAS)在中，，即AB－AC>PB－PC。法二：延長(zhǎng)至，使，連接在與中(SAS)在中，。解題后的思考：當(dāng)已知或求證中涉及線段的和或差時(shí)，一般采用“截長(zhǎng)補(bǔ)短”法。具體作法是：在較長(zhǎng)的線段上截取一條線段等于一條較短線段，再設(shè)法證明較長(zhǎng)線段的剩余線段等于另外的較短線段，稱(chēng)為“截長(zhǎng)”；或者將一條較短線段延長(zhǎng)，使其等于另外的較短線段，然后證明這兩條線段之和等于較長(zhǎng)線段，稱(chēng)為“補(bǔ)短”。小結(jié)：本題組總結(jié)了本章中常用輔助線的作法，以后隨著學(xué)習(xí)的深入還要繼續(xù)總結(jié)。我們不光要總結(jié)輔助線的作法，還要知道輔助線為什么要這樣作，這樣作有什么用處。同步練習(xí)的答案一、選擇題：1.A 2.C 3.B 4.C二、填空題：5.4 6. 三、解答題：7.解：為等邊三角形，在與中(SAS)。8.證明：，在與中(AAS)。9.證明：（1）∵AD//BC，∴∠B＋∠DAB=180°又∵∠DAB＋∠4＋∠EAF＋∠3=360°，∠3=∠4=90°∴∠DAB＋∠EAF=180°∴∠B=∠EAF在△ABC和△FAE中∴△ABC≌△FAE（SAS）∴AC=EF（2）∵△ABC≌△FAE∴∠1=∠F又∵∠1＋∠3=∠2＋∠F∴∠2=∠3又∵∠3=90°∴∠2=90°∴AG⊥EF，即AC⊥EF10.證明：延長(zhǎng)BA、CE交于點(diǎn)F.∵∠3=90°，∴∠5＋∠F=90°又∵BE⊥CE，∴∠4=90°，∠7=90°∴∠1＋∠F=90°，∠6=180°－90°=90°∴∠1=∠5在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（ASA）∴BD=FC在△BEF和△BEC中∴△BEF≌△BEC（ASA）∴EF=EC∴FC=2EC∴BD=2EC11.提示：連結(jié)ED12、延長(zhǎng)FE到G，使EG＝EF，連結(jié)CG，證△DEF≌△CEG13、連結(jié)AD，DF為AB的垂直平分線，AD＝BD＝，∠B＝∠DAB＝22.50∴∠ADE＝450，AE＝AD＝＝6又∵∠C＝600∴EC＝中考專(zhuān)題復(fù)習(xí)——相似三角形一.選擇題1.（2008年山東省濰坊市）如圖,Rt△ABAC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC邊上一點(diǎn),作PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,設(shè)BP=x,則PD+PE=（）A.B.C.D.

2。(2008年樂(lè)山市)如圖（2），小明在打網(wǎng)球時(shí)，使球恰好能打過(guò)網(wǎng)，而且落點(diǎn)恰好在離網(wǎng)6米的位置上，則球拍擊球的高度h為（）A、B、1C、D、6米0.8米6米0.8米4米h米3．（2008湖南常德市）如圖3，已知等邊三角形ABC的邊長(zhǎng)為2，DE是它的中位線，則下面四個(gè)結(jié)論：（1）DE=1，（2）AB邊上的高為，（3）△CDE∽△CAB，（4）△CDE的面積與△CAB面積之比為1：4.其中正確的有（）A．1個(gè)B．2個(gè)C．3個(gè)D．4個(gè)AABCDE圖34.(2008山東濟(jì)寧)如圖，丁軒同學(xué)在晚上由路燈走向路燈，當(dāng)他走到點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈的底部，當(dāng)他向前再步行20m到達(dá)點(diǎn)時(shí)，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈的底部，已知丁軒同學(xué)的身高是1.5m，兩個(gè)路燈的高度都是9m，則兩路燈之間的距離是（）DA．24m B．25m C．28m D．30m5.（2008江西南昌）下列四個(gè)三角形，與左圖中的三角形相似的是（）BA．A．B．C．D．6.(2008重慶)若△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的相似比為2︰3，則S△ABC︰S△DEF為（）A、2∶3B、4∶9C、∶D、3∶27.(2008湖南長(zhǎng)沙)在同一時(shí)刻，身高1.6米的小強(qiáng)在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)為0.8米，一棵大樹(shù)的影長(zhǎng)為4.8米A、4.8米 B、6.4米 C、9.6米 D、10米8．（2008江蘇南京）小剛身高1.7m，測(cè)得他站立在陽(yáng)關(guān)下的影子長(zhǎng)為0.85m。緊接著他把手臂豎直舉起，測(cè)得影子長(zhǎng)為1.1m，那么小剛舉起手臂超出頭頂（）AA.0.5mC.0.6mD.2.2m9．（2008湖北黃石）如圖，每個(gè)小正方形邊長(zhǎng)均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與左圖中相似的是（）BA．A．B．C．D．ABC10．