浙江省衢州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期6月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題含解析

PAGE23-浙江省衢州市2024-2025學(xué)年高二數(shù)學(xué)下學(xué)期6月教學(xué)質(zhì)量檢測(cè)試題（含解析）一、選擇題：（本大題共10小題，每題4分，共40分，每個(gè)小題只有一個(gè)選項(xiàng)符合題意，多選、不選均不給分．）1.已知集合，則A∩B＝（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】依據(jù)交集的定義計(jì)算．【詳解】由題意．故選：C．【點(diǎn)睛】本題考查集合的交集運(yùn)算，屬于簡(jiǎn)潔題．2.雙曲線的漸近線方程為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】依據(jù)雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程得，然后可得漸近線方程．【詳解】由已知，∴漸近線方程為，即．故選：B．【點(diǎn)睛】本題考查求雙曲線的漸近線方程，屬于基礎(chǔ)題．3.“”是“”的（）A.充分不必要條件 B.必要不充分條件C.充要條件 D.既不充分也不必要條件【答案】B【解析】【分析】利用集合法推斷.【詳解】因?yàn)樗浴啊笔恰啊钡谋匾怀浞謼l件，故選：B【點(diǎn)睛】本題主要考查邏輯條件的推斷，還考查了理解辨析的實(shí)力，屬于基礎(chǔ)題.4.將函數(shù)的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度后，所得函數(shù)圖象的解析式為（）A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】利用由函數(shù)沿著軸向左平移個(gè)單位時(shí)“左加”，向右平移個(gè)單位時(shí)“右減”，即可得函數(shù)的圖象規(guī)律可得解.【詳解】的圖象向右平移個(gè)單位長(zhǎng)度，則故選:D【點(diǎn)睛】本題考查了三角函數(shù)的圖象變換，重點(diǎn)考查學(xué)生對(duì)三角函數(shù)圖象變換規(guī)律的理解與駕馭，能否正確處理先周期變換后相位變換這種狀況下圖象的平移問題，反映學(xué)生對(duì)所學(xué)學(xué)問理解的深度.5.已知變量x，y滿意約束條件，則z＝2x＋y的最小值為（）A.14 B.8 C.6 D.4【答案】C【解析】【分析】作出可行域，為直線的縱截距，數(shù)形結(jié)合求出最小值.【詳解】作出可行域如圖所示：目標(biāo)函數(shù)轉(zhuǎn)化為直線，為直線的縱截距，，則，數(shù)形結(jié)合可知當(dāng)直線過點(diǎn)時(shí)取得最小值為.故選：C【點(diǎn)睛】本題考查簡(jiǎn)潔的線性規(guī)劃問題，屬于基礎(chǔ)題.6.某四棱錐的三視圖如圖所示，則該四棱錐的表面積為（）A. B. C. D.【答案】A【解析】把該三視圖還原成直觀圖后的幾何體是如圖的四棱錐，紅色線四棱錐A-BCDE為三視圖還原后的幾何體，其表面積為.選A.點(diǎn)睛：(1)解決本類題目的關(guān)鍵是精確理解幾何體的定義，真正把握幾何體的結(jié)構(gòu)特征，可以依據(jù)條件構(gòu)建幾何模型，在幾何模型中進(jìn)行推斷；(2)解決本類題目的技巧：三棱柱、四棱柱、三棱錐、四棱錐是常用的幾何模型，有些問題可以利用它們舉特例解決或者學(xué)會(huì)利用反例對(duì)概念類的命題進(jìn)行辨析．7.已知常數(shù)，則的圖象可能是（）A. B.C. D.【答案】D【解析】【分析】依據(jù)a的范圍推斷出當(dāng)時(shí)，可解除B、C，再推斷當(dāng)時(shí)y的符號(hào)即可選出答案.【詳解】因?yàn)?，所以?dāng)時(shí)，，解除B、C；當(dāng)時(shí)，，解除A選D.故選：D【點(diǎn)睛】本題考查函數(shù)圖象的判別，屬于基礎(chǔ)題.8.若存在實(shí)數(shù)，使得函數(shù)有三個(gè)零點(diǎn)，則滿意要求的實(shí)數(shù)的個(gè)數(shù)為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】令，得出，轉(zhuǎn)化為曲線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，分曲線的左支、右支分別與拋物線相切，以及曲線過原點(diǎn)三種狀況探討，數(shù)形結(jié)合可求得實(shí)數(shù)的值.