專題09 平面向量及其應用（5知識點+4重難點+8方法技巧+6易錯易混）（解析版）-2025高考數(shù)學一輪復習知識

專題09平面向量及其應用（思維構建+知識盤點+重點突破+方法技巧+易混易錯）知識點1向量的有關概念1、向量：既有大小又有方向的量叫做向量，向量的大小叫做向量的模．2、零向量：長度為0的向量，記作.3、單位向量：長度等于1個單位長度的向量．4、平行向量：方向相同或相反的非零向量，又叫共線向量，規(guī)定：與任一向量平行．5、相等向量：長度相等且方向相同的向量．6、相反向量：長度相等且方向相反的向量．知識點2向量的線性運算向量運算定義法則(或幾何意義)運算律加法求兩個向量和的運算交換律：；結(jié)合律：減法求與的相反向量的和的運算數(shù)乘求實數(shù)λ與向量的積的運算，當λ>0時，與的方向相同；當λ<0時，與的方向相反；當λ＝0時，結(jié)合律：；第一分配律：；第二分配律：知識點3向量共線定理與基本定理1、向量共線定理：如果，則，反之，如果且，則一定存在唯一的實數(shù)，使.2、三點共線定理：平面內(nèi)三點、、三點共線的充要條件是：存在實數(shù)，使，其中，為平面內(nèi)一點。23、平面向量基本定理（1）定義：如果是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對于這一平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，使（2）基底：若不共線，我們把叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底．（3）對平面向量基本定理的理解=1\*GB3①基底不唯一，只要是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量都可以作為基底．同一非零向量在不同基底下的分解式是不同的．=2\*GB3②基底給定時，分解形式唯一．是被唯一確定的數(shù)值．=3\*GB3③是同一平面內(nèi)所有向量的一組基底，則當與共線時，；當與共線時，；當時，．=4\*GB3④由于零向量與任何向量都是共線的，因此零向量不能作為基底中的向量．知識點4平面向量的數(shù)量積1、向量的夾角（1）定義：已知兩個非零向量和，作，，則∠AOB就是向量與的夾角．（2）范圍：設θ是向量與的夾角，則0°≤θ≤180°.（3）共線與垂直：若θ＝0°，則與同向；若θ＝180°，則與反向；若θ＝90°，則與垂直．2、平面向量的數(shù)量積（1）定義：已知兩個非零向量與，它們的夾角為θ，則數(shù)量叫做與的數(shù)量積(或內(nèi)積)，記作，即，規(guī)定零向量與任一向量的數(shù)量積為0，即.（2）幾何意義：數(shù)量積等于的長度與在的方向上的投影的乘積．【注意】（1）數(shù)量積也等于的長度|b|與在方向上的投影的乘積，這兩個投影是不同的．（2）在方向上的投影也可以寫成，投影是一個數(shù)量，可正可負可為0，取決于θ角的范圍．3、向量數(shù)量積的性質(zhì)設，是兩個非零向量，是單位向量，α是與的夾角，于是我們就有下列數(shù)量積的性質(zhì)：（1）.（2）.（3），同向?；，反向?.特別地或.（4）若θ為，的夾角，則.4、向量數(shù)量積的運算律（1）(交換律)．（2）(結(jié)合律)．（3）(分配律)．【注意】對于實數(shù)a，b，c有，但對于向量，，而言，不一定成立，即不滿足向量結(jié)合律．這是因為表示一個與c共線的向量，而表示一個與a共線的向量，而與不一定共線，所以不一定成立．知識點5平面向量的坐標運算1、向量線性運算坐標表示（1）已知，則，．結(jié)論：兩個向量和與差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和與差．（2）若，則；結(jié)論：實數(shù)與向量的積的坐標等于用這個實數(shù)乘原來向量的相應坐標。2、向量平行坐標表示：已知，則向量，共線的充要條件是3、向量數(shù)量積的坐標表示已知非零向量，，與的夾角為θ.結(jié)論幾何表示坐標表示模夾角的充要條件與的關系重難點01平面向量最值或范圍問題1、定義法：=1\*GB3①利用向量的概念及其基本運算將所求的問題轉(zhuǎn)化為相應的等式關系；=2\*GB3②運用基本不等式求其最值問題；=3\*GB3③得出結(jié)論。2、坐標法：=1\*GB3①根據(jù)題意建立適當?shù)闹苯亲鴺讼?，并推導關鍵點的坐標；=2\*GB3②將平面向量的運算坐標化；=3\*GB3③運用適當?shù)臄?shù)學方法如二次函數(shù)、基本不等式的思想、三角函數(shù)思想等求解。3、基底法：=1\*GB3①利用基底轉(zhuǎn)化向量；=2\*GB3②根據(jù)向量運算化簡目標；=3\*GB3③運用適當?shù)臄?shù)學方法如二次函數(shù)、基本不等式的思想、三角函數(shù)等得出結(jié)論；4、幾何意義法：=1\*GB3①結(jié)合條件進行向量關系推導；=2\*GB3②利用向量之間的關系確定向量所表達的點的軌跡；=3\*GB3③結(jié)合圖形，確定臨界位置的動態(tài)分析求出范圍。類型1數(shù)量積的最值或范圍【典例1】（2024·四川成都·三模）在矩形中，，，點滿足，在平面中，動點滿足，則的最大值為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】以O為坐標原點（是中點），建立如圖所示的直角坐標系，因為在矩形中，，，，，所以動點在以O為圓心，1為半徑的圓上運動，故設，則,，其中銳角滿足，故的最大值為,故選：A.【典例2】（2024·江西鷹潭·二模）在中，角所對應的邊為,，，，是外接圓上一點，則的最大值是（

