數學全等三角形-添加輔助線技巧

數學全等三角形--添加輔助線技巧1.如圖所示，在△ABC中，∠C＝90°，AC＝BC，AD平分∠CAB，并交BC于D，DE⊥AB于E，若AB＝6cm，求△DEB的周長。2.如右圖，已知BE⊥AC于E，CF⊥AB于F，BE、CF相交于點D，若BD=CD.求證：AD平分∠BAC.初二數學第十一章全等三角形綜合復習切記：“有三個角對應相等”和“有兩邊及其中一邊的對角對應相等”的兩個三角形不一定全等。例1.如圖，四點共線，，，，。求證：。例2.如圖，在中，是∠ABC的平分線，，垂足為。求證：。例3.如圖，在中，，。為延長線上一點，點在上，，連接和。求證：。例4.如圖，//，//，求證：。例5.如圖，分別是外角和的平分線，它們交于點。求證：為的平分線。例6.如圖，是的邊上的點，且，，是的中線。求證：。例7.如圖，在中，，，為上任意一點。求證：。同步練習一、選擇題：1.能使兩個直角三角形全等的條件是() A.兩直角邊對應相等 B.一銳角對應相等 C.兩銳角對應相等 D.斜邊相等2.根據下列條件，能畫出唯一的是() A.，， B.，， C.，， D.，3.如圖，已知，，增加下列條件：①；②；③；④。其中能使的條件有() A.4個 B.3個 C.2個 D.1個（第3題）（第4題）（第5題）（第6題）4.如圖，已知，，，則等于() A. B. C. D.無法確定二、填空題：5.如圖，在中，，的平分線交于點，且，，則點到的距離等于__________；6.將一張正方形紙片按如圖的方式折疊，為折痕，則的大小為_________；三、解答題：7.如圖，為等邊三角形，點分別在上，且，與交于點。求的度數。8.如圖，，，為上一點，，，交延長線于點。求證：。9.如圖，已知AE⊥AD，AF⊥AB，AF=AB，AE=AD=BC，AD//BC.求證：（1）AC=EF，（2）AC⊥EF10.已知：如圖，在Rt△ABC中，AB=AC，∠BAC=90°，∠1=∠2，CE⊥BD的延長線于E.求證：BD=2CE.11、如圖，△ABC中，AD是高，CE是中線，DC＝BE，DG⊥CE于G。（1）求證：G是CE的中點；（2）∠B＝2∠BCE。12、在△ABC中，AB≠AC，D、E在BC上，且DE＝EC，過D作DF∥BA交AE于點F，DF＝AC，求證：AE平分∠BAC。13、如圖，在△ABC中，∠B＝22.50，∠C＝600，AB的垂直平分線交BC于點D，BD＝，AE⊥BC于點E，求EC的長。答案例1.思路分析：從結論入手，全等條件只有；由兩邊同時減去得到，又得到一個全等條件。還缺少一個全等條件，可以是，也可以是。由條件，可得，再加上，，可以證明，從而得到。解答過程：，在與中 ∴(HL)，即在與中(SAS)解題后的思考：本題的分析方法實際上是“兩頭湊”的思想方法：一方面從問題或結論入手，看還需要什么條件；另一方面從條件入手，看可以得出什么結論。再對比“所需條件”和“得出結論”之間是否吻合或具有明顯的聯(lián)系，從而得出解題思路。小結：本題不僅告訴我們如何去尋找全等三角形及其全等條件，而且告訴我們如何去分析一個題目，得出解題思路。例2.思路分析：直接證明比較困難，我們可以間接證明，即找到，證明且。也可以看成將“轉移”到。那么在哪里呢？角的對稱性提示我們將延長交于，則構造了△FBD，可以通過證明三角形全等來證明∠2=∠DFB，可以由三角形外角定理得∠DFB=∠1+∠C。解答過程：延長交于在與中 (ASA又。解題后的思考：由于角是軸對稱圖形，所以我們可以利用翻折來構造或發(fā)現(xiàn)全等三角形。例3.思路分析：可以利用全等三角形來證明這兩條線段相等，關鍵是要找到這兩個三角形。以線段為邊的繞點順時針旋轉到的位置，而線段正好是的邊，故只要證明它們全等即可。解答過程：，為延長線上一點在與中(SAS)。解題后的思考：利用旋轉的觀點，不但有利于尋找全等三角形，而且有利于找對應邊和對應角。