福建省惠安一中等重點(diǎn)中學(xué)2021-2022學(xué)年高考數(shù)學(xué)二模試卷含解析

2021-2022高考數(shù)學(xué)模擬試卷考生須知：1．全卷分選擇題和非選擇題兩部分，全部在答題紙上作答。選擇題必須用2B鉛筆填涂；非選擇題的答案必須用黑色字跡的鋼筆或答字筆寫在“答題紙”相應(yīng)位置上。2．請(qǐng)用黑色字跡的鋼筆或答字筆在“答題紙”上先填寫姓名和準(zhǔn)考證號(hào)。3．保持卡面清潔，不要折疊，不要弄破、弄皺，在草稿紙、試題卷上答題無(wú)效。一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．已知，，，若，則（）A． B． C． D．2．已知是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，設(shè)，則數(shù)列的前項(xiàng)和取最大值時(shí)的值為()A．2020 B．20l9 C．2018 D．20173．雙曲線的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)且與軸垂直的直線交兩漸近線于兩點(diǎn)，與雙曲線的其中一個(gè)交點(diǎn)為，若，且，則該雙曲線的離心率為()A． B． C． D．4．若向量，則（）A．30 B．31 C．32 D．335．如圖是計(jì)算值的一個(gè)程序框圖，其中判斷框內(nèi)應(yīng)填入的條件是()A．B．C．D．6．中國(guó)古代用算籌來(lái)進(jìn)行記數(shù)，算籌的擺放形式有縱橫兩種形式（如圖所示），表示一個(gè)多位數(shù)時(shí)，像阿拉伯記數(shù)一樣，把各個(gè)數(shù)位的數(shù)碼從左到右排列，但各位數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，其中個(gè)位、百位、方位……用縱式表示，十位、千位、十萬(wàn)位……用橫式表示，則56846可用算籌表示為（）A． B． C． D．7．已知函數(shù)在上有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是（）A． B． C． D．8．已知集合，將集合的所有元素從小到大一次排列構(gòu)成一個(gè)新數(shù)列，則（）A．1194 B．1695 C．311 D．10959．已知函數(shù)（，）的一個(gè)零點(diǎn)是，函數(shù)圖象的一條對(duì)稱軸是直線，則當(dāng)取得最小值時(shí)，函數(shù)的單調(diào)遞增區(qū)間是（）A．（） B．（）C．（） D．（）10．為比較甲、乙兩名高二學(xué)生的數(shù)學(xué)素養(yǎng)，對(duì)課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的數(shù)學(xué)六大素養(yǎng)進(jìn)行指標(biāo)測(cè)驗(yàn)（指標(biāo)值滿分為5分，分值高者為優(yōu)），根據(jù)測(cè)驗(yàn)情況繪制了如圖所示的六大素養(yǎng)指標(biāo)雷達(dá)圖，則下面敘述正確的是（）A．乙的數(shù)據(jù)分析素養(yǎng)優(yōu)于甲B．乙的數(shù)學(xué)建模素養(yǎng)優(yōu)于數(shù)學(xué)抽象素養(yǎng)C．甲的六大素養(yǎng)整體水平優(yōu)于乙D．甲的六大素養(yǎng)中數(shù)據(jù)分析最差11．若，則()A． B． C． D．12．直線l過拋物線的焦點(diǎn)且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，則的最小值是A．10 B．9 C．8 D．7二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．的展開式中，項(xiàng)的系數(shù)是__________．14．若函數(shù)（）的圖象與直線相切，則______.15．已知，滿足，則的展開式中的系數(shù)為______.16．展開式中項(xiàng)系數(shù)為160，則的值為______.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（12分）如圖，底面是等腰梯形，，點(diǎn)為的中點(diǎn)，以為邊作正方形，且平面平面.（1）證明：平面平面.（2）求二面角的正弦值．18．（12分）已知的內(nèi)角，，的對(duì)邊分別為，，，且.（1）求；（2）若的面積為，，求的周長(zhǎng).19．（12分）如圖，在四棱錐中，平面平面ABCD，，，底面ABCD是邊長(zhǎng)為2的菱形，點(diǎn)E，F(xiàn)分別為棱DC，BC的中點(diǎn)，點(diǎn)G是棱SC靠近點(diǎn)C的四等分點(diǎn).求證：（1）直線平面EFG；（2）直線平面SDB.20．（12分）某工廠的機(jī)器上有一種易損元件A，這種元件在使用過程中發(fā)生損壞時(shí)，需要送維修處維修．工廠規(guī)定當(dāng)日損壞的元件A在次日早上8：30之前送到維修處，并要求維修人員當(dāng)日必須完成所有損壞元件A的維修工作．每個(gè)工人獨(dú)立維修A元件需要時(shí)間相同．維修處記錄了某月從1日到20日每天維修元件A的個(gè)數(shù)，具體數(shù)據(jù)如下表：日期1日2日3日4日5日6日7日8日9日10日元件A個(gè)數(shù)91512181218992412日期11日12日13日14日15日16日17日18日19日20日元件A個(gè)數(shù)12241515151215151524從這20天中隨機(jī)選取一天，隨機(jī)變量X表示在維修處該天元件A的維修個(gè)數(shù)．（Ⅰ）求X的分布列與數(shù)學(xué)期望；（Ⅱ）若a，b，且b-a=6，求最大值；（Ⅲ）目前維修處有兩名工人從事維修工作，為使每個(gè)維修工人每天維修元件A的個(gè)數(shù)的數(shù)學(xué)期望不超過4個(gè)，至少需要增加幾名維修工人？（只需寫出結(jié)論）21．（12分）已知，均為給定的大于1的自然數(shù)，設(shè)集合，．（Ⅰ）當(dāng)，時(shí)，用列舉法表示集合；（Ⅱ）當(dāng)時(shí)，，且集合滿足下列條件：①對(duì)任意，；②．證明：（?。┤?，則（集合為集合在集合中的補(bǔ)集）；（ⅱ）為一個(gè)定值（不必求出此定值）；（Ⅲ）設(shè)，，，其中，，若，則．22．（10分）已知橢圓：（），點(diǎn)是的左頂點(diǎn)，點(diǎn)為上一點(diǎn)，離心率.（1）求橢圓的方程；（2）設(shè)過點(diǎn)的直線與的另一個(gè)交點(diǎn)為（異于點(diǎn)），是否存在直線，使得以為直徑的圓經(jīng)過點(diǎn)，若存在，求出直線的方程；若不存在，說(shuō)明理由.

