7.4事件的獨立性課件高一上學期數(shù)學北師大版

§4事件的獨立性第七章概率北師大版

數(shù)學

必修第一冊基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升目錄索引

學以致用·隨堂檢測促達標課程標準1.在具體情境中,了解兩個事件相互獨立的概念.2.能利用相互獨立事件同時發(fā)生的概率公式解決一些簡單的實際問題.3.綜合運用互斥事件的概率加法公式及獨立事件的乘法公式解決一些問題.基礎落實·必備知識一遍過知識點1

相互獨立事件事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響,這樣的兩個事件叫作相互獨立事件.名師點睛相互獨立事件與互斥事件、對立事件的區(qū)別與聯(lián)系名稱區(qū)別聯(lián)系定義事件個數(shù)互斥事件在一次試驗中不能同時發(fā)生的事件兩個或兩個以上①兩事件互斥,但不一定對立;兩事件對立,則一定互斥.②兩事件相互獨立,則不一定互斥(或?qū)α?對立事件在一次試驗中不能同時發(fā)生但必有一個發(fā)生兩個獨立事件一個事件發(fā)生與否對另一個事件發(fā)生的概率沒有影響兩個或兩個以上思考辨析相互獨立事件是對立事件嗎?提示

不是.相互獨立事件是指事件A(或B)是否發(fā)生對事件B(或A)發(fā)生的概率沒有影響,是以它們能夠同時發(fā)生為前提;而對立事件首先應是互斥事件,是指不可能同時發(fā)生的兩個事件.自主診斷1.判斷正誤.(正確的畫√,錯誤的畫×)(1)必然事件與任何一個事件相互獨立.(

)(2)不可能事件與任何一個事件相互獨立.(

)(3)如果兩個事件是互斥事件,那么它們一定是相互獨立事件.(

)√√×2.[人教A版教材例題]一個袋子中有標號分別為1,2,3,4的4個球,除標號外沒有其他差異.采用不放回方式從中任意摸球兩次.設事件A=“第一次摸出球的標號小于3”,事件B=“第二次摸出球的標號小于3”,那么事件A與事件B是否相互獨立?解

因為樣本空間Ω={(m,n)|m,n∈{1,2,3,4},且m≠n},A={(1,2),(1,3),(1,4),(2,1),(2,3),(2,4)},B={(1,2),(2,1),(3,1),(3,2),(4,1),(4,2)},此時P(AB)≠P(A)P(B),因此,事件A與事件B不獨立.知識點2

相互獨立事件同時發(fā)生的概率兩個相互獨立事件同時發(fā)生的概率等于這兩個事件發(fā)生的概率的積,即P(AB)=P(A)P(B).思考辨析已知兩人打靶,甲擊中的概率為0.8,乙擊中的概率為0.7,若兩人同時射擊一目標,則它們都中靶的概率能否用公式P(AB)=P(A)P(B)求解?提示

因為甲擊中和乙擊中是相互獨立事件,因此可利用P(AB)=P(A)P(B)求解,得P(AB)=0.8×0.7=0.56.自主診斷1.[人教A版教材例題]甲、乙兩人組成“星隊”參加猜成語活動,每輪活動由甲、乙各猜一個成語,已知甲每輪猜對的概率為,乙每輪猜對的概率為

.在每輪活動中,甲和乙猜對與否互不影響,各輪結(jié)果也互不影響.求“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率.解

設A1,A2分別表示甲兩輪猜對1個,2個成語的事件,B1,B2分別表示乙兩輪猜對1個,2個成語的事件.設A=“兩輪活動‘星隊’猜對3個成語”,則A=A1B2∪A2B1,且A1B2與A2B1互斥,A1與B2,A2與B1分別相互獨立,所以P(A)=P(A1B2)+P(A2B1)=P(A1)P(B2)+P(A2)P(B1)=因此,“星隊”在兩輪活動中猜對3個成語的概率是2.[人教B版教材例題]已知甲運動員的投籃命中率為0.7,乙運動員的投籃命中率為0.8.(1)若甲、乙各投籃一次,則都命中的概率為多少?(2)若甲投籃兩次,則恰好投中一次的概率為多少?解

(1)記事件A:甲投中,B:乙投中,因為A與B相互獨立,所以P(AB)=P(A)P(B)=0.7×0.8=0.56,即都命中的概率為0.56.(2)記事件Ai:甲第i次投中,其中i=1,2,則P(A1)=P(A2)=0.7.恰好投中一次,可能是第一次投中且第二次沒投中,也可能是第一次沒投中且第二次投中,即=P(A1)[1-P(A2)]+[1-P(A1)]P(A2)=0.7×(1-0.7)+(1-0.7)×0.7=0.42.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一事件獨立性的判斷【例1】

(多選題)下列事件中,A,B是相互獨立事件的是(

)A.一枚硬幣擲兩次,A表示“第一次為正面”,B表示“第二次為反面”B.袋中有2個白球、2個黑球,不放回地摸兩球,A表示“第一次摸到白球”,B表示“第二次摸到白球”C.擲一枚骰子,A表示“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”,B表示“出現(xiàn)點數(shù)為3或4”D.擲一枚骰子,A表示“出現(xiàn)點數(shù)為奇數(shù)”,B表示“出現(xiàn)點數(shù)為偶數(shù)”AC解析

把一枚硬幣擲兩次,對于每次而言是相互獨立的,其結(jié)果不受先后次序的影響,故A中A,B事件是相互獨立事件;B中是不放回地摸球,顯然A事件與B事件不相互獨立;對于C,A事件為出現(xiàn)1,3,5點,P(A)=,P(B)=,事件AB為出現(xiàn)3點,P(AB)=,P(AB)=P(A)P(B),事件A,B相互獨立;D中兩事件是互斥事件,不是相互獨立事件.規(guī)律方法