（2008浙江金華）如圖是小明設(shè)計(jì)用手電來(lái)測(cè)量某古城墻高度的示意圖,點(diǎn)P處放一水平的平面鏡,光線從點(diǎn)A出發(fā)經(jīng)平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測(cè)得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么該古城墻的高度是（）BA、6米B、8米C、18米D、24米11、（2008湖北襄樊）如圖1,已知AD與VC相交于點(diǎn)O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,則∠AOC的大小為（）BA.60°B.70°C.80°D.120°12.（2008湘潭市）如圖，已知D、E分別是的AB、AC邊上的點(diǎn)，且那么等于（）B A．1:9 B．1:3 C．1:8 D．1:2BBACDE13.(2008臺(tái)灣)如圖G是ABC的重心，直線L過(guò)A點(diǎn)與BC平行。若直線CG分別與AB、AL交于D、E兩點(diǎn)，直線BG與AC交于F點(diǎn)，則AED的面積：四邊形ADGF的面積=？()D(A)1：2(B)2：1(C)2：3(D)3：2AABGCDEFL14.(2008臺(tái)灣)圖為ABC與DEC重迭的情形，其中E在BC上，AC交DE于F點(diǎn)，且AB//DE。若ABC與DEC的面積相等，且EF=9，AB=12，則DF=？()BABABCDEF(A)3(B)7(C)12(D)15。15.（2008貴州貴陽(yáng))6．如果兩個(gè)相似三角形的相似比是，那么它們的面積比是（） B． C． D．第4題ABCDEA16.（2008湖南株洲）如圖，在中，、分別是第4題ABCDEA A．5 B．4 C．3 D．2二、填空題1.（2008年江蘇省南通市）已知∠A＝40°，則∠A的余角等于＝________度.ABCED2.（08浙江溫州）如圖，點(diǎn)在射線上，點(diǎn)在射線上，且，．若，ABCED的面積分別為1，4，則圖中三個(gè)陰影三角形面積之和為．OOA1A2A3A4ABB1B2B3143.（2008福建省泉州市）兩個(gè)相似三角形對(duì)應(yīng)邊的比為6，則它們周長(zhǎng)的比為_(kāi)_______。AECDB圖44.（2008年浙江省衢州市）AECDB圖45.(2008年遼寧省十二市)如圖4，分別是的邊上的點(diǎn)，，，則．6.(2008年天津市)如圖，已知△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，則圖中相似三角形共有對(duì)．AAGEHFJIBC7.(2008新疆烏魯木齊市)我們知道利用相似三角形可以計(jì)算不能直接測(cè)量的物體的高度，陽(yáng)陽(yáng)的身高是1.6m，他在陽(yáng)光下的影長(zhǎng)是1.2m，在同一時(shí)刻測(cè)得某棵樹(shù)的影長(zhǎng)為3.6m，則這棵樹(shù)的高度約為m．8.（2008江蘇鹽城）如圖，兩點(diǎn)分別在的邊上，與不平行，當(dāng)滿(mǎn)足條件（寫(xiě)出一個(gè)即可）時(shí)，．第1題圖第1題圖9．（2008泰州市）在比例尺為1︰2000的地圖上測(cè)得AB兩地間的圖上距離為5cm，則AB兩地間的實(shí)際距離為m．10.（2008年杭州市）.在Rt△ABC中，∠C為直角，CD⊥AB于點(diǎn)D,BC=3,AB=5,寫(xiě)出其中的一對(duì)相似三角形是和；并寫(xiě)出它的面積比.三、簡(jiǎn)答題1．第1題圖（2008年陜西?。╆?yáng)光明媚的一天，數(shù)學(xué)興趣小組的同學(xué)們?nèi)y(cè)量一棵樹(shù)的高度（這棵樹(shù)底部可以到達(dá)，頂部不易到達(dá)），他們帶了以下測(cè)量工具：皮尺、標(biāo)桿、一副三角尺、小平面鏡．請(qǐng)你在他們提供的測(cè)量工具中選出所需工具，設(shè)計(jì)一種測(cè)量方案．第1題圖（1）所需的測(cè)量工具是：；（2）請(qǐng)?jiān)谙聢D中畫(huà)出測(cè)量示意圖；（3）設(shè)樹(shù)高的長(zhǎng)度為，請(qǐng)用所測(cè)數(shù)據(jù)（用小寫(xiě)字母表示）求出．2．（2008年江蘇省南通市）如圖，四邊形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，過(guò)點(diǎn)D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點(diǎn)E.（1）求證：AB·AF＝CB·CD（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射線DE上的動(dòng)點(diǎn).設(shè)DP＝xcm（x＞0），四邊形BCDP的面積為ycm2.①求y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式；②當(dāng)x為何值時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，并求出此時(shí)y的值.3.