【高中數(shù)學(xué)選修2-2】1.5.3定積分的概念

1.5.3定積分的概念

(2)近似代替:任取xi

[xi-1,xi]，第i個(gè)小曲邊梯形的面積用高為f(xi),寬為Dx的小矩形面積f(xi)Dx

近似之;

(4)取極限:所求曲邊梯形的面積S為

(3)求和:求n個(gè)小矩形面積的和Sn(為曲邊梯形面積的近似值)；xiy=f(x)x

yObaxi+1xi

(1)分割:在區(qū)間[a,b]上等間隔地插入n-1個(gè)點(diǎn),將它等分成n個(gè)小區(qū)間:每個(gè)小區(qū)間寬度△x復(fù)習(xí)回顧：求由連續(xù)曲線y=f(x)對應(yīng)的曲邊梯形面積的“四步曲”

一、定積分的定義如果當(dāng)n

∞時(shí)，Sn無限的接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)稱為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作從求曲邊梯形面積S的過程中可以看出,通過“四步曲”:分割---近似代替----求和------取極限得到解決.“讀作函數(shù)f(x)從a到b的積分”定積分的定義：定積分的相關(guān)名稱：

———叫做積分號，

f(x)——叫做被積函數(shù)，

f(x)dx—叫做被積式，

x———叫做積分變量，

a———叫做積分下限，

b———叫做積分上限，

[a,b]—叫做積分區(qū)間。被積函數(shù)被積式積分變量積分下限積分上限定積分的定義：積分符號[a,b]：叫做積分區(qū)間。定積分的定義：

說明：

(1)定積分是一個(gè)數(shù)值,

它只與被積函數(shù)及積分區(qū)間有關(guān)，而與積分變量的記法無關(guān)，即òbaf(x)dx

=òbaf

(x)dx

-(3)(切記)例1:(書P47)利用定積分的定義,計(jì)算下列式子的值.

定積分的定義：如果當(dāng)n

∞時(shí)，S的無限接近某個(gè)常數(shù)，這個(gè)常數(shù)為函數(shù)f(x)在區(qū)間[a,b]上的定積分，記作思考：根據(jù)定積分的定義說說定積分的幾何意義？二、定積分的幾何意義：Ox

yab

y

f(x)

x=a、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。òba

特別地，當(dāng)a=b時(shí)，有f

(x)dx=0。

Ox

yab

y

f(x)

x=a、x=b與x軸所圍成的曲邊梯形的面積。Ox

yab

y

f(x)ab

y

f(x)Ox

y探究1:根據(jù)定積分的幾何意義,如何用定積分表示圖中陰影部分的面積?探究2:定積分可能是負(fù)值嗎？結(jié)論：定積分可以為負(fù)值，當(dāng)總有此時(shí)，為負(fù)值探究3：當(dāng)f(x)

0時(shí)，定積分的幾何意義：當(dāng)f(x)

0時(shí)，由y

f(x)、x

a、x

b

與x

軸所圍成的曲邊梯形位于x

軸的下方，x

yOab

y

f(x)

y

-f(x)=-S幾何意義：表示f(x)>0時(shí)曲邊梯形面積的負(fù)值.三、定積分的計(jì)算性質(zhì)性質(zhì)1.性質(zhì)2.定積分關(guān)于積分區(qū)間具有可加性性質(zhì)3.思考：從定積分的幾何意義解釋性質(zhì)⑶ab

y=f(x)cOx

y三、定