初中數(shù)學專題分析易錯題

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中考專題講座

第一講方案設計

一、知識網(wǎng)絡梳理

通過動手操作來解決一些數(shù)學問題特別是作圖題的設計，引導學生將所學的數(shù)

學知識應用于實際，從數(shù)學角度對某些日常生活出現(xiàn)的問題進行設計性研究，有

利于學生對數(shù)學知識的實踐應用能力和動手操作能力的提高，是學為之用的教改

精神的具體體現(xiàn)，是數(shù)學教改中的一大熱點.這類題目不僅要求學生要有扎實的

數(shù)學雙基知識，而且要能夠把實際問題中所涉及到的數(shù)學問題轉(zhuǎn)化、抽象成具體

的數(shù)學問題，具有很普遍的實際意義，是中考熱點之一.

創(chuàng)新意識的激發(fā)，創(chuàng)新思維的訓練，創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，是素質(zhì)教育中最具活力

的課題，考查學生的創(chuàng)新意識和實踐能力，將是今后數(shù)學中考命題的熱點之一.

近年一些省市的中考數(shù)學題中涌現(xiàn)了立意活潑、設計新穎、富有創(chuàng)新意識、培

養(yǎng)創(chuàng)新能力的要求學生自我設計題目.這類命題以綜合考查閱讀理解能力、分析

推理能力、數(shù)據(jù)處理能力、文字概括能力、書面表達能力和動手能力等.能與初

中所學的重點知識進行聯(lián)結(jié).

題型1設計圖形題

幾何圖形的分割與設計在中考中經(jīng)常出現(xiàn)，有時是根據(jù)面積相等來分割，有時

是根據(jù)線段間的關(guān)系來分割，有時根據(jù)其它的某些條件來分割，做此類題一般用

尺規(guī)作圖.

題型2設計測量方案題

設計測量方案題滲透到幾何各章節(jié)之中，例如：測量底部不能直接到達的小山

的高，測量池塘的寬度，測量圓的直徑等，此類題目解法不惟一，是典型的開放

型試題.

題型3設計最佳方案題

此類題目往往要求所設計的問題中出現(xiàn)路程最短、運費最少、效率最高等詞語,

解題時常常與函數(shù)、兒何聯(lián)系在--起.

創(chuàng)新意識的激發(fā)，創(chuàng)新思維的訓練，創(chuàng)新能力的培養(yǎng)，是素質(zhì)教育中最具活力

的課題，考查學生的創(chuàng)新意識和實踐能力，將是今后數(shù)學中考命題的熱點之一.

近年一些省市的中考數(shù)學題中涌現(xiàn)了立意活潑、設計新穎、富有創(chuàng)新意識、培

養(yǎng)創(chuàng)新能力的要求學生自我設計題目.這類命題以綜合考查閱讀理解能力、分析

推理能力、數(shù)據(jù)處理能力、文字概括能力、書面表達能力和動手能力等.能與初

中所學的重點知識進行聯(lián)結(jié).

二、知識運用舉例

(-)方程、函數(shù)型設計題

例1.(07茂名市)已知甲、乙兩輛汽車同時、同方向從同一地點.......A

出發(fā)行駛.

(1)若甲車的速度是乙車的2倍，甲車走了90千米后立即返回與乙車相遇，

相遇時乙車走了1小時.求甲、乙兩車的速度；

(2)假設甲、乙每輛車最多只能帶200升汽油，每升汽油可以行駛10千米，

途中不能再加油，但兩車可以互相借用對方的油，若兩車都必須沿原路返回到出

發(fā)點A,請你設計一種方案使甲車盡可能地遠離出發(fā)點A,并求出甲車一共行駛

了多少千米？

解：（1）設甲，乙兩車速度分別是x千米/時和y千米/時，

根據(jù)題意得：

解之得：x2y.ly1902xx120.y60

即甲、乙兩車速度分別是120千米/時、60千米/時.

（2）方案一：設甲汽車盡可能地遠離出發(fā)點A行駛了x千米，

乙汽車行駛了y千米，則

xy<200102.，2x3200103即爛3000.xy<20010

1

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即甲、乙一起行駛到離A點500千米處，然后甲向乙借油50升，乙不再前進,

甲再前進1000千米返回到乙停止處，再向乙借油50升，最后一同返回到A點,

此時，甲車行駛了共3000千米.方案二：（畫圖法）

如圖

此時，甲車行駛了5002100023000（千米）.

方案三：先把乙車的油均分4份，每份50

升.當甲乙一同前往，用了50升時，甲向乙借油50升，乙停止不動，甲繼續(xù)

前行，當用了100升油后返回，到乙停處又用了100升油，此時甲沒有油了，再

向乙借油50升，一同返回到A點.

此時，甲車行駛了501021001023000（千米）.

例2.（07鄂爾多斯）有甲、乙兩家通迅公司，甲公司每月通話的收費標準如

圖15所示；乙公司每月通話收費標準如表3所示.

表3

月租費通道費

2.5元0.15元/分鐘

圖15

（1）觀察圖15,甲公司用戶月通話時間不超過100分鐘時應付話費金額是

元；甲公司用戶通話100分鐘以后，每分鐘的通話費為元;

(2)李女士買了一部手機，如果她的月通話時間不超過100分鐘，她選擇哪

家通迅公司更合算？如果她的月通話時間超過100分鐘，又將如何選擇？

解：(1)20；0.2

(2)通話時間不超過100分鐘選甲公司合算

設通話時間為t分鐘(t100),甲公司用戶通話費為yl元，乙公司用戶通話

費為y2元.則：yl200.2(tl00)0.2t

y2250.15t

當

1y2即:0.2t2§0.15t時,t500

當

當1y2即:0.2t2*15t時,t500

1y2即：0.2t2$0.15t時,t500

答：通話時間不超過500分鐘選甲公司；500分鐘選甲、乙公司均可；超過500

分鐘選乙公司.例3.(04河北省)光華農(nóng)機租賃公司共有50臺聯(lián)合收割機，

其中甲型20臺，乙型30臺.現(xiàn)將這50臺聯(lián)合收割機派往A、B兩地區(qū)收割小麥,

其中30臺派往A地區(qū)，20臺派往B地區(qū).