(2008湖南懷化)如圖10，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG,AE與CG相交于點(diǎn)M，CG與AD相交于點(diǎn)N．求證：（1）；（2）ABCDEFG圖(1)4.(2008湖南益陽(yáng))△ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片，利用其剪裁一個(gè)正方形DEFG，使正方形的一條邊DE落在BC上，頂點(diǎn)FABCDEFG圖(1)Ⅰ.證明：△BDG≌△CEF；Ⅱ.探究：怎樣在鐵片上準(zhǔn)確地畫(huà)出正方形.小聰和小明各給出了一種想法，請(qǐng)你在Ⅱa和Ⅱb的兩個(gè)問(wèn)題中選擇一個(gè)你喜歡的問(wèn)題解答.如果兩題都解，只以Ⅱa的解答記分.Ⅱa.小聰想：要畫(huà)出正方形DEFG，只要能計(jì)算出正方形的邊長(zhǎng)就能求出BD和CE的長(zhǎng)，從而確定D點(diǎn)和E點(diǎn)，再畫(huà)正方形DEFG就容易了.設(shè)△ABC的邊長(zhǎng)為2，請(qǐng)你幫小聰求出正方形的邊長(zhǎng)(結(jié)果用含根號(hào)的式子表示，不要求分母有理化).AABCDEFG圖(2)Ⅱb.小明想：不求正方形的邊長(zhǎng)也能畫(huà)出正方形.具體作法是：①在AB邊上任取一點(diǎn)G’，如圖作正方形G’D’E’F’；②連結(jié)BF’并延長(zhǎng)交AC于F；③作FE∥F’E’交BC于E，F(xiàn)G∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，則四邊形DEFG即為所求.ABABCDEFG圖(3)G′F′E′D′5.(2008湖北恩施)如圖11，在同一平面內(nèi),將兩個(gè)全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點(diǎn)，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長(zhǎng)為2，若?ABC固定不動(dòng)，?AFG繞點(diǎn)A旋轉(zhuǎn)，AF、AG與邊BC的交點(diǎn)分別為D、E(點(diǎn)D不與點(diǎn)B重合,點(diǎn)E不與點(diǎn)C重合),設(shè)BE=m，CD=n.（1）請(qǐng)?jiān)趫D中找出兩對(duì)相似而不全等的三角形，并選取其中一對(duì)進(jìn)行證明.（2）求m與n的函數(shù)關(guān)系式，直接寫(xiě)出自變量n的取值范圍.（3）以?ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標(biāo)系(如圖12).在邊BC上找一點(diǎn)D，使BD=CE，求出D點(diǎn)的坐標(biāo)，并通過(guò)計(jì)算驗(yàn)證BD＋CE=DE.（4）在旋轉(zhuǎn)過(guò)程中,(3)中的等量關(guān)系BD＋CE=DE是否始終成立,若成立,請(qǐng)證明,若不成立,請(qǐng)說(shuō)明理由.GGFEDCBAGGyxOFEDCBA6.（08浙江溫州）如圖，在中，，，，分別是邊的中點(diǎn)，點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)沿方向運(yùn)動(dòng)，過(guò)點(diǎn)作于，過(guò)點(diǎn)作交于，當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時(shí)，點(diǎn)停止運(yùn)動(dòng)．設(shè)，．（1）求點(diǎn)到的距離的長(zhǎng)；（2）求關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式（不要求寫(xiě)出自變量的取值范圍）；（3）是否存在點(diǎn)，使為等腰三角形？若存在，請(qǐng)求出所有滿(mǎn)足要求的的值；若不存在，請(qǐng)說(shuō)明理由．AABCDERPHQ7.（08山東省日照市）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的動(dòng)點(diǎn)（不與A，B重合），過(guò)M點(diǎn)作MN∥BC交AC于點(diǎn)N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內(nèi)作內(nèi)接矩形AMPN．令A(yù)M＝x．（1）用含x的代數(shù)式表示△ＭNP的面積S；（2）當(dāng)x為何值時(shí)，⊙O與直線BC相切？（3）在動(dòng)點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)過(guò)程中，記△ＭNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關(guān)于x的函數(shù)表達(dá)式，并求x為何值時(shí)，y的值最大，最大值是多少？AABCMNP圖1O8．