2022屆東北三省四市教研聯(lián)合體高考模擬考試（一）數(shù)學(xué)(理科)答案

2022年東北三省四市教研聯(lián)合體高考模擬試卷（一）數(shù)學(xué)（理科）一?選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.已知集合，，則集合（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】先求出集合A，B，再利用交集的運(yùn)算即可求出．【詳解】化簡(jiǎn)，，所以．故選：B．2.若復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，則實(shí)數(shù)a的值為（）A-3B.-1C.1D.3【答案】A【解析】【分析】利用復(fù)數(shù)的除法，將復(fù)數(shù)表示為一般形式，然后利用復(fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等求出實(shí)數(shù)的值.【詳解】解：因?yàn)閺?fù)數(shù)的實(shí)部與虛部相等，所以，解得故實(shí)數(shù)a的值為.故選：A3.下列函數(shù)既是偶函數(shù)，又在上單調(diào)遞減的是（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】由偶函數(shù)的定義以及指對(duì)冪函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.【詳解】對(duì)于A，令，，故A錯(cuò)誤；對(duì)于B，令，，則為偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞減，故B正確；對(duì)于C，，，故C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，故D錯(cuò)誤；故選：B4.已知長(zhǎng)方形的長(zhǎng)與寬分別為3和2，則分別以長(zhǎng)與寬所在直線為旋轉(zhuǎn)軸的圓柱體的體積之比為（）A.3：2B.2：3C.9：4D.4：9【答案】B【解析】【分析】分別求出兩圓柱的體積，即可得到比例關(guān)系；【詳解】解：若以長(zhǎng)為軸，則圓柱的高，底面半徑，此時(shí)圓柱的體積，若以寬為軸，則圓柱的高，底面半徑，此時(shí)圓柱的體積，所以；故選：B5.納皮爾是蘇格蘭數(shù)學(xué)家，其主要成果有球面三角中納皮爾比擬式、納皮爾圓部法則（1614）和納皮爾算籌（1617），而最大的貢獻(xiàn)是對(duì)數(shù)的發(fā)明，著有《奇妙的對(duì)數(shù)定律說明書》，并且發(fā)明了對(duì)數(shù)尺，可以利用對(duì)數(shù)尺查詢出任意一對(duì)數(shù)值．現(xiàn)將物體放在空氣中冷卻，如果物體原來的溫度是，空氣的溫度是，經(jīng)過t分鐘后物體的溫度T（℃）可由公式得出，如溫度為90℃的物體，放在空氣中冷卻約5分鐘后，物體的溫度是30℃，若根據(jù)對(duì)數(shù)尺可以查詢出，則空氣溫度約是（）A.5℃B.10℃C.15℃D.20℃【答案】B【解析】【分析】由題意可知，再根據(jù)對(duì)數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)計(jì)算可得；【詳解】解：由題意可知，整理得，，所以，，解得．空氣溫度是．故選：B．6.設(shè)表示直線，表示平面，使“”成立的充分條件是（）A.，B.，C.，D.，，，【答案】C【解析】【分析】根據(jù)面面垂直、線面垂直、線面平行的判定與性質(zhì)依次判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.【詳解】對(duì)于A，當(dāng)，時(shí)，可能、或與相交，充分性不成立，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)，時(shí)，可能或與相交，充分性不成立，B錯(cuò)誤；對(duì)于C，若兩條平行線中的一條垂直于一個(gè)平面，則另一條也垂直于該平面，充分性成立，C正確；對(duì)于D，若，則，，，無法得到，充分性不成立，D錯(cuò)誤.故選：C.7.已知橢圓C：上的動(dòng)點(diǎn)P到右焦點(diǎn)距離的最小值為，則（）A1B.C.D.【答案】A【解析】【分析】根據(jù)橢圓的性質(zhì)可得橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離最小值為，即可求出，再根據(jù)，即可得解；【詳解】解：根據(jù)橢圓的性質(zhì)，橢圓上的點(diǎn)到右焦點(diǎn)距離最小值為，即，又，所以，由，所以；故選：A8.