2

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(1)設派往A地區(qū)x臺乙型聯(lián)合收割機，租賃公司這50臺聯(lián)合收割機一天獲

得的租金為y(元)，求y與x間的函數(shù)關(guān)系式，并寫出x的取值范圍；

(2)若使農(nóng)機租賃公司這50臺聯(lián)合收割機一天獲得的租金總額不低于79600

元，說

明有多少種分派方案，并將各種方案設計出來；

(3)如果要使這50臺聯(lián)合收割機每天獲得的租金最高，請你為光華農(nóng)機租賃

公司提

出一條合理建議.

解：(1)若派往A地區(qū)的乙型收割機為x臺，則派往A地區(qū)的甲型收割機為(30

-X)臺；派往B地區(qū)的

乙型收割機為(30-x)臺，派往B地區(qū)的甲型收割機為(x-10)臺.

，y=1600x+1800(30-x)+1200(30-x)+1600(x-10)=200x+74000.

x的取值范圍是：10SxS30(x是正整數(shù)).

(2)由題意得200x+74000N79600,

解不等式得xN28.由于lOSxMO,...x取28,29,30這三個值，

...有3種不同分配方案.

①當x=28時，即派往A地區(qū)甲型收割機2臺，乙型收割機28臺；派往B

地區(qū)甲型收割機18臺，乙型收割機2臺.

②當x=29時，即派往A地區(qū)甲型收割機1臺，乙型收割機29臺；派往B

地區(qū)甲型收割機19臺，乙型收割機1臺.

③當x=30口寸，即30臺乙型收割機全部派往A地區(qū)；20臺甲型收割機全部

派往B地區(qū).

(3)由于一次函數(shù)y=200x+74000的值y是隨著x的增大而增大的，所以，

當x=30時，y

取得最大值.如果要使農(nóng)機租賃公司這50臺聯(lián)合收割機每天獲得租金最高，只

需x=30,此時,y=6000+74000=80000.

建議農(nóng)機租賃公司將30臺乙型收割機全部派往A地區(qū)；20臺甲型收割要全部

派往B地區(qū)，

可使公司獲得的租金最高.

（二）統(tǒng)計型設計題

例4.（07江西?。┠硨W校舉行演講比賽，選出了10名同學擔任評委，并事先

擬定從如下4個方案中選擇合理的方案來確定每個演講者的最后得分（滿分為

10分）：

方案1所有評委所給分的平均數(shù).

方案2在所有評委所給分中，去掉一個最高分和一個最低分，然后再計算其

余給分的平均數(shù).方案3所有評委所給分的中位數(shù).

方案4所有評委所給分的眾數(shù).

為了探究上述方案的合理性，先對某個同學的演講成績進行了統(tǒng)計實驗.下面

是這個同學的得分統(tǒng)計圖：

人數(shù)分數(shù)

（1）分別按上述4個方案計算這個同學演講的最后得分；

（2）根據(jù)（1）中的結(jié)果，請用統(tǒng)計的知識說明哪些方案不適合作為這個同學

演講的最后得分.解：⑴方案1最后得分：1（3.27.07.83838.49.8）7.7；

10

1

8

方案3最后得分：8；

方案4最后得分：8或8.4.方案2最后得分：（7Q7.83838.4）8；

（2）因為方案1中的平均數(shù)受極端數(shù)值的影響，不能反映這組數(shù)據(jù)的“平均水

3

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所以方案1不適合作為最后得分的方案.

因為方案4中的眾數(shù)有兩個，眾數(shù)失去了實際意義，所以方案4不適合作為最

后得分的方案.

例5.（廈門）某中學要召開運動會，決定從初三年級全部的150名的女生中選

30人，組成一個彩旗方隊（要求參加方隊的同學的身高盡可能接近）.現(xiàn)在抽測

了10名女生的身高，結(jié)果如下（單位：厘米）：

166154151167162158158160162162

（1）依據(jù)樣本數(shù)據(jù)估計，初三年級全體女生的平均身高約是多少厘米？

（2）這10名女生的身高的中位數(shù)、眾數(shù)各是多少？

（3）請你依據(jù)樣本數(shù)據(jù)，設計一個挑選參加方隊的女生的方案.（請簡要說明）

解：（1）因為（166+154+151+167+162+158+158+160+162+162）-10

=160（厘米），所以九年級全體女生的平均身高約是160厘米.

（2）這10名女生的身高的中位數(shù)是161厘米，眾數(shù)是162厘米.

（3）先將九年級中身高為162厘米的所有女生挑選出來作為參加旗隊的女生,

如此進行下去，直至挑選到30人為止.

（三）測量設計題

例6.（07潛江等）經(jīng)過江漢平原的滬蓉（上海一成都）高速鐵路即將動工.工程

需要測量漢江某一段的寬度.如圖①，一測量員在江岸邊的A處測得對岸岸邊的

一根標桿B在它的正北方向，測量員從A點開始

沿岸邊向正東方向前進100米到達點C處，測得ACB68.

（1）求所測之處江的寬度（sin680.93,cos680.37,tan682.48.）；

（2

解：

（1）在RtBAC中，ACB68,

.'.ABACtan681002.48248（米）

答：所測之處江的寬度約為248米

（2）從所畫出的圖形中可以看出是利用三角形全等、三角形相似、解直角三

角形的知識

來解決問題的，只要正確即可得分.

例7.（07樂山）如圖（14）,小山上有一棵樹.現(xiàn)有測角儀和皮尺兩種測量工

具，請你設計一種測量方案，在山腳水平地面上測出小樹頂端A到水平地面的

距離AB.A要求：

（1）畫出測量示意圖；

（2）寫出測量步驟（測量數(shù)據(jù)用字母表示）；B（3）根據(jù)（2）中的數(shù)據(jù)計

算AB.A圖（14）

解：（1）測量圖案（示意圖）如圖示

（2）測量步驟：

第一步：在地面上選擇點C安裝測角儀，

4CDEB

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測得此時樹尖A的仰角ZAHE,

第二步：沿CB前進到點D,用皮尺量

出C,D之間的距離CDm,

第三步：在點D安裝測角儀，測得此

時樹尖A的仰角NAFE,

第四步：用皮尺測出測角儀的高h

（3）計算：

令AEx,則tan又tanxx,得HE,HEtanxx,得EF,EFtan

HEFEHFCDm,

xxm,tantan

mtantan,tantan

mtantan.h.tantan解得xAB

例8（07資陽）一座建于若干年前的水庫大壩的橫斷面如圖7所示，其中背水

面的整個坡面是長為90米、寬為5米的矩形.現(xiàn)需將其整修并進行美化，方案

如下：①將背水坡AB的坡度由1:0.75改為1

:用一組與背水坡面長邊垂直的平行線將背水坡面分成9

塊相同的矩形區(qū)域，依次相間地種草與栽花.