小結：利用三角形全等證明線段或角相等是重要的方法，但有時不容易找到需證明的三角形。這時我們就可以根據需要利用平移、翻折和旋轉等圖形變換的觀點來尋找或利用輔助線構造全等三角形。例4.思路分析：關于四邊形我們知之甚少，通過連接四邊形的對角線，可以把原問題轉化為全等三角形的問題。解答過程：連接//，//，在與中(ASA)。解題后的思考：連接四邊形的對角線，是構造全等三角形的常用方法。例5.思路分析：要證明“為的平分線”，可以利用點到的距離相等來證明，故應過點向作垂線；另一方面，為了利用已知條件“分別是和的平分線”，也需要作出點到兩外角兩邊的距離。解答過程：過作于，于，于平分，于，于平分，于，于，，且于，于為的平分線。解題后的思考：題目已知中有角平分線的條件，或者有要證明角平分線的結論時，常過角平分線上的一點向角的兩邊作垂線，利用角平分線的性質或判定來解答問題。例6.思路分析：要證明“”，不妨構造出一條等于的線段，然后證其等于。因此，延長至，使。解答過程：延長至點，使，連接在與中(SAS)，又，在與中(SAS)又。解題后的思考：三角形中倍長中線，可以構造全等三角形，繼而得出一些線段和角相等，甚至可以證明兩條直線平行。例7.思路分析：欲證，不難想到利用三角形中三邊的不等關系來證明。由于結論中是差，故用兩邊之差小于第三邊來證明，從而想到構造線段。而構造可以采用“截長”和“補短”兩種方法。解答過程：法一：在上截取，連接在與中(SAS)在中，，即AB－AC>PB－PC。法二：延長至，使，連接在與中(SAS)在中，。解題后的思考：當已知或求證中涉及線段的和或差時，一般采用“截長補短”法。具體作法是：在較長的線段上截取一條線段等于一條較短線段，再設法證明較長線段的剩余線段等于另外的較短線段，稱為“截長”；或者將一條較短線段延長，使其等于另外的較短線段，然后證明這兩條線段之和等于較長線段，稱為“補短”。小結：本題組總結了本章中常用輔助線的作法，以后隨著學習的深入還要繼續(xù)總結。我們不光要總結輔助線的作法，還要知道輔助線為什么要這樣作，這樣作有什么用處。同步練習的答案一、選擇題：1.A 2.C 3.B 4.C二、填空題：5.4 6. 三、解答題：7.解：為等邊三角形，在與中(SAS)。8.證明：，在與中(AAS)。9.證明：（1）∵AD//BC，∴∠B＋∠DAB=180°又∵∠DAB＋∠4＋∠EAF＋∠3=360°，∠3=∠4=90°∴∠DAB＋∠EAF=180°∴∠B=∠EAF在△ABC和△FAE中∴△ABC≌△FAE（SAS）∴AC=EF（2）∵△ABC≌△FAE∴∠1=∠F又∵∠1＋∠3=∠2＋∠F∴∠2=∠3又∵∠3=90°∴∠2=90°∴AG⊥EF，即AC⊥EF10.證明：延長BA、CE交于點F.∵∠3=90°，∴∠5＋∠F=90°又∵BE⊥CE，∴∠4=90°，∠7=90°∴∠1＋∠F=90°，∠6=180°－90°=90°∴∠1=∠5在△ABD和△ACF中∴△ABD≌△ACF（ASA）∴BD=FC在△BEF和△BEC中∴△BEF≌△BEC（ASA）∴EF=EC∴FC=2EC∴BD=2EC11.提示：連結ED12、延長FE到G，使EG＝EF，連結CG，證△DEF≌△CEG13、連結AD，DF為AB的垂直平分線，AD＝BD＝，∠B＝∠DAB＝22.50∴∠ADE＝450，AE＝AD＝＝6又∵∠C＝600∴EC＝中考專題復習——相似三角形一.選擇題1.（2008年山東省濰坊市）如圖,Rt△ABAC中,AB⊥AC,AB=3,AC=4,P是BC邊上一點,作PE⊥AB于E,PD⊥AC于D,設BP=x,則PD+PE=（）A.B.C.D.

