導(dǎo)數(shù)壓軸題中的虛設(shè)零點,整體代換講義 高三數(shù)學(xué)二輪專題復(fù)習(xí)

導(dǎo)數(shù)壓軸題中的虛設(shè)零點,整體代換對于導(dǎo)數(shù)壓軸試題中的導(dǎo)函數(shù)零點不可求問題,經(jīng)常虛設(shè)零點,整體代換,可以化繁為簡,化抽象為具體,順利實現(xiàn)轉(zhuǎn)化.本文以幾道導(dǎo)數(shù)壓軸試題進行說明.例1.已知函數(shù),且.(1)求;(2)證明:存在唯一的極大值點,且.解析:(1),過程略.(2),.,.令得.當時,,在上單調(diào)遞減;當時,,在上單調(diào)遞增;有最小值.結(jié)合,畫出的大致圖像,如圖(1)所示. 圖(1)可知存在一個零點,設(shè)為.即,.當時,,在上單調(diào)遞增;當時,,在上單調(diào)遞減.當時,,在上單調(diào)遞增;故函數(shù)存在唯一的極大值點.由,可得.故.令,.由得在上單調(diào)遞增,則有,即.綜合上述分析有存在唯一的極大值點,且.簡評:的零點不可求,但是考查其單調(diào)性以及特殊值,結(jié)合零點存在性定理可知存在隱零點,隱零點的區(qū)間為,且將替換成為,如此一來解題過程不僅嚴密,而且思路自然流暢,一氣呵成.本道高考試題充分體現(xiàn)了虛設(shè)零點,整體代換的強大作用.例2.討論函數(shù)的單調(diào)性,并證明當時,.證明:當時,函數(shù)()有最小值.設(shè)的最小值為,求函數(shù)的值域.解析:(1),,在和上單調(diào)遞增.顯然,,所以當時,,即,故有.,,.令.由第(1)步在上單調(diào)遞增可得在上單調(diào)遞增.又,,故存在唯一的,使得,即,故.當時,,在上單調(diào)遞減;當時,,在上單調(diào)遞增.故,此即為.令,.由可知在單調(diào)遞增,故有,即.簡評:的零點不可求,但是考查其單調(diào)性以及特殊值,結(jié)合零點存在性定理可知存在隱零點,隱零點的區(qū)間為,且將替換成為,順利實現(xiàn)轉(zhuǎn)化.例3.已知函數(shù).證明:當時,.證明:,.當時,在上單調(diào)遞增,且只有一個零點,設(shè)為.即.當時,,在上單調(diào)遞減;當時,,在上單調(diào)遞增.故.由得,,,,化簡得.故.故,即當時,.簡評:的零點不可求,但是考查其單調(diào)性以及和的圖像關(guān)系可知存在隱零點,隱零點的區(qū)間為,且將替換成為,將替換成為,順利實現(xiàn)轉(zhuǎn)化.例4.已知函數(shù),(1)略.(2)當時,求證:.證明:.當時,,,,.故只需證.令,,在上單調(diào)遞增.由,,可知存在,使得.當時,,在上單調(diào)遞減;當時,,在上單調(diào)遞增.故.由得,,即,.則.故,則當時,.簡評:的零點不可求,但是考查其單調(diào)性以及特殊值,結(jié)合零點存在性定理可知存在隱零點,隱零點的區(qū)間為,且將替換成為,將替換成為,順利實現(xiàn)轉(zhuǎn)化.通過上述幾道試題的分析,不難發(fā)現(xiàn)全國卷高考試題偏愛此類導(dǎo)函數(shù)零點不可求問題.對于導(dǎo)函數(shù)零點不可求的問題,在虛設(shè)零點,整體代換的過程中必須把握好兩個原則.原則一:在虛設(shè)零點的過程中,對隱零點的估值區(qū)間要盡量縮小.原則二:在整體代換的過程中,要把握好用什么樣的式子代替什么樣的式子(其依據(jù)是使得計算簡潔,解題過程流暢).如果忽略了這兩個原則,不僅會使得解題過程較為繁瑣,甚至?xí)贸鲥e誤結(jié)果.練習(xí)1:已知函數(shù),若存在實數(shù),使得成立,求整數(shù)的最小值.解析:由已知有.令,只需.,,在上單調(diào)遞增.由,,可知存在,使得.當時,,在上單調(diào)遞減;當時,,在上單調(diào)遞增.故.由得,,即.則.當時,,則.故整數(shù)的最小值為0.練習(xí)2:已知函數(shù),證明:當時,不等式.證明:,.由,得在上單調(diào)遞增.又,,根據(jù)零點存在定理可知,