⑴求整修后背水坡面的面積；

⑵如果栽花的成本是每平方米25元，種草的成本是每平方

米20元，那么種植花草至少需要多少元？

圖

7

解：⑴作AELBC于E.

AE14V原來的坡度是1：0.75,，=.=EB0.753

設AE=4k,BE=3k,/.AB=5k,又AB=5米，/.k=l,則AE=4米.

設整修后的斜坡為AB3由整修后坡度為1

AE=E=30°,??./ABC.EBAAB0=2AE=8米.，整修后背水坡面面積為

90x8=720米2.

⑵將整修后的背水坡面分為9塊相同的矩形，則每一區(qū)域的面積為80米2.

解法一：要依次相間地種植花草，有兩種方案：

第一種是種草5塊，種花4塊,需要20x5x80+25x4x80=16000元;

第二種是種花5塊，種草4塊，需要20x4x80+25x5x80=16400元.

二應選擇種草5塊、種花4塊的方案，需要花費16000元.

解法二：要依次相間地種植花草，則必然有一種是5塊，有一種是4塊，

而栽花的成本是每平方米25元，種草的成本是每平方米20元，

,兩種方案中，選擇種草5塊、種花4塊的方案花費較少.

5

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即：需要花費20x5x80+25x4x80=16000元.

(四)圖形設計題

例9.(07四川樂山)認真觀察圖(10.1)的4個圖中陰影部分構(gòu)成的圖案，回

答下列問題：

圖(10.1)

(1)請寫出這四個圖案都具有的兩個共同特征.

特征1：;

特征2：.

(2)請在圖(10.2

）中設計出你心中最美麗的圖案，使它也具備你所寫出的上述特征

圖（10.2）

解：（1）特征

1：都是軸對稱圖形；特征2：都是中心對稱圖形；特征3：這些圖形的面積都

等于

4個單位面積；等

（2）滿足條件的圖形有很多，只要畫正確一個，都可以得滿分.

例10（07福建福州）為創(chuàng)建綠色校園，學校決定對一塊正方形的空地進行種

植花草，現(xiàn)向?qū)W生征集設計圖案.圖案要求只能用圓弧在正方形且有一個內(nèi)角

為60

o

的綠化帶上種植四種不同的花卉，要求種植的四種花卉分別組成面積相等，形

狀完全相同的幾何圖形圖案.某同學為此6

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提供了如圖所示的五種設計方案.其中可以滿足園藝設計師要求的有

（C）

（A）2種（B）3種（C）4種（D）5種

2（05海安）光明中學的6名教師帶領(lǐng)8名市三好學生到蘇州園林參觀學習，

發(fā)現(xiàn)門票有這樣幾種優(yōu)惠方案.（1）學生可憑學生證享受6折優(yōu)惠.（2）20人

以上的團體隊可享受8折優(yōu)惠.（3）通過協(xié)商可以享受9折優(yōu)惠.請同學們根據(jù)

上述優(yōu)惠途徑，設計出五種不同的優(yōu)惠方案，并說明最佳方法.解：設計五種

優(yōu)惠方案的方法及注意點：

方法（2）不可以采用；部分或全部學生使用方法（1）,其余學生和所有老師

使用方法（3）.最佳方法為：8名學生使用方法（1）,6名老師使用方法（3）.

3（05紹興市）.班委會決定，由小敏、小聰兩人負責選購圓珠筆、鋼筆共22

支，送給結(jié)對的山區(qū)學校的同學，他們?nèi)チ松虉觯吹綀A珠筆每支5元，鋼筆每

支6元.

（1）若他們購買圓珠筆、鋼筆剛好用去120元，問圓珠筆、鋼筆各買了多少

支？

（2）若購圓珠筆可9折優(yōu)惠，鋼筆可8折優(yōu)惠，在所需費用不超過100元的

前提下，請你寫出一種

選購方案.

解：（1）設買了x支圓珠筆，則有5x+6（22—x）=120,解得：x=12,22-x

=10.

圓珠筆、鋼筆各買了12、10枝.

（2）答案不惟一.如：圓珠筆、鋼筆各買了19、3枝等等.

4（05茂名）.今年6月份，我市某果農(nóng)收獲

荔枝30噸，香蕉13噸，現(xiàn)計劃租用甲、乙兩

種貨車共10輛將這批水果全部運往深圳，已知

甲種貨車可裝荔枝4噸和香蕉1噸，一種貨車

可裝荔枝香麓各2噸?

（1）該果曾按排甲、乙兩種貨車時有幾種

方案？請你幫助設計出來（6分）

（2）若甲種貨車每輛要付運輸費2000元，

乙種貨車每輛要付運輸費1300元，則

該果農(nóng)應選擇哪種方案？使運費最

少？最少運費是多少元？（4分）

解：（1）設安排甲種貨車x輛，則安排乙種貨

車（10—x）輛，依題意，得

4x2（1Ox）30x2（10x）13

x5解這個不等式組，得x7

5x7

x是整數(shù)，x可取5、6、7,

既安排甲、乙兩種貨車有三種方案：

①甲種貨車5輛，乙種貨車5輛；

②甲種貨車6輛，乙種貨車4輛；

7

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③甲種貨車7輛，乙種貨車3輛；

（2）方法一：由于甲種貨車的運費高于乙種貨車的運費，兩種貨車共10輛,

所以當甲種貨車的數(shù)量越少時，總運費就越少，故該果農(nóng)應

選擇①運費最少，最少運費是16500元；

方法二：方案①需要運費

200035+130035=16500（元）

方案②需要運費

200036+130034=17200（元）

方案③需要運費

200037+130033=17900（元）

該果農(nóng)應選擇①運費最少，最少運費是16500元；

5（05河南?。┠彻緸榱藬U大經(jīng)營，決定購進6臺機器用于生產(chǎn)某種活塞.現(xiàn)

有甲、乙兩種機器供選擇，其中每種機器的價格和每臺機器日生產(chǎn)活塞的數(shù)量如

下表所示.經(jīng)過預算，本次購買機器所耗資金不能超過34萬元.