（2008湖北咸寧）如圖，在8×8的網(wǎng)格中，每個(gè)小正方形的頂點(diǎn)叫做格點(diǎn)，△OAB的頂點(diǎn)都在格點(diǎn)上，請(qǐng)?jiān)诰W(wǎng)格中畫(huà)出△OAB的一個(gè)位似圖形，使兩個(gè)圖形以O(shè)為位似中心，且所畫(huà)圖形與△OAB的位似比為2︰1．(答案如右圖)AA(第8題圖)BOABCDEPOR9．(2008安徽)如圖，四邊形和四邊形都是平行四邊形，點(diǎn)為的中點(diǎn)，分別交于點(diǎn)．ABCDEPOR（1）請(qǐng)寫(xiě)出圖中各對(duì)相似三角形（相似比為1除外）；（2）求．10.（2008年杭州市）如圖：在等腰△ABC中，CH是底邊上的高線，點(diǎn)P是線段CH上不與端點(diǎn)重合的任意一點(diǎn)，連接AP交BC于點(diǎn)E,連接BP交AC于點(diǎn)F.證明：∠CAE=∠CBF;證明：AE=BF;FCABPEH以線段AE，BF和AB為邊構(gòu)成一個(gè)新的三角形ABG（點(diǎn)E與點(diǎn)F重合于點(diǎn)G），記△ABC和△ABG的面積分別為S△ABC和S△ABG,如果存在點(diǎn)P,能使得S△ABC=FCABPEH11.（2008佛山）如圖，在直角△ABC內(nèi)，以A為一個(gè)頂點(diǎn)作正方形ADEF，使得點(diǎn)E落在BC邊上.(1)用尺規(guī)作圖，作出D、E、F中的任意一點(diǎn)(保留作圖痕跡，不寫(xiě)作法和證明.另外兩點(diǎn)不需要用尺規(guī)作圖確定，作草圖即可)；(2)若AB=6，AC=2，求正方形ADEF的邊長(zhǎng).AABC12.（2008廣東）如圖5，在△ABC中，BC>AC，點(diǎn)D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分線CF交AD于F，點(diǎn)E是AB的中點(diǎn)，連結(jié)EF.（1）求證：EF∥BC.（2）若四邊形BDFE的面積為6，求△ABD的面積.13.（2008山西太原）如圖，在中，。（1）在圖中作出的內(nèi)角平分線AD。（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫(xiě)證明）（2）在已作出的圖形中，寫(xiě)出一對(duì)相似三角形，并說(shuō)明理由。14.（2008湖北武漢）如圖，點(diǎn)D，E在BC上，且FD∥AB，F(xiàn)E∥AC。求證：△ABC∽△FDE．證明：略FFEDCBA15．（2008湖南常德市）如圖7，在梯形ABCD中，若AB//DC，AD=BC，對(duì)角線BD、AC把梯形分成了四個(gè)小三角形．（1）列出從這四個(gè)小三角形中任選兩個(gè)三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩個(gè)三角形是相似三角形的概率是多少（注意：全等看成相似的特例）？（2）請(qǐng)你任選一組相似三角形，并給出證明．AABCD①②③④圖7Ｏ16.（2008年山東省臨沂市）如圖，□ABCD中，E是CD的延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BE與AD交于點(diǎn)F，。⑴求證：△ABF∽△CEB;⑵若△DEF的面積為2，求□ABCD的面積。17.（2008年山東省濰坊市）如圖，AC是圓O的直徑，AC=10厘米，PA，PB是圓O的切線，A，B為切點(diǎn)，過(guò)A作AD⊥BP，交BP于D點(diǎn)，連結(jié)AB、BC.求證△ABC∽△ADB;若切線AP的長(zhǎng)為12厘米，求弦AB的長(zhǎng).AAPDBCO相似三角形答案一.選擇題2.C3.D4.D5.B6.B7.C8.A9.B10.B11.B12.B13.D14.B15.B16.C二.填空題1.50；2.10.5；3.6；4.4；5.；6.6；7.4.8；8.∠ADE=∠ACB（或∠AED=∠ABC或）9.100；10.三.解答題1.CDCDEFBA（2）測(cè)量示意圖如右圖所示．（3）如圖，測(cè)得標(biāo)桿，樹(shù)和標(biāo)桿的影長(zhǎng)分別為，．，．．．2.（1）證明：∵AD＝CD，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC∴AF＝CF，∠DFA＝DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF.∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B∴△DCF∽△ABC∴，即.∴AB·AF＝CB·CD（2）解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝12，∴CF＝AF＝6∴×6＝3x＋27（x＞0）②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周長(zhǎng)最小，就是PB＋PC最小.