2。(2008年樂山市)如圖（2），小明在打網球時，使球恰好能打過網，而且落點恰好在離網6米的位置上，則球拍擊球的高度h為（）A、B、1C、D、6米0.8米6米0.8米4米h米3．（2008湖南常德市）如圖3，已知等邊三角形ABC的邊長為2，DE是它的中位線，則下面四個結論：（1）DE=1，（2）AB邊上的高為，（3）△CDE∽△CAB，（4）△CDE的面積與△CAB面積之比為1：4.其中正確的有（）A．1個B．2個C．3個D．4個AABCDE圖34.(2008山東濟寧)如圖，丁軒同學在晚上由路燈走向路燈，當他走到點時，發(fā)現(xiàn)身后他影子的頂部剛好接觸到路燈的底部，當他向前再步行20m到達點時，發(fā)現(xiàn)身前他影子的頂部剛好接觸到路燈的底部，已知丁軒同學的身高是1.5m，兩個路燈的高度都是9m，則兩路燈之間的距離是（）DA．24m B．25m C．28m D．30m5.（2008江西南昌）下列四個三角形，與左圖中的三角形相似的是（）BA．A．B．C．D．6.(2008重慶)若△ABC∽△DEF，△ABC與△DEF的相似比為2︰3，則S△ABC︰S△DEF為（）A、2∶3B、4∶9C、∶D、3∶27.(2008湖南長沙)在同一時刻，身高1.6米的小強在陽光下的影長為0.8米，一棵大樹的影長為4.8米A、4.8米 B、6.4米 C、9.6米 D、10米8．（2008江蘇南京）小剛身高1.7m，測得他站立在陽關下的影子長為0.85m。緊接著他把手臂豎直舉起，測得影子長為1.1m，那么小剛舉起手臂超出頭頂（）AA.0.5mC.0.6mD.2.2m9．（2008湖北黃石）如圖，每個小正方形邊長均為1，則下列圖中的三角形（陰影部分）與左圖中相似的是（）BA．A．B．C．D．ABC10．（2008浙江金華）如圖是小明設計用手電來測量某古城墻高度的示意圖,點P處放一水平的平面鏡,光線從點A出發(fā)經平面鏡反射后剛好射到古城墻CD的頂端C處，已知AB⊥BD，CD⊥BD，且測得AB=1.2米，BP=1.8米，PD=12米，那么該古城墻的高度是（）BA、6米B、8米C、18米D、24米11、（2008湖北襄樊）如圖1,已知AD與VC相交于點O,AB//CD,如果∠B=40°,∠D=30°,則∠AOC的大小為（）BA.60°B.70°C.80°D.120°12.（2008湘潭市）如圖，已知D、E分別是的AB、AC邊上的點，且那么等于（）B A．1:9 B．1:3 C．1:8 D．1:2BBACDE13.(2008臺灣)如圖G是ABC的重心，直線L過A點與BC平行。若直線CG分別與AB、AL交于D、E兩點，直線BG與AC交于F點，則AED的面積：四邊形ADGF的面積=？()D(A)1：2(B)2：1(C)2：3(D)3：2AABGCDEFL14.(2008臺灣)圖為ABC與DEC重迭的情形，其中E在BC上，AC交DE于F點，且AB//DE。若ABC與DEC的面積相等，且EF=9，AB=12，則DF=？()BABABCDEF(A)3(B)7(C)12(D)15。15.（2008貴州貴陽)6．如果兩個相似三角形的相似比是，那么它們的面積比是（） B． C． D．第4題ABCDEA16.（2008湖南株洲）如圖，在中，、分別是第4題ABCDEA A．5 B．4 C．3 D．2二、填空題1.（2008年江蘇省南通市）已知∠A＝40°，則∠A的余角等于＝________度.ABCED2.（08浙江溫州）如圖，點在射線上，點在射線上，且，．若，ABCED的面積分別為1，4，則圖中三個陰影三角形面積之和為．OOA1A2A3A4ABB1B2B3143.（2008福建省泉州市）兩個相似三角形對應邊的比為6，則它們周長的比為________。AECDB圖44.（2008年浙江省衢州市）AECDB圖45.(2008年遼寧省十二市)如圖4，分別是的邊上的點，，，則．6.(2008年天津市)如圖，已知△ABC中，EF∥GH∥IJ∥BC，則圖中相似三角形共有對．AAGEHFJIBC7.(2008新疆烏魯木齊市)我們知道利用相似三角形可以計算不能直接測量的物體的高度，陽陽的身高是1.6m，他在陽光下的影長是1.2m，在同一時刻測得某棵樹的影長為3.6m，則這棵樹的高度約為m．8.（2008江蘇鹽城）如圖，兩點分別在的邊上，與不平行，當滿足條件（寫出一個即可）時，．