【詳解】令，得出，則曲線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，①若，，如下圖所示，若使得曲線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則直線與拋物線相切，聯(lián)立，可得，，解得；②當(dāng)時(shí)，若使得曲線與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，同理可得；③當(dāng)時(shí)，令，即，解得或，合乎題意.綜上所述，滿意條件的值有個(gè).故選：C.【點(diǎn)睛】本題考查利用函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)求參數(shù)，解答關(guān)鍵就是抓住直線與曲線相切的臨界位置進(jìn)行分析，考查數(shù)形結(jié)合思想的應(yīng)用，屬于中等題.9.在底面為銳角三角形的直三棱柱中，是棱的中點(diǎn)，記直線與直線所成角為，直線與平面所成角為，二面角平面角為，則（）A. B. C. D.【答案】A【解析】【分析】設(shè)三棱柱是棱長(zhǎng)為的正三棱柱，是棱的中點(diǎn)，以為原點(diǎn)，在平面中，過作的垂線為軸，為軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法和空間夾角公式分別求出，和，即可比較出的大小.【詳解】解：由題可知，直三棱柱的底面為銳角三角形，是棱的中點(diǎn)，設(shè)三棱柱是棱長(zhǎng)為的正三棱柱，以為原點(diǎn)，在平面中，過作的垂線為軸，軸，為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，，，，，直線與直線所成的角為，，，直線與平面所成的角為，，平面的法向量，，，設(shè)平面的法向量，則，取，得，二面角的平面角為，由圖可知，為銳角，即，，，由于在區(qū)間上單調(diào)遞減，，則.故選：A.【點(diǎn)睛】本題考查利用空間向量法求異面直線所成的角、線面角、面面角，考查了計(jì)算求解實(shí)力，屬于中檔題.10.已知數(shù)列中，，若對(duì)于隨意的，不等式恒成立，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（）A. B.C. D.【答案】B【解析】【分析】先依據(jù)題意，對(duì)原式進(jìn)行化簡(jiǎn)可得，然后利用累加法求得，然后不等式恒成立轉(zhuǎn)化為恒成立，再利用函數(shù)性質(zhì)解不等式即可得出答案.【詳解】由題，即由累加法可得：即對(duì)于隨意的，不等式恒成立即令可得且即可得或故選B【點(diǎn)睛】本題主要考查了數(shù)列的通項(xiàng)的求法以及函數(shù)的性質(zhì)的運(yùn)用，屬于綜合性較強(qiáng)的題目，解題的關(guān)鍵是能夠由遞推數(shù)列求出通項(xiàng)公式和后面的轉(zhuǎn)化函數(shù)，屬于難題.二、填空題：（本大題共7小題，多空題每空3分，單空題每題4分，共36分．）11.直線的斜率為________，傾斜角為________【答案】(1).(2).【解析】【分析】由直線的一般方程的斜率可得，由可得傾斜角.【詳解】，，故答案為：；【點(diǎn)睛】本題考查直線的斜率與傾斜角.屬于基礎(chǔ)題.這類題留意直線傾斜角的范圍是，而這個(gè)區(qū)間不是正切函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，因此假如依據(jù)斜率求傾斜角的范圍時(shí)，要分與兩種狀況探討．12.已知向量，若，則m＝________；若，則m＝________【答案】(1).(2).4【解析】【分析】當(dāng)時(shí)，解方程即得解；當(dāng)時(shí)，解方程即得解.【詳解】因?yàn)?，所?因?yàn)椋?故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查向量平行垂直的坐標(biāo)表示，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平.13.十六、十七世紀(jì)之交，隨著天文、航海、工程、貿(mào)易及軍事的發(fā)展，改進(jìn)數(shù)字計(jì)算方法成了當(dāng)務(wù)之急，約翰·納皮爾正是在探討天文學(xué)的過程中，為了簡(jiǎn)化其中的計(jì)算而獨(dú)創(chuàng)了對(duì)數(shù)，后來天才數(shù)學(xué)家歐拉發(fā)覺了對(duì)數(shù)與指數(shù)的關(guān)系，即．現(xiàn)已知，則________，________【答案】(1).(2).1【解析】【分析】依據(jù)題意將a，b表示為對(duì)數(shù)式，依據(jù)對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及換底公式化簡(jiǎn)求值.