由（1）可知，點(diǎn)C關(guān)于直線DE的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)是點(diǎn)A，∴PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最小.顯然當(dāng)P、A、B三點(diǎn)共線時(shí)PB＋PA最小.此時(shí)DP＝DE，PB＋PA＝AB.由（1），∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，地△DAF∽△ABC.EF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝.∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10.Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.∴DE＝DF＋FE＝8＋＝.∴當(dāng)x＝時(shí)，△PBC的周長(zhǎng)最小，此時(shí)y＝3.證明：（1）四邊形和四邊形都是正方形（2）由（1）得∴AMN∽CDN4.Ⅰ.證明：∵DEFG為正方形，∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°∴△BDG≌△CEF(AAS)Ⅱa.解法一：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，作△ABC的高AH，求得ABCDEFG解圖(2)HABCDEFG解圖(2)H解之得：(或)解法二：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則在Rt△BDG中，tan∠B=，∴解之得：(或)解法三：設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為x，則由勾股定理得：解之得：Ⅱb.解：正確由已知可知，四邊形GDEF為矩形ABCDEFG解圖(3)G’FABCDEFG解圖(3)G’F’E’D’∴，同理，∴又∵F’E’=F’G’，∴FE=FG因此，矩形GDEF為正方形5.解:(1)?ABE∽?DAE,?ABE∽?DCA∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°∴∠BAE=∠CDA又∠B=∠C=45°∴?ABE∽?DCA(2)∵?ABE∽?DCA∴由依題意可知CA=BA=∴∴m=自變量n的取值范圍為1<n<2.(3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n∵m=∴m=n=FDHAGECB∵FDHAGECB∴OE=OD=－1∴D(1－,0)∴BD=OB－OD=1-(－1)=2－=CE,DE=BC－2BD=2-2(2－)=2－2∵BD＋CE=2BD=2(2－)=12－8,DE=(2－2)=12－8∴BD＋CE=DE(4)成立證明:如圖,將?ACE繞點(diǎn)A順時(shí)針旋轉(zhuǎn)90°至?ABH的位置,則CE=HB,AE=AH,∠ABH=∠C=45°,旋轉(zhuǎn)角∠EAH=90°.連接HD,在?EAD和?HAD中∵AE=AH,∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD,AD=AD.∴?EAD≌?HAD∴DH=DE又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°∴BD+HB=DH即BD＋CE=DE6.解：（1），，，．點(diǎn)為中點(diǎn)，．，．，ABCDEABCDERPHQM21（2），．，，，，即關(guān)于的函數(shù)關(guān)系式為：．（3）存在，分三種情況：ABCDERPHQ①當(dāng)時(shí)，過(guò)點(diǎn)作ABCDERPHQ，，．，，ABCDEABCDERPHQ②當(dāng)時(shí)，，．③當(dāng)時(shí)，則為中垂線上的點(diǎn)，于是點(diǎn)為的中點(diǎn)，．，，．綜上所述，當(dāng)為或6或時(shí)，為等腰三角形．7.解：（1）∵M(jìn)N∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．∴△AMN∽△ABC．∴，即．∴AN＝x．……………2分∴=．（0＜＜4）……………3分ABCMND圖2OQ（2）如圖2，設(shè)直線BC與⊙O相切于點(diǎn)D，連結(jié)AO，ODABCMND圖2OQ在Rt△ABC中，BC＝=5．由（1）知△AMN∽△ABC．∴，即．∴，∴．…5分過(guò)M點(diǎn)作MQ⊥BC于Q，則．在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BCA．∴．∴，．∴x＝．∴當(dāng)x＝時(shí)，⊙O與直線BC相切．…………………7分ABCMNP圖3O（3）隨點(diǎn)M的運(yùn)動(dòng)，當(dāng)P點(diǎn)落在直線BCABCMNP圖3O∵M(jìn)N∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．∴△AMO∽△ABP．∴．AM＝MB＝2．故以下分兩種情況討論：=1\*GB3①當(dāng)0＜≤2時(shí)，．∴當(dāng)＝2時(shí)，