第1題圖第1題圖9．（2008泰州市）在比例尺為1︰2000的地圖上測得AB兩地間的圖上距離為5cm，則AB兩地間的實際距離為m．10.（2008年杭州市）.在Rt△ABC中，∠C為直角，CD⊥AB于點D,BC=3,AB=5,寫出其中的一對相似三角形是和；并寫出它的面積比.三、簡答題1．第1題圖（2008年陜西省）陽光明媚的一天，數學興趣小組的同學們去測量一棵樹的高度（這棵樹底部可以到達，頂部不易到達），他們帶了以下測量工具：皮尺、標桿、一副三角尺、小平面鏡．請你在他們提供的測量工具中選出所需工具，設計一種測量方案．第1題圖（1）所需的測量工具是：；（2）請在下圖中畫出測量示意圖；（3）設樹高的長度為，請用所測數據（用小寫字母表示）求出．2．（2008年江蘇省南通市）如圖，四邊形ABCD中，AD＝CD，∠DAB＝∠ACB＝90°，過點D作DE⊥AC，垂足為F，DE與AB相交于點E.（1）求證：AB·AF＝CB·CD（2）已知AB＝15cm，BC＝9cm，P是射線DE上的動點.設DP＝xcm（x＞0），四邊形BCDP的面積為ycm2.①求y關于x的函數關系式；②當x為何值時，△PBC的周長最小，并求出此時y的值.3.(2008湖南懷化)如圖10，四邊形ABCD、DEFG都是正方形，連接AE、CG,AE與CG相交于點M，CG與AD相交于點N．求證：（1）；（2）ABCDEFG圖(1)4.(2008湖南益陽)△ABC是一塊等邊三角形的廢鐵片，利用其剪裁一個正方形DEFG，使正方形的一條邊DE落在BC上，頂點FABCDEFG圖(1)Ⅰ.證明：△BDG≌△CEF；Ⅱ.探究：怎樣在鐵片上準確地畫出正方形.小聰和小明各給出了一種想法，請你在Ⅱa和Ⅱb的兩個問題中選擇一個你喜歡的問題解答.如果兩題都解，只以Ⅱa的解答記分.Ⅱa.小聰想：要畫出正方形DEFG，只要能計算出正方形的邊長就能求出BD和CE的長，從而確定D點和E點，再畫正方形DEFG就容易了.設△ABC的邊長為2，請你幫小聰求出正方形的邊長(結果用含根號的式子表示，不要求分母有理化).AABCDEFG圖(2)Ⅱb.小明想：不求正方形的邊長也能畫出正方形.具體作法是：①在AB邊上任取一點G’，如圖作正方形G’D’E’F’；②連結BF’并延長交AC于F；③作FE∥F’E’交BC于E，F(xiàn)G∥F′G′交AB于G，GD∥G’D’交BC于D，則四邊形DEFG即為所求.ABABCDEFG圖(3)G′F′E′D′5.(2008湖北恩施)如圖11，在同一平面內,將兩個全等的等腰直角三角形ABC和AFG擺放在一起，A為公共頂點，∠BAC=∠AGF=90°，它們的斜邊長為2，若?ABC固定不動，?AFG繞點A旋轉，AF、AG與邊BC的交點分別為D、E(點D不與點B重合,點E不與點C重合),設BE=m，CD=n.（1）請在圖中找出兩對相似而不全等的三角形，并選取其中一對進行證明.（2）求m與n的函數關系式，直接寫出自變量n的取值范圍.（3）以?ABC的斜邊BC所在的直線為x軸，BC邊上的高所在的直線為y軸，建立平面直角坐標系(如圖12).在邊BC上找一點D，使BD=CE，求出D點的坐標，并通過計算驗證BD＋CE=DE.（4）在旋轉過程中,(3)中的等量關系BD＋CE=DE是否始終成立,若成立,請證明,若不成立,請說明理由.GGFEDCBAGGyxOFEDCBA6.（08浙江溫州）如圖，在中，，，，分別是邊的中點，點從點出發(fā)沿方向運動，過點作于，過點作交于，當點與點重合時，點停止運動．設，．（1）求點到的距離的長；（2）求關于的函數關系式（不要求寫出自變量的取值范圍）；（3）是否存在點，使為等腰三角形？若存在，請求出所有滿足要求的的值；若不存在，請說明理由．AABCDERPHQ7.（08山東省日照市）在△ABC中，∠A＝90°，AB＝4，AC＝3，M是AB上的動點（不與A，B重合），過M點作MN∥BC交AC于點N．以MN為直徑作⊙O，并在⊙O內作內接矩形AMPN．