黑龍江省哈爾濱市六校2023-2024學(xué)年高二下學(xué)期期末聯(lián)考試題 數(shù)學(xué)試題（含答案）

哈爾濱市六校2023～2024學(xué)年度下學(xué)期高二期末聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第二冊第五章，選擇性必修第三冊．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若，則（）A2 B.6 C.2或6 D.2或5072.設(shè)某制造公司進行技術(shù)升級后的第x個月（）的利潤為y（單位：百萬元），根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，求得y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為，若時的觀測值，則時的殘差為（）A. B.1 C.3 D.63.若定義在上的函數(shù)有，則的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.4.李白的一句“煙花三月下?lián)P州”讓很多人對揚州充滿向往．據(jù)統(tǒng)計，唐朝約有120名詩人寫下了400多首與揚州有關(guān)的詩篇，某揚州短視頻博主從中選取了7首，制作了分別賞析這7首詩的7個短視頻（含甲、乙），準(zhǔn)備在某周的周一到周日發(fā)布，每天只發(fā)布1個，每個短視頻只在其中1天發(fā)布，若甲、乙相鄰兩天發(fā)布，則這7個短視頻不同的發(fā)布種數(shù)為（）A.180 B.360 C.720 D.14405.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)至少有2個極值點C.函數(shù)在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)在處取得極大值6.已知隨機變量，若，，則（）A.15 B. C. D.7.已知函數(shù)有3個不同的零點，則的取值范圍是()A. B. C. D.8.小明在某不透明的盒子中放入4紅4黑八個球，隨機搖晃后，小明從中取出一個小球丟掉（未看被丟掉小球的顏色）.現(xiàn)從剩下7個小球中取出兩個小球，結(jié)果都是紅球，則丟掉的小球也是紅球的概率為（）A. B. C. D.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若的展開式中第4項與第9項的二項式系數(shù)相等，則展開式中系數(shù)最大的項為（）A第4項 B.第5項 C.第6項 D.第7項10.甲、乙、丙、丁4人每人隨機選取VisualBasie、VisualC＋＋，VisualFoxpro三種編程語言之一進行學(xué)習(xí)，每種編程語言至少有1人學(xué)習(xí)，A表示事件“甲學(xué)習(xí)VisualBasic編程語言”；B表示事件“乙學(xué)習(xí)VisualBasic編程語言”；C表示事件“乙學(xué)習(xí)VisualC＋＋編程語言”，則（）A.事件A與B相互獨立 B.事件A與C不是互斥事件C. D.11.已知定義域為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)和均為偶函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機變量的分布列，則______．13.已知是函數(shù)的兩個極值點，若，且的極小值為整數(shù)，則______．14.五一小長假，多地迎來旅游高峰期，各大旅游景點都推出了種種新奇活動以吸引游客，小明去某景點游玩時，發(fā)現(xiàn)了一個趣味游戲，游戲規(guī)則為：一個會走路機器人從一數(shù)軸上的原點出發(fā)沿該數(shù)軸行走，游客可以設(shè)定機器人總共行走的步數(shù)n，機器人每一步會隨機選擇前或向后行走，且每一步的距離均為一個單位，設(shè)機器人走完設(shè)定的n步后所在位置對應(yīng)數(shù)為隨機變量，則__________，__________.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知．（1）若，求值；（2）若，求m的值．16.已知函數(shù)．（1）求在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值．17.光明高級中學(xué)高三年級理科考生800人都參加了本學(xué)期的期中調(diào)研測試，學(xué)校把本次測試數(shù)學(xué)成績達到120分以上（包含120分）的同學(xué)的數(shù)學(xué)成績等第定為優(yōu)秀，物理成績達到90分以上（包含90分）的同學(xué)的物理成績等第定為優(yōu)秀．現(xiàn)從理科考生中隨機抽取10名同學(xué)調(diào)研本次測試的數(shù)學(xué)和物理成績，如下表：數(shù)學(xué)（分）119145999513512012285130120物理（分）84908284838183819082（1）試列出列聯(lián)表，并依據(jù)的獨立性檢驗分析能否認(rèn)為本次測試?yán)砜瓶忌臄?shù)學(xué)成績的等第優(yōu)秀與物理成績的等第是否優(yōu)秀有關(guān)？（2）如果本次測試?yán)砜瓶忌奈锢沓煽?，用樣本估計總體，以10名同學(xué)物理成績的平均數(shù)為，方差為，若從參加考試的800名理科考生中隨機抽取4人，求這4人中至少有1人的物理成績的等第優(yōu)秀的概率．