）A．4 B． C．3 D．【答案】A【解析】如圖，設的外心為，則點是的中點，由，因，故,而，故當且僅當與同向時取等號.故選：A.類型2模長的最值或范圍【典例1】（2024·陜西西安·模擬預測）已知向量，，，則的最小值為.【答案】【解析】，所以.當時等號成立.故答案為：.【典例2】（2024·江蘇泰州·模擬預測）在平行四邊形中，若則的最小值為（

）A． B． C．1 D．【答案】B【解析】由可得，因，故時，，即的最小值為.故選：B．類型3向量夾角的最值或范圍【典例1】（2024·廣東江門·二模）設向量，則的最小值為.【答案】/【解析】，令，則，所以，當，即時，取得最小值，且最小值為．故答案為：【典例2】（23-24高三上·山東菏澤·階段練習）已知向量，滿足，若對任意模為的向量，均有，則向量的夾角的取值范圍為.【答案】【解析】由，若對任意模為的向量，均有，由三角不等式得，，因為向量為任意模為的向量，所以當向量與向量夾角為時，上式也成立，設向量的夾角為.，，平方得到，即，則，即，即，同時，所以，平方得到，即，解得，即，，綜上，又因為，即，向量的夾角的取值范圍.故答案為：.類型4線性系數(shù)的最值或范圍【典例1】（2024·山西晉中·模擬預測）（多選）在中，為邊上一點且滿足，若為邊上一點，且滿足，，為正實數(shù)，則下列結(jié)論正確的是（