令AM＝x．（1）用含x的代數式表示△ＭNP的面積S；（2）當x為何值時，⊙O與直線BC相切？（3）在動點M的運動過程中，記△ＭNP與梯形BCNM重合的面積為y，試求y關于x的函數表達式，并求x為何值時，y的值最大，最大值是多少？AABCMNP圖1O8．（2008湖北咸寧）如圖，在8×8的網格中，每個小正方形的頂點叫做格點，△OAB的頂點都在格點上，請在網格中畫出△OAB的一個位似圖形，使兩個圖形以O為位似中心，且所畫圖形與△OAB的位似比為2︰1．(答案如右圖)AA(第8題圖)BOABCDEPOR9．(2008安徽)如圖，四邊形和四邊形都是平行四邊形，點為的中點，分別交于點．ABCDEPOR（1）請寫出圖中各對相似三角形（相似比為1除外）；（2）求．10.（2008年杭州市）如圖：在等腰△ABC中，CH是底邊上的高線，點P是線段CH上不與端點重合的任意一點，連接AP交BC于點E,連接BP交AC于點F.證明：∠CAE=∠CBF;證明：AE=BF;FCABPEH以線段AE，BF和AB為邊構成一個新的三角形ABG（點E與點F重合于點G），記△ABC和△ABG的面積分別為S△ABC和S△ABG,如果存在點P,能使得S△ABC=FCABPEH11.（2008佛山）如圖，在直角△ABC內，以A為一個頂點作正方形ADEF，使得點E落在BC邊上.(1)用尺規(guī)作圖，作出D、E、F中的任意一點(保留作圖痕跡，不寫作法和證明.另外兩點不需要用尺規(guī)作圖確定，作草圖即可)；(2)若AB=6，AC=2，求正方形ADEF的邊長.AABC12.（2008廣東）如圖5，在△ABC中，BC>AC，點D在BC上，且DC＝AC,∠ACB的平分線CF交AD于F，點E是AB的中點，連結EF.（1）求證：EF∥BC.（2）若四邊形BDFE的面積為6，求△ABD的面積.13.（2008山西太原）如圖，在中，。（1）在圖中作出的內角平分線AD。（要求：尺規(guī)作圖，保留作圖痕跡，不寫證明）（2）在已作出的圖形中，寫出一對相似三角形，并說明理由。14.（2008湖北武漢）如圖，點D，E在BC上，且FD∥AB，F(xiàn)E∥AC。求證：△ABC∽△FDE．證明：略FFEDCBA15．（2008湖南常德市）如圖7，在梯形ABCD中，若AB//DC，AD=BC，對角線BD、AC把梯形分成了四個小三角形．（1）列出從這四個小三角形中任選兩個三角形的所有可能情況，并求出選取到的兩個三角形是相似三角形的概率是多少（注意：全等看成相似的特例）？（2）請你任選一組相似三角形，并給出證明．AABCD①②③④圖7Ｏ16.（2008年山東省臨沂市）如圖，□ABCD中，E是CD的延長線上一點，BE與AD交于點F，。⑴求證：△ABF∽△CEB;⑵若△DEF的面積為2，求□ABCD的面積。17.（2008年山東省濰坊市）如圖，AC是圓O的直徑，AC=10厘米，PA，PB是圓O的切線，A，B為切點，過A作AD⊥BP，交BP于D點，連結AB、BC.求證△ABC∽△ADB;若切線AP的長為12厘米，求弦AB的長.AAPDBCO相似三角形答案一.選擇題2.C3.D4.D5.B6.B7.C8.A9.B10.B11.B12.B13.D14.B15.B16.C二.填空題1.50；2.10.5；3.6；4.4；5.；6.6；7.4.8；8.∠ADE=∠ACB（或∠AED=∠ABC或）9.100；10.三.解答題1.CDCDEFBA（2）測量示意圖如右圖所示．（3）如圖，測得標桿，樹和標桿的影長分別為，．，．．．2.（1）證明：∵AD＝CD，DE⊥AC，∴DE垂直平分AC∴AF＝CF，∠DFA＝DFC＝90°，∠DAF＝∠DCF.∵∠DAB＝∠DAF＋∠CAB＝90°，∠CAB＋∠B＝90°，∴∠DCF＝∠DAF＝∠B在Rt△DCF和Rt△ABC中，∠DFC＝∠ACB＝90°，∠DCF＝∠B∴△DCF∽△ABC∴，即.