參考答案一、選擇題：本題共12小題，每小題5分，共60分。在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的。1．B【解析】

由平行求出參數(shù)，再由數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算計(jì)算．【詳解】由，得，則，，，所以．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查向量平行的坐標(biāo)表示，考查數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算，掌握向量數(shù)量積的坐標(biāo)運(yùn)算是解題關(guān)鍵．2．B【解析】

根據(jù)題意計(jì)算，，，計(jì)算，，，得到答案.【詳解】是等差數(shù)列的前項(xiàng)和，若，故，，，，故，當(dāng)時(shí)，，，，，當(dāng)時(shí)，，故前項(xiàng)和最大.故選：.【點(diǎn)睛】本題考查了數(shù)列和的最值問題，意在考查學(xué)生對(duì)于數(shù)列公式方法的綜合應(yīng)用.3．D【解析】

根據(jù)已知得本題首先求出直線與雙曲線漸近線的交點(diǎn)，再利用，求出點(diǎn)，因?yàn)辄c(diǎn)在雙曲線上，及，代入整理及得，又已知，即可求出離心率．【詳解】由題意可知，代入得：，代入雙曲線方程整理得：，又因?yàn)椋纯傻玫?，故選：D．【點(diǎn)睛】本題主要考查的是雙曲線的簡(jiǎn)單幾何性質(zhì)和向量的坐標(biāo)運(yùn)算，離心率問題關(guān)鍵尋求關(guān)于，，的方程或不等式，由此計(jì)算雙曲線的離心率或范圍，屬于中檔題．4．C【解析】