已知隨機(jī)變量，下列表達(dá)式正確的是（）A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)二項(xiàng)分布的性質(zhì)，結(jié)合數(shù)學(xué)期望和方差的性質(zhì)進(jìn)行逐一判斷即可.【詳解】因?yàn)?，所以，因此，，因此選項(xiàng)B、D不正確，選項(xiàng)C正確，又因?yàn)?，所以選項(xiàng)A不正確，故選：C9.對(duì)于函數(shù)，下列結(jié)論正確的是（）A.的圖象關(guān)于原點(diǎn)對(duì)稱B.在上最大值為C.D.在上單調(diào)遞增【答案】B【解析】【分析】根據(jù)三角函數(shù)平移變換原則可得解析式，根據(jù)余弦型函數(shù)奇偶性判定可知A錯(cuò)誤；由可得的范圍，結(jié)合余弦函數(shù)的值域可知B正確；由三角函數(shù)平移變換和誘導(dǎo)公式可知C錯(cuò)誤；利用代入檢驗(yàn)法可確定的單調(diào)性，知D錯(cuò)誤.【詳解】對(duì)于A，令，則，為偶函數(shù)，圖象關(guān)于軸對(duì)稱，A錯(cuò)誤；對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，，，，則在上最大值為，B正確；對(duì)于C，，C錯(cuò)誤；對(duì)于D，當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，此時(shí)單調(diào)遞減；D錯(cuò)誤.故選：B.10.已知數(shù)列滿足，，則數(shù)列的前2022項(xiàng)積為（）A.B.C.D.【答案】A【解析】【分析】找出數(shù)列的規(guī)律，是周期為4的數(shù)列，然后求和即可.【詳解】由題意，，，，，，，，∴是周期為4的循環(huán)數(shù)列，在一個(gè)周期內(nèi)的積為：，，前2022項(xiàng)之積為505個(gè)周期之積，即；故選：A.11.已知點(diǎn)和是雙曲線C：的兩個(gè)焦點(diǎn)，過點(diǎn)作雙曲線C的漸近線的垂線，垂足為H，且，則雙曲線C的離心率為（）A.B.C.D.【答案】B【解析】【分析】不妨取雙曲線的一條漸近線為，利用點(diǎn)到直線的距離公式求出，再求出的方程，聯(lián)立求出的坐標(biāo)，即可得到，再根據(jù)，即可求出離心率；【詳解】解：依題意不妨取雙曲線的一條漸近線為，，，所以到直線的距離，又的斜率為，所以的方程為，由，解得，即，所以，因?yàn)?，所以，即，即，所以離心率；故選：B12.已知函數(shù)，，若≥恒成立，則實(shí)數(shù)a的取值范圍是()A.B.C.D.【答案】C【解析】【分析】對(duì)不等式≥進(jìn)行變形，參變分離出a，構(gòu)造函數(shù)，求h(x)的導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究h(x)的單調(diào)性，求出h(x)的最小值即可求出a的取值范圍．【詳解】，令，則，令，，∵，∴p(x)在(0，+)上單調(diào)遞增，∵，∴當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，，單調(diào)遞增；∴，∴≥恒成立，則．故選：C．【點(diǎn)睛】本題關(guān)鍵是對(duì)不等式≥進(jìn)行變形，參變分離出a，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)研究其單調(diào)性，求出其最小值即可得a的范圍．二?填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分.13.已知公差不為0的等差數(shù)列中，，，，成等比數(shù)列，則數(shù)列的公差______．【答案】【解析】【分析】根據(jù)題意，即，再解方程即可得答案.【詳解】解：因?yàn)榈炔顢?shù)列中，，，，成等比數(shù)列所以，，即，解得.故答案為：14.已知函數(shù)，則的值為___________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)微積分基本定理直接計(jì)算即可.【詳解】.故答案為：.15.在中，滿足，且，點(diǎn)P滿足，則___________.【答案】【解析】【分析】根據(jù)平面向量加法的幾何意義，結(jié)合平面向量共線的性質(zhì)、平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】因?yàn)?