（1）按該公司要求可以有幾種購買方案？

（2）若該公司購進的6臺機器的日生產(chǎn)能力不能低于380個，那么為了節(jié)約

資金應選擇哪種方案？解：（1）設購買甲種機器x臺，則購買乙種機器（6—x）

臺.

由題意，得7X5（6X）34,

解這個不等式，得x2,即x可以取0、1、2三個值，

所以，該公司按要求可以有以下三種購買方案：

方案一：不購買甲種機器，購買乙種機器6臺；

方案二：購買甲種機器1臺，購買乙種機器5臺；

方案三：購買甲種機器2臺，購買乙種機器4臺；

（2）按方案一購買機器，所耗資金為30萬元，新購買機器日生產(chǎn)量為360個;

按方案二購買機器，所耗資金為尸7+535=32萬元；，新購買機器日生產(chǎn)量為

13100+5360=400個；按方案三購買機器，所耗資金為237+435=34萬元；新購

買機器日生產(chǎn)量為23100+4360=440個.因此，選擇方案二既能達到生產(chǎn)能力不

低于380個的要求，又比方案三節(jié)約2萬元資金，故應選擇方案二.

6（05資陽）已知某項工程由甲、乙兩隊合做12天可以完成，共需工程費用

13800元，乙隊單獨完成這項工程所需時間是甲隊單獨完成這項工程所需時間的

2倍少10天，且甲隊每天的工程費用比乙隊多150元.

（1）甲、乙兩隊單獨完成這項工程分別需要多少天？

（2）若工程管理部門決定從這兩個隊中選一個隊單獨完成此項工程，從節(jié)約

資金的角度考慮，應該選擇哪個工程隊？請說明理由.

8

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解：（1）設甲隊單獨完成需x天，則乙隊單獨完成需要Qx—10）天.

111根據(jù)題意有.=x2x1012

解得x1=3（舍去），x2=20.

...乙隊單獨完成需要2x—10=30（天）.

答：甲、乙兩隊單獨完成這項工程分別需要20天、30天.

（沒有答的形式，但說明結(jié)論者，不扣分）

（2）設甲隊每天的費用為y元，則由題意有

12y+12（y-150）-138000,解得y=650.

選甲隊時需工程費用650320=13000,選乙隊時需工程費用500330=15000.

13000<15000,

，從節(jié)約資金的角度考慮，應該選擇甲工程隊.

7（05資陽）甲、乙兩同學開展“投球進筐”比賽，雙方約定：①比賽分6局進

行，每局在指定區(qū)域（用公式或語言表述正確，同樣給分.）

（2）根據(jù)以上方案計算得6局比賽，甲共得24分，乙共得分23分，

所以甲在這次比賽中獲勝.

8.（05荊門市）某校初中三年級270名師生計劃集體外出一日游，乘車往返，

經(jīng)與客運公司聯(lián)系，他們有座位數(shù)不同的中巴車和大客車兩種車型可供選擇，每

輛大客車比中巴車多15個座位，學校根據(jù)中巴車和大客車的座位數(shù)計算后得知,

如果租用中巴車若干輛，師生剛好坐滿全部座位；如果租用大客車，不僅少用…

輛，而且?guī)熒旰筮€多30個座位.

⑴求中巴車和大客車各有多少個座位？

⑵客運公司為學校這次活動提供的報價是：租用中巴車每輛往返費用350元，

租用大客車每輛往返費用400元,學校在研究租車方案時發(fā)現(xiàn)，同時租用兩種車,

其中大客車比中巴車多租?輛，所需租車費比單獨租用一種車型都要便宜，按這

種方案需要中巴車和大客車各多少輛？租車費比單獨租用中巴車或大客車各少

多少元？

解：⑴設每輛中巴車有座位x個，每輛大客車有座位（x+15）個，依題意有

27027030.1xxl5

解之彳導：xl=45,x2=-90（不合題意，舍去）

答：每輛中巴車有座位45個，每輛大客車有座位60個.

9

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⑵解法一：①若單獨租用中巴車，租車費用為2703350=2100（元）45

②若單獨租用大客車，租車費用為（6-1）3400=2000（元）

③設租用中巴車y輛，大客車（y+1）輛，則有

45y+60（y+1）>270

解得yN2,當y=2時，y+l=3,運送人數(shù)為4532+6（r3=270合要求

這時租車費用為35032+40（）33=1900（元）

故租用中巴車2輛和大客車3輛，比單獨租用中巴車的租車費少200元，比單

獨租用

大客車的租車費少100元.

解法二：①、②同解法一

③設租用中巴車y輛，大客車（y+1）輛，則有

350y+400（y+1）<2000解得：y32.故y=l或y=215

以下同解法一.（解法二的評分標準參照解法一酌定）

9（05荊門市）為了測量漢江某段河面的寬度，秋實同學設計了如下圖所示的

測量方案：先在河的北岸選一定點A,再在河的南岸選定相距a米的兩點B、C

（如圖），分別測得NABC=a,NACB=B，請你根據(jù)秋實同學測得的數(shù)據(jù)，計

算出河寬AD.（結(jié)果用含a和含a、。的三角函數(shù)表示）

BDC

解：解法一：Vcota=BD,/.BD=AD2cotaAD

同理，CD=AD2cotp

AD2cota+AD2cotp=a

AD=a（米）cot.cot

ADAD,，BD=BDtan解法二：Vtana=

同理，CD=ADtan

，ADAD+=atantan

atan-tan（米）tan.tanAD=

10（05山東省泰州）高為12.6米的教學樓ED前有一棵大樹AB（如圖1）.10

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（1）某一時刻測得大樹AB、教學樓ED在陽光下的投影長分別是BC=2.4米,

DF=7.2米，求大樹

AB的高度.（3分）

（2）用皮尺、高為h米的測角儀，請你設計另一種測量大樹AB高度的方案,

要求：...