1.兩個事件是否相互獨立的判斷(1)定義法:由事件本身的性質(zhì)直接判定兩個事件發(fā)生是否相互影響.(2)充要條件法:事件A,B相互獨立的充要條件是P(AB)=P(A)P(B).2.兩個事件獨立與互斥的區(qū)別(1)兩個事件互斥是指兩個事件不可能同時發(fā)生;兩個事件相互獨立是指一個事件的發(fā)生與否對另一事件發(fā)生的概率沒有影響.(2)一般地,兩個事件不可能既互斥又相互獨立,因為互斥事件不可能同時發(fā)生,而相互獨立事件是以它們能夠同時發(fā)生為前提.變式訓練1甲、乙兩名射擊手同時向一目標射擊,設事件A:“甲擊中目標”,事件B:“乙擊中目標”,則事件A與事件B(

)A.相互獨立但不互斥B.互斥但不相互獨立C.相互獨立且互斥D.既不相互獨立也不互斥A解析

對同一目標射擊,甲、乙兩射擊手是否擊中目標是互不影響的,所以事件A與B相互獨立;對同一目標射擊,甲、乙兩射擊手可能同時擊中目標,也就是說事件A與B可能同時發(fā)生,所以事件A與B不是互斥事件.探究點二相互獨立事件的概率問題角度1相互獨立事件同時發(fā)生的概率【例2】

根據(jù)資料統(tǒng)計,某地車主購買甲種保險的概率為0.5,購買乙種保險的概率為0.6,購買甲種保險與購買乙種保險相互獨立.(1)求一位車主同時購買甲、乙兩種保險的概率;(2)求一位車主購買乙種保險但不購買甲種保險的概率.解

記A表示事件“購買甲種保險”,B表示事件“購買乙種保險”,則由題意得A與B,A與

都是相互獨立事件,且P(A)=0.5,P(B)=0.6.(1)記C表示事件“同時購買甲、乙兩種保險”,則C=AB,所以P(C)=P(AB)=P(A)P(B)=0.5×0.6=0.3.規(guī)律方法

求相互獨立事件同時發(fā)生的概率的步驟(1)首先確定各事件是相互獨立的;(2)再確定各事件會同時發(fā)生;(3)先求每個事件發(fā)生的概率,再求兩個概率之積.變式訓練2在奧運知識有獎問答競賽中,甲、乙、丙三人同時回答一道有關(guān)奧運知識的問題,已知甲答對這道題的概率是,甲、乙兩人都回答錯誤的概率是,乙、丙兩人都回答正確的概率是

.設每人回答問題正確與否是相互獨立的.(1)求乙答對這道題的概率;(2)求甲、乙、丙三人中,至少有一人答對這道題的概率.解

(1)記甲、乙、丙3人獨自答對這道題分別為事件A,B,C,設乙答對這道題的概率P(B)=x,由于每人回答問題正確與否是相互獨立的,因此A,B,C是相互獨立事件.角度2相互獨立事件的綜合問題【例3】

小王某天乘火車從重慶到上海去辦事,若當天從重慶到上海的三列火車正點到達的概率分別為0.8,0.7,0.9,假設這三列火車之間是否正點到達互不影響.求:(1)這三列火車恰好有兩列正點到達的概率;(2)這三列火車至少有一列正點到達的概率.規(guī)律方法

與相互獨立事件有關(guān)的概率問題求解策略明確事件中的“至少有一個發(fā)生”“至多有一個發(fā)生”“恰好有一個發(fā)生”“都發(fā)生”“都不發(fā)生”“不都發(fā)生”等詞語的意義.變式訓練3[2024河北承德期末]已知A,B兩種獎券的中獎率分別為(1)若甲購買了A,B兩種獎券各一張,求恰有一張獎券中獎的概率;(2)若甲購買的A,B兩種獎券數(shù)量相同,為了保證甲中獎的概率大于,求甲至少要購買的獎券數(shù)量.本節(jié)要點歸納1.知識清單:(1)相互獨立事件的概念及判斷;(2)相互獨立事件同時發(fā)生的概率.2.方法歸納:轉(zhuǎn)化法.3.常見誤區(qū):容易混淆互斥事件與相互獨立事件.學以致用·隨堂檢測促達標123451.(多選題)分別拋擲兩枚質(zhì)地均勻的硬幣,設事件A是“第一枚為正面”,事件B是“第二枚為正面”,事件C是“兩枚結(jié)果相同”,則下列事件具有相互獨立性的是(

)A.A與B

B.A與C C.B與C

D.都不具有獨立性ABC解析

利用古典概型概率公式計算可得P(A)=0.5,P(B)=0.5,P(C)=0.5,P(AB)=0.25,P(AC)=0.25,P(BC)=0.25.可以驗證P(AB)=P(A)P(B),P(AC)=P(A)P(C),P(BC)=P(B)P(C).所以根據(jù)事件相互獨立的定義,事件A與B相互獨立,事件B與C相互獨立,事件A與C相互獨立.123452.甲、乙兩人各進行一次射擊,如果兩人擊中目標的概率都是0.8,則其中恰有一人擊中目標的概率為(

)A.0.64 B.0.32 C.0.56 D.0.48B123453.某班級舉辦投籃比賽,每人投籃兩次.若小明每次投籃命中的概率都是0.6,則他至少投中一次的概率為(

)A.0.24 B.0.36

C.0.6

D.0.84D解析

由題意知,小明每次投籃不中的概率是1-0.6=0.4,兩次投籃都不中的概率是0.42=0