高中數(shù)學同步指導試卷蘇教版（2019）必修第二冊解三角形1

高中數(shù)學同步指導試卷蘇教版（2019）必修第二冊解三角形

一、單選題

1.如圖，某市人民廣場正中央有一座鐵塔，為了測量塔高AB,某人先在塔的正西方

點C處測得塔項的仰角為45°,然后從點C處沿南偏東30。方向前進60m到達點D

處，在。處測得塔項的仰角為30。，則鐵塔4B的高度是（）

C.25mD.15m

2.我國南宋時期著名的數(shù)學家秦九韶在其著作《數(shù)書九章》中獨立提出了一種求三角

形面積的方法“三斜求積術”，即AABC的面積S=￡,其中

VlsinB

dc分別為AABC的內(nèi)角A,8,C的對邊，若6=1,且tanC=則的

1-\/2cosB

面積的最大值為（）

V2V3

A.B.也C.D.6

22

若/=/+/+而，

3.在△ABC中,則NC二（).

A.60°B.120°C.135°D.150°

4.東寺塔和西寺塔為昆明市城中古景，分別位于昆明市南面的書林街和東寺街，一東

一西隔街相望，距今已有1100多年歷史，在二月的梅花和煙雨中，"雙塔煙雨成為明

清時的“昆明八景”之一.東寺塔基座為正方形，塔身有13級，塔頂四角立有四只銅皮做

成的鳥，俗稱金雞，所以也有“金雞塔”之稱.如圖，從東到西的公路上有相距80（單

位：m）的A3兩個觀測點，在A點測得塔在北偏東60。的點。處，在5點測得塔在北

偏西30。，塔頂C的仰角為45。，則塔的高度8約為（

c

A.40mB.37mC.35mD.23m

5.AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,c2+b2cos2A=2bccosA,則

△ABC為（

A.等腰非等邊三角形B.直角三角形

C.鈍角三角形D.等邊三角形

6.44SC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,已知

sinC+csinB=4asinBsinC,b2+c2-a2=8>則AABC的面積為()

A.正B.好

33

「2拒n2直

X_z.-----------\J.----------

33

7.設AABC的三個內(nèi)角A,民C滿足23=A+C,又sin28=sinAsinC,則這個三角形

的形狀是()

A.直角三角形B.等邊三角形

C.等腰直角三角形D.鈍角三角形

8.已知在銳角AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,A=g,則巴三幺的

3a

取值范圍是()

A.由]B.(0,3]C.[Q]D.序2

二、多選題

9.在AABC中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,則()

JI

A.若2cosC(acosB+bcosA)=c,則C=不

B.若2cosc(〃cosB+/7cosA)=c,則C==

6

c.若邊BC的高為也a,則當1+2取得最大值時，

6be3

D.若邊2C的高為3a,則當［+2取得最大值時，A=J

6be6

10.已知分別是△ABC三個內(nèi)角A民。的對邊，下列四個命題中正確的是

()

A.若△ABC是銳角三角形，則sinA>cosB

B.若々854=6以)5區(qū)，貝!J△ABC是等腰三角形

C.若bcosC+ccosB=Z?,則△ABC是等腰三角形

D.若AABC是等邊三角形，則二=々=三

cosAcosBcosC

11.在44BC中，角A、B、C的對邊分別是a,b,c且

sin(3+C)+2sinAcos8=0.若6=2,有下列說法：①8=三；②A的取值可以為：；

③AABC的面積沒有最小值；④AABC的面積的最大值為亞，其中正確說法為

3

()

A.①B.②C.③D.@

12.在AABC中，角A,B,C的對邊分別為。，b,c,則下列結論中正確的是

()

A.在銳角三角形ABC中，不等式加+。2一/>0恒成立

B.若tanA+tan8+tanC>0則AABC為銳角三角形

C.若acos2=bcosA+c,則AABC一定是直角三角形

D.若cos。］：宇，則AABC一定是銳角三角形

22c

第H卷(非選擇題)

請點擊修改第II卷的文字說明

三、填空題

13.如圖，在單位圓中，P(l,0),A/、N分別在單位圓的第一、二象限內(nèi)運動，若

S&PON=當,&WON為等邊三角形，貝Ijsin/POM=.

14.中，內(nèi)角A,B,C的對邊分別為。，b,c,若面積為還，。=120。，

2

且a+>=5,貝!Jc=.