①在圖2上，畫出你設計的測量方案示意圖，并將應測數(shù)據(jù)標記在圖上（長度

用字母m、n…表示，角度用希臘字母a、0…表示）；（3分）

②根據(jù)你所畫的示意圖和標注的數(shù)據(jù)，計算大樹AB高度（用字母表示）.（3

分）

光線A

圖1圖2

解：連結(jié)AC、EF

（1）?.?太陽光線是平行線，AC〃EF，NACB=NEFD

VZABC=ZEDF=90°AAABC^AEDF?,.ABBCAB2.4/.AAB

=4.2EDDF12.67.2

答：大樹AB的圖是4.2米.

（2）（方法一）

A

（方法二）

AG=AE如圖MG=BN=mAG=mtana.,.AB—（mtana+h）

米mmAB=+hcotcotcotcot

或AB=mtantan+htantan

11（05寧波）滬杭甬高速公路拓寬寧波段工程進入全面施工階段，在現(xiàn)有雙向

四車道的高速公路兩側(cè)經(jīng)加寬形成雙向八車道.如圖，路基原橫斷面為等腰梯形

ABCD,AD〃BC,斜坡DC的坡度為il,在其一側(cè)加寬DF=7.75米，點E、F

分別在BC、AD的延長線上，斜坡FE的坡度為i2（ilVi2）.設路基的高DM=h

米，拓寬后橫斷面一側(cè)增加的四邊形DCEF的面積為s米2.

（1）已知i2=l：1.7,h=3米，求ME的長.

（1）不同路段的il、i2、、、h是不同的，請你設計一個求面積S的公式（用含il、

i2的代數(shù)式表示）.（通常把坡面的鉛直高度與水平寬度的比叫做坡度.坡度常用字

母i表示，即1=

llh,通常寫成1：m的形式）1

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解：（1）

過F作FNLCE于N

ME=MN+NE=7.75+5.1=12.85(米)

(2)il=DM/MC/.MC=h/il

同理得NE=h/i2,

CE=ME-MC=MN+NE-MC=7.75+h/i2-h/i2

12（05茂名）如圖所示，轉(zhuǎn)盤被等分成六個扇形，并在上面依次寫上數(shù)字1、

2、3、4、5>6；

（1）若自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當它停止轉(zhuǎn)動時，指針指向奇數(shù)區(qū)的概率是多少？（4

分）

（2）請你用這個轉(zhuǎn)盤設計一個游戲，當自由轉(zhuǎn)動的轉(zhuǎn)盤停止時，指針指向的

區(qū)域的概率為

分）

解：

解：（1）P（指針指向奇數(shù)區(qū)域）=2,（433162

23

23（2）方法一：如圖所示，自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當轉(zhuǎn)盤停止時，指針指向陰影部

分區(qū)域的概率為方法二：自由轉(zhuǎn)動轉(zhuǎn)盤，當它停止時，指針指向的數(shù)字不

大于3時，指針指向的區(qū)域的概率是

（注：答案不唯一，只要答案合力都給滿分）

13（05大連市）有一個拋兩枚硬幣的游戲，規(guī)則是：若出現(xiàn)兩個正面，則甲贏;

若出現(xiàn)一正一反，則乙贏；若出現(xiàn)兩個反面，則甲、乙都不贏.

（1）這個游戲是否公平？請說明理由；

（2）如果你認為這個游戲不公平，那么請你改變游戲規(guī)則，設計一個公平的

游戲；如果你認為這個

游戲公平，那么請你改變游戲規(guī)則，設計一個不公平的游戲.

解：（1）不公平.

因為拋擲兩枚硬幣，所有機會均等的結(jié)果為：

正正，正反，反正，反反.

1,4

21出現(xiàn)一正一反的概率為?42所以出現(xiàn)兩個正面的概率

為

因為二者概率不等，所以游戲不公平.

2.游戲規(guī)則一：若出現(xiàn)兩個相同面，則甲贏；若出現(xiàn)一正一反（一反一正）,

則乙贏；

12

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游戲規(guī)則二：若出現(xiàn)兩個正面，則甲贏；若出現(xiàn)兩個反面，則乙贏；若出現(xiàn)一

正一反，則甲、

乙都不贏.

14（05宜昌市）質(zhì)檢員為控制盒裝飲料產(chǎn)品質(zhì)量，需每天不定時的30次去檢

測生產(chǎn)線上的產(chǎn)品.若把從0時到24時的每十分鐘作為一個時間段（共計144個

時間段），請你設計一?種隨機抽取30個時間段的方法：使得任意一個時間段被抽

取的機會均等，且同一時間段可以多次被抽取.（要求寫出具體的操作步驟）

解：（方法一）

（1）.用從1到144個數(shù)，將從0時到24時的每十分鐘按時間順序編號，共有

144個編號.

（2）.在144個小物品（大小相同的小紙片或小球等）上標出1到144個數(shù).

（3）把這144個小物品用袋（箱）裝好，并均勻混合.

（4）每次從袋（箱）中摸出一個小物品，記下上面的數(shù)字后，將小物品返回

袋中并均勻混合.

（5）將上述步驟4重復30次，共得到30個數(shù).

（6）對得到的每一個數(shù)除以60轉(zhuǎn)換成具體的時間.（不答此點不扣分）

（方法二）

(1)用從1到144個數(shù)，將從0時到24時的每十分鐘按時間順序編號，共有

144個編號.

(2)使計算器進入產(chǎn)生隨機數(shù)的狀態(tài).

(3).將1到144作為產(chǎn)生隨機數(shù)的范圍.

(4)進行30次按鍵，記錄下每次按鍵產(chǎn)生的隨機數(shù)，共得到30個數(shù).

(5)對得到的每一個數(shù)除以60轉(zhuǎn)換成具體的時間.(不答此點不扣分)

注意：本題可以設計多種方法，學生的答案中(法一)只要體現(xiàn)出隨機性即可

評2分；體現(xiàn)出按時間段順序編號即可評2分；體現(xiàn)出有放回的抽簽(小物品)

即可評1分；體現(xiàn)出30次性重復抽簽即可評1分；敘述大體完整、基本清楚即

可評1分，共7分.(法二)只要體現(xiàn)出按時間段順序編號即可評2分；體現(xiàn)出

30次重復按鍵即可評1分；其他只要敘述大體完整、基本清楚即可.