）A．的最小值為1 B．的最大值為C．的最大值為12 D．的最小值為4【答案】BD【解析】因為，所以，又，因為、、三點共線，所以，又，為正實數(shù)，所以，當且僅當，即，時取等號，故A錯誤，B正確；，當且僅當，即，時取等號，故C錯誤，D正確.故選：BD【典例2】（23-24高三下·安徽·階段練習）已知正方形的邊長為2，中心為，四個半圓的圓心均為正方形各邊的中點（如圖），若在上，且，則的最大值為．【答案】【解析】如圖，以線段BC所在直線為x軸，線段BC的垂直平分線為y軸建立平面直角坐標系，設，又，則，，即，解得，,因為，則，所以當時，取得最大值1，則的最大值為.故答案為：.重難點02運用向量表示三角形的重心、垂心、外心、內(nèi)心1、常見重心向量式：設O是?ABC的重心，P為平面內(nèi)任意一點=1\*GB3①OA+OB+=2\*GB3②PO=13=3\*GB3③若AP=λAB+AC或OP=OA+λAB=4\*GB3④若AP=λABABsinB+ACACsinC或OP2、常見垂心向量式：O是?ABC的垂心，則有以下結(jié)論：=1\*GB3①OA?OB==2\*GB3②OA2+BC=3\*GB3③動點P滿足OP=OA+λABABcosB+ACACcosC3、常用外心向量式：O是?ABC的外心，=1\*GB3①OA=OB==2\*GB3②OA+OB?=3\*GB3③動點P滿足OP=OB+OC2+λABABcosB+AC=4\*GB3④若OA+OB?AB=OB+OC?4、常見內(nèi)心向量式：P是?ABC的內(nèi)心，=1\*GB3①ABPC+BCPA+CA其中a，b，c分別是?ABC的三邊BC、AC、AB的長，=2\*GB3②AP=λABAB+ACAC，λ[0,+∞)【典例1】（2024·四川南充·三模）已知點P在所在平面內(nèi)，若，則點P是的（

）A．外心 B．垂心 C．重心 D．內(nèi)心【答案】D【解析】在中，由，得，即，由，同理得，顯然，即與不重合，否則，同理，則，即，，于是平分，同理平分，所以點P是的內(nèi)心.故選：D【典例2】（23-24高三上·全國·專題練習）已知G，O，H在所在平面內(nèi)，滿足，，，則點G，O，H依次為的（

）A．重心，外心，內(nèi)心 B．重心、內(nèi)心，外心C．重心，外心，垂心 D．外心，重心，垂心【答案】C【解析】因為，所以，設AB的中點D，則，所以，所以C，G，D三點共線，即G為的中線CD上的點，且，所以G為的重心．因為，所以，所以O為的外心；因為，所以，即，所以，同理可得：，，所以H為的垂心.故選：C.重難點03奔馳定理及其應用1、奔馳定理：O是內(nèi)的一點，且x?OA+y?OB則S2、證明過程：已知O是內(nèi)的一點，?BOC，?COA，?AOB的面積分別為SA，SB，S求證：SA延長OA與BC邊相交于點D，則BDDCOD=∵ODOA=∴OD=-∴-S所以SA（3）奔馳定理推論：x?OA=1\*GB3①S?BOC:S=2\*GB3②S?BOCS?ABC=xx+y+z，S由于這個定理對應的圖象和奔馳車的標志很相似，我們把它稱為“奔馳定理”．（4）對于三角形面積比例問題，常規(guī)的作法一般是通過向量線性運算轉(zhuǎn)化出三角形之間的關系。但如果向量關系符合奔馳定理的形式，在選擇填空題當中可以迅速的地得出正確答案?！镜淅?】（23-24高三上·江西新余·期末）（多選）“奔馳定理”因其幾何表示酷似奔馳的標志得來，是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論．奔馳定理與三角形四心（重心、內(nèi)心、外心、垂心）有著神秘的關聯(lián)．它的具體內(nèi)容是：已知M是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，且．以下命題正確的有（

）A．若，則M為的重心B．若M為的內(nèi)心，則C．若M為的垂心，，則D．若，，M為的外心，則【答案】ABC【解析】A選項，因為，所以，取的中點，則，所以，故三點共線，且，同理，取中點，中點，可得三點共線，三點共線，所以M為的重心，A正確；B選項，若M為的內(nèi)心，可設內(nèi)切圓半徑為，則，，，所以，即，B正確；C選項，若M為的垂心，，則，如圖，⊥，⊥，⊥，相交于點，又，，即，，即，，即，設，，，則，，，因為，，所以，即，同理可得，即，故，，則，故，，則，故，，故，同理可得，故，C正確；D選項，若，，M為的外心，則，設的外接圓半徑為，故，，故，，，所以，D錯誤.故選：ABC【典例2】（23-24高三上·河北保定·階段練習）（多選）“奔馳定理”是平面向量中一個非常優(yōu)美的結(jié)論，因為這個定理對應的圖形與“奔馳”轎車的標志很相似，所以形象地稱其為“奔馳定理”．奔馳定理：已知是內(nèi)一點，，，的面積分別為，，，則．設是內(nèi)一點，的三個內(nèi)角分別為，，，，，的面積分別為，，，若，則以下命題正確的有（