【詳解】，，；.故答案為：；1【點(diǎn)睛】本題考查指數(shù)式與對(duì)數(shù)式的互化、對(duì)數(shù)運(yùn)算性質(zhì)及換底公式，屬于基礎(chǔ)題.14.已知△ABC中，AB＝BC＝4，AC＝2，點(diǎn)D為AB延長(zhǎng)線上一點(diǎn)，BD＝2，連接CD，則CD＝________，的面積為________【答案】(1).(2).【解析】【分析】利用余弦定理求得，由此求得，再由余弦定理求得.求得，結(jié)合三角形面積公式求得的面積.【詳解】在三角形中，，所以，在三角形中，由余弦定理得.，所以.故答案為：；【點(diǎn)睛】本小題主要考查余弦定理解三角形，考查三角形的面積公式，屬于中檔題.15.已知橢圓上有一點(diǎn)，F(xiàn)為右焦點(diǎn)，B為上頂點(diǎn)，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，且，則橢圓C的離心率為________【答案】【解析】【分析】由題意可得直線的方程，求出到直線的距離，且求出的值，求出的面積及的面積，再由題意可得，的關(guān)系，進(jìn)而求出橢圓的離心率．【詳解】由題意可得直線的方程為：，即，所以到直線的距離，因?yàn)?，所以，而，因?yàn)椋?，整理可得：，整理可得，解得，故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查橢圓的簡(jiǎn)潔幾何性質(zhì)和橢圓離心率的計(jì)算，考查直線和橢圓的位置關(guān)系，考查三角形面積的計(jì)算，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平.16.已知且，則的最小值為________【答案】【解析】【分析】先由題得，再得到即得解.【詳解】當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)取到最小值.故答案為：【點(diǎn)睛】本題主要考查肯定值三角不等式的應(yīng)用，考查基本不等式求最值，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平.17.當(dāng)時(shí)，不等式恒成立，則a的取值范圍是________【答案】【解析】【分析】利用換元法構(gòu)成新函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)，分類探討，依據(jù)新函數(shù)的單調(diào)性和取特別值法，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.【詳解】令，所以有，化簡(jiǎn)得：設(shè)函數(shù)，原問題等價(jià)于在時(shí)恒成立，，當(dāng)時(shí)，，因此當(dāng)時(shí)，單調(diào)遞增，要想在時(shí)恒成立，只需，解得，而，所以；當(dāng)時(shí)，，因?yàn)?，所以，故不成立，明顯此時(shí)在時(shí)不恒成立，綜上所述：故答案為；【點(diǎn)睛】本題考查了已知不等式恒成立利用導(dǎo)數(shù)求參數(shù)取值范圍，考查了數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力.三、解答題：（本大題共5小題，共74分，解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．）18.已知角α的頂點(diǎn)與原點(diǎn)O重合，始邊與x軸的非負(fù)半軸重合，它的終邊過點(diǎn)P（－4，3）．（1）求cosα的值；（2）若角β滿意sin（α－β）＝，求sinβ的值．【答案】（1）；（2）或.【解析】【分析】（1）利用三角函數(shù)的坐標(biāo)定義求cosα的值；（2）求出，，再依據(jù)化簡(jiǎn)求值得解.【詳解】解：（1）∵角α終邊過點(diǎn)，，，所以；（2）∵為其次象限角，，∴．∵，∴，∴∴或．【點(diǎn)睛】本題主要考查三角函數(shù)的坐標(biāo)定義，考查同角的平方關(guān)系的應(yīng)用，考查差角的正弦公式的應(yīng)用，意在考查學(xué)生對(duì)這些學(xué)問的理解駕馭水平.19.如圖，在三棱錐P—ABC中，PA⊥平面ABC，AC⊥BC，D為PC中點(diǎn)，E為AD中點(diǎn)，PA＝AC＝2，BC＝1．（1）求證：AD⊥平面PBC：（2）求PE與平面ABD所成角的正弦值．【答案】（1）證明見解析；（2）.【解析】【分析】（1）先通過線面垂直判定定理，得出平面PAC，所以，由等腰三角形的性質(zhì)可得，，可得最終結(jié)果.（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，求A，B，P，D，E點(diǎn)的坐標(biāo)，求平面ABD的法向量為，利用線面角的公式即可得出結(jié)果.