15(05浙江省)某電腦公司現(xiàn)有A,B,C三種型號的甲品牌電腦和D,E兩

種型號的乙品牌電腦.希望中學要從甲、乙兩種品牌電腦中各選購一種型號的電

腦.

(1)寫出所有選購方案(利用樹狀圖或列表方法表示)；

(2)如果(1)中各種選購方案被選中的可能性相同，那么A型號電

被選中的概率是多少？

(3)現(xiàn)知希望中學購買甲、乙兩種品牌電腦共36臺(價格如圖所示)，

好用了10萬元人民幣，其中甲品牌電腦為A型號電腦，求購買的A

號電腦有幾臺.

解：(1)樹狀圖如下列表如下：

有6可能結(jié)果：(A,D),(A,E),(B,D),(B,E),(C,D),(C,E).

13腦恰型

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(注：用其它方式表達選購方案且正確給1分)

1(2)因為選中A型號電腦有2種方案，即(A,D)(A,E),所以A型號電

腦被選中的概率是3

（3）由（2）可知，當選用方案（A,D）時，設購買A型號、D型號電腦分

別為x,y臺，根據(jù)

xy36,題意，得6000x5000y100000.

x~80,解得經(jīng)檢驗不符合題意，舍去；y116.

（注：如考生不列方程，直接判斷（A,D）不合題意，舍去，也給2分）

當選用方案（A,E）時，設購買A型號、E型號電腦分別為x,y臺，根據(jù)

題意，得

xy36,6000x2000y100000.

x7,解得y29.

所以希望中學購買了7臺A型號電腦.

16（05年恩施自治州）某中學平整的操場上有一根旗桿（如圖），一數(shù)學興趣

小組欲測量其高度，現(xiàn)有測量工具（皮尺、測角器、標桿）可供選用，請你用所

學的知識，幫助他們設計測量方案.要求：（1）畫出你設計的測量平面圖；

（2）簡述測量方法，并寫出測量的數(shù)據(jù)（長度用a、b、c,,表示；角度用a、p?

表示）；

（3）根據(jù)你測量的數(shù)據(jù)，計算旗桿的高度.

解：（1）如圖所示

（2）①在操場上選取一點D,

用皮尺量出8?=2米

②在點D用測角器測出旗桿頂部A的仰角ZACE=a

③用皮尺量出測角器??=1,米

（3）顯然BE=CD=b,BD=CE=aZAEC=90o

AE=CE3tana

?[AB=AE+BE=atana+b

D三個食品加工廠，這三個工廠和開發(fā)區(qū)A處的自來水廠17（05年濰坊）某

市經(jīng)濟開發(fā)區(qū)建有B、C、

正好在一個矩形的四個頂點上，它們之間有公路相通，且ABCD900米，

ADBC1700米.自來水公司已經(jīng)修好一條自來水主管道AN,BC兩廠之間的

公路與自來水管道交于E處，EC500米.若自來水主管道到各工廠的自來水

管道由各廠負擔，每米造價800元.

（1）要使修建自來水管道的造價最低，這三

來水管道路線應怎樣設計？并在圖形中畫（2）求出各廠所修建的自來水管道

的最低的

少元？

D分別作AN的垂線段解：（1）過B、C、

BH、CF、DG,交AN于H、F、G,

D個工廠的自出；造價各是多CC

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BH、CF、DG即為所求的造價最低的管道路線.

圖形如圖所示.

（2）（法一）

BEBCC米），

AE=1500（米），

ABEsCFE,得到：

ACFCFCE.ABAECEAB500900300（米）.AE1500

CFCEBHEsCFE,得至U，BHBE

BECF1200300720（米）.ABHCE500

ABAEABEsDGA,A,DGAD

ABAD90017001020（米）./.DGAE1500

D三廠所建自來水管道的最低造價分別是所以，B、C、

7203800=576000（元），3003800=240000（元），10203800=816000（元）

18（05廣西欽州市）在某居民小區(qū)的中心地帶，留有-?塊長16m,寬12m的矩

形空地，計劃用于建造一個花園，設計要求.花園面積為空地面積的一半，且整

體圖案成軸對稱圖形.

⑴小明的設計方案如圖2—2—19所示，其中花園四周是人行道，且人行道的

寬度都相等.你知道人行道的寬度是多少嗎？請通過計算，給予回答.

⑵其實，設計的方案可以是多種多樣的.請你按設計要求，另設計一種方案.

解：⑴設人行道寬為xm,根據(jù)題意，得

（162x）（122x）=11612.2

解之，得xl=2,x2=12（舍去）

答：人行道的寬為2m.

⑵符合要求和答案很多，如圖2—2—20的①?④都是.其中圖①中的花園是底

邊長為16m的等腰三角形.圖②中的花園是兩個底邊長為8m的等腰三角形.圖③

中的花園是頂點分別是矩形中點的菱形.圖④中的花園是上底與下底之和為16的

等腰梯形.

19（2006年山東省濰坊市中考題）如圖2—2—21,河邊有一條筆直的公路1,

公路兩側(cè)是平坦的草15①

③圖2220④

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地.在數(shù)學活動課上，老師要求測量河對岸B點到公路的距離，請你設計一個

測量方案.要求：⑴列出你測量所使用的測量工具；

⑵畫出測量的示意圖，寫出測量的步驟；

⑶用字母表示測得的數(shù)據(jù)，求出B點到公路的距離.

解：本例屬于測量問題的方案設計題.⑴測角器、尺子；

(2)測量示意圖見圖2—2—22；

測量步驟：

①在公路上取兩點C、D,使NBCD、NBDC為銳角；

②用測角器測出NBCD=,ZBDC=Z；

③用尺子測得CD的長，記為m米；

④計算求值.

⑶解：設B到CD的距離為x米，

作BA_LCD于點A,在ACAB中，x=CAtan,,

在ADAB中，x=ADtan,

?*.CA=xx,AD=.tantanCA圖

2-2-22D公路圖2-2-21公路

VCA+AD=m,.?.xx=m,.tantan

tantan.tan.tan/.x=m2

20（06浙江省金華市）圖2—2—23中的大正三角形是由9個相同的小正三角形

拼成的，將其部分涂黑，如圖2—2—23①、②所示.觀察圖中涂黑部分構(gòu)成的圖

案.它們具有如下性質(zhì)：⑴都是軸對稱圖形，⑵涂黑部分都是三個小正三角形.請

你在圖2—2—23③、④③④圖2-2-23

21.如圖2—2—24①，李叔叔想要檢測雕塑底座正面四邊形ABCD是否為矩

形，但他隨身只帶了有刻度的卷尺，請你設計一種方案，幫助李叔叔檢測四邊形

ABCD是否為矩

形（圖2—2—24②供設計備用）.