，所以是的中點(diǎn)，因此，因?yàn)?，，所以，因此，故答案為?6.現(xiàn)有四棱錐（如圖），底面ABCD是矩形，平面ABCD.，，點(diǎn)E，F(xiàn)分別在棱AB，BC上.當(dāng)空間四邊形PEFD的周長(zhǎng)最小時(shí)，異面直線PE與DF所成角的余弦值為___________.【答案】##【解析】【分析】根據(jù)兩點(diǎn)間線段最短，結(jié)合平行線的性質(zhì)、異面直線所成角的定義、空間向量夾角公式進(jìn)行求解即可.【詳解】將沿旋轉(zhuǎn)到平面內(nèi)，如下圖所示，設(shè)點(diǎn)關(guān)于對(duì)稱的點(diǎn)為，線段與的交點(diǎn)為，此時(shí)空間四邊形PEFD的周長(zhǎng)最小，因?yàn)?，所以，同理可得：，因?yàn)榈酌鍭BCD是矩形，所以，又因?yàn)槠矫鍭BCD，平面ABCD，所以，所以可以建立如下圖所示的空間直角坐標(biāo)系，，，異面直線PE與DF所成角的余弦值為：，故答案為：【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：利用兩點(diǎn)間線段最短是解題關(guān)鍵.三?解答題：共70分，解答應(yīng)寫出文字說明?證明過程或演算步驟.第17~21題為必考題，每個(gè)試題考生都必須作答.第22~23題為選考題，考生根據(jù)要求作答.17.在中，角A?B?C所對(duì)的邊分別是a?b?c，的面積為S，且.（1）求角A；（2）若，，求的面積.【答案】（1）；（2）．【解析】【分析】(1)根據(jù)已知條件，結(jié)合三角形面積公式和余弦定理即可求出tanA，從而求出A；(2)根據(jù)余弦定理求出c邊，根據(jù)三角形面積公式即可求解．【小問1詳解】由，可得，則，即，則，∵，∴；【小問2詳解】在中，由余弦定理得，，即，可得或(舍)，則．18.已知直三棱柱中中，為正三角形，E為AB的中點(diǎn)，二面角的大小為.（1）求證：平面；（2）求直線BC與平面所成角的正弦值.【答案】（1）證明過程見解析；（2）.【解析】【分析】（1）根據(jù)三角形中位線定理，結(jié)合線面平行的判定定理進(jìn)行證明即可；（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量夾角公式，結(jié)合線面角的定義進(jìn)行求解即可.【小問1詳解】連接交于，連接，顯然是的中點(diǎn)，因?yàn)镋為AB的中點(diǎn)，所以，而平面，平面，所以平面；【小問2詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，連接交于，因?yàn)闉檎切危砸彩钦切?，所以有，因?yàn)槿庵侵比庵?，所以平面平面，而平面平面，所以平面，因?yàn)槿庵侵比庵?，所以?cè)面是矩形，因此平面，于是建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，所以，設(shè)平面的法向量為，，所以有，因?yàn)槠矫?，所以設(shè)平面的法向量為，因?yàn)槎娼堑拇笮?，所以有（?fù)值舍去），則，設(shè)直線BC與平面所成角的正弦值為，所以.19.今年全國(guó)兩會(huì)期間，習(xí)近平總書記在看望參加全國(guó)政協(xié)十三屆五次會(huì)議的農(nóng)業(yè)界?社會(huì)福利和社會(huì)保障界委員時(shí)指出“糧食安全是‘國(guó)之大者’.悠悠萬事，吃飯為大.”某校課題小組針對(duì)糧食產(chǎn)量與化肥施用量以及與化肥有效利用率間關(guān)系進(jìn)行研究，收集了10組化肥施用量和糧食畝產(chǎn)量的數(shù)據(jù)，并對(duì)這些數(shù)據(jù)作了初步處理，得到了如圖所示的散點(diǎn)圖及一些統(tǒng)計(jì)量的值.每畝化肥施用量為x(單位：公斤)，糧食畝產(chǎn)量為y(單位：百公斤)．參考數(shù)據(jù)：65091.552.51478.630.5151546.5表中，（1）根據(jù)散點(diǎn)圖判斷，與，哪一個(gè)適宜作為糧食畝產(chǎn)量y關(guān)于每畝化肥施用量x的回歸方程(給出判斷即可，不必說明理由)；（2）根據(jù)(1)的判斷結(jié)果及表中數(shù)據(jù)，建立y關(guān)于x的回歸方程；并預(yù)測(cè)每畝化肥施用量為27公斤時(shí)，糧食畝產(chǎn)量y的值；()（3）通過文獻(xiàn)可知，當(dāng)化肥施用量達(dá)到一定程度，糧食產(chǎn)量的增長(zhǎng)將趨于停滯，所以需提升化肥的有效利用率，經(jīng)統(tǒng)計(jì)得，化肥有效利用率，那么這種化肥的有效利用率超過56%的概率為多少？