專題01 指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)（3考點(diǎn)串講+6熱考題型）（高教版2021·基礎(chǔ)模塊下冊(cè)）（解析版）

專題01指數(shù)函數(shù)、對(duì)數(shù)函數(shù)考點(diǎn)串講考點(diǎn)串講考點(diǎn)一、實(shí)數(shù)指數(shù)冪（1）n次方根：如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n＞1，且n∈N*.正數(shù)，負(fù)數(shù)的n次方根是一個(gè)負(fù)數(shù)，這時(shí)a的n次方根用符號(hào)eq\r(n,a)表示．當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，正數(shù)的n次方根有兩個(gè)，這兩個(gè)數(shù)互為相反數(shù)．這時(shí)，正數(shù)a的正的n次方根用符號(hào)eq\r(n,a)表示，負(fù)的n次方根用符號(hào)－eq\r(n,a)表示．正的n次方根與負(fù)的n次方根可以合并寫(xiě)成±eq\r(n,a)．負(fù)數(shù)沒(méi)有偶次方根．0的n(n∈N*)次方根是0，記作eq\r(n,0)＝0．（2）根式：式子eq\r(n,a)叫做根式，這里n叫做根指數(shù)，a叫做被開(kāi)方數(shù)．n為奇數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝a；n為偶數(shù)時(shí)，eq\r(n,an)＝|a|.（3）實(shí)數(shù)指數(shù)冪的有關(guān)概念：零指數(shù)冪：a0＝1，這里a≠0.負(fù)整數(shù)指數(shù)冪：a－n＝eq\f(1,an)(a≠0，n∈N*)．正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：aeq\s\up6(\f(m,n))＝eq\r(n,am)(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪：aeq\s\up6(-\f(m,n))＝eq\f(1,\r(n,am))(a＞0，m，n∈N*，且n＞1)．0的正分?jǐn)?shù)指數(shù)冪等于0，0的負(fù)分?jǐn)?shù)指數(shù)冪沒(méi)有意義．（4）實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則：；；．考點(diǎn)二、指數(shù)函數(shù)（1）指數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)（且）叫做指數(shù)函數(shù)，其中指數(shù)x是自變量，定義域是R，a是指數(shù)函數(shù)的底數(shù)．結(jié)構(gòu)特征：底數(shù)：大于零且不等于1的常數(shù)；指數(shù)：僅有自變量；系數(shù)：的系數(shù)是1.（2）指數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域值域過(guò)定點(diǎn)單調(diào)性在上是增函數(shù)在上是減函數(shù)奇偶性非奇非偶函數(shù)考點(diǎn)三、對(duì)數(shù)及對(duì)數(shù)函數(shù)（1）對(duì)數(shù)①對(duì)數(shù)的定義：若，則叫做以為底的對(duì)數(shù)，記作，其中叫做底數(shù)，叫做真數(shù).負(fù)數(shù)和零沒(méi)有對(duì)數(shù).對(duì)數(shù)式與指數(shù)式的互化：.②幾個(gè)重要的對(duì)數(shù)恒等式，，.③常用對(duì)數(shù)與自然對(duì)數(shù)常用對(duì)數(shù)：，即；自然對(duì)數(shù)：，即(其中…).=4\*GB3④對(duì)數(shù)的運(yùn)算法則：如果，那么加法：減法：數(shù)乘：對(duì)數(shù)恒等式：常用變形：換底公式：（2）對(duì)數(shù)函數(shù)①對(duì)數(shù)函數(shù)的概念一般地，函數(shù)y＝logax(a>0，且a≠1)叫做對(duì)數(shù)函數(shù)，其中x是自變量，函數(shù)的定義域是(0，＋∞).②特殊的對(duì)數(shù)函數(shù)常用對(duì)數(shù)函數(shù)：以10為底的對(duì)數(shù)函數(shù).自然對(duì)數(shù)函數(shù)：以無(wú)理數(shù)e為底的對(duì)數(shù)函數(shù).③對(duì)數(shù)函數(shù)的圖象與性質(zhì)圖象性質(zhì)定義域：值域：過(guò)定點(diǎn)，即時(shí)，在上增函數(shù)在上是減函數(shù)當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，=4\*GB3④不同底的對(duì)數(shù)函數(shù)圖象的相對(duì)位置一般地，對(duì)于底數(shù)a>1的對(duì)數(shù)函數(shù)，在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)，底數(shù)越大越靠近x軸；對(duì)于底數(shù)0<a<1的對(duì)數(shù)函數(shù)，在區(qū)間(1，＋∞)內(nèi)，底數(shù)越小越靠近x軸．熱考題型熱考題型類型一、實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算法則【例1】設(shè)，下列計(jì)算中正確的是（）A．B．C． D．【答案】B【解析】對(duì)于A，，錯(cuò)誤；對(duì)于B，，正確；對(duì)于C，，錯(cuò)誤；對(duì)于D，，錯(cuò)誤，故選：B.【變式1】已知，則（）A． B． C． D．【答案】B【解析】因?yàn)椋?，故選：B.【變式2】化簡(jiǎn)結(jié)果為（）A．a(chǎn) B．b C． D．【答案】A【解析】根據(jù)實(shí)數(shù)指數(shù)冪的運(yùn)算公式，可得：，故選：A.類型二、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的結(jié)構(gòu)特征【例1】若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（）A．且 B． C．或 D．【答案】D【解析】若函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則，解得，或，又指數(shù)函數(shù)的底數(shù)且，故.故選：．【例2】若函數(shù)是對(duì)數(shù)函數(shù)，則.【答案】5【解析】根據(jù)對(duì)數(shù)函數(shù)的定義有，解得.故答案為：5．【變式1】函數(shù)是指數(shù)函數(shù)，則（）A．或B．C．D．且【答案】C【解析】由指數(shù)函數(shù)定義知，同時(shí)，且，所以解得.故選：C【變式2】已知對(duì)數(shù)函數(shù)，則．【答案】2【解析】由對(duì)數(shù)函數(shù)的定義，可得，解得．故答案為：2.類型三、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)【例1】函數(shù)的圖象一定過(guò)定點(diǎn)．【答案】【解析】函數(shù)，由指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，令，可得，當(dāng)時(shí)，可得，圖象一定過(guò)定點(diǎn).故答案為：．【例2】函數(shù)曲線恒過(guò)定點(diǎn)（）A．B．C．D．【答案】C【解析】因?yàn)閷?duì)數(shù)函數(shù)恒過(guò)點(diǎn)，所以函數(shù)曲線恒過(guò)點(diǎn).故選：C.【變式1】函數(shù)的圖象恒過(guò)的定點(diǎn)是．【答案】【解析】指數(shù)函數(shù)恒過(guò)定點(diǎn)，令得，此時(shí)，故函數(shù)的圖象恒過(guò)的定點(diǎn)是.故答案為：．【變式2】函數(shù)(且)的圖象恒過(guò)定點(diǎn).【答案】【解析】因?yàn)楹瘮?shù)(且)，令，解得，所以，即函數(shù)恒過(guò)點(diǎn).故答案為：.類型四、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的比較大小【例1】已知,,,則的大小關(guān)系是（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】構(gòu)造可知單調(diào)遞增，，，構(gòu)造可知單調(diào)遞減，，，構(gòu)造可知單調(diào)遞減，，，所以，故選：A.【變式1】設(shè)，，，則（）A．B．C．D．【答案】A【解析】因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞增，則，即，所以；因?yàn)楹瘮?shù)在單調(diào)遞增，則，所以；因?yàn)楹瘮?shù)在上單調(diào)遞減，則，所以，綜上，.故選：A.【變式2】已知，則a，b，c的大小關(guān)系為（）A．B．C．D．【答案】C【解析】由于，故.故選：C.類型五、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的圖像【例1】函數(shù)的圖象大致為（