解：方案如下：①用卷尺分別比較AB與CD,AD與BC的長度，當AB

16

加速度教育

=CD,且AD=BC時，四邊形ABCD為平行四邊形；否則四邊形ABCD不是

平行四邊形，從而不是矩形.②當四邊形ABCD是平行四邊形時，用卷尺比較對

角線AC與BD的長度，當AC=BD時，四邊形ABCD是矩形;否則四邊形ABCD

不是矩形

22.（06年廣西梧州市）某學校準備在一塊菱形空地分別種上不同的的花草，現(xiàn)

要求將這塊空地分成面積相等的四部分，請同學們在圖2—2—25中畫出你的設

計方案以供學校參考.（保留作圖痕跡，不寫作法，不用證明.）

解：解法不惟一，略.

23（06四川省樂山市）為了搞好防洪工程建設，需要測量岷江河某段的寬度，

如圖2—2—26,一測量員在河岸邊的A處測得對岸岸邊的一個標記B在它的正

北方向，測量員從A點開始沿岸邊向正東方向行進了150米到達點C處，這時

測得標記B在北偏西30。的方向.

⑴求河的寬度？（保留根號）

⑵除上述測量方案外，請你在圖2—2—27中再設計一種測量河的寬度的方案.

圖2-2-25

圖2-2-27圖2-2-26

解：⑴河的寬度為1503米⑵利用全等或相似的方法均可，略

24（05湖北省孝感市）陽光小區(qū)有一塊正方形的空地，設計用作休閑場地和綠化

場地.如圖2—2—28是小聰根據(jù)正方形空地完成的設計方案示意圖（陰影部分為

綠化場地）.請你用圓規(guī)和直尺在同樣的正方形內(nèi)（圖2—2—27、圖2—2—29）,畫

出二種不同于

小聰?shù)脑O計方案示意圖，使它們的綠化面積（用陰

影表示）與已知圖2—2—30中的綠化面積相同（不

圖2-2-28

要求寫畫法）.

解：

設計方案部分參考示意圖如圖：

上圖中休閑場地為以正方邊長為直徑的兩個半圓圖2-2-29圖

2-2-30

25（2007哈爾濱）現(xiàn)將三張形狀、大小完全相同的平行四邊形透

明紙片，分別放在方格紙中，方格紙中的每個小正方形的邊長均

為1,并且平行四邊形紙片的每個頂點與小正方形的頂點重合（如

圖1、圖2、圖3）.

分別在圖1、圖2、圖3

中，經(jīng)過平行四邊形紙片的任意一個頂點

17

加速度教育

畫一條裁剪線，沿此裁剪線將平行四邊形紙片裁成兩部分，并把這兩部分重新

拼成符合下列要求的兒何圖形.

要求：

(1)在左邊的平行四邊形紙片中畫一條裁剪線，然后在右邊相對應的方格紙

中，按實際大小畫出所拼成的符合要求的幾何圖形；

(2)裁成的兩部分在拼成兒何圖形時要互不重疊且不留空隙；

(3

）所畫出的幾何圖形的各頂點必須與小正方形的頂點重合.

圖1矩形（非正方形）

圖2正方形

圖3有一個角是135。的三角形

（第3題圖）

解：

圖1矩形（非正方

圖2正方

圖3有一個角是135。的三

26(

2007山東濟寧）某小區(qū)有一長100

m,寬80cm的空地，現(xiàn)將其建成花園廣場，設計圖案如下，陰影區(qū)域為綠化

區(qū)（四塊綠化區(qū)是全等矩形），空白區(qū)域為活動區(qū)，且四周出口一樣寬，寬度不小

于50m,不大于60m.預計活動區(qū)每平方米造價60元，綠化區(qū)每平方米造價50

元.

（1）設一塊綠化區(qū)的長邊為xm,寫出工程總造價y與x的函數(shù)關(guān)系式（

寫出x的取值范圍）；

（2）如果小區(qū)投資46.9萬元，問能否完成工程任務，若能，請寫出x為整數(shù)

的所有工程方案；若不能，請說明理由.（參考值：1.732）

18

加速度教育

27（2007廣東梅州）梅林中學租用兩輛小汽車（設速度相同）同時送1名帶隊

老師及7名九年級的學生到縣城參加數(shù)學競賽，每輛限坐4人（不包括司機）.其

中一輛小汽車在距離考場15km的地方出現(xiàn)故障，此時離截止進考場的時刻還有

42分鐘，這時唯一-可利用的交通工具是另一一輛小汽車，且這輛車的平均速度是

60km/h,人步行的速度是5km/h（上、下車時間忽略不計）.

（1）若小汽車送4人到達考場，然后再回到出故障處接其他人，請你能過計

算說明他們能否在截止進考場的時刻前到達考場；

（2）假如你是帶隊的老師，請你設計一種運送方案，使他們能在截止進考場

的時刻前到達考場，并通過計算說明方案的可行性.

解：（1）1533（h）45（分鐘），4542,604

不能在限定時間先將4人用車送到考場所需時間為設汽車返回

t（h）后先步行的4人相遇，

t13.,解得75t5t602.75.13

2.75h.13

2.756040.442.所以用這一方案送這8人到考場共需15213

汽車由相遇點再去考場所需時間也是

所以這8個個能在截止進考場的時刻前趕到.

方案2：8人同時出發(fā)，4人步行，先將4人用車送到離出發(fā)點xkm的A處，

然后這4個人步行前往考場，車回去接應后面的4人，使他們跟前面4人同時到

達考場................6分

15x(h),5

xx(h)先步行的4人走了5(km),汽車從出發(fā)點到A處需6060由A

處步行前考場需

19

加速度教育

設汽車返回t(h)后與先步行的4人相遇，則有60t5tx5所以相遇點

與考場的距離為15x60

xllx,解得t,60780

1lx2x

15(km).78013

由相遇點坐車到考場需

X1

'(h).4390

xxllxl

:(h),607804390

所以先步行的4人到考場的總時間為

先坐車的4人到考場的總時間為他們同時到達，則有

xl5x

.(h),

560

xllxlxxl5x

'解得x13.607804390605

將x13代入上式，可得他們趕到考場所需時間為

132

,6037(分鐘).605

3742.

