2022屆北京市房山區(qū)高三第二次模擬測(cè)試數(shù)學(xué)試題（解析版）

房山區(qū)2022年高考第二次模擬測(cè)試試卷數(shù)學(xué)本試卷共6頁(yè)，150分?？荚嚂r(shí)長(zhǎng)120分鐘。考生務(wù)必將答案答在答題卡上，在試卷上作答無(wú)效?？荚嚱Y(jié)束后，將本試卷和答題卡一并交回。第一部分（選擇題共40分）一、選擇題共10小題，每小題4分，共40分。在每小題列出的四個(gè)選項(xiàng)中，選出符合題目要求的一項(xiàng)。（1）已知集合，集合，則（A）（B）（C）（D）（2）雙曲線的焦點(diǎn)坐標(biāo)為（A）（B）（C）（D）（3）已知，，，則（A）（B）（C）（D）（4）已知，是第一象限角，且角的終邊關(guān)于軸對(duì)稱，則（A）（B）（C）（D）（5）已知數(shù)列滿足，為其前項(xiàng)和.若，則（A）（B）（C）（D）（6）已知函數(shù)，則不等式的解集為（A）（B）（C）（D）（7）已知是兩個(gè)不同的平面，直線，且那么“”是“”的（A）充分而不必要條件（B）必要而不充分條件（C）充分必要條件（D）既不充分也不必要條件（8）如圖，在同一平面內(nèi)沿平行四邊形兩邊向外分別作正方形,，其中，則（A）（B）（C）（D）（9）已知數(shù)列是公差為的等差數(shù)列，且各項(xiàng)均為正整數(shù)，如果那么的最小值為（A）（B）（C）（D）（10）下表是某生活超市2021年第四季度各區(qū)域營(yíng)業(yè)收入占比和凈利潤(rùn)占比統(tǒng)計(jì)表:生鮮區(qū)熟食區(qū)乳制品區(qū)日用品區(qū)其它區(qū)營(yíng)業(yè)收入占比48.6%15.8%20.1%10.8%4.7%凈利潤(rùn)占比65.8%-4.3%16.5%20.2%1.8%該生活超市本季度的總營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率為32.5%(營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率是凈利潤(rùn)占營(yíng)業(yè)收入的百分比)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①本季度此生活超市營(yíng)業(yè)收入最低的是熟食區(qū)；②本季度此生活超市的營(yíng)業(yè)凈利潤(rùn)超過(guò)一半來(lái)自生鮮區(qū)；③本季度此生活超市營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率最高的是日用品區(qū)；④本季度此生活超市生鮮區(qū)的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率超過(guò)40%.其中正確結(jié)論的序號(hào)是（A）①③（B）②④（C）②③（D）②③④第二部分（非選擇題共110分）二、填空題共5小題，每小題5分，共25分。（11）拋物線的準(zhǔn)線方程為.（12）若復(fù)數(shù)滿足，則____．（13）已知圓和直線，則圓心坐標(biāo)為____；若點(diǎn)在圓上運(yùn)動(dòng)，到直線的距離記為，則的最大值為____.（14）已知函數(shù)若函數(shù)在上不是增函數(shù)，則的一個(gè)取值為____．（15）聲音是由于物體的振動(dòng)產(chǎn)生的能引起聽(tīng)覺(jué)的波，其中包含著正弦函數(shù).純音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù).我們聽(tīng)到的聲音是由純音合成的，稱為復(fù)合音.已知一個(gè)復(fù)合音的數(shù)學(xué)模型是函數(shù).給出下列四個(gè)結(jié)論：①的最小正周期是；②在上有個(gè)零點(diǎn)；③在上是增函數(shù)；④的最大值為.其中所有正確結(jié)論的序號(hào)是____.三、解答題共6小題，共85分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明，演算步驟或證明過(guò)程。