2025年高考數(shù)學(xué)復(fù)習(xí)大題題型歸納：第02講 數(shù)列的證明和通項(xiàng)公式的四種求法（原卷）

第02講數(shù)列的證明和通項(xiàng)公式的四種求法考法呈現(xiàn)考法一：等差、等比數(shù)列基本量的運(yùn)算例題分析【例1】已知an為正項(xiàng)等差數(shù)列，bn為正項(xiàng)等比數(shù)列，其中a2=3,b1=求an滿分秘籍在等差數(shù)列五個基本量在等差數(shù)列五個基本量a1，d，n，an，Sn中，已知其中三個量，可以根據(jù)已知條件結(jié)合等差數(shù)列的通項(xiàng)公式、前n項(xiàng)和公式列出關(guān)于基本量的方程(組)來求余下的兩個量，計(jì)算時(shí)須注意等差數(shù)列性質(zhì)、整體代換及方程思想的應(yīng)用.等比數(shù)列中有五個量a1，n，q，an，Sn，一般可以“知三求二”，通過列方程(組)求關(guān)鍵量a1和q，問題可迎刃而解．變式訓(xùn)練【變式1-1】已知數(shù)列an是等差數(shù)列，其前n和為Sn，a3+a9=12(1)求數(shù)列an，b【變式1-2】已知數(shù)列an是等差數(shù)列，bn是各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列，數(shù)列bn的前n項(xiàng)和為Sn，且a1(1)求數(shù)列an，b【變式1-3】已知正項(xiàng)等比數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且S3=74，a1(1)求數(shù)列an，b【變式1-4】已知等差數(shù)列an滿足a2=4，2a4?a(1)求an與b【變式1-5】已知等差數(shù)列an滿足(n+1)an(1)求an和b【變式1-6】已知an是等差數(shù)列，a1=1，d≠0，且a1，求數(shù)列an考法二：等差、等比數(shù)列的證明例題分析【例2】已知等比數(shù)列an的公比q<1，a4=1，且a1，(1)求an(2)設(shè)bn=log滿分秘籍證明等差數(shù)列的常用方法：(1)定義法：證明對任意正整數(shù)證明等差數(shù)列的常用方法：(1)定義法：證明對任意正整數(shù)n都有an＋1－an等于同一個常數(shù)；(2)等差中項(xiàng)法：證明對任意正整數(shù)n都有2an＋1＝an＋an＋2；(3)通項(xiàng)公式法：得出an＝pn＋q(p，q是常數(shù))；(4)前n項(xiàng)和公式法：得出Sn＝An2＋Bn(A，B是常數(shù)).等比數(shù)列的四種常用判定方法（1）定義法：若eq\f(an＋1,an)＝q(q為非零常數(shù)，n∈N*)或eq\f(an,an－1)＝q(q為非零常數(shù)且n≥2，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列；（2）中項(xiàng)公式法：若數(shù)列{an}中，an≠0且aeq\o\al(2,n＋1)＝an·an＋2(n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列；（3）通項(xiàng)公式法：若數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式可寫成an＝c·qn－1(c，q均是不為0的常數(shù)，n∈N*)，則{an}是等比數(shù)列；（4）前n項(xiàng)和公式法：若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝k·qn－k(k為常數(shù)且k≠0，q≠0,1)，則{an}是等比數(shù)列。

變式訓(xùn)練【變式2-1】已知正項(xiàng)等比數(shù)列an和數(shù)列bn，滿足log2an是b(1)證明：數(shù)列bn【變式2-2】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且an與?4n(1)證明：數(shù)列an【變式2-3】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足a1=1，(1)設(shè)bn=a【變式2-4】已知正項(xiàng)數(shù)列an滿足a1=1，a2=2，且對任意的正整數(shù)n，1+(1)證明：an+12?【變式2-5】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，(1)證明：an(2)求數(shù)列an+1an【變式2-6】已知an數(shù)列滿足a1=3(1)證明：數(shù)列an考法三：累加法求數(shù)列的通項(xiàng)公式例題分析【例3】數(shù)列{?an}滿足an+2滿分秘籍當(dāng)出現(xiàn)當(dāng)出現(xiàn)an＝an－1＋f(n)時(shí)，一般用累加法求通項(xiàng)．變式訓(xùn)練【變式3-1】已知數(shù)列{an}滿足a【變式3-2】已知數(shù)列an各項(xiàng)均為正數(shù)，a1=1，a(1)若數(shù)列an+1?an為等差數(shù)列，求數(shù)列an(2)若數(shù)列an+1?2an為等比數(shù)列，且數(shù)列【變式3-3】數(shù)列an中，an+1=2n+1考法四：累乘法求數(shù)列的通項(xiàng)公式例題分析【例4】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且a1(1)求an(2)求Sn滿分秘籍當(dāng)出現(xiàn)當(dāng)出現(xiàn)eq\f(an,an－1)＝f(n)時(shí)，一般用累乘法求通項(xiàng)．變式訓(xùn)練【變式4-1】已知數(shù)列an，Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，且滿足a(1)求an【變式4-2】在數(shù)列an中，a1=1,【變式4-3】已知數(shù)列an中，a(1)求數(shù)列an考法五：已知Sn求數(shù)列的通項(xiàng)公式例題分析【例5】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求an滿分秘籍通過S通過Sn求an.已知數(shù)列{an}前n項(xiàng)和Sn.

