2024-2025學(xué)年新教材高中數(shù)學(xué)第二章一元二次函數(shù)方程和不等式2.2基本不等式一課一練含解析新人教A版必修第一冊(cè)

PAGE1-其次章一元二次函數(shù)、方程和不等式2.2基本不等式考點(diǎn)1基本不等式的理解1.若a,b∈R,且ab>0,則下列不等式中,恒成立的是()。A.a2+b2>2ab B.a+b≥2abC.1a+1b>2ab D.ba答案：D解析：當(dāng)a=b時(shí),A不成立;當(dāng)a<0,b<0時(shí),B,C都不成立,故選D。2.(2024·廣東佛山第一中學(xué)高一下學(xué)期期中)設(shè)正實(shí)數(shù)a,b滿意a+b=1,則()。A.1a+1b有最大值4 B.abC.a+b有最大值2 D.a2+b2有最小值2答案：C解析：對(duì)于A,1a+1b=(a+b)1a+1b=2+ba+ab≥2+2ba·ab=4,當(dāng)且僅當(dāng)ba=ab且a+b=1,即對(duì)于B,由不等式得ab≤a+b2=12,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)等號(hào)成立,∴ab的最大值為對(duì)于C,由不等式可得a+b≤2(a)2+(b)22=2a+b2=2,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=1對(duì)于D,由不等式可得a2+b2≥2a+b22=12,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=12時(shí)等號(hào)成立,∴a2+b2有最小值13.已知正數(shù)a,b滿意ab=10,則a+b的最小值是()。A.10 B.25 C.5 D.210答案：D解析：a+b≥2ab=210,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=10時(shí)等號(hào)成立,故選D。4.(2024·四川成都高一下學(xué)期期中)已知正數(shù)a,b滿意a2+b2=1,則ab的最大值為()。A.1 B.22 C.12 答案：C解析：已知正數(shù)a,b滿意a2+b2=1,則ab≤a2+b22=12,當(dāng)且僅當(dāng)a=5.假如正數(shù)a,b,c,d滿意a+b=cd=4,那么()。A.ab≤c+d,且等號(hào)成立時(shí)a,b,c,d的取值唯一B.ab≥c+d,且等號(hào)成立時(shí)a,b,c,d的取值唯一C.ab≤c+d,且等號(hào)成立時(shí)a,b,c,d的取值不唯一D.ab≥c+d,且等號(hào)成立時(shí)a,b,c,d的取值不唯一答案：A解析：∵a+b≥2ab,∴ab≤a+b22=4,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=2時(shí)取等號(hào)?！遚+d≥2cd,∴c+d≥2cd=4,當(dāng)且僅當(dāng)c故c+d≥ab,當(dāng)且僅當(dāng)a=b=c=d=2時(shí)取等號(hào)。考點(diǎn)2利用基本不等式比較大小6.若0<a<1,0<b<1,且a≠b,則a+b,2ab,2ab,a2+b2中最大的一個(gè)是()。A.a2+b2 B.2abC.2ab D.a+b答案：D解析：方法一:∵0<a<1,0<b<1且a≠b,∴a2+b2>2ab,a+b>2ab,a>a2,b>b2,∴a+b>a2+b2,故選D。方法二:取a=12,b=13,則a2+b2=1336,2ab=63,2ab=13,a+b=7.設(shè)0<a<b,且a+b=1,在下列四個(gè)數(shù)中最大的是()。A.12 B.b C.2ab D.a2+b答案：B解析：∵0<a<b,∴ab<a+b22,∴ab<14,∴∵a2+b22>a+b2>0,∴a2+b2∵b-(a2+b2)=(b-b2)-a2=b(1-b)-a2=ab-a2=a(b-a)>0,∴b>a2+b2,∴b最大。8.已知a>b>c,則(a-b)(b答案：(a-b解析：∵a>b>c,∴a-b>0,b-c>0,∴a-c2=(a-b)+(b-c)2≥(a-b)(考點(diǎn)3利用基本不等式求最值之無(wú)條件求最值9.已知0<x<1,則x(3-3x)取得最大值時(shí)x的值為()。A.13 B.12 C.34答案：B解析：由x(3-3x)=13×3x(3-3x)≤13×94=34,當(dāng)且僅當(dāng)3x=3-3x,即10.函數(shù)y=3x2+6x2+1的最小值是(A.32-3 C.62 D.62-3答案：D解析：y=3(x2+1)+6x2+1-3≥23(x2+1)·6x2+1-3=218-3=6211.若xy是正數(shù),則x+12y2+yA.3 B.72 C.4 D.答案：C解析：x+12y2+y+12x2=x2+y2+141x當(dāng)且僅當(dāng)x=y=22或x=y=-212.(2024·上海青浦一中高一上學(xué)期期中)設(shè)x>0,則x2+x答案：23-1 解析：由x>0,可得x+1>1?？闪顃=x+1(t>1),即x=t-1,則x2+x+3x+1=(t-1)2+t-1+3t=t+3t-1≥2考點(diǎn)4利用基本不等式求最值之有條件求最值13.(2024·湖北天門(mén)、仙桃、潛江高一下學(xué)期期末聯(lián)考)設(shè)a,b∈R,a2+b2=k(k為常數(shù)),且1a2+1+4b2+1的最小值為1,則A.1 B.4 C.7 D.9答案：C解析：由題得a2+1+b2+1=k+2,∴1a2+1+4b2+1=1a2+1+4b2+1k14.(2024·安徽淮北二模)已知正數(shù)x,y滿意x+2y-2xy=0,那么2x+y的最小值是。