）

A．B．有可能是的重心C．若為的外心，則D．若為的內(nèi)心，則為直角三角形【答案】AD【解析】對于A，由奔馳定理可得，，因為，，不共線，所以，故A正確；對于B，若是的重心，，因為，所以，即共線，故B錯誤．對于C，當為的外心時，，所以，即，故C錯誤．對于D，當為的內(nèi)心時，（為內(nèi)切圓半徑），所以，所以，故D正確.故選：AD.重難點04極化恒等式及其應用1、極化恒等式：2、平行四邊形模式：平行四邊形ABCD，O是對角線交點．則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AD,\s\up6(→))＝eq\f(1,4)[|AC|2－|BD|2]．3、三角形模式：在△ABC中，設D為BC的中點，則eq\o(AB,\s\up6(→))·eq\o(AC,\s\up6(→))＝|AD|2－|BD|2．【典例1】（23-24高三下·湖南長沙·階段練習）向量的數(shù)量積可以表示為：以這組向量為鄰邊的平行四邊形的“和對角線”與“差對角線”平方差的四分之一，即如圖所示，，我們稱為極化恒等式.已知在中，是中點，，，則（

）A． B．16 C． D．8【答案】A【解析】由題設，可以補形為平行四邊形，由已知得．故選：A．【典例2】（2024高三·全國·專題練習）四邊形中，M是上的點，，,若N是線段上的動點，的取值范圍是.【答案】【解析】M是上的點且C、D兩點在以為直徑的圓上，且圓心為M，是等腰直角三角形，所以又，所以，在等腰直角中,點M到線段MN上的一點N的距離最大值為1,取最小值時,N為的中點,此時，，所以.故答案為：一、解決向量概念問題的關鍵點1、相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性．2、共線向量即平行向量，它們均與起點無關．3、相等向量不僅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量．4、向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時，不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一談．5、非零向量與的關系：是方向上的單位向量，因此單位向量與方向相同．6、向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能．但向量的模是非負實數(shù)，可以比較大?。?、在解決向量的概念問題時，要注意兩點：①不僅要考慮向量的大小，還要考慮向量的方向；②考慮零向量是否也滿足條件．【典例1】（2023·湖南長沙·一模）（多選）下列說法不正確的是（

）A．若，則與的方向相同或者相反B．若，為非零向量，且，則與共線C．若，則存在唯一的實數(shù)使得D．若是兩個單位向量，且，則【答案】ACD【解析】對A，若為零向量時，與的方向不確定，故A錯誤；對B，分別表示，方向上的單位向量，根據(jù)題意可知B正確；對C，若為零向量，不為零向量時，不存在實數(shù)使得，故C錯誤；對D，由，所以，故D錯誤.故選：ACD【典例2】（2023高三·全國·專題練習）（多選）下列命題正確的是（

）A．若都是單位向量，則.B．“”是“”的必要不充分條件C．若都為非零向量，則使＋＝成立的條件是與反向共線D．若，則【答案】BCD【解析】對A，都是單位向量，則模長相等，但方向不一定相同，所以得不到，A錯誤；對B，“”推不出“”，但“”能推出“”，所以“”是“”的必要不充分條件，B正確；對C，因為與反向共線，且，都為單位向量，則＋＝，C正確；對D，若，則，D正確，故選:BCD.二、平面向量共線定理的應用1、證明向量共線：若存在實數(shù)λ，使，則與非零向量共線；2、證明三點共線：若存在實數(shù)λ，使，與有公共點A，則A，B，C三點共線；3、求參數(shù)的值：利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值【典例1】（2024·浙江·模擬預測）已知向量，是平面上兩個不共線的單位向量，且，，，則（