則當(dāng)n=1時(shí)a1=S1

n≥2時(shí)an=Sn-S(n-1)變式訓(xùn)練【變式5-1】設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足(1)求數(shù)列an【變式5-2】設(shè)正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，(1)求數(shù)列an【變式5-3】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和S(1)求數(shù)列{a(2)證明：對任意n>1，都有m∈N?，使得【變式5-4】已知Sn是數(shù)列an的前n項(xiàng)和，a1(1)求數(shù)列an考法六：構(gòu)造法求數(shù)列的通項(xiàng)公式例題分析【例6】已知：a1=1，n≥2時(shí)，an滿分秘籍構(gòu)造法的常見類型一般有：①構(gòu)造法的常見類型一般有：①an＋1＝pan＋q(p≠0,1，q≠0，其中a1＝a)，②an＋1＝pan＋qn＋c(p≠0,1，q≠0)；③an＋1＝pan＋qn(p≠0,1，q≠0,1)．構(gòu)造法的構(gòu)造方法：①形如an＋1＝αan＋β(α≠0,1，β≠0)的遞推式可用構(gòu)造法求通項(xiàng)，構(gòu)造法的基本原理是在遞推關(guān)系的兩邊加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，構(gòu)造數(shù)列的每一項(xiàng)都加上相同的數(shù)或相同性質(zhì)的量，使之成為等差數(shù)列或等比數(shù)列．②遞推公式an＋1＝αan＋β的推廣式an＋1＝αan＋β×γn(α≠0,1，β≠0，γ≠0,1)，兩邊同時(shí)除以γn＋1后得到eq\f(an＋1,γn＋1)＝eq\f(α,γ)·eq\f(an,γn)＋eq\f(β,γ)，轉(zhuǎn)化為bn＋1＝kbn＋eq\f(β,γ)(k≠0,1)的形式，通過構(gòu)造公比是k的等比數(shù)列eq\b\lc\{\rc\}(\a\vs4\al\co1(bn－\f(β,γ(1－k))))求解．變式訓(xùn)練【變式訓(xùn)練6-1】已知數(shù)列an中，a1=1,an+1=c?1【變式訓(xùn)練6-2】已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,(1)若λ=3，求an【變式訓(xùn)練6-3】已知數(shù)列an滿足a1=3，a2真題專練1記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知Sn(1)求證an2．記Sn為數(shù)列an的前n項(xiàng)和，已知(1)求數(shù)列{an3．已知各項(xiàng)均為正數(shù)的數(shù)列an滿足2Sn=an+1(1)求數(shù)列an4．已知數(shù)列an和bn，a1=2，(1)求證數(shù)列1a5．設(shè)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，已知a1=1，且數(shù)列(1)求數(shù)列an 6．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求an7．已知正項(xiàng)數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足(1)求數(shù)列an8．在等比數(shù)列an中，a7=8(1)求an9．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,(1)求證：數(shù)列an10．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足Sn(1)分別求出數(shù)列an11．在等差數(shù)列{an}中，a2=4，其前n(1)求實(shí)數(shù)λ的值，并求數(shù)列{a12．已知公差為正數(shù)的等差數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn,(1)求an和S13．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足(1)求數(shù)列an14．已知各項(xiàng)為正數(shù)的數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，滿足(1)求數(shù)列an15．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為SnSn≠0，數(shù)列Sn的前n項(xiàng)積為(1)求證：1S16．已知數(shù)列an的前n項(xiàng)和為Sn，且(1)求數(shù)列a