2

15.在AABC中，cosC=§,AC=4,BC=3,則cosA=.

16.在AABC中，ZA=60°,AB=1,AC=2,則BC=.

四、解答題

17.在①sin8=gsinA;@bcosC+ccosB=2cosB；③csin8=2j5,這三個條件中

任選一個，補充在下面問題中.若問題中的三角形存在，求該三角形的周長；若問題中

的三角形不存在，請說明理由.設44BC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c,且

sinA+sin(B-A)=sinC,人=石，.

18.如圖，四邊形ABCD內(nèi)接于一個圓中，其中即為直徑，AB=4,BC=3,

兀

NABC=—.

3

(1)求BO的長；

⑵求△ACD的面積.

19.AABC的內(nèi)角A,B,C的對邊分別為a,b,c.已知c'+Z^cos2A=26ccosA.

⑴求A

(2),若問題中的三角形存在，試求出cosC；若問題中的三角形不存在，

請說明理由.

在①°=36+3c,?b=—a+—c,走”這三個條件中任選一個，補

332222

充在橫線上.

注：如果選擇多個條件分別解答，按第一個解答計分.

20.如圖，為測量河對岸A,B兩點的距離，在河的這邊取C,D兩點觀察，測得

CD=73km,ZADB=45°,ZADC=3O°,ZACB=15°,ZDCB=45。（A,B,C,D

在同一平面內(nèi)），求48兩點之間的距離.

21.如圖，已知。。的半徑為K,△他C為其內(nèi)接等邊三角形，求AABC的邊長和

的外接圓半徑.

22.如圖，一艘船以32.2nmile/h的速度向正北航行，在A處看燈塔S在船的北偏東

20。方向上，30min后航行到2處，在2處看燈塔S在船的北偏東60。方向上，求燈塔S

到B處的距離（精確到O.lnmile,參考數(shù)據(jù)：sin20°?0.342,sin40。20.643）.

20°

參考答案：

1.B

【解析】

【分析】

計算得到3c=〃，BD=43h,在△3CD中利用余弦定理計算得到答案.

【詳解】

設塔高AB的高度為/?,在RTAABC中，因為ZACB=45。，所以3C=〃；

在RTAABD中，因為NAD3=30。，所以=瓜;

在△BCD中，NBCD=60°,BC=h,BD=Qh,

根據(jù)余弦定理可得，BD2=BC2+CD2-2BC-CDCOS60°,

BP(V3/z)2=/i2+602-2/zx60x1,解得/?=30或/z=-60(舍去).

故選：B.

2.A

【解析】

【分析】

母sinB

先根據(jù)tanC=求出。關系，代入面積公式，利用二次函數(shù)的知識求解最值.

1-A/2COSB

【詳解】

及sinB

因為tanC=所以sinC=y/2sinCcosB+A/2COSCsinB,

l-V2cosB

即sinC=^2sin(C+B)=及sinA；

由正弦定理可得°=缶，所以S=J；a2c2_fb]]=；“+6/_]

=；/(。2—3)2+8；

當°=百時，S取到最大值巫.

2

故選：A.

3.B

【解析】

答案第1頁，共12頁

【分析】

結合余弦定理求得正確答案.

【詳解】

由d++加+ab,得"+”/=一血8SC="U=^T，

由于0°<C<180°,所以0=120。.

故選：B

4.A

【解析】

【分析】

根據(jù)給定信息作出圖形，在直角三角形中直接計算作答.

【詳解】

如1圖，依題意，ZCDB=ZCDA=90°,ZCBD=45,ZBAD=30,ZABD=60,

于是得ZADB=90°,BD=ABcosZABD=80cos600=40,在RtABC。中，

CD=BD=40,

所以塔的高度CD約為40m.

故選：A

5.B

【解析】

【分析】

由條件可得C=6COSA,由正弦定理結合三角形中有sinC=sin（A+8）,利用正弦的和角公

式可得sinAcosB=0,從而可得出答案.

【詳解】

由+（0cosA）~—2c6cosA=0,可得（c—6cosA）~=0,所以c=）cosA,

所以sinC=cosAsin/?.

答案第2頁，共12頁

在△ABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,故sinAcosJ5=0,

TT

因為sinAwO,所以cos3=0,因為0<3(兀，所以8=耳，

故44BC為直角三角形.