（16）（本小題14分）在中，.（Ⅰ）求；（Ⅱ）再?gòu)南铝腥齻€(gè)條件中選擇一個(gè)作為已知，使存在且唯一確定，求邊上的高.條件①：；條件②：；條件③：的面積為.注：如果選擇的條件不符合要求，第（Ⅱ）問(wèn)得0分；如果選擇多個(gè)符合要求的條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．（17）（本小題14分）如圖，在四棱錐中，底面．在底面中，，，，．（Ⅰ）求證：平面；（Ⅱ）若平面與平面的夾角等于，求點(diǎn)到平面的距離．（18）（本小題14分）北京2022年冬奧會(huì)，向全世界傳遞了挑戰(zhàn)自我、積極向上的體育精神，引導(dǎo)了健康、文明、快樂(lè)的生活方式．為了激發(fā)學(xué)生的體育運(yùn)動(dòng)興趣，助力全面健康成長(zhǎng)，某中學(xué)組織全體學(xué)生開展以“筑夢(mèng)奧運(yùn)，一起向未來(lái)”為主題的體育實(shí)踐活動(dòng)．為了解該校學(xué)生參與活動(dòng)的情況，隨機(jī)抽取名學(xué)生作為樣本，統(tǒng)計(jì)他們參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間（單位：分鐘），得到下表：時(shí)間人數(shù)類別[0，50）[50，60）[60，70）[70，80）[80，90）[90，100）性別男51213898女69101064學(xué)段初中10高中1312754（Ⅰ）從該校隨機(jī)抽取名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計(jì)該學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在的概率；（Ⅱ）從參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間在和的學(xué)生中各隨機(jī)抽取人，其中初中學(xué)生的人數(shù)記為，求隨機(jī)變量的分布列和數(shù)學(xué)期望；（Ⅲ）假設(shè)同組中每個(gè)數(shù)據(jù)用該組區(qū)間中點(diǎn)值代替，樣本中的名學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)記為，初中、高中學(xué)生參加體育實(shí)踐活動(dòng)時(shí)間的平均數(shù)分別記為，當(dāng)滿足什么條件時(shí)，.(結(jié)論不要求證明)（19）（本小題14分）已知函數(shù)．（Ⅰ）當(dāng)時(shí)，求曲線在處的切線方程；（Ⅱ）求函數(shù)在上的最小值．（20）（本小題15分）已知橢圓的一個(gè)頂點(diǎn)為，一個(gè)焦點(diǎn)為.（Ⅰ）求橢圓的方程和離心率；（Ⅱ）已知點(diǎn)，過(guò)原點(diǎn)的直線交橢圓于兩點(diǎn)，直線與橢圓的另一個(gè)交點(diǎn)為.若的面積等于，求直線的斜率.（21）（本小題14分）已知數(shù)集具有性質(zhì)：對(duì)任意的，，使得成立．（Ⅰ）分別判斷數(shù)集與是否具有性質(zhì)，并說(shuō)明理由；（Ⅱ）已知，求證：；（Ⅲ）若，求數(shù)集中所有元素的和的最小值．參考答案：1．B【解析】【分析】求解，再求的交集和補(bǔ)集判斷即可【詳解】由題，，故故選：B2．C【解析】【分析】根據(jù)雙曲線焦點(diǎn)坐標(biāo)公式求解即可【詳解】雙曲線的焦點(diǎn)在軸上，坐標(biāo)為，即故選：C3．A【解析】【分析】分別和特殊值0，1比較大小，即可判斷.【詳解】，，，所以.故選：A4．D【解析】【分析】根據(jù)cosα求出tanα，根據(jù)角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱可知．【詳解】∵是第一象限角，∴，，∵角的終邊關(guān)于y軸對(duì)稱，∴．故選：D．5．C【解析】【分析】先利用等比數(shù)列的定義、通項(xiàng)公式得到公比和首項(xiàng)，再利用等比數(shù)列的求和公式進(jìn)行求解.【詳解】因?yàn)?