2024-2025版高中數(shù)學(xué)第二章數(shù)列2.4.1等比數(shù)列素養(yǎng)評(píng)價(jià)檢測(cè)含解析新人教A版必修5

PAGE等比數(shù)列(20分鐘35分)1.在等比數(shù)列{an}中,若a6=8a3=8QUOTE,則an= ()A.2n-1 B.2n C.3n-1 D.3n【解析】選A.若a6=8a3=8QUOTE,所以a1q5=8a1q2=8QUOTEq2,即q=2,a1=1,所以an=1×2n-1=2n-1.2.已知a是1,2的等差中項(xiàng),b是-1,-16的等比中項(xiàng),則ab等于 ()A.6 B.-6 C.±6 D.±12【解析】選C.因?yàn)閍=QUOTE=QUOTE,b2=(-1)×(-16)=16,所以b=±4,所以ab=±6.3.某家庭確定要進(jìn)行一項(xiàng)投資活動(dòng),預(yù)料每年收益5%.該家庭2020年1月1日投入10萬(wàn)元,依據(jù)復(fù)利(復(fù)利是指在每經(jīng)過(guò)一個(gè)計(jì)息期后,都將所得利息加入本金,以計(jì)算下期的利息)計(jì)算,到2030年1月1日,該家庭在此項(xiàng)投資活動(dòng)的資產(chǎn)總額大約為 ()參考數(shù)據(jù):1.058≈1.48,1.059≈1.55,1.0510≈1.63,1.0511≈1.71A.14.8萬(wàn) B.15.5萬(wàn)C.16.3萬(wàn) D.17.1萬(wàn)【解析】選C.由題意知,該家庭2024年1月1日本金加收益和為10·(1+5%)=10×1.05,2024年1月1日本金加收益和為10×1.052,2024年1月1日本金加收益和為10×1.053,…,2030年1月1日本金加收益和為10×1.0510≈10×1.63=16.3.所以到2030年1月1日,該家庭在此項(xiàng)投資活動(dòng)的資產(chǎn)總額大約為16.3萬(wàn)元.4.正項(xiàng)等比數(shù)列{an},若3a1,QUOTEa3,2a2成等差數(shù)列,則{an}的公比q=.

【解析】因?yàn)檎?xiàng)等比數(shù)列{an},3a1,QUOTEa3,2a2成等差數(shù)列,所以QUOTE,解得q=3.所以{an}的公比q=3.答案:35.在等比數(shù)列{an}中,a2-a1=2,且2a2為3a1和a3的等差中項(xiàng),則a4=.