）A．、、三點共線 B．、、三點共線C．、、三點共線 D．、、三點共線【答案】C【解析】對A，因為，，不存在實數(shù)使得，故、、三點不共線，故A錯誤；對B，因為，，不存在實數(shù)使得，故、、三點不共線，故B錯誤；對C，因為，，則，故、、三點共線，故C正確；對D，因為，，不存在實數(shù)使得，故、、三點不共線，故D錯誤.故選：C【典例2】（2024高三·全國·專題練習）在中，M，N分別是邊BC，AC的中點，線段AM，BN交于點D，則的值為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】解法一：因為M，N分別是邊BC，AC的中點，可由三角形重心的性質(zhì)知.解法二：設，則，又由B，D，N三點共線，可知，解得，所以，故，故選：C.三、平面向量基本定理的實質(zhì)及解題思路1、應用平面向量基本定理表示向量的實質(zhì)是平行四邊形法則或三角形法則進行向量的加、減或數(shù)乘運算．2、用平面向量基本定理解決問題的一般思路是先選擇一組基底，并運用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過向量的運算來解決．【典例1】（2024·山西呂梁·三模）已知等邊的邊長為1，點分別為的中點，若，則（

）A． B．C． D．【答案】B【解析】在中，取為基底，則，因為點分別為的中點，,所以，所以.故選：B.【典例2】（23-24高三下·黑龍江大慶·階段練習）四邊形ABCD中，，且，若，則．【答案】2【解析】如圖，由可得且，易得,則有于是,

因，故得由，解得：.故答案為：2.四、平面向量數(shù)量積的求解方法1、定義法求平面向量的數(shù)量積（1）方法依據(jù)：當已知向量的模和夾角θ時，可利用定義法求解，即（2）適用范圍：已知或可求兩個向量的模和夾角。2、基底法求平面向量的數(shù)量積（1）方法依據(jù)：選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數(shù)量積的兩個向量分別用這組基底表示出來，進而根據(jù)數(shù)量級的運算律和定義求解。（2）適用范圍：直接利用定義法求數(shù)量積不可行時，可將已知模和夾角的兩個不共線的向量作為基底，采用“基底法”求解。3、坐標法求平面向量的數(shù)量積（1）方法依據(jù)：當已知向量的坐標時，可利用坐標法求解，即若，，則；（2）適用范圍：=1\*GB3①已知或可求兩個向量的坐標；=2\*GB3②已知條件中有（或隱含）正交基底，優(yōu)先考慮建立平面直角坐標系，使用坐標法求數(shù)量積?！镜淅?】（2024·云南曲靖·模擬預測）已知向量，，（分別為正交單位向量），則（

）A． B．1 C．6 D．【答案】B【解析】因為分別為正交單位向量，所以，，所以，故選：B.【典例2】（2024·安徽蕪湖·模擬預測）已知邊長為1的正方形ABCD，點E，F(xiàn)分別是BC，CD的中點，則（

）A． B． C． D．【答案】D【解析】邊長為1的正方形ABCD，，，，，所以.故選：D.五、解決有關垂直問題兩個非零向量垂直的充要條件：=1\*GB3①；=2\*GB3②若，，則.【典例1】（2024·全國·高考真題）已知向量，若，則（

）A． B． C．1 D．2【答案】D【解析】因為，所以，所以即，故，故選：D.【典例2】（2024·西藏·模擬預測）已知向量，．若，則實數(shù)的值是（

）A． B． C． D．2【答案】A【解析】由題意得，．，因為，所以，所以，所以，解得．故選：A．六、求向量模的常用方法1、定義法：利用及，把向量的模的運算轉(zhuǎn)化為數(shù)量積運算；2、坐標法：當向量有坐標或適合建坐標系時，可用模的計算公式；3、幾何法，利用向量的幾何意義，即利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用余弦定理等方法求解．【典例1】（2024·山東菏澤·二模）已知向量，且，則的值是（