故選：B

6.C

【解析】

【分析】

根據(jù)已知條件加111。+。51113=445也3$111。結合正弦定理邊化角可得$1114,結合

b2+c2-a2=8和余弦定理可得cosA和加，根據(jù)三角形面積公式［besinA可得面積.

2

【詳解】

*.*bsinC+csinB=4asinBsinC,sinBsinC>0,

結合正弦定理可得sinBsinC+sinCsinB=4sinAsinBsinC,

可得sinA=g,："+。2_。2=8,

結合余弦定理a?=b2+c2-2bccosA可得2〃ccosA=8,

為銳角，且cosA=且，從而求得兒=還，

23

AABC的面積為5=工兒$出4=’?述」=馬叵.

22323

故選：C.

7.B

【解析】

【分析】

TT

根據(jù)給定條件可得2=9，再利用正弦定理角化邊，借助余弦定理計算判斷作答.

【詳解】

__TT

因AABC的三個內(nèi)角A+3+C=;r,而23=A+C,則8=§,

又sin23=sinAsinC,由正弦定理得：護=ac,

由余弦定理廿=儲+c?—2accosB得：ac—a2+c2—ac>整理得(a-c)2=0,即。=c,

△ABC是等腰三角形，

所以AABC是等邊三角形.

答案第3頁，共12頁

故選：B

8.D

【解析】

【分析】

由正弦定理把b,c,"J表示為B的函數(shù)，然后利用二倍角公式，兩角和與差的余弦公式

a"

變形，并結合余弦函數(shù)性質(zhì)得范圍.

【詳解】

由正弦定理得一==—,則人=3&451113,c=N^~asinC,又A=f,貝!J

sinAsin6sine333

A2+24?

所以——r=-(sin25+sin2C)=—(1—cos23+1—cos2C)

a33

=---cos2B+-(-cos2B+—sin2B)=---(-cos2B--sin2B)=---cos(2B+-),

333223322333

Ti71-..27r_7147r-.,TC?1

—<5<—，所rr以丁<23+；<下，所rr以-iW1cos128O+7|<—彳，

62333Vi)2

5b1+c2c

所CCH以I一<——<2.

3a2

故選：D.

9.AC

【解析】

【分析】

根據(jù)正弦正理、三角形面積公式，結合余弦定理和輔助角公式進行判斷即可.

【詳解】

因為在AABC中，0<C<兀，所以sinC/)對于A,B,利用正弦定理得2cosc(sinAcos3+

sinBcosA)=sinC,整理得2cosCsin(A+B)=sinC,即2cosCsin[^—(A+B)]=sinC,

17T

BP2cosC-sinC=sinC,又sin。/),所以cosC=不，所以。=—,故A正確，B錯誤.

23

對于C,D,由等面積法得;xKZ〃2=JbcsinA,所以〃2=2上匕csinA,

262

又〃+/=/+2/JCCOSA=26bcsinA+2Z?c-cosA,

答案第4頁，共12頁

則9+2=匕￡1=2岔sinA+2cosA=4sin（A+工）W4,當且僅當A+[=2+2而，k^Z,

bebe662

TTchTC

即4=丁+2版，kez時，—H—取得最大值4,又0<4<兀，所以&=丁.故C正確，D錯誤.

3be3

故選：AC

10.ACD

【解析】

【分析】

利用誘導公式及正弦函數(shù)的性質(zhì)可判斷A,由正弦定理化邊為角結合正弦的二倍角公式可

判斷B,由正弦定理化邊為角，逆用兩角和的正弦公式可判斷C,利用正弦定理化邊為角

結合同角三角函數(shù)基本關系可判斷D.

【詳解】

對于A,因為AABC是銳角三角形，所以A+^W，所以sinA>sin[T，即

sinA>cosB,故A正確；

對于B,由acosA=〃cos5及正弦定理，可得sinAcosA=sin5cos5,即sin2A=sin25,

TT

所以2A=23或2A+23=?,所以A=3或A+3=,,所以AABC是等腰三角形或直角三

角形，故B錯誤；

對于C,由匕85。+。858=/?及正弦定理化邊為角，可知5也385。+$111。8$3=$1113,

即sinA=sinB,因為48為AABC的內(nèi)角，所以A=5,所以AABC是等腰二角形，故C正

確;

對于D,由AABC是等邊三角形，所以A=B=C,所以tanA=tan3=tanC,由正弦定理

a_b_c

,故D正確.

cosAcosBcosC

故選：ACD.