答案：9解析：依據(jù)題意,若x+2y-2xy=0,則12y+1故2x+y=(2x+y)12y+1x=52+xy+yx≥52+2yx·xy=92,當(dāng)且僅當(dāng)x=y15.(上海高考)若實(shí)數(shù)x,y滿意xy=1,則x2+2y2的最小值為。

答案：22解析：x2+2y2≥2x2·2y2=22·(xy)2=22,當(dāng)且僅當(dāng)x2考點(diǎn)5利用基本不等式求解實(shí)際應(yīng)用題16.某工廠第一年產(chǎn)量為A,其次年產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為a,第三年產(chǎn)量的增長(zhǎng)率為b,這兩年產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為x,則()。A.x=a+b2 B.C.x>a+b2 D.答案：B解析：∵這兩年產(chǎn)量的平均增長(zhǎng)率為x,∴A(1+x)2=A(1+a)·(1+b),∴(1+x)2=(1+a)(1+b),a>0,b>0?！?+x=(1+a)(1+b∴x≤a+b2,等號(hào)在1+a=1+b,即a=b17.某金店用一臺(tái)不精確的天平(兩邊臂長(zhǎng)不相等)稱(chēng)黃金,某顧客要購(gòu)買(mǎi)10g黃金,售貨員先將5g的砝碼放在左盤(pán),將黃金放于右盤(pán)使之平衡后給顧客,然后又將5g的砝碼放入右盤(pán),將另一黃金放于左盤(pán)使之平衡后又給顧客,則顧客實(shí)際所得黃金()。A.大于10g B.小于10gC.大于等于10g D.小于等于10g答案：A解析：設(shè)左、右兩臂長(zhǎng)分別為b,a,兩次放入的黃金的克數(shù)分別為x,y,依題意有ax=5b,by=5a,∴xy=25。∵x+y2≥xy,∴x+y≥10,當(dāng)且僅當(dāng)x=又a≠b,∴x≠y?！鄕+y>10,即兩次所得黃金大于10g,故選A。18.(2024·四川眉山一中高二月考)一艘輪船在航行中的燃油費(fèi)和它的速度的立方成正比,已知在速度為10km/h時(shí)的燃油費(fèi)是每小時(shí)6元,其他與速度無(wú)關(guān)的費(fèi)用是每小時(shí)96元,則行駛每千米的費(fèi)用總和最小時(shí),該輪船的航行速度為km/h。

答案：20解析：設(shè)速度為vkm/h,則每千米費(fèi)用總和y=kv3+96v,又k×103=6,∴∴y=3500v2+96v=3500v2+48v+48v≥當(dāng)且僅當(dāng)3500v2=48v,即v=20時(shí)取等號(hào)。故答案為19.某汽車(chē)運(yùn)輸公司剛買(mǎi)了一批豪華大客車(chē)投入營(yíng)運(yùn),依據(jù)市場(chǎng)分析每輛客車(chē)的運(yùn)營(yíng)總利潤(rùn)y(單位:十萬(wàn)元)與營(yíng)運(yùn)年數(shù)x(x∈N*)為二次函數(shù)關(guān)系,其圖像如圖2-2-1所示。若使?fàn)I運(yùn)的年平均利潤(rùn)最大,則每輛客車(chē)應(yīng)營(yíng)運(yùn)年。