，所以為等比?shù)列，且，又，所以，則.故選：C.6．C【解析】【分析】根據(jù)絕對(duì)值的定義和對(duì)數(shù)函數(shù)的單調(diào)性即可求解．【詳解】．故選：C﹒7．B【解析】【分析】根據(jù)空間線面位置關(guān)系，結(jié)合必要不充分條件的概念判斷即可.【詳解】解：當(dāng)直線，且，，則，或，與相交，故充分性不成立，當(dāng)直線，且，時(shí)，，故必要性成立，所以，“”是“”的必要而不充分條件.故選：B8．C【解析】【分析】根據(jù)向量加法法則，，再利用數(shù)量積的運(yùn)算法則計(jì)算即可.【詳解】.故選：C.9．B【解析】【分析】根據(jù)題意可得，再結(jié)合為整數(shù)可求得，即可得解.【詳解】解：在等差數(shù)列中，因?yàn)?，則，即，故或或或或或或或，所以的最小值為14.故選：B.10．D【解析】【分析】根據(jù)表中數(shù)據(jù)以及營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率的概念逐項(xiàng)進(jìn)行分析并判斷.【詳解】由題中數(shù)據(jù)知，其它類營(yíng)業(yè)收入占比，為最低的，故①錯(cuò)；生鮮區(qū)的凈利潤(rùn)占比，故②正確；生鮮區(qū)的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率為，故④正確；熟食區(qū)的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率為；乳制品區(qū)的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率為；其他區(qū)的營(yíng)業(yè)利潤(rùn)率為；日用品區(qū)為，最高，故③正確．故選：D.11．【解析】【分析】拋物線的準(zhǔn)線方程為，由此得到題目所求準(zhǔn)線方程.【詳解】拋物線的準(zhǔn)線方程是.【點(diǎn)睛】本小題主要考查拋物線的準(zhǔn)線方程，拋物線的準(zhǔn)線方程為，直接利用公式可得到結(jié)果.屬于基礎(chǔ)題.12．【解析】【詳解】由題意得，∴．13．-2(答案不唯一，滿足或即可)【解析】【分析】作出y=x和y=的圖象，數(shù)形結(jié)合即可得a的范圍，從而得到a的可能取值．【詳解】y=x和y=的圖象如圖所示：∴當(dāng)或時(shí)，y=有部分函數(shù)值比y=x的函數(shù)值小，故當(dāng)或時(shí)，函數(shù)在上不是增函數(shù)．故答案為：-2．14．②④【解析】【分析】對(duì)①，分別計(jì)算和的最小正周期，再由其最小公倍數(shù)即可得到的最小正周期；對(duì)②，直接求零點(diǎn)即可；對(duì)③④，對(duì)求導(dǎo)，利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性、極值和最值，即可判斷【詳解】對(duì)①，因?yàn)椋?，的最小正周期是，的最小正周期是，所以的最小正周期是，故①不正確；對(duì)②，即，即，故或，又，故，或，即在上有3個(gè)零點(diǎn)，故②正確；對(duì)③由題，，由，令得，，，當(dāng)，，為增函數(shù)，當(dāng)，，為減函數(shù)，當(dāng)，，為增函數(shù)，所以在，上單調(diào)遞增，在上為單調(diào)遞減，故③不正確；由于，，所以的最大值為，所以④正確綜上，②④正確故答案為：②④15．

##【解析】【分析】由圓的標(biāo)準(zhǔn)方程可得圓心坐標(biāo)；根據(jù)直線過(guò)定點(diǎn)，可知當(dāng)時(shí)，圓心到距離最大，則.【詳解】由圓的方程知：圓心坐標(biāo)為；由直線方程知：恒過(guò)點(diǎn)，則，當(dāng)時(shí)，圓心到距離最大，又圓的半徑，.16．(1)(2)答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）方法一：根據(jù)正弦定理，結(jié)合內(nèi)角和與兩角和的正弦公式化簡(jiǎn)即可；方法二：利用余弦定理化簡(jiǎn)即可（2）選①則不合題意；選②：根據(jù)則可得，再根據(jù)兩角和的正弦公式可得，再根據(jù)高計(jì)算即可；選③：根據(jù)面積公式可得，進(jìn)而用余弦定理求得，再結(jié)合面積公式求解高即可(1)方法一：在中，因?yàn)?