【解析】依據(jù)題意,設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,若2a2為3a1和a3的等差中項(xiàng),則有2×2a2=3a1+a3,變形可得4a1q=3a1+a1q2,即q2-4q+3=0,解得q=1或3;又a2-a1=2,即a1(q-1)=2,則q=3,a1=1,則an=3n-1,則有a4=33=27.答案:276.在等比數(shù)列{an}中,(1)若它的前三項(xiàng)分別為5,-15,45,求a5;(2)若a4=2,a7=8,求an.【解析】(1)因?yàn)閍5=a1q4,而a1=5,q=QUOTE=-3,所以a5=405.(2)因?yàn)镼UOTE所以QUOTE由QUOTE得q3=4,從而q=QUOTE,而a1q3=2,于是a1=QUOTE=QUOTE,所以an=a1qn-1=QUOTE.(30分鐘60分)一、選擇題(每小題5分,共25分)1.已知各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,公比q=2,a2a4=4,則a1A.QUOTE B.QUOTE C.1 D.2【解析】選B.各項(xiàng)均為正數(shù)的等比數(shù)列{an}中,公比q=2,a2a4所以QUOTE×24=4,所以a1=QUOTE.2.若a,2a+2,3a+3成等比數(shù)列,則實(shí)數(shù)a的值為 ()A.-1 B.-4 C.1 D.4【解析】選B.因?yàn)閍,2a+2,3a+3成等比數(shù)列,所以(2a+2)2=a(3a+3),即a2+5a+4=0,解得a=-1或a=-4,又a=-1時(shí),這三個(gè)數(shù)為-1,0,0,不是等比數(shù)列,故舍去.所以a=-4.3.在等比數(shù)列{an}中,a1+a3=QUOTE,a4+a6=3,則其公比為 ()A.-QUOTE B.QUOTE C.2 D.4【解析】選C.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)閍1+a3=QUOTE,a4+a6=3,所以q3(a1+a3)=q3·QUOTE=3,解得q=2.4.已知等比數(shù)列{an}的首項(xiàng)為1,且a6+a4=2(a3+a1),則a1a2a3A.16 B.64 C.128 D.256【解析】選C.設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q,因?yàn)閍6+a4=2(a3+a1),所以q5+q3=2(q2+1),解得q3=2.則a1a2a3…a7=q0+1+…+6=q215.放射性物質(zhì)的半衰期T定義為每經(jīng)過(guò)時(shí)間T,該物質(zhì)的質(zhì)量會(huì)衰減到原來(lái)的一半,鉛制容器中有兩種放射性物質(zhì)A,B,起先記錄時(shí)容器中物質(zhì)A的質(zhì)量是物質(zhì)B的質(zhì)量的2倍,而120小時(shí)后兩種物質(zhì)的質(zhì)量相等,已知物質(zhì)A的半衰期為7.5小時(shí),則物質(zhì)B的半衰期為 ()A.10小時(shí) B.8小時(shí) C.12小時(shí) D.15小時(shí)【解析】選B.QUOTE=16.設(shè)mB=1.則mA=2.設(shè)物質(zhì)B的半衰期為t小時(shí).由題意可得:2×QUOTE=QUOTE,解得t=8.二、填空題(每小題5分,共15分)6.已知等比數(shù)列{an}的前三項(xiàng)依次為a-1,a+1,a+4,則an=.

【解析】由已知可知(a+1)2=(a-1)(a+4),解得a=5,所以a1=4,a2=6,所以q=QUOTE=QUOTE=QUOTE,所以an=4×QUOTE.答案:4×QUOTE7.在數(shù)列{an}中,a2=QUOTE,a3=QUOTE,且數(shù)列{nan+1}是等比數(shù)列,則an=.

【解析】因?yàn)閿?shù)列{an}中,a2=QUOTE,a3=QUOTE,且數(shù)列{nan+1}是等比數(shù)列,2a2+1=3+1=4,3a3+1=7+1=8,所以數(shù)列{nan+1}是首項(xiàng)為2,公比為2的等比數(shù)列,所以nan+1=2n,解得an=QUOTE.答案:QUOTE【補(bǔ)償訓(xùn)練】等比數(shù)列{an}中,a4=2,a5=4,則數(shù)列{lgan}的通項(xiàng)公式為.

【解析】因?yàn)閍5=a4q,所以q=2,所以a1=QUOTE=QUOTE,所以an=QUOTE·2n-1=2n-3,所以lgan=(n-3)lg2.答案:lgan=(n-3)lg28.已知等比數(shù)列{an},an>0,n∈N*,且2a1+3a2=33,9QUOTE=a2a6,則a2020=.

