人教A版必修二高中數學第二章 2.3.3-2.3.4同步課堂導學案【含詳細解析】

2．3.3直線與平面垂直的性質2．3.4平面與平面垂直的性質[學習目標]1.理解直線和平面垂直、平面與平面垂直的性質定理，并能用文字、符號和圖形語言描述定理.2.會用線面垂直、面面垂直的性質定理證明相關問題.3.理解“平行”與“垂直”之間的相互轉化．[知識鏈接]1．線面垂直的判定定理：若一條直線垂直于平面內的兩條相交直線，則該直線與此平面垂直．2．面面垂直的判定定理：一個平面過另一個平面的垂線，則這兩個平面垂直．[預習導引]1．直線與平面垂直的性質定理文字語言垂直于同一個平面的兩條直線平行符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(a⊥α,b⊥α))?a∥b圖形語言作用①線面垂直?線線平行②作平行線2.平面與平面垂直的性質定理文字語言兩個平面垂直，則一個平面內垂直于交線的直線與另一個平面垂直符號語言eq\b\lc\\rc\}(\a\vs4\al\co1(α⊥β,α∩β＝l,a?α,a⊥l))?a⊥β圖形語言作用①面面垂直?線面垂直②作面的垂線要點一直線與平面垂直的性質及應用例1如圖，正方體A1B1C1D1ABCD中，EF與異面直線AC、A1D都垂直相交．求證：EF∥BD1.證明如圖所示，連接AB1、B1D1、B1C、BD，∵DD1⊥平面ABCD，AC?平面ABCD，∴DD1⊥AC.又AC⊥BD，DD1∩BD＝D，∴AC⊥平面BDD1B1，又BD1?平面BDD1B1，∴AC⊥BD1.同理可證BD1⊥B1C，又AC∩B1C＝C，∴BD1⊥平面AB1C.∵EF⊥A1D，A1D∥B1C，∴EF⊥B1C.又∵EF⊥AC，AC∩B1C＝C，∴EF⊥平面AB1C，∴EF∥BD1.規(guī)律方法證明線線平行常有如下方法：(1)利用線線平行定義：證共面且無公共點；(2)利用三線平行公理：證兩線同時平行于第三條直線；(3)利用線面平行的性質定理：把證線線平行轉化為證線面平行；(4)利用線面垂直的性質定理：把證線線平行轉化為證線面垂直；(5)利用面面平行的性質定理：把證線線平行轉化為證面面平行．跟蹤演練1如圖，已知平面α∩平面β＝l，EA⊥α，垂足為A，EB⊥β，垂足為B，直線a?β，a⊥AB.求證：a∥l.證明因為EA⊥α，α∩β＝l，即l?α，所以l⊥EA.同理l⊥EB，又EA∩EB＝E，所以l⊥平面EAB.因為EB⊥β，a?β，所以EB⊥a，又a⊥AB，EB∩AB＝B，所以a⊥平面EAB.因此，a∥l.要點二平面與平面垂直的性質及應用例2已知：α、β、γ是三個不同平面，l為直線，α⊥γ，β⊥γ，α∩β＝l.求證：l⊥γ.證明方法一設α∩γ＝a，β∩γ＝b，在γ內任取一點P，過P在γ內作直線m⊥a，n⊥b，如圖．∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥α，n⊥β，又∵α∩β＝l，∴m⊥l，n⊥l，又m∩n＝P，∴l(xiāng)⊥γ.方法二如圖，α∩γ＝a，β∩γ＝b，在α內作m⊥a，在β內作n⊥b.∵α⊥γ，β⊥γ，∴m⊥γ，n⊥γ，∴m∥n.又∵n?β，m?β，∴m∥β，又α∩β＝l，m?α，∴m∥l，∴l(xiāng)⊥γ.規(guī)律方法1.證明或判定線面垂直的常用方法：(1)線面垂直的判定定理；(2)面面垂直的性質定理；(3)若a∥b，a⊥α則b⊥α；(a，b為直線，α為平面)．(4)若a⊥α，α∥β則a⊥β；(a為直線，α，β為平面)．2．兩平面垂直的性質定理告訴我們要將面面垂直轉化為線面垂直，方法是在其中一個面內作(找)與交線垂直的直線．跟蹤演練2設平面α⊥平面β，點P在平面α內，過點P作平面β的垂線a，試判斷直線a與平面α的位置關系．