，所以由正弦定理可?因?yàn)?，所?所以.在中，，所以，所以.方法二：在中，因?yàn)?，由余弦定理得，整理得所以，所?(2)選條件②：由（1）知因?yàn)樵谥校?，所以又，所以所以設(shè)邊上高線的長(zhǎng)為h，則.選條件③：因?yàn)樗裕捎嘞叶ɡ淼盟?設(shè)邊上高線的長(zhǎng)為h，則17．(1)證明見(jiàn)解析(2)【解析】【分析】（1）根據(jù)幾何關(guān)系證明，根據(jù)底面得，進(jìn)而證明結(jié)論；（2）根據(jù)題意，兩兩互相垂直，進(jìn)而建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，再根據(jù)坐標(biāo)法求解即可.(1)證明：設(shè)中點(diǎn)為E，連接，易知為正方形，且所以，所以因?yàn)榈酌娴酌?，所以又面，所以平?2)解：因?yàn)榈酌妫谡叫沃兴詢蓛苫ハ啻怪?如圖建立空間直角坐標(biāo)系設(shè)則所以，設(shè)平面的法向量為，則即所以由（1）知，平面的法向量為因?yàn)槠矫媾c平面的夾角為，所以，解得設(shè)點(diǎn)B到平面的距離為d.則18．(1)(2)分布列答案見(jiàn)解析，數(shù)學(xué)期望：(3)【解析】【分析】（1）方法一：根據(jù)條件概率公式求解即可；方法二：根據(jù)古典概型的方法分析即可；（2）方法一：根據(jù)相互獨(dú)立事件同時(shí)發(fā)生的概率公式求解即可；方法二：根據(jù)二項(xiàng)分布的公式求解；（3）補(bǔ)全初中段的人數(shù)表格，再分別計(jì)算關(guān)于的解析式，代入求解的范圍即可(1)方法一：女生共有人，記事件A為“從所有調(diào)查學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，女生被抽到”，事件B為“從所有調(diào)查學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，參加體育活動(dòng)時(shí)間在”由題意可知，因此所以從該校隨機(jī)抽取1名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計(jì)該學(xué)生參加體育活動(dòng)時(shí)間在的概率為方法二：女生共有人，記事件M為“從所有調(diào)查學(xué)生中隨機(jī)抽取1名學(xué)生，若已知抽到的是女生，該學(xué)生參加體育活動(dòng)時(shí)間在”由題意知，從所有調(diào)查學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到女生所包含的基本事件共45個(gè)，抽到女生且參加體育活動(dòng)時(shí)間在所包含的基本事件共9個(gè)所以所以從該校隨機(jī)抽取1名學(xué)生，若已知抽到的是女生，估計(jì)該學(xué)生參加體育活動(dòng)時(shí)間在的概率為(2)方法一：X的所有可能值為0，1，2，時(shí)間在的學(xué)生有人，活動(dòng)時(shí)間在的初中學(xué)生有人.記事件C為“從參加體育活動(dòng)時(shí)間在的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到的是初中學(xué)生”，事件D為“從參加體育活動(dòng)時(shí)間在的學(xué)生中隨機(jī)抽取1人，抽到的是初中學(xué)生”.由題意知，事件C?D相互獨(dú)立，且所以所以X的分布列為：X012P故X的數(shù)學(xué)期望方法二：X的所有可能值為0，1，2，因?yàn)閺膮⒓芋w育活動(dòng)時(shí)間在和的學(xué)生中各隨機(jī)抽取1人是相互獨(dú)立，且抽到初中學(xué)生的概率均為，故所以所以X的分布列為：X012P故X的數(shù)學(xué)期望(3)根據(jù)男女生人數(shù)先補(bǔ)全初中學(xué)生各區(qū)間人數(shù)：學(xué)段初中81111108高中m1312754內(nèi)初中生的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間，內(nèi)高中生的總運(yùn)動(dòng)時(shí)間，則由題，，又，，，由可得，當(dāng)時(shí)成立，故的取值范圍19．