他們能在截止進考場的時刻前到達考場

28(2007山東青島)某飲料廠開發(fā)了A、B兩種新型飲料，主要原料均為甲和

乙，每瓶飲料中甲、乙的含量如下表所示.現(xiàn)用甲原料和乙原料各2800克進行

試生產(chǎn)，計劃生產(chǎn)A、B兩種飲料共100瓶.設生產(chǎn)A種飲料x瓶，解答下列

問題：

(1)有兒種符合題意的生產(chǎn)方案？寫出解答過程；

(2)如果A種飲料每瓶的成本為2.60元，B種飲料每瓶的成本為2.80元，這

兩種飲料成本總額為y元，請寫出y與x之間的關(guān)系式，并說明x取何值會使成

本總額最低？

解：⑴設生產(chǎn)A種飲料x瓶，根據(jù)題意得：

解這個不等式組，得20sxs40.因為其中正整數(shù)解共有21個，

所以符合題意的生產(chǎn)方案有21種.(2)根據(jù)題意，得y=2.6x+2.8(100-

x).整理，得y=-0.2x+280.Vk=-0.2<0,

.*.y隨x的增吳而減小.

,當x=40時成本總額最低.

20x30(lOOx)

40x20(100x)

<2800,<2800.

29(2007重慶)我市某鎮(zhèn)組織20輛汽車裝運完A、B、C三種臍橙共100噸到

外地銷售.按計劃,20

之間的函數(shù)關(guān)系式；

20

加速度教育

(2)如果裝運每種臍橙的車輛數(shù)都不少于4輛，那么車輛的安排方案有幾種？

并寫出每種安排方案；

(3)若要使此次銷售獲利最大，應采用哪種安排方案？并求出最大利潤的值.

解：(1)根據(jù)題意，裝運A種臍橙的車輛數(shù)為x,裝運B種臍橙的車輛數(shù)為y,

那么裝運C種臍橙的車輛數(shù)為2旅丫，則有：

6x5y420xy100整理得：y'2x20

(2)由(1)知，裝運A、B、C三種臍橙的車輛數(shù)分別為x、~2x20、x,由題

意得：x4,

'2x204

解得：4<x<8,因為x為整數(shù)，所以x的值為4、5、6、7、8,所以安排方案

共有5種.

方案一：裝運A種臍橙4車，B種臍橙12車，C種臍橙4車；

方案二：裝運A種臍橙5車，B種臍橙10車，C種臍橙5車；

方案三：裝運A種臍橙6車，B種臍橙8車，C種臍橙6車；

方案四：裝運A種臍橙7車，B種臍橙6車，C種臍橙7車；

方案五：裝運A種臍橙8車，B種臍橙4車，C種臍橙8車；

（3）設利潤為W（百元）貝U：

W6x1252x20164x10'48x1600

Vk'480，W的值隨x的增大而減小

要使利潤W最大，則x4,故選方案一

W最大'4841600=1408（百元）=14.08（萬元）

答：當裝運A種臍橙4車，B種臍橙12車，C種臍橙4車時，獲利最大，最

大利潤為14.08萬元.

30（2007湖南懷化）2007年我市某縣籌備20周年縣慶，園林部門決定利用現(xiàn)

有的3490盆甲種花卉和2950盆乙種花卉搭配A,B兩種園藝造型共50個擺放

在迎賓大道兩側(cè)，已知搭配一個A種造型需甲種花卉80盆，乙種花卉40盆，

搭配一個B種造型需甲種花卉50盆，乙種花卉90盆.

（1）某校九年級（1）班課外活動小組承接了這個園藝造型搭配方案的設計，

問符合題意的搭配方案有幾種？請你幫助設計出來.

（2）若搭配一個A種造型的成本是800元，搭配一個B種造型的成本是960

元，試說明（1）中哪種方案成本最低？最低成本是多少元？

解：設搭配A種造型x個，則B種造型為（5限）個，

依題意，得：80x50（50x）<349040x90（50x）<2950

x<3332,33,,31<x<33x是整索x可取31,x》l解這個不等式

組，得：

可設計三種搭配方案：

①A種園藝造型31個B種園藝造型19個

②A種園藝造型32個B種園藝造型18個

③A種園藝造型33個B種園藝造型17個.

（2）方法一：由于B種造型的造價成本高于A種造型成本.所以B種造型越

少，成本越低，故應選擇方案③，成本最低，最低成本為：338001796042720

（元）

21

加速度教育

方法二：方案①需成本：318001996043040（元）

方案②需成本：328001896042880（元）

方案③需成本：338001796042720元

應選擇方案③，成本最低，最低成本為42720元

31（2007南充）某商店需要購進一批電視機和洗衣機，根據(jù)市場調(diào)查，決定電

視機進貨量不少于洗衣

計劃購進電視機和洗衣機共100臺，商店最多可籌集資金161800元.

(1)請你幫助商店算一算有多少種進貨方案？(不考慮除進價之外的其它費

用)

(2)哪種進貨方案待商店銷售購進的電視機與洗衣機完畢后獲得利潤最多？

并求出最多利潤.(利潤=售價一進價)

解：(1)設商店購進電視機x臺，則購進洗衣機(100-x)臺，根據(jù)題意，得

111x(100x),3339,解不等式組，得

<x<.2331800x1500(100x)161800.

即購進電視機最少34臺，最多39臺，商店有6種進貨方案.

(2)設商店銷售完畢后獲利為y元，根據(jù)題意，得

y=(2000-1800)x+(1600-1500)(100-x)=100x+10000.

V100>0,/.當x最大時，y的值最大.

即當x=39時，商店獲利最多為13900元.

32(2007四川眉山)某縣響應“建設環(huán)保節(jié)約型社會”的號召，決定資助部分付

鎮(zhèn)修建一批沼氣池，使農(nóng)