山西省2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷（一）

山西省2020年高二數(shù)學(xué)上學(xué)期期中考試卷（一）

（考試時(shí)間90分鐘滿(mǎn)分100分）

一、單項(xiàng)選擇題：本大題共10個(gè)小題，每小題3分，共30分.

1.一個(gè)紅色的棱長(zhǎng)是3cm的正方體，將其適當(dāng)分割成棱長(zhǎng)為1cm的

小正方體，則三面涂色的小正方體有（）

A.6個(gè)B.8個(gè)C.16個(gè)D.27個(gè)

2.過(guò)兩點(diǎn)A（2,1）和B（3,m）直線的斜率為1,則實(shí)數(shù)m的值

為（）

A.1B.2C.3D.4

3.下列命題正確的是（）

A.兩兩相交的三條直線可確定一個(gè)平面

B.兩個(gè)平面與第三個(gè)平面所成的角都相等，則這兩個(gè)平面一定平行

C.過(guò)平面外一點(diǎn)的直線與這個(gè)平面只能相交或平行

D.和兩條異面直線都相交的兩條直線一定是異面直線

4.直線y=2x-2被圓（x-2）2+（y-2）2=25所截得的弦長(zhǎng)為（）

A.6B.8C.10D.12

5.一平面過(guò)半徑為R的球0的半徑OA的中點(diǎn)，且垂直于該半徑OA,

則該平面截球的截面面積為（）

A.B,喙"C,nR2D.

6.棱長(zhǎng)為2的正方體ABCD-AiBiJDi中，E為BC的中點(diǎn)，則線段

DiE的長(zhǎng)度為（）

A.1B.2C.3D.4

7.若E,F,G分別為正三角形ABC的邊AB,BC,CA的中點(diǎn)，以4

EFG為底面，把AAEG,ABEF,ZSCFG折起使A,B,C重合為一點(diǎn)P,

則下列關(guān)于線段PE與FG的論述不正確的為()

A.垂直B.長(zhǎng)度相等C.異面D.夾角為60°

8.圓(x-3)2+(y+5)2=r2(r>0)上點(diǎn)到直線4x-3y-2=0的最小

距離為1,則r=()

A.4B.3C.2D.1

9.四棱錐P-ABCD的底面ABCD為正方形，PA_L平面ABCD,PA=AB=2,

則該四棱錐的外接球的半徑為()

A.弧B.2MC.\[2D.2>/2

10.某幾何體的三視圖如圖所示，則該幾何體的體積是()

二、填空題(每題3分，滿(mǎn)分24分)

11.點(diǎn)A(1,2,2)關(guān)于原點(diǎn)0的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A',則AA，的距離為

12.圓x2+y2=m2(m>0)內(nèi)切于圓x2+y2+6x-8y-11=0,則m=

13.直線li：x+(1-a)y-3=0與12：(a-1)x+ay+3=0互相垂直,

則實(shí)數(shù)a=—.

14.直線（m2+l）x-2my=l的傾斜角的取值范圍為.

15.給定下列四個(gè)命題：

①圓錐是由正方形繞對(duì)角線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面圍成的幾何體；

②圓錐是由三角形繞其一邊上的高旋轉(zhuǎn)所形成曲面圍成的幾何體；

③圓錐是角AOB繞其角平分線旋轉(zhuǎn)一周所形成曲面圍成的幾何體；

④底面在水平平面上的圓錐用平行于底面的平面所截得的位于截面

上方的部分是圓錐.

其中正確的命題為—.（只填正確命題的序號(hào)）

16.直線I在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，且坐標(biāo)原點(diǎn)到直線I的

距離為VL則直線I的方程為—.

17.已知圓C的面積被直線y=x平分，且圓C過(guò)點(diǎn)（2,0）,則該圓

面積最小時(shí)的圓方程為.

18.直線I過(guò)坐標(biāo)原點(diǎn)和點(diǎn)（-1,2）關(guān)于直線y=x-1的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)，則

直線I的方程為—.

三、解答題（本大題共5小題，共46分.解答應(yīng)寫(xiě)出文字說(shuō)明、證明

過(guò)程或演算步驟.）

19.如圖，某糧倉(cāng)是由圓柱和圓錐構(gòu)成（糧倉(cāng)的底部位于地面上），

圓柱的底面直徑與高都等于h米，圓錐的高為g米.

（1）求這個(gè)糧倉(cāng)的容積；

（2）求制作這樣一個(gè)糧倉(cāng)的用料面積.

20.已知E(2,0),F(2,2)分別為正方形ABCD的邊AB與CD的

中點(diǎn).

(1)求正方形ABCD外接圓的方程；

(2)求對(duì)角線AC與BD所在直線的方程.

21.如圖，四棱錐P-ABCD的底面是正方形，PAJ_底面ABCD,E,F

分別為AD,PC的中點(diǎn).

(1)求證：EF〃平面PAB；

(2)若PA=AB=2,求三棱錐P-AEF的體積.

22.如圖，在四棱錐P-ABCD中，PAJ_平面ABCD,AC1BD交于點(diǎn)0,

E為線段PC上的點(diǎn)，且ACJ_BE.

(1)求證：AC_L.DE；

(2)若BC〃AD,PA=6,BC=JAD=V2，AB=CD,求異面直線DE與PA

所成的角.

23.已知圓B：(x-1)2+(y-I)2=2,過(guò)原點(diǎn)。作兩條不同的直線

11,12與圓B都相交.