解如圖，設α∩β＝c，過點P在平面α內作直線b⊥c，根據平面與平面垂直的性質定理有b⊥β.因為過一點有且只有一條直線與平面β垂直，所以直線a與直線b重合，因此a?α.要點三線線、線面、面面垂直的綜合應用例3如圖所示，在四棱錐PABCD中，底面ABCD是邊長為a的菱形，且∠DAB＝60°，側面PAD為正三角形，其所在的平面垂直于底面ABCD.(1)若G為AD邊的中點，求證：BG⊥平面PAD；(2)求證：AD⊥PB.證明(1)∵在菱形ABCD中，G為AD的中點，∠DAB＝60°，∴BG⊥AD.又平面PAD⊥平面ABCD，平面PAD∩平面ABCD＝AD，∴BG⊥平面PAD.(2)連接PG，如圖，∵△PAD為正三角形，G為AD的中點，∴PG⊥AD.由(1)知BG⊥AD，PG∩BG＝G，∴AD⊥平面PGB，∵PB?平面PGB，∴AD⊥PB.規(guī)律方法證明線面垂直，一種方法是利用線面垂直的判定定理，另一種方法是利用面面垂直的性質定理．本題已知面面垂直，故可考慮面面垂直的性質定理．利用面面垂直的性質定理．證明線面垂直的問題時，要注意以下三點：(1)兩個平面垂直；(2)直線必須在其中一個平面內；(3)直線必須垂直于它們的交線．跟蹤演練3如圖，已知四棱錐PABCD的底面是直角梯形，∠ABC＝∠BCD＝90°，AB＝BC＝PB＝PC＝2CD，側面PBC⊥底面ABCD.PA與BD是否相互垂直？請證明你的結論．解PA與BD相互垂直．證明過程如下：如圖，取BC的中點O，連接PO、AO.∵PB＝PC，∴PO⊥BC，又側面PBC⊥底面ABCD，∴PO⊥底面ABCD，又BD?平面ABCD.∴PO⊥BD，在直角梯形ABCD中，易證△ABO≌△BCD，∠BAO＝∠CBD，∠CBD＋∠ABD＝90°，∴∠BAO＋∠ABD＝90°，∴AO⊥BD，又PO∩AO＝O，∴BD⊥平面PAO，∴BD⊥PA，即PA與BD相互垂直.1．下列說法正確的是()A．垂直于同一條直線的兩直線平行B．垂直于同一條直線的兩直線垂直C．垂直于同一個平面的兩直線平行D．垂直于同一條直線的一條直線和平面平行答案C解析由線面垂直的性質定理知C正確．2．△ABC所在的平面為α，直線l⊥AB，l⊥AC，直線m⊥BC，m⊥AC，則直線l，m的位置關系是()A．相交B．異面C．平行D．不確定答案C解析因為l⊥AB，l⊥AC，AB?α，AC?α且AB∩AC＝A，所以l⊥α，同理可證m⊥α，所以l∥m.3．設αlβ是直二面角，直線a?α，直線b?β，a，b與l都不垂直，那么()A．a與b可能垂直，但不可能平行B．a與b可能垂直，也可能平行C．a與b不可能垂直，但可能平行D．a與b不可能垂直，也不可能平行答案C解析當a，b都與l平行時，則a∥b，所以A、D錯，如圖，若a⊥b，過a上一點P在α內作a′⊥l，因為α⊥β，所以a′⊥β，又b?β，∴a′⊥b，∴b⊥α，而l?α，∴b⊥l，與b和l不垂直矛盾，所以B錯．4．已知a、b為直線，α、β為平面．在下列四個命題中，正確的命題是________．①若a⊥α，b⊥α，則a∥b；②若a∥α，b∥α，則a∥b；③若a⊥α，a⊥β，則α∥β；④若α∥b，β∥b，則α∥β.答案①③解析由“垂直于同一平面的兩直線平行”知①真；由“平行于同一平面的兩直線平行或異面或相交”知②假；由“垂直于同一直線的兩平面平行”知③真；易知④假．5.如圖，在三棱錐PABC內，側面PAC⊥底面ABC，且∠PAC＝90°，PA＝1，AB＝2，則PB＝________.答案eq\r(5)解析∵側面PAC⊥底面ABC，交線為AC，∠PAC＝90°(即PA⊥AC)，∴PA⊥平面ABC，∴PA⊥AB，∴PB＝eq\r(PA2＋AB2)＝eq\r(1＋4)＝eq\r(5).1.