圖2-2-1答案：5解析：由題意得二次函數(shù)圖像的頂點(diǎn)坐標(biāo)為(6,11),設(shè)二次函數(shù)的解析式為y=a(x-6)2+11,由題意得點(diǎn)(4,7)在函數(shù)圖像上,∴7=a(4-6)2+11,解得a=-1?！鄖=-(x-6)2+11=-x2+12x-25?！嗄昶骄麧?rùn)為yx=-x-25x+12=12-x+25x≤12-2x·25x=2,當(dāng)且僅當(dāng)∴當(dāng)x=5時(shí),yx有最大值2即要使?fàn)I運(yùn)的年平均利潤(rùn)最大,則每輛客車(chē)應(yīng)營(yíng)運(yùn)5年。20.(2024·安徽蚌埠高一下學(xué)期期末)某農(nóng)業(yè)科研單位準(zhǔn)備開(kāi)發(fā)一個(gè)生態(tài)漁業(yè)養(yǎng)殖項(xiàng)目,準(zhǔn)備購(gòu)置一塊1800m2的矩形地塊,中間挖三個(gè)矩形池塘養(yǎng)魚(yú),挖出的泥土堆在池塘四周形成基圍(如圖2-2-2中陰影部分所示)種植桑樹(shù),魚(yú)塘四周的基圍寬均為2m,如圖2-2-2所示,池塘所占面積為Sm2,其中a∶b=1∶2。圖2-2-2(1)試用x,y表示S;答案：由題意得xy=1800,b=2a,則y=a+b+6=3a+6,S=a(x-4)+b(x-6)=a(x-4)+2a(x-6)=(3x-16)a=(3x-16)×y-63=xy-6x-163y+32=1832-6x其中x∈(6,300),y∈(6,300)。(2)若要使S最大,則x,y的值分別為多少?答案：由(1)可知,x∈(6,300),y∈(6,300),xy=1800,6x+163y≥26x·當(dāng)且僅當(dāng)6x=163y時(shí)等號(hào)成立∴S=1832-6x-163y≤1832-480=1此時(shí)9x=8y,xy=1800,解得x=40,y=45。故要使S最大,x,y的值分別為40,45?？键c(diǎn)6利用基本不等式求解恒成立問(wèn)題21.已知x>0,y>0,x+2y=1。若2x+1y>m2+3m+4恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是(A.(-∞,-4]∪[-1,+∞)B.(-∞,-1]∪[4,+∞)C.(-4,1)D.(-1,4)答案：C解析：2x+1y×1=2x+1y(x即m2+3m+4<8恒成立,m2+3m-4<0的解集為(-4,1)。故選C。22.當(dāng)x>0時(shí),不等式x2+mx+4>0恒成立,則實(shí)數(shù)m的取值范圍是。

答案：(-4,+∞)解析：∵x>0,不等式x2+mx+4>0可化為-m<x+4x,而當(dāng)x>0時(shí),x+4x≥2x·4x=4,當(dāng)且僅當(dāng)x=4x,即x=2時(shí)等號(hào)成立,∴x+4x的最小值為4?！?m<4,即23.已知不等式(x+y)1x+ay≥9對(duì)隨意正實(shí)數(shù)x,y恒成立,則正實(shí)數(shù)答案：4解析：∵a>0,∴(x+y)1x+ay=1+a+yx+xay≥1+a+2a,由條件知a+2a+124.(2024·安徽亳州蒙城一中高三月考)設(shè)a>0,若對(duì)于隨意的正數(shù)m,n,都有m+n=8,則滿意1a≤1m+4n+1的答案：[1,+∞)解析：由m+n=8可得m+n+1=9,故1m+4n+1=19(m+n+1)·1m+4n+1=191+4+n+1m+4mn+1≥19×(5+24)=99=1,當(dāng)且僅當(dāng)n+1=2m,m+25.設(shè)正數(shù)x,y滿意x+y≤a·x+y恒成立,則a的最小值是答案：2解析：由已知知a≥x+yx+ymax∴x+y≤2·x+y,∴x+yx+y26.(2024·山東濟(jì)寧微山一中、鄒城一中高二下學(xué)期期中)已知a>0,b>0。(1)求證:a2b+b2a≥答案：證明:∵a>0,b>0,∴a2b+b2a+a+b=a2b+b當(dāng)且僅當(dāng)a=b時(shí)等號(hào)成立,∴a2b+b2a≥a+b(當(dāng)且僅當(dāng)a=(2)利用(1)的結(jié)論,試求函數(shù)y=(1-x)2x答案：解:由于0<x<1,可將1-x看作(1)中的a,x看作(1)中的b。依據(jù)(1)的結(jié)論,則有y=(1-x)2x+x當(dāng)且僅當(dāng)1-x=x,即x=12時(shí),等號(hào)成立∴所求函數(shù)y=(1-x)227.(2024·陜西西安