∴AB·AF＝CB·CD（2）解：①∵AB＝15，BC＝9，∠ACB＝90°，∴AC＝＝＝12，∴CF＝AF＝6∴×6＝3x＋27（x＞0）②∵BC＝9（定值），∴△PBC的周長最小，就是PB＋PC最小.由（1）可知，點C關于直線DE的對稱點是點A，∴PB＋PC＝PB＋PA，故只要求PB＋PA最小.顯然當P、A、B三點共線時PB＋PA最小.此時DP＝DE，PB＋PA＝AB.由（1），∠ADF＝∠FAE，∠DFA＝∠ACB＝90°，地△DAF∽△ABC.EF∥BC，得AE＝BE＝AB＝，EF＝.∴AF∶BC＝AD∶AB，即6∶9＝AD∶15.∴AD＝10.Rt△ADF中，AD＝10，AF＝6，∴DF＝8.∴DE＝DF＋FE＝8＋＝.∴當x＝時，△PBC的周長最小，此時y＝3.證明：（1）四邊形和四邊形都是正方形（2）由（1）得∴AMN∽CDN4.Ⅰ.證明：∵DEFG為正方形，∴GD=FE，∠GDB=∠FEC=90°∵△ABC是等邊三角形，∴∠B=∠C=60°∴△BDG≌△CEF(AAS)Ⅱa.解法一：設正方形的邊長為x，作△ABC的高AH，求得ABCDEFG解圖(2)HABCDEFG解圖(2)H解之得：(或)解法二：設正方形的邊長為x，則在Rt△BDG中，tan∠B=，∴解之得：(或)解法三：設正方形的邊長為x，則由勾股定理得：解之得：Ⅱb.解：正確由已知可知，四邊形GDEF為矩形ABCDEFG解圖(3)G’FABCDEFG解圖(3)G’F’E’D’∴，同理，∴又∵F’E’=F’G’，∴FE=FG因此，矩形GDEF為正方形5.解:(1)?ABE∽?DAE,?ABE∽?DCA∵∠BAE=∠BAD+45°,∠CDA=∠BAD+45°∴∠BAE=∠CDA又∠B=∠C=45°∴?ABE∽?DCA(2)∵?ABE∽?DCA∴由依題意可知CA=BA=∴∴m=自變量n的取值范圍為1<n<2.(3)由BD=CE可得BE=CD,即m=n∵m=∴m=n=FDHAGECB∵FDHAGECB∴OE=OD=－1∴D(1－,0)∴BD=OB－OD=1-(－1)=2－=CE,DE=BC－2BD=2-2(2－)=2－2∵BD＋CE=2BD=2(2－)=12－8,DE=(2－2)=12－8∴BD＋CE=DE(4)成立證明:如圖,將?ACE繞點A順時針旋轉90°至?ABH的位置,則CE=HB,AE=AH,∠ABH=∠C=45°,旋轉角∠EAH=90°.連接HD,在?EAD和?HAD中∵AE=AH,∠HAD=∠EAH-∠FAG=45°=∠EAD,AD=AD.∴?EAD≌?HAD∴DH=DE又∠HBD=∠ABH+∠ABD=90°∴BD+HB=DH即BD＋CE=DE6.解：（1），，，．點為中點，．，．，ABCDEABCDERPHQM21（2），．，，，，即關于的函數關系式為：．（3）存在，分三種情況：ABCDERPHQ①當時，過點作ABCDERPHQ，，．，，ABCDEABCDERPHQ②當時，，．③當時，則為中垂線上的點，于是點為的中點，．，，．綜上所述，當為或6或時，為等腰三角形．7.解：（1）∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠ANM＝∠C．∴△AMN∽△ABC．∴，即．∴AN＝x．……………2分∴=．（0＜＜4）……………3分ABCMND圖2OQ（2）如圖2，設直線BC與⊙O相切于點D，連結AO，ODABCMND圖2OQ在Rt△ABC中，BC＝=5．由（1）知△AMN∽△ABC．∴，即．∴，∴．…5分過M點作MQ⊥BC于Q，則．在Rt△BMQ與Rt△BCA中，∠B是公共角，∴△BMQ∽△BCA．∴．∴，．∴x＝．∴當x＝時，⊙O與直線BC相切．…………………7分ABCMNP圖3O（3）隨點M的運動，當P點落在直線BCABCMNP圖3O∵MN∥BC，∴∠AMN=∠B，∠AOM＝∠APC．∴△AMO∽△ABP．∴．AM＝MB＝2．故以下分兩種情況討論：=1\*GB3①當0＜≤2時，．∴當＝2時，