線面垂直的性質定理揭示了空間中“平行”與“垂直”關系的內在聯(lián)系，提供了“垂直”與“平行”關系相互轉化的依據．2．面面垂直的性質定理揭示了“面面垂直、線面垂直及線線垂直”間的內在聯(lián)系，體現(xiàn)了數學中的轉化與化歸思想，其轉化關系如下：一、基礎達標1．下列命題中錯誤的是()A．如果平面α⊥平面β，那么平面α內一定存在直線平行于平面βB．如果平面α不垂直于平面β，那么平面α內一定不存在直線垂直于平面βC．如果平面α⊥平面γ，平面β⊥平面γ，α∩β＝l，那么l⊥平面γD．如果平面α⊥平面β，那么平面α內所有直線都垂直于平面β答案D解析由平面與平面垂直的有關性質可以判斷出D項錯誤．2．在長方體ABCDA1B1C1D1的棱AB上任取一點E，作EF⊥A1B1于F，則EF與平面A1B1C1D1的關系是()A．平行B．EF?平面A1B1C1D1C．相交但不垂直D．相交且垂直答案D解析在長方體ABCDA1B1C1D1中，平面A1ABB1⊥平面A1B1C1D1且平面A1ABB1∩平面A1B1C1D1＝A1B1，又EF?面A1ABB1，EF⊥A1B1，∴EF⊥平面A1B1C1D1，答案D正確．3．如圖所示，三棱錐PABC中，平面ABC⊥平面PAB，PA＝PB，AD＝DB，則()A．PD?平面ABCB．PD⊥平面ABCC．PD與平面ABC相交但不垂直D．PD∥平面ABC答案B解析∵PA＝PB，AD＝DB，∴PD⊥AB.又∵平面ABC⊥平面PAB，平面ABC∩平面PAB＝AB，∴PD⊥平面ABC.4.如圖，在四邊形ABCD中，AD∥BC，AD＝AB，∠BCD＝45°，∠BAD＝90°，將△ABD沿BD折起，使平面ABD⊥平面BCD，構成三棱錐ABCD，則在三棱錐ABCD中，下列命題正確的是()A．平面ABD⊥平面ABCB．平面ADC⊥平面BDCC．平面ABC⊥平面BDCD．平面ADC⊥平面ABC答案D解析如圖，在平面圖形中CD⊥BD，折起后仍然滿足CD⊥BD，由于平面ABD⊥平面BCD，故CD⊥平面ABD，CD⊥AB.又AB⊥AD，故AB⊥平面ADC，又AB?平面ABC，所以平面ADC⊥平面ABC.5．設m，n是兩條不同的直線，α，β是兩個不同的平面，下列命題中正確的是()A．若α⊥β，m?α，n?β，則m⊥nB．若α∥β，m?α，n?β，則m∥nC．若m⊥n，m?α，n?β，則α⊥βD．若m⊥α，m∥n，n∥β，則α⊥β答案D解析如圖，在長方體ABCDA1B1C1D1中，平面BCC1B1⊥平面ABCD，BC1?平面BCC1B1，BC?平面ABCD，而BC1不垂直于BC，故A錯誤．平面A1B1C1D1∥平面ABCD，B1D1?平面A1B1C1D1，AC?平面ABCD，但B1D1和AC不平行，故B錯誤．AB⊥A1D1，AB?平面ABCD，A1D1?平面A1B1C1D1，但平面A1B1C1D1∥平面ABCD，故C錯誤．故選D.6．如圖，邊長為2a的正△ABC的中線AF與中位線DE相交于G，已知△A′ED是△AED繞DE旋轉過程中的一個圖形，現(xiàn)給出下列結論，其中正確的結論有________．(填上所有正確結論的序號)①動點A′在平面ABC上的射影在線段AF上．②三棱錐A′－FED的體積有最大值．③恒有平面A′GF⊥平面BCED.④異面直線A′E與BD不可能互相垂直．答案①②③解析因為DE⊥A′G，DE⊥GF，A′G∩GF＝G，所以DE⊥平面A′GF，又DE?平面BCED，所以平面A′GF⊥平面BCED，故③正確．過A′作A′H⊥AF，垂足為H，則A′H?平面A′GF，所以A′H⊥DE，又DE∩AF＝G，所以A′H⊥平面ABC，故①正確．三棱錐A′－FED的底面△FED的面積是定值，高是點A′到平面FED的距離．