）A．B．C． D．【答案】A【解析】因?yàn)?，所以單調(diào)遞增，且恒過(guò)點(diǎn)，故A為正確答案.故選：A．【例2】已知函數(shù)（且，，為常數(shù)）的圖象如圖，則下列結(jié)論正確的是（）A．，B．，C．，D．，【答案】D【解析】因?yàn)楹瘮?shù)為減函數(shù)，所以,又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與軸的交點(diǎn)在正半軸，所以，即,又因?yàn)楹瘮?shù)圖象與軸有交點(diǎn)，所以，所以，故選：D.【變式1】函數(shù)的圖象大致是（

）A．B．C． D．【答案】D【解析】由，得函數(shù)是以為底數(shù)的指數(shù)函數(shù)，且函數(shù)為減函數(shù)，故D選項(xiàng)符合題意，故選：D.【變式2】函數(shù)與函數(shù)且的圖象大致是（）A．B．C． D．【答案】B【解析】函數(shù)f(x)單調(diào)遞增，且過(guò)定點(diǎn)(0，1＋a)，當(dāng)0＜a＜1時(shí)，1＜1＋a＜2，即f(x)與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)介于1和2之間，此時(shí)過(guò)定點(diǎn)(1，0)且在單調(diào)遞減，沒(méi)有符合的選項(xiàng)；當(dāng)a＞1時(shí)，1＋a＞2，即f(x)與y軸交點(diǎn)縱坐標(biāo)大于2，此時(shí)g(x)過(guò)定點(diǎn)(1，0)且在單調(diào)遞增，符合的選項(xiàng)為B.故選B.類型六、指數(shù)函數(shù)和對(duì)數(shù)函數(shù)的綜合【例1】已知函數(shù)，其中是指數(shù)函數(shù)．（1）求的表達(dá)式；（2）解不等式：．【答案】（1）；（2）【解析】解：（1）是指數(shù)函數(shù)