11.BCD

【解析】

【分析】

9元一

根據(jù)已知條件結合Be（0,兀）可得8=（兀可判斷①；由0<4<三可判斷②；由余弦定理結合

基本不等式求出ac的范圍，再由三角形的面積公式計算面積可判斷③④，進而可得正確選

項.

【詳解】

答案第5頁，共12頁

由sin(B+C)+2sinAcosB=0,得sinA+2sinAcos3=0,即sinA-(l+2cos3)=0,

17

因為sinAwO,所以l+2cos5=0,即cos3=-],又因為Be(O,兀)，所以5=§兀，故①不

正確；

因為A+C=7i-5=所以0<A<],故A的取值可以為：，故②正確；

由余弦定理可得〃=a2+c2-2accosB=a2+c2—=a2+c2+ac>lac+ac=3ac,

所以=所以S^c=—CICsinB=-x^-ac<^-x—=^-,

33aABC222433

即AABC面積的最大值是"，無最小值.故③，④正確；

3

故選：BCD.

12.ABC

【解析】

【分析】

直接利用三角函數(shù)關系式的變換，正弦定理余弦定理和三角形面積公式的應用進一步判定

結果.

【詳解】

解：對于A：若44BC為銳角三角形，則A為銳角，所以cosA>0,由余弦定理

7,2,?2_?2

cosA=--------->0,所以故A正確；

2bc

-rr

對于B：假設AABC為鈍角三角形，不妨設A>3，則tanA<0,

?：A+B+C=TI,

/.tanA+tanB+tanC=tanA+tan(B+C)(l-tanBtanC)=tanA+(-tanA)(l-tanBtanC)=tanAtanBtanC<0

與題設tanAtanBtanC>0矛盾.

又AABC不是直角三角形，直角沒有正切值，.?.△ABC為銳角三角形，故B正確.

對于C,由余弦定理知，a-a2+f-b'=bb2+f~a2+c,化簡整理得/=62+°2,.1△ABC

2ac2bc

為直角三角形，故C正確；

一丁一E、r2Ba+c.1+cosBa+c一_

對于D：因為cos工=二；一,所以-------=----,即c+ccos_B=a+c,故ccos5=a,

22c22c

^22_12

則由余弦定理可得C?區(qū)上二幺=a,整理得片+62=02,則AABC是直角三角形，故D

2ac

錯誤；

答案第6頁，共12頁

故選：ABC

13.￡!##2&

1414

【解析】

【分析】

先根據(jù)三角形面積公式求出sinZPON,然后結合兩角和與差的正弦公式求得答案.

【詳解】

由題意，S/.、“V=-x1x1xsinZPON=7=>sinZPON=7,而點N在第二象限，所以

cosZPON=-li-苧=-1,因為/MON=g,所以

sinZPOM=sinfzPOA^-—=sinZPONx--cosZPONx^-=^^-x—+—.

I3J22727214

故答案為：巫.

14

14.719

【解析】

【分析】

先由三角形的面積求出必=6,再由余弦定理可求出結果

【詳解】

由S=Labsinl20°=^^,得。6=6,

△ADC22

所以/=片+/-2Q6COS120。=(a+b)2-2ab+tz/?=25-6=19.

從而c=y/l9.

故答案為：-J19

15.2

3

【解析】

【分析】

由已知在44BC中利用余弦定理可得A8的值，可求AB=BC,可得A=C,即可得解

cosA的值.

【詳解】

答案第7頁，共12頁

2

解：因為在&4BC中，cosC=-,AC=4,BC=3,

所以由余弦定理可得AB=VAC2+BC2-1AC-BC-cosC=^42+32-2x4x3x|=3,

所以AB=3C,即4=（7,

2

則cosA=cosC=—.

2

故答案為：y.

16.由

【解析】

【分析】

根據(jù)給定條件利用余弦定理計算作答.

【詳解】

在44BC中，ZA=60°,AB=1,AC=2,由余弦定理得：

BC"=AB2+AC2-2AB-ACcosZA=I2+22-2x1x2cos60'=3,貝13c=6,

所以8C=g.

故答案為：V3

17.答案見解析.

【解析】

【分析】

根據(jù)sinA+sin（8-A）=sinC可求B的大小.