(1)(2)答案見(jiàn)解析【解析】【分析】（1）利用導(dǎo)數(shù)的幾何意義，求切線方程；（2）首先求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，化簡(jiǎn)為，再討論和兩種情況討論函數(shù)的單調(diào)性，再求函數(shù)的最值.(1)當(dāng)時(shí)，所以.所以曲線在處的切線方程為：.(2).①當(dāng)時(shí)，.所以時(shí)，.所以在上是增函數(shù).所以.②當(dāng)時(shí)，令，解得（舍）1°當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，.所以在上是增函數(shù).所以.2°當(dāng)，即時(shí)，x-0+減函數(shù)極小值增函數(shù)所以.3°當(dāng)，即時(shí)，時(shí)，.所以在上是減函數(shù).所以.綜上，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，.當(dāng)時(shí)，.20．(1)橢圓，離心率；(2)或.【解析】【分析】（1）根據(jù)題意得到，進(jìn)而求出a，最后得到橢圓方程和離心率；（2）設(shè)出直線PM的方程并代入橢圓方程然后化簡(jiǎn)，再設(shè)出點(diǎn)M,Q的坐標(biāo)，進(jìn)而表達(dá)出面積，然后結(jié)合根與系數(shù)的關(guān)系求出答案.(1)由題設(shè)，得，則，所以橢圓C的方程為，離心率.(2)設(shè)直線的方程為，由得，解得.設(shè)，則，，即同號(hào).根據(jù)橢圓的對(duì)稱性知，，所以，整理得，解得，（滿足）所以，或.【點(diǎn)睛】本題運(yùn)算量較大，對(duì)于用“根與系數(shù)的關(guān)系”解決問(wèn)題是個(gè)老套路，但本題對(duì)于面積的處理有一定的技巧，平常注意對(duì)此類題型的訓(xùn)練.21．(1)不具有性質(zhì)P，具有性質(zhì)P，理由見(jiàn)解析；(2)證明見(jiàn)解析；(3)75．【解析】【分析】(1)對(duì)于，，故可判斷它不具有性質(zhì)P；對(duì)于可逐項(xiàng)驗(yàn)證2、3、6均滿足對(duì)任意的，使得成立，故可判斷它具有性質(zhì)P；(2)根據(jù)題意可知，從而，故而可得，將這些式子累加即可得，從而可變形為要證的結(jié)論；(3)根據(jù)題中已知條件可得該數(shù)集，，從而可得該數(shù)集元素均為整數(shù)，再根據(jù)可構(gòu)造一個(gè)滿足性質(zhì)P的數(shù)集或，這兩個(gè)數(shù)集元素之和為75，證明75是最小值即可．(1)∵，∴不具有性質(zhì)P；∵，∴具有性質(zhì)P；(2)∵集合具有性質(zhì)P：即對(duì)任意的，使得成立，又∵，∴，∴，即，將上述不等式相加得，∴，由于，∴，∴；(3)最小值為75．首先注意到，根據(jù)性質(zhì)P，得到，∴易知數(shù)集A的元素都是整數(shù)．構(gòu)造或者，這兩個(gè)集合具有性質(zhì)P，此時(shí)元素和為75．下面，證明75是最小的和：假設(shè)數(shù)集，滿足(存在性顯然，∵滿足的數(shù)集A只有有限個(gè))．第一步：首先說(shuō)明集合中至少有7個(gè)元素：由(2)可知，…又，∴；∴；第二步：證明；若，設(shè)，∵，為了使得最小，在集合A中一定不含有元素，使得，從而；假設(shè)，根據(jù)性質(zhì)P，對(duì)，有，使得，顯然，∴，而此時(shí)集合A中至少還有4個(gè)不同于的元素，從而，矛盾，∴，進(jìn)而，且；同理可證：；(同理可以證明：若，則)．假設(shè)．∵，根據(jù)性質(zhì)P，有，使得，顯然，