2.2基本不等式課件高一上學期數學人教A版2

基本不等式一般地，對于任意實數a、b，總有當且僅當a=b時，等號成立文字敘述為:兩數的平方和不小于它們積的2倍.適用范圍：a,b∈R復習提問重要不等式替換后得到：即：即：你能用不等式的性質直接推導這個不等式嗎？學習新知證明：要證只要證①要證①，只要證②要證②，只要證③顯然,③是成立的.當且僅當a=b時,③中的等號成立.分析法證明不等式：學習新知基本不等式1.如何理解“基本”呢？對象少；關系簡；應用廣.2.基本不等式的幾何解釋

如圖,AB是圓的直徑,點C是AB上一點,AC=a,BC=b.過點C作垂直于AB的弦DE,連接AD、BD.

易證Rt△ACD∽Rt△DCB,則ABCDEab而這個圓的半徑為,顯然會大于或等于CD,即其中當且僅當點C與圓心重合,即a=b時,等號成立.特別地，若a>0，b>0，則≥通常我們把上式寫作：當且僅當a=b時取等號，這個不等式就叫做基本不等式.基本不等式在數學中，我們把叫做正數a，b的算術平均數，叫做正數a，b的幾何平均數；文字敘述為：兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數.適用范圍：a>0,b>0學習新知適用范圍文字敘述“=”成立條件a=ba=b兩個正數的算術平均數不小于它們的幾何平均數兩數的平方和不小于它們積的2倍a,b∈Ra>0,b>0填表比較：注意從不同角度認識基本不等式學習新知基本不等式的應用例１．已知x>0，求的最小值和此時x的取值．典型例題基本不等式的應用例１．已知x>0，求的最小值和此時x的取值．典型例題變式1：把改為成立嗎？變式2：把改為成立嗎？不成立不成立練習課本P46T3,4，5基本不等式的運用典型例題例2.已知

x,y

都是正數，求證：(1)如果積

xy等于定值P

，那么當

x=y時，和x+y有最小值2P.(2)如果和x+y等于定值S

，那么當x=y時，積xy有最大值

S2.14積定和最小,和定積最大.一正、二定、三相等練習課本P46T1,2，5①各項皆為正數；②和或積為定值；③注意等號成立的條件.一“正”二“定”三“相等”利用基本不等式求最值時，要注意歸納總結已知

x,y

都是正數，求證：(1)如果積

xy等于定值P

，那么當

x=y時，和x+y有最小值2P.(2)如果和x+y等于定值S

，那么當x=y時，積xy有最大值

S2.14辨別真?zhèn)紊罨轮烈徽凉M足.二定不滿足.三相等就無從談起.錯誤原因是把相等時的x值代入求y的值了.課本P48T1去偽存真強化三識一正滿足.二定也滿足.三相等也能成立.課本P48T1求最值時注意把握“一正，二定，三相等”3.利用基本不等式求最值1.重要不等式即時小結2.基本不等式已知

x,y

都是正數，求證：(1)如果積

xy等于定值P

，那么當

x=y時，和x+y有最小值2P.(2)如果和x+y等于定值S

，那么當x=y時，積xy有最大值

S2.141.已知x>0，

y>0，

xy=24,求4x+6y的最小值，并說明此時x，y的值．當x=6,y=4時,最小值為482.已知x<0，求的最大值.鞏固練習3.求x＞

-1時，

的最小值.解:

∵

x＞-1,∴x+1>0.=(x

+1)+

-11x+1∴x

+

1x+1=1,≥2(x+1)?-11x+1當且僅當取“=”號.∴當

x=0

時,取最小值是

1.x+1=

,即

x=0

時,1x+1強化重點突破難點提高練習2.已知x>0,y>0,且x+2y=1,求的最小值．3.已知x,y為正數,且2x+8y＝xy，則x+y

的最小值是___.184.已知x,y為正數,且x+y+3＝xy，則xy

的取值范圍是___.課本P58T5xy≥9強化重點突破難點基本不等式2.兩個不等式中“當且僅當a=b時，等號成立”這句話應從兩方面來理解：(1)當a=b時，等號成立．其含義為：如果a=b，那么(2)僅當a=b時，等號成立．其含義為：如果，那么a=b．綜合起來，“當且僅當a=b時，等號成立．”其含義是：a=b等價于對于重要不等式以及基本不等式，要注意1.兩不等式成立的條件不一樣深刻認識理解新知充要條件.問題解決應用新知證明：（1）因a,b均為正數，由基本不等式，可知也即當且僅當時，等號成立該不等式的幾何解釋如圖1，設交⊙Ｏ上半圓于Ｄ，過Ｃ作交OD于E，在Rt△OCD中，由射影定理可知即由DC≥DE，得當且僅當時，等號成立問題解決應用新知（2）因為不等式兩邊同時加上由于兩邊都是正數，所以兩邊開方得：問題解決應用新知當且僅當時，等號成立該不等式的幾何解釋當且僅當時，等號成立如圖2，設交⊙Ｏ上半圓于F，由FC≥OF，得問題解決應用新知其中當且僅當a＝b時取等號.重要結論問題解決應用新知算術平均數幾何平均數平方平均數調和平均數兩個正數的倒數的算術平均數的倒數.兩個正數的平方的算術平均數的算術平方根.（1）（2）（3）練習：設a>0，b>0，給出下列不等式其中恒成立的

.課堂練習鞏固新知多項選擇題是新高考新增加的題型例2

已知a,b都是正實數,且ab=2,求證:(1+2a)(1+b)≥9.

求實際問題中最值的一般思路(1)先讀懂題意，設出變量，理清思路，列出函數關系式．(2)把實際問題抽象成函數的最大值或最小值問題．(3)在定義域內，求函數的最大值或最小值時，一般先考慮基本不等式，當基本不等式求最值的條件不具備時，再考慮函數的單調性．(4)正確寫出答案．方法技巧歸納總結概括新知基本不等式應用證明幾何解釋代數認識1.本節(jié)知識結構歸納總結概括新知2.用基本不等式能解決簡單

的函數