先求出,再與相乘即可求出答案.【詳解】因?yàn)?所以.故選:C.【點(diǎn)睛】本題考查了平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算,考查了學(xué)生的計(jì)算能力,屬于基礎(chǔ)題.5．B【解析】

根據(jù)計(jì)算結(jié)果，可知該循環(huán)結(jié)構(gòu)循環(huán)了5次；輸出S前循環(huán)體的n的值為12，k的值為6，進(jìn)而可得判斷框內(nèi)的不等式．【詳解】因?yàn)樵摮绦驁D是計(jì)算值的一個(gè)程序框圈所以共循環(huán)了5次所以輸出S前循環(huán)體的n的值為12，k的值為6，即判斷框內(nèi)的不等式應(yīng)為或所以選C【點(diǎn)睛】本題考查了程序框圖的簡(jiǎn)單應(yīng)用，根據(jù)結(jié)果填寫判斷框，屬于基礎(chǔ)題．6．B【解析】

根據(jù)題意表示出各位上的數(shù)字所對(duì)應(yīng)的算籌即可得答案．【詳解】解：根據(jù)題意可得，各個(gè)數(shù)碼的籌式需要縱橫相間，個(gè)位，百位，萬(wàn)位用縱式表示；十位，千位，十萬(wàn)位用橫式表示，用算籌表示應(yīng)為：縱5橫6縱8橫4縱6，從題目中所給出的信息找出對(duì)應(yīng)算籌表示為中的．故選：．【點(diǎn)睛】本題主要考查學(xué)生的合情推理與演繹推理，屬于基礎(chǔ)題．7．C【解析】

對(duì)函數(shù)求導(dǎo)，對(duì)a分類討論，分別求得函數(shù)的單調(diào)性及極值，結(jié)合端點(diǎn)處的函數(shù)值進(jìn)行判斷求解.【詳解】∵，.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞增，不合題意.當(dāng)時(shí)，，在上單調(diào)遞減，也不合題意.當(dāng)時(shí)，則時(shí)，，在上單調(diào)遞減，時(shí)，，在上單調(diào)遞增，又，所以在上有兩個(gè)零點(diǎn)，只需即可，解得.綜上，的取值范圍是.故選C.【點(diǎn)睛】本題考查了利用導(dǎo)數(shù)解決函數(shù)零點(diǎn)的問題，考查了函數(shù)的單調(diào)性及極值問題，屬于中檔題．8．D【解析】

確定中前35項(xiàng)里兩個(gè)數(shù)列中的項(xiàng)數(shù)，數(shù)列中第35項(xiàng)為70，這時(shí)可通過比較確定中有多少項(xiàng)可以插入這35項(xiàng)里面即可得，然后可求和．【詳解】時(shí)，，所以數(shù)列的前35項(xiàng)和中，有三項(xiàng)3，9，27，有32項(xiàng)，所以．故選：D．【點(diǎn)睛】本題考查數(shù)列分組求和，掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列前項(xiàng)和公式是解題基礎(chǔ)．解題關(guān)鍵是確定數(shù)列的前35項(xiàng)中有多少項(xiàng)是中的，又有多少項(xiàng)是中的．9．B【解析】

根據(jù)函數(shù)的一個(gè)零點(diǎn)是，得出，再根據(jù)是對(duì)稱軸，得出，求出的最小值與對(duì)應(yīng)的，寫出即可求出其單調(diào)增區(qū)間.【詳解】依題意得，，即，解得或（其中，）.①又，即（其中）.②由①②得或，即或（其中，，），因此的最小值為.因?yàn)椋裕ǎ?又，所以，所以，令（），則（）.因此，當(dāng)取得最小值時(shí)，的單調(diào)遞增區(qū)間是（）.故選：B【點(diǎn)睛】此題考查三角函數(shù)的對(duì)稱軸和對(duì)稱點(diǎn)，在對(duì)稱軸處取得最值，對(duì)稱點(diǎn)處函數(shù)值為零，屬于較易題目.10．C【解析】