附：①對(duì)于一組數(shù)據(jù)，其回歸直線的斜率和截距的最小二乘估計(jì)分別為，；②若隨機(jī)變量，則有，.【答案】（1）；（2）；8.1百公斤；（3）．【解析】【分析】（1）根據(jù)散點(diǎn)圖可知y與x的關(guān)系不是線性關(guān)系，故應(yīng)該選擇非線性模型.（2）兩邊同時(shí)取自然對(duì)數(shù)，令，可得，則z和t成線性相關(guān)，利用最小二乘估計(jì)公式計(jì)算出d和lnc即可得y與x的回歸方程，將x=27代入即可預(yù)測(cè)每畝化肥施用量為27公斤時(shí)糧食畝產(chǎn)量y的值.（3）根據(jù)正態(tài)分布的對(duì)稱性可得．【小問1詳解】根據(jù)散點(diǎn)圖可知y與x的關(guān)系不是線性的關(guān)系，則更適宜．【小問2詳解】∵，∴，令，，則，，，∴，，，∴，當(dāng)時(shí)，(百公斤).【小問3詳解】根據(jù)Z服從正態(tài)分布可知，，∴這種化肥的有效利用率超過的概率為．20.已知函數(shù)，.（1）證明：；（2）若數(shù)列滿足，，證明：，.【答案】（1）證明見解析；（2）證明見解析【解析】【分析】(1)先證明f(x)>0，化簡(jiǎn)不等式，構(gòu)造函數(shù)，，證明g(x)<0即可；再證明，化簡(jiǎn)不等式，構(gòu)造函數(shù)，證明h(x)>0即可；(2)利用(1)中結(jié)論可得，從而可得，利用累乘法即可得，再根據(jù)即可得到結(jié)論．【小問1詳解】先證，即證，令，，即證g(x)<0，∵，在上單調(diào)遞減，．再證，即證，即證，令，即證h(x)>0，∵，在上單調(diào)遞增，；【小問2詳解】由(1)得，則，∴，即，∴，當(dāng)n=1時(shí)，，故，．【點(diǎn)睛】本題第一問關(guān)鍵是化簡(jiǎn)要證明的不等式，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)判斷函數(shù)單調(diào)性并求最小值即可得結(jié)論；第二問關(guān)鍵是利用第一問的結(jié)論，結(jié)合數(shù)列的累乘法求出，從而得出結(jié)論.21.已知拋物線的焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且傾斜角為的直線被所截得的弦長(zhǎng)為.（1）求拋物線的方程；（2）已知點(diǎn)為拋物線上的任意一點(diǎn)，以為圓心的圓過點(diǎn)，且與直線相交于兩點(diǎn)，求的取值范圍.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）設(shè)直線方程，與拋物線方程聯(lián)立，利用拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可構(gòu)造方程求得，由此可得拋物線方程；（2）設(shè)，圓的半徑為，利用面積公式，借助可求得，結(jié)合拋物線定義可知，由此可得，進(jìn)而得到所求范圍.【小問1詳解】由拋物線方程得：，可設(shè)過點(diǎn)且傾斜角為的直線為：，由得：，由拋物線焦點(diǎn)弦長(zhǎng)公式可得：，解得：，拋物線的方程為：.【小問2詳解】由（1）知：，準(zhǔn)線方程為：；設(shè)，圓的半徑為，則，，，又，；由拋物線定義可知：，即，，即的取值范圍為.【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：本題考查直線與拋物線的綜合應(yīng)用問題，本題第二問求解的基本思路是能夠?qū)⑺缶嚯x之積轉(zhuǎn)化為關(guān)于圓的半徑的函數(shù)的形式，通過拋物線定義確定的取值范圍后，即可得到所求距離之積的取值范圍.22.如圖，在極坐標(biāo)系Ox中，方程表示的曲線是一條優(yōu)美的心臟線．在以極軸Ox所在直線為x軸，極點(diǎn)O為坐標(biāo)原點(diǎn)的直角坐標(biāo)系xOy中，已知曲線的參數(shù)方程為（t為參數(shù)，且）．（1）求曲線的極坐標(biāo)方程；（2）當(dāng)時(shí)，與交于點(diǎn)A，將射線OA繞極點(diǎn)按順時(shí)針方向旋轉(zhuǎn)，交于點(diǎn)B，求的值．【答案】（1）（）（2）【解析】【分析】（1）首先將曲線消去參數(shù)得到普通方程，再根據(jù)得到曲線的極坐標(biāo)方程；（2）令、分別求出、，再根據(jù)數(shù)量積的定義計(jì)算可得；【小問1詳解】解：因?yàn)榍€參數(shù)方程為（為參數(shù)，且）所以（），又，所以，即（），即曲線的