易證當A′G⊥平面FED時距離(即高)最大，三棱錐A′－FED的體積最大，故②正確．易知BD∥EF，所以∠A′EF是異面直線A′E與BD所成的角．正△ABC的邊長為2a，AE＝a，EF＝a，而A′F的長度的取值范圍是(0，eq\r(3)a)，當A′F＝eq\r(2)a時，A′E2＋EF2＝A′F2，∠A′EF＝90°，此時直線A′E與BD互相垂直，故④錯誤．7.如圖三棱錐PABC中，已知△ABC是等腰直角三角形，∠ABC＝90°，△PAC是直角三角形，∠PAC＝90°，∠ACP＝30°，平面PAC⊥平面ABC.求證：平面PAB⊥平面PBC.證明∵平面PAC⊥平面ABC，平面PAC∩平面ABC＝AC，PA⊥AC，∴PA⊥平面ABC.又BC?平面ABC，∴PA⊥BC.又AB⊥BC，AB∩PA＝A，∴BC⊥平面PAB.又BC?平面PBC，∴平面PAB⊥平面PBC.二、能力提升8.如圖所示，在斜三棱柱ABCA1B1C1中，∠BAC＝90°，BC1⊥AC，則點C1在底面ABC上的投影H必在()A．直線AB上B．直線BC上C．直線AC上D．△ABC內部答案A解析連接AC1，∠BAC＝90°，即AC⊥AB，又AC⊥BC1，AB∩BC1＝B，所以AC⊥平面ABC1.又AC?平面ABC，于是平面ABC1⊥平面ABC，且AB為交線，因此，點C1在平面ABC上的投影必在直線AB上，故選A.9.如圖，正方形SG1G2G3中，E、F分別是G1G2、G2G3的中點，現(xiàn)在沿SE、SF、EF把這個正方形折成一個四面體，使G1、G2、G3重合，重合后的點記為G.給出下列關系：①SG⊥平面EFG；②SE⊥平面EFG；③GF⊥SE；④EF⊥平面SEG.其中成立的有()A．①與②B．①與③C．②與③D．③與④答案B解析由SG⊥GE，SG⊥GF，得SG⊥平面EFG，排除C、D；若SE⊥平面EFG，則SG∥SE，這與SG∩SE＝S矛盾，排除A，故選B.10．如圖所示，已知兩個正方形ABCD和DCEF不在同一平面內，M，N分別為AB，DF的中點．若CD＝2，平面ABCD⊥平面DCEF，則線段MN的長等于________．答案eq\r(6)解析取CD的中點G，連接MG，NG.因為ABCD，DCEF為正方形，且邊長為2，所以MG⊥CD，MG＝2，NG＝eq\r(2).因為平面ABCD⊥平面DCEF，所以MG⊥平面DCEF，可得MG⊥NG，所以MN＝eq\r(MG2＋NG2)＝eq\r(6).11．如圖，在四棱錐PABCD中，AB∥CD，AB⊥AD，CD＝2AB，平面PAD⊥底面ABCD，PA⊥AD，E和F分別是CD和PC的中點．求證：(1)PA⊥底面ABCD；(2)BE∥平面PAD；(3)平面BEF⊥平面PCD.證明(1)因為平面PAD⊥底面ABCD，且PA垂直于這兩個平面的交線AD，所以PA⊥底面ABCD.(2)因為AB∥CD，CD＝2AB，E為CD的中點，所以AB∥DE，且AB＝DE.所以四邊形ABED為平行四邊形．所以BE∥AD.又因為BE?平面PAD，AD?平面PAD，所以BE∥平面PAD.(3)因為AB⊥AD，而且四邊形ABED為平行四邊形，所以BE⊥CD，AD⊥CD.由(1)知PA⊥底面ABCD，所以PA⊥CD.所以CD⊥平面PAD.所以CD⊥PD.因為E和F分別是CD和PC的中點，所以PD∥EF.所以CD⊥EF.又因為CD⊥BE，EF∩BE＝E，所以CD⊥平面BEF.所以平面BEF⊥平面PCD.三、探究與創(chuàng)新12．如圖所示，在平行四邊形ABCD中，已知AD＝2AB＝2a，BD＝eq\r(3)a，AC∩BD＝E，將其沿對角線BD折成直二面角．求證：(1)AB⊥平面BCD；(2)平面ACD⊥平面ABD.證明(1)在△ABD中，AB＝a，AD