若選①：根據(jù)正弦定理角化邊，由sinB=6sinA得6=&，根據(jù)余弦定理可求a和c；

若選②：根據(jù)余弦定理角化邊，由Z?cosC+ccos3=2cosB可得。和2的關系，再結合余弦

定理可求a和c；

若選③：由csinB=2若可求c,再根據(jù)余弦定理可求a.

【詳解】

在AABC中，C=7t-A-3,

sinC=sin（A+B）,

答案第8頁，共12頁

VsinA+sin（B—A）=sinC,sinA+sin（B—A）=sin（A+B）,

化簡得sinA=2sinAcosB,在△ABC中，sinAwO,cosB=—,

2

7T

又??,0<5<兀，=

又?：b=6,??b1=c^+C1—laccosB,a2+c2—ac=3

若選①，

,?*smB=y/3sinA,即6=也〃，

3^/+c?—etc=3,??tz=1>c=2,

故此時△ABC存在，其周長為3+6；

若選②，

?po??Aa2+b2-c2a2+c2-b2

?PCOSC+ccosB=2cosB,..bx--------------+cx---------------=2cosB,

lablac

即Q=2cos5=2x；=1,

/+。2—ac=3,??c=2,

故此時△ABC存在，其周長為3+6；

若選③，

VcsinB=2y/3J1?。=4,

又:Q2+c?-。。=3,a2—4a+13=09

該方程無解，，三角形不存在.

18.(1)3。=^

3

⑵$"=乎?

O

【解析】

【分析】

(1)利用余弦定理可求得AC,利用正弦定理可求得結果；

(2)利用勾股定理可求得益＞,8,利用三角形面積公式可得結果.

(1)

在AABC中，由余弦定理得：

答案第9頁，共12頁

AC2=AB2+BC2-2AB-BCcosZABC=25-24cos1=13,解得：AC=V13,

AC屈—屈_25

設R為44SC外接圓半徑，由正弦定理得：sinZABc=-￡=

Sm3

pn…2屈

枝DD—---?

3

(2)

77

QBD為直徑，NDAB=ZDCB=-,

AD=yjBD2-AB2=,CD=NBD2-BC。=半,又NADC=兀-

.?_1,n.人"_12百5百x/3_5x/3

a223326

71

19.(1)B=-

(2)答案見解析

【解析】

【分析】

(1)由正弦定理及正弦的兩角和公式可求解；

(2)選擇條件①，由正弦定理及輔助角公式可求解；選擇條件②，由余弦定理及正切三角

函數(shù)可求解；選擇條件③，由余弦定理可求解.

(1)

由<?+(bcosA)2-2cbeosA=0,可得(c-6cos=0,貝!Jc=bcosA.

sinC=cosAsinB,

在AABC中，sinC=sin(A+B)=sinAcosB+cosAsinB,

JI

則sinAcosB=0,*.*0<A<sinA0,cosB=0,*.*0<B<B=—.

(2)

選擇條件①

a=^-b+^-c,在△ABC中，「［=-.%=_?7,可得sinA=+^^sinC,

33smAsinBsine33

71

*.*B=-,sinA=cosC,

2

cosC=^-+^-sinC,6cosc-sinC=1,

33

答案第10頁，共12頁

根據(jù)輔助角公式，可得cos[c+￡|=；,

TTTTTT

,*<0<C<7T,***CH--=—,即C=—,

636

故cosC=—.

2

選擇條件②

由b=-a+^-c，得匕之=—a2+—C1+^-ac，

22442

=：.b2=a2+c2,因此，a2+c2=-a2+-c2+^ac,

2442

整理得3a2—2耳c+/=o,即(島—c)2=0,則氐=c.

CI-TT

在7?%△ABC中，一=tanC=j3,C=—.

a3

故cosC=g.

選擇條件③

由c=,得b=+a，

即b2=2c2+Q?+2\[2ac=a1+c2

整理得(?+2缶。=0，

由于a>0,c>0,則方程無解，故不存在這樣的三角形.

20.行km

【解析】

【分析】

由題意，先計算得4石。=60。，ZDCA=120°,ZZMC=30°,由正弦定理計算加,AD,

再由余弦定理計算AB

【詳解】

ZDAC=180°-ZADC-ZDCB-ZACB=30°,ZDBC=1800-ZDCB-ZADC-ZADB

=60。

DCAD

在八ADC中由正弦定理得：smZD4c一sin(ZDCB+ZACB)

r)C

：.AD=sin(NDCB+ZACB)x---------=3