根據(jù)題目所給圖像，填寫好表格，由表格數(shù)據(jù)選出正確選項(xiàng).【詳解】根據(jù)雷達(dá)圖得到如下數(shù)據(jù)：數(shù)學(xué)抽象邏輯推理數(shù)學(xué)建模直觀想象數(shù)學(xué)運(yùn)算數(shù)據(jù)分析甲454545乙343354由數(shù)據(jù)可知選C.【點(diǎn)睛】本題考查統(tǒng)計(jì)問題，考查數(shù)據(jù)處理能力和應(yīng)用意識(shí).11．D【解析】

直接利用二倍角余弦公式與弦化切即可得到結(jié)果．【詳解】∵，∴，故選D【點(diǎn)睛】本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：三角函數(shù)關(guān)系式的恒等變變換，同角三角函數(shù)關(guān)系式的應(yīng)用，主要考查學(xué)生的運(yùn)算能力和轉(zhuǎn)化能力，屬于基礎(chǔ)題型．12．B【解析】

根據(jù)拋物線中過焦點(diǎn)的兩段線段關(guān)系，可得；再由基本不等式可求得的最小值．【詳解】由拋物線標(biāo)準(zhǔn)方程可知p=2因?yàn)橹本€l過拋物線的焦點(diǎn)，由過拋物線焦點(diǎn)的弦的性質(zhì)可知所以因?yàn)闉榫€段長(zhǎng)度，都大于0，由基本不等式可知，此時(shí)所以選B【點(diǎn)睛】本題考查了拋物線的基本性質(zhì)及其簡(jiǎn)單應(yīng)用，基本不等式的用法，屬于中檔題．二、填空題：本題共4小題，每小題5分，共20分。13．240【解析】

利用二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式，令x的指數(shù)等于3，計(jì)算展開式中含有項(xiàng)的系數(shù)即可.【詳解】由題意得：，只需，可得，代回原式可得，故答案：240.【點(diǎn)睛】本題主要考查二項(xiàng)式展開式的通項(xiàng)公式及簡(jiǎn)單應(yīng)用，相對(duì)不難.14．2【解析】

設(shè)切點(diǎn)由已知可得,即可解得所求.【詳解】設(shè)，因?yàn)?，所以，即，又?所以，即，.故答案為:.【點(diǎn)睛】本題考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義,考查函數(shù)與方程思想、轉(zhuǎn)化與化歸思想,考查邏輯推理能力、運(yùn)算求解能力,難度較易.15．1【解析】

根據(jù)二項(xiàng)式定理求出，然后再由二項(xiàng)式定理或多項(xiàng)式的乘法法則結(jié)合組合的知識(shí)求得系數(shù)．【詳解】由題意，．∴的展開式中的系數(shù)為．故答案為：1．【點(diǎn)睛】本題考查二項(xiàng)式定理，掌握二項(xiàng)式定理的應(yīng)用是解題關(guān)鍵．16．-2【解析】

表示該二項(xiàng)式的展開式的第r+1項(xiàng)，令其指數(shù)為3，再代回原表達(dá)式構(gòu)建方程求得答案.【詳解】該二項(xiàng)式的展開式的第r+1項(xiàng)為令，所以，則故答案為：【點(diǎn)睛】本題考查由二項(xiàng)式指定項(xiàng)的系數(shù)求參數(shù)，屬于簡(jiǎn)單題.三、解答題：共70分。解答應(yīng)寫出文字說(shuō)明、證明過程或演算步驟。17．（1）見解析；（2）【解析】