(1)從B分別作11,12的垂線，垂足分別為A,C,若欣?前=0,|就|二|箴

求直線AC的方程；

(2)若11，%且li,L與圓B分別相交于P,Q兩點(diǎn)，求△OPQ面

積的最大值.

參考答案

一、單項(xiàng)選擇題

1.B.2.B.3.C.4.C.5.D.6.C.7.D.8.A.9.A

10.B

二、填空題

11.解:由題意，|AO|=VF麗=3,

\,點(diǎn)A(1,2,2)關(guān)于原點(diǎn)。的對(duì)稱(chēng)點(diǎn)A1,

.?.AA'的距離為6.

故答案為6.

12.解：01x2+y2+6x-8y-11=0即(x+3)2+(y-4)2=36,表示以

(-3,4)為圓心，半徑等于6的圓.

再根據(jù)圓x2+y2=m2(m>0)內(nèi)切于圓x2+y2+6x-8y-11=0,兩圓的圓

心距等于半徑之差，

可W7(-3-0)2+(4-0)2=6-m,

解得m=l,

故答案為1

13.解：Vli：x+(1-a)y-3=0與I2：(a-1)x+ay+3=0互相垂直，

(a-1)+a(1-a)=0,

解得a=l.

故答案為：1

14.解：①當(dāng)m=0時(shí)，斜率不存在，即傾斜角為

②當(dāng)mWO時(shí)，直線的斜率||<|=|碎"1=!（后|出）21

2mN

Ak^l,或kW-1,

即直線的傾斜角的取值范圍為弓，卷）U（全等］

綜上，直線的傾斜角的取值范圍為6，等］.

故答案為弓，等］.

15.解：①由正方形繞對(duì)角線旋轉(zhuǎn)所形成的曲面圍成的幾何體是兩個(gè)

圓錐的組合體，不正確；

②圓錐是由三角形繞其一直角邊上的高旋轉(zhuǎn)所形成曲面圍成的幾何

體，不正確；

③角AOB繞其角平分線旋轉(zhuǎn)一周所形成曲面圍成的幾何體，不是封

閉曲線，不正確；

④底面在水平平面上的圓錐用平行于底面的平面所截得的位于截面

上方的部分是圓錐，正確.

故答案為④

16.解：直線I在兩坐標(biāo)軸上的截距互為相反數(shù)，

設(shè)直線I的方程是：x-y+a=O,

???坐標(biāo)原點(diǎn)到直線I的距離為我，

d=^-=V2?解得：a=±2,

故直線方程是：y=x±2,

故答案為:y=x±2.

17.解：由題意，(2,0)到直線y=x的距離為圓的半徑，即

此時(shí)圓心坐標(biāo)為y=x與直線y=-x+2的交點(diǎn)，即(1,1),

???該圓面積最小時(shí)的圓方程為(x-1)2+(y-1)2=2,

故答案為(x-1)2+(y-1)2=2.

18.解：設(shè)點(diǎn)M(-1,2)關(guān)于直線I：y=x-1對(duì)稱(chēng)的點(diǎn)N的坐標(biāo)(x,

V)

則MN中點(diǎn)的坐標(biāo)為(工等)，

利用對(duì)稱(chēng)的性質(zhì)得：KMN='/=~~L且—z-_~1=0,

xll22

解得:x=2,y=T,

.??點(diǎn)N的坐標(biāo)(2,-1),

故直線I的方程是：2x+3y=0,

故答案為：2x+3y=0.

三、解答題

19.解：(1)圓錐的母線長(zhǎng)為李》

V5?g)2?h號(hào)冗喏)2w2=24h3(加3).

(2)s=n-h-h+n-yKh2E).

20.解：EF的中點(diǎn)為G(2,1),由平面幾何知識(shí)知AB在x軸上,

(1)外接圓的半徑為AGj巧，所以外接圓的方程為(x-2)2+(y-1)

2=2；

(2)①若ABCD為逆時(shí)針排列，則直線AC的斜率為1,

直線AC：y-l=x-2,HPx-y-1=0.

直線BD的斜率為-1,

所以直線BD：y-1=-(x-2),即x+y-3=0；

②若ABCD為順時(shí)針排列，直線AC：x+y-3=0.

直線BD：x-y-1=0.

21.證明：(1)取PB的中點(diǎn)為G,連接AG,FG,

YE,F分別為AD,PC的中點(diǎn)，四棱錐P-ABCD的底面是正方形,

AGFXAE,「.AEFG是平行四邊形，:.EF〃AG,

?.?EFC平面PAB,AGc平面PAB,

.?.EF〃平面PAB.

解：(2)VPA=AB=2,PA,底面ABCD,

，三棱錐P-AEF的體積"-MVF-PQ鼻Jx2XlXl》.

00

22.解：(1)VAC1BD,AC1BE,BDABE=E,BDE,

AC±DE.

(2)連接OE,則OELAC,AC1AP,.，.OE〃AP.AZOED(或其補(bǔ)

角)就是異面直線ED與PA所成的角.

在等腰梯形ABCD中，計(jì)算可得CO=1,OA=2,...OE=2,又OD=2,且

△OED為直角三角形，，異面直線ED與PA所成的角為45°.

23.解：(1)由平面幾何知識(shí)可知OABC為正方形，0B中點(diǎn)為(|,1),

0B斜率為1,

二?AC：x+y-1=0.

(2),.,OPJ_OQ,，PQ為圓B的直徑，且|OB|=|BP|=|BQ|=V^，設(shè)N

OPQ=0,

則|