）A． B． C． D．6【答案】D【解析】因為，即，化簡，整理得，則，解得.故選：D【典例2】（2024·江西宜春·模擬預測）已知向量，滿足，，，則（

）A．5 B． C．6 D．8【答案】B【解析】由，，，得，則，因此，所以．故選：B七、平面向量的夾角問題求解兩個非零向量之間的夾角的步驟：第一步，由坐標運算計算出這兩個向量的數(shù)量積；第二步，分別求出這兩個向量的模；第三步，根據(jù)公式求出這兩個向量夾角的余弦值，其中，；第四步，根據(jù)兩個向量夾角的范圍及其夾角的余弦值，求出兩個向量的夾角.【典例1】（2024·江蘇泰州·模擬預測）若，，，則與的夾角為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為，所以，又，所以，解得，所以，設與的夾角為，所以，又，所以.故選：A【典例2】（2024·河北·模擬預測）平面四邊形中，點分別為的中點，，則（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】因為平面四邊形中，點分別為的中點，所以，所以，由可得：，兩邊同時平方可得：，所以，解得：，所以.故選：A.八、投影向量及其應用設向量是向量在向量上的投影向量，則有，則【典例1】（2024·山東青島·二模）已知向量，，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】A【解析】依題意，，所以在上的投影向量為.故選：A【典例2】（2024·山東菏澤·模擬預測）在平面直角坐標系中，，點在直線上，則在上的投影向量為（

）A． B． C． D．【答案】C【解析】根據(jù)題意，設點，則，則在上的投影向量為.故選：C易錯點1平面向量的概念模糊，尤其是零向量點撥：平面向量部分概念多而抽象，如零向量、單位向量、平行向量、共線向量、相等向量、相反向量、向量的加法、減法、數(shù)乘、數(shù)量積、向量的模、夾角等等?！镜淅?】（23-24高三上·全國·專題練習）（多選）下列說法中正確的是（

）A．零向量與任一向量平行 B．方向相反的兩個非零向量不一定共線C．單位向量是模為的向量 D．方向相反的兩個非零向量必不相等【答案】ACD【解析】對于A，零向量的方向是任意的，零向量與任一向量平行，故A項正確；對于B，根據(jù)共線向量的定義，可知方向相反的兩個非零向量一定共線，故B項錯誤；對于C，根據(jù)單位向量的定義，可知C項正確；對于D，方向相同且模相等的兩個向量相等，因此方向相反的兩個非零向量一定不相等，D項正確．故選：ACD．易錯點2忽視兩個向量成為基底的條件點撥：如果、是同一平面內(nèi)的兩個不共線向量，那么對該平面內(nèi)的任一向量，有且只有一對實數(shù)，，使。在平面向量知識體系中，基本定理是基石，共線向量定理是重要工具?？忌趯W習這部分知識時，務必要注意這兩個定理的作用和成立條件?！镜淅?】（2024·上海浦東新·三模）給定平面上的一組向量、，則以下四組向量中不能構成平面向量的基底的是（

）A．和 B．和C．和 D．和【答案】C【解析】對A：不存在實數(shù)，使得，故和不共線，可作基底；對B：不存在實數(shù)，使得，故和不共線，可作基底；對C：對和，因為是不共線的兩個非零向量，且存在實數(shù)，使得，故和共線，不可作基底；對D：不存在實數(shù)，使得，故和不共線，可作基底.故選：C.【典例2】（23-24高三上·福建·階段練習）（多選）下列各組向量中，可以作為所有平面向量的一個基底的是（

）A．， B．，C．， D．，【答案】ACD【解析】易知能作為基底的兩個平面向量不能共線，因為，，，則選項A、C、D中兩個向量均不共線，而B項中，則B錯誤.故選：ACD易錯點3錯誤使用向量平行的等價條件點撥：對于，，，若是使用，容易忽略0這個解.考生解題過程中要注意等價條件的完備性?！镜淅?】（2024·青海海西·模擬預測