【解析】設(shè)等比數(shù)列{an}的公比為q>0,因?yàn)?a1+3a2=33,9QUOTE=a2a6,an>0,n∈N*,所以a1(2+3q)=33,9QUOTEq4=QUOTEq6,解得a1=q=3.所以an=3n.則a2020=32020.答案:32020三、解答題(每小題10分,共20分)9.已知數(shù)列{an}是一個(gè)等差數(shù)列且a2=1,a5=-5.(1)求{an}的通項(xiàng)an和前n項(xiàng)和Sn;(2)設(shè)cn=QUOTE,bn=QUOTE,證明數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.【解析】(1)設(shè){an}的公差為d,由已知條件得,QUOTE,解得a1=3,d=-2,所以an=a1+(n-1)d=-2n+5,Sn=na1+QUOTEd=-n2+4n.(2)因?yàn)閍n=-2n+5,所以cn=QUOTE=QUOTE=n;所以bn=QUOTE=2n.因?yàn)镼UOTE=QUOTE=2(常數(shù)),所以數(shù)列{bn}是等比數(shù)列.10.已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn,且an+Sn=n,(1)設(shè)cn=an-1,求證:{cn}是等比數(shù)列;(2)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式.【解析】(1)因?yàn)閍n+Sn=n,所以an+1+Sn+1=n+1,兩式相減得:an+1-an+an+1=1整理得:an+1-1=QUOTE(an-1).又因?yàn)閏n=an-1,所以cn+1=QUOTEcn,又因?yàn)閍1+a1=1,即a1=QUOTE,所以c1=a1-1=QUOTE-1=-QUOTE,所以數(shù)列{cn}是以-QUOTE為首項(xiàng),QUOTE為公比的等比數(shù)列;(2)由(1)可知cn=an-1=-QUOTE·QUOTE=-QUOTE,所以an=1-QUOTE.【補(bǔ)償訓(xùn)練】數(shù)列{an}中,a1=2,a2=3,且{anan+1}是以3為公比的等比數(shù)列,記bn=a2n-1+a2n(n∈N*).(1)求a3,a4,a5,a6的值;(2)求證:{bn}是等比數(shù)列.【解析】(1)因?yàn)閧anan+1}是公比為3的等比數(shù)列,所以anan+1=a1a2·3n-1=2·3n所以a3=QUOTE=6,a4=QUOTE=9,a5=QUOTE=18,a6=QUOTE=27.(2)因?yàn)閧anan+1}是公比為3的等比數(shù)列,所以anan+1=3an-1an,即an+1=3an-1,所以a1,a3,a5,…,QUOTE,…,與a2,a4,a6,…,a2n,…,都是公比為3的等比數(shù)列.所以a2n-1=2·3n-1,a2n=3·3n-1,bn=a2n-1+a2n=5·3n-1,所以QUOTE=QUOTE=3.故{bn}是以5為首項(xiàng),3為公比的等比數(shù)列.1.已知數(shù)列{an}是等比數(shù)列,有下列四個(gè)命題:①數(shù)列{|an|}是等比數(shù)列;②數(shù)列{anan+1}是等比數(shù)列;③數(shù)列QUOTE是等比數(shù)列;④數(shù)列{lgQUOTE}是等比數(shù)列.其中正確的命題是.(填序號(hào))

【解析】由{an}是等比數(shù)列可得QUOTE=q(q為常數(shù),q≠0).①Q(mào)UOTE=QUOTE=|q|為常數(shù),故是等比數(shù)列;②QUOTE=QUOTE=QUOTE=q2為常數(shù),故是等比數(shù)列;③QUOTE=QUOTE=QUOTE為常數(shù),故是等比數(shù)列;④數(shù)列an=1是等比數(shù)列,但是lgQUOTE=0不是等比數(shù)列.答案:①②③2.已知{an}是等差數(shù)列,滿意a1=2,a4=14,數(shù)列{bn}滿意b1=1,b4=6,且{an-bn}是等比數(shù)列.(1)求數(shù)列{an}和{bn}的通項(xiàng)公式;(2)若隨意n∈N*,都有bn≤bk成立,求正整數(shù)k的值.【解析】(1)設(shè){an}的公差為d,則d=QUOTE=4,所以an=2+(n-1)×4=4n-2,故{an}的通項(xiàng)公式為an=4n-2(n∈N*).設(shè)cn=an-bn,則{cn}為等比數(shù)列.c1=a1-b1=2-1=1,c4=a4-b4=14-6=8,設(shè){cn}的公比為q,則q3=QUOTE=8,故q=2.則cn=2n