【詳解】（1）證明：∵平面ABC，∴又因?yàn)椋嗥矫鍼AC，∴．∵，D為PC中點(diǎn)，∴，又∵，∴平面PBC；（2）以C為坐標(biāo)原點(diǎn)建立如圖空間直角坐標(biāo)系，，，∴，，∴，，．設(shè)平面ABD的法向量為，則，令，則，得．設(shè)PE與平面ABD所成角為，則．【點(diǎn)睛】本題考查了線面平行的判定定理、線面角等基本學(xué)問，考查了空間想象實(shí)力、數(shù)學(xué)運(yùn)算實(shí)力和邏輯推理實(shí)力，轉(zhuǎn)化的數(shù)學(xué)思維，屬于中檔題目.20.設(shè)數(shù)列的前n項(xiàng)和為（1）試求的值及數(shù)列的通項(xiàng)公式；（2）數(shù)列滿意：，記數(shù)列的前n項(xiàng)和為．求證：．【答案】（1）；；（2）證明見解析.【解析】【分析】（1）在已知等式中令可求得，已知等式中用代換（）得另一等式，兩式相減可得的遞推式，說明數(shù)列是等差數(shù)列，從而可得通項(xiàng)公式；（2）由（1）求出后有累加法求得，寫出和式，并用放縮法證得結(jié)論．【詳解】解：（1）由題意，因?yàn)椋?，∵，，∵，∴，∴?shù)列是等差數(shù)列，∴；（2），∴，，由累加法得．，，∴．【點(diǎn)睛】本題考查由與的關(guān)系式求通項(xiàng)公式，考查證明數(shù)列不等式，考查用累加法求通項(xiàng)公式，用放縮法證明數(shù)列不等式，本題屬于中檔題．21.如圖，拋物線焦點(diǎn)為F（1，0），E是拋物線的準(zhǔn)線與x軸的交點(diǎn)，直線AB經(jīng)過焦點(diǎn)F且與拋物線交于A，B兩點(diǎn)，直線AE，BE分別交y軸于M，N兩點(diǎn)，記，的面積分別為．（1）求拋物線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；（2）是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由；（3）求的最小值．【答案】（1）；（2）是定值，4；（3）5.【解析】【分析】（1）由焦點(diǎn)坐標(biāo)得焦參數(shù)后可得拋物線方程；（2）由于直線AB的斜率不行能為0，故可設(shè)，代入拋物線方程整理后得一元二次方程，設(shè)，，則，．由計(jì)算和，并計(jì)算可得定值；（3）在（2）基礎(chǔ)上，由點(diǎn)坐標(biāo)求出點(diǎn)坐標(biāo)，同理得坐標(biāo)，得（仍舊代入），這樣可用表示，換元設(shè)（），利用函數(shù)的單調(diào)性可得最小值．【詳解】解：（1）∵拋物線的焦點(diǎn)為，∴，∴拋物線方程為；（2）由已知可得，，由于直線AB的斜率不行能為0，故可設(shè)，聯(lián)立，消去x并整理得：，設(shè)，，則，．所以，，而，所以（定值）；（3）直線，可得，同理，∴，即，∴，令則，由對(duì)勾函數(shù)的性質(zhì)知在上是增函數(shù)，在上是增函數(shù)，所以時(shí)，，此時(shí)．故的最小值是5，此時(shí)直線軸．【點(diǎn)睛】本題考查求拋物線的方程，考查直線與拋物線相交，直線與拋物線相交中的定值與最值問題的解題方法是“設(shè)而不求”的思想方法，設(shè)直線方程（是參數(shù)，下面全部量都用表示并求解），設(shè)交點(diǎn)為，直線方程代入拋物線方程整理后應(yīng)用韋達(dá)定理得，然后用兩點(diǎn)坐標(biāo)求出面積，線段長(zhǎng)度后代入轉(zhuǎn)化為的表達(dá)式后可求解．22.已知函數(shù)（1）若，求函數(shù)的零點(diǎn)；（2）若不存在相異實(shí)數(shù)、，使得成立．求實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）若對(duì)隨意實(shí)數(shù)，總存在實(shí)數(shù)、，使得成立，求實(shí)數(shù)的最大值．【答案】（1）零點(diǎn)分別是：、、；（2）；（3）.【解析】【分析】（1）解方程即可得出函數(shù)的零點(diǎn)；（2）將函數(shù)的解析式表示為分段函數(shù)的形式，對(duì)實(shí)數(shù)分、、三種狀況探討，分析函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性，結(jié)合題中結(jié)論可求得實(shí)數(shù)的取值范圍；（3）由題意可得，對(duì)實(shí)數(shù)分、、三種狀況探討，分析函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)性，求得函數(shù)在區(qū)間上的最大值和最小