（1）先證明四邊形是菱形,進(jìn)而可知,然后可得到平面,即可證明平面平面;（2）記AC,BE的交點(diǎn)為O,再取FG的中點(diǎn)P.以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以射線OB,OC,OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,分別求出平面ABF和DBF的法向量,然后由,可求出二面角的余弦值,進(jìn)而可求出二面角的正弦值.【詳解】（1）證明：因?yàn)辄c(diǎn)為的中點(diǎn),,所以,因?yàn)?所以,所以四邊形是平行四邊形,因?yàn)?所以平行四邊形是菱形,所以,因?yàn)槠矫嫫矫?且平面平面,所以平面.因?yàn)槠矫?所以平面平面.（2）記AC,BE的交點(diǎn)為O,再取FG的中點(diǎn)P.由題意可知AC,BE,OP兩兩垂直,故以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn),以射線OB,OC,OP分別為x軸、y軸、z軸的正半軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.因?yàn)榈酌鍭BCD是等腰梯形,,所以四邊形ABCE是菱形，且,所以,則,設(shè)平面ABF的法向量為,則,不妨取,則,設(shè)平面DBF的法向量為,則,不妨取,則,故.記二面角的大小為,故.【點(diǎn)睛】本題考查了面面垂直的證明,考查了二面角的求法,利用空間向量求平面的法向量是解決空間角問題的常見方法,屬于中檔題.18．（1）；（2）.【解析】

（1）利用正弦定理將目標(biāo)式邊化角，結(jié)合倍角公式，即可整理化簡(jiǎn)求得結(jié)果；（2）由面積公式，可以求得，再利用余弦定理，即可求得，結(jié)合即可求得周長(zhǎng).【詳解】（1）由題設(shè)得.由正弦定理得∵∴，所以或.當(dāng)，（舍）故，解得.（2），從而.由余弦定理得.解得.∴.故三角形的周長(zhǎng)為.【點(diǎn)睛】本題考查由余弦定理解三角形，涉及面積公式，正弦的倍角公式，應(yīng)用正弦定理將邊化角，屬綜合性基礎(chǔ)題.19．（1）見解析（2）見解析【解析】

(1)連接AC、BD交于點(diǎn)O,交EF于點(diǎn)H,連接GH,再證明即可.(2)證明與即可.【詳解】（1）連接AC、BD交于點(diǎn)O,交EF于點(diǎn)H,連接GH,所以O(shè)為AC的中點(diǎn),H為OC的中點(diǎn),由E、F為DC、BC的中點(diǎn),再由題意可得,所以在三角形CAS中,平面EFG,平面EFG,所以直線平面EFG.（2）在中,,,,由余弦定理得,,即,解得,由勾股定理逆定理可知,因?yàn)閭?cè)面底面ABCD,由面面垂直的性質(zhì)定理可知平面ABCD,所以,因?yàn)榈酌鍭BCD是菱形,所以,因?yàn)?所以平面SDB.【點(diǎn)睛】本題考查線面平行與垂直的證明.需要根據(jù)題意利用等比例以及余弦定理勾股定理等證明.屬于中檔題.20．（Ⅰ）分布列見解析，；(Ⅱ)；(Ⅲ)至少增加2人.【解析】

（Ⅰ）求出X的所有可能取值為9，12，15，18，24，求出概率，得到X的分布列，然后求解期望即可．（Ⅱ）當(dāng)P（a≤X≤b）取到最大值時(shí)，求出a，b的可能值，然后求解P（a≤X≤b）的最大值即可．（Ⅲ）利用前兩問的結(jié)果，判斷至少增加2人．【詳解】(Ⅰ)X的取值為：9，12，15，18，24；,,,,，X的分布列為：X912151824P故X的數(shù)學(xué)期望；(Ⅱ)當(dāng)P(a≤X≤b)取到最大值時(shí),a,b的值可能為：,或,或.經(jīng)計(jì)算,