參考數(shù)據(jù)：取，，，．若，則，，．，．0.100.050.02500100.0052.7063.8415.0246.6357.87918.2024年4月25日—4月29日，“與輝同行”開啟了一場深入中原的文化之旅，讓河南文旅打開了流量密碼．某景區(qū)趁此時機，舉行五一游該景區(qū)網(wǎng)上購票抽獎活動，在網(wǎng)上購買該景區(qū)門票的游客，可通過手機掃景區(qū)提供的二維碼進入抽獎活動頁面，每張門票可從6個減免紅包中隨機抽取2個，6個紅包的金額分別為5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知該景區(qū)門票每張120元，全部實行網(wǎng)上購票．（1）記購買1張門票的游客通過抽獎獲得的紅包金額之和為X，求X的分布列與期望；（2）已知每位游客除門票外平均在該景區(qū)消費30元、40元、60元的概率分別為，，，舉行此抽獎活動后預(yù)計可使該景區(qū)五一期間客流量增加40%，假設(shè)每位購票游客都進行了抽獎，回答下列問題并說明理由：①舉行抽獎活動后該景區(qū)在五一期間的門票收入是增加了，還是減少了？②舉行抽獎活動后該景區(qū)在五一期間的總收入是增加了，還是減少了？19.定義：若函數(shù)與的圖象在上有且僅有一個交點，則稱函數(shù)與在上單交，此交點被稱為“單交點”.已知函數(shù)，，.（1）討論函數(shù)的單調(diào)性；（2）當(dāng)時，（i）求證：函數(shù)與在上存在“單交點”；（ⅱ）對于（i）中的正數(shù)，證明：.哈爾濱市六校2023～2024學(xué)年度下學(xué)期高二期末聯(lián)考試卷數(shù)學(xué)考生注意：1．本試卷分選擇題和非選擇題兩部分．滿分150分，考試時間120分鐘．2．答題前，考生務(wù)必用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆將密封線內(nèi)項目填寫清楚．3．考生作答時，請將答案答在答題卡上．選擇題每小題選出答案后，用2B鉛筆把答題卡上對應(yīng)題目的答案標(biāo)號涂黑；非選擇題請用直徑0.5毫米黑色墨水簽字筆在答題卡上各題的答題區(qū)域內(nèi)作答，超出答題區(qū)域書寫的答案無效，在試題卷、草稿紙上作答無效．4．本卷命題范圍：人教A版選擇性必修第二冊第五章，選擇性必修第三冊．一、選擇題：本題共8小題，每小題5分，共40分．在每小題給出的四個選項中，只有一項是符合題目要求的．1.若，則（）A.2 B.6 C.2或6 D.2或507【答案】D【解析】【分析】通過組合數(shù)的性質(zhì)即可得到答案.【詳解】由題意知或所以或故選：D．2.設(shè)某制造公司進行技術(shù)升級后的第x個月（）的利潤為y（單位：百萬元），根據(jù)統(tǒng)計數(shù)據(jù)，求得y關(guān)于x的經(jīng)驗回歸方程為，若時的觀測值，則時的殘差為（）A. B.1 C.3 D.6【答案】B【解析】【分析】利用殘差的定義求解.【詳解】解：因為時的預(yù)測值為，所以殘差為．故選：B．3.若定義在上的函數(shù)有，則的單調(diào)遞減區(qū)間是（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】由導(dǎo)函數(shù)定義可得，再利用導(dǎo)函數(shù)求單調(diào)減區(qū)間即可.【詳解】，，，由，解得，故的單調(diào)遞減區(qū)間是.故選：C.4.李白的一句“煙花三月下?lián)P州”讓很多人對揚州充滿向往．據(jù)統(tǒng)計，唐朝約有120名詩人寫下了400多首與揚州有關(guān)的詩篇，某揚州短視頻博主從中選取了7首，制作了分別賞析這7首詩的7個短視頻（含甲、乙），準(zhǔn)備在某周的周一到周日發(fā)布，每天只發(fā)布1個，每個短視頻只在其中1天發(fā)布，若甲、乙相鄰兩天發(fā)布，則這7個短視頻不同的發(fā)布種數(shù)為（）A.180 B.360 C.720 D.1440【答案】D【解析】【分析】元素相鄰的排列問題，利用捆綁法解決即可.【詳解】先將甲、乙排為一列，有種方法，再將其視為一個整體與其余5個視頻排成一列，有種方法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可得，甲、乙在相鄰兩天發(fā)布的不同的發(fā)布種數(shù)為．故選：D．5.已知函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)的圖象如圖所示，則下列說法錯誤的是（）A.函數(shù)在上單調(diào)遞增 B.函數(shù)至少有2個極值點C.函數(shù)在上單調(diào)遞減 D.函數(shù)在處取得極大值【答案】D【解析】【分析】根據(jù)的圖象判斷其符號，進而可知的單調(diào)性和極值，結(jié)合選項分析判斷即可.【詳解】由的圖象可知：當(dāng)或時，；當(dāng)時，；可知在，上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，則函數(shù)有且僅有兩個極值點，結(jié)合選項可知：ABC正確；D錯誤；故選：D.6.已知隨機變量，若，，則（）A.15 B. C. D.【答案】A【解析】【分析】由隨機變量的期望和方差公式解方程組計算即可.【詳解】因為，，所以，即，所以，所以．故選：A．7.已知函數(shù)有3個不同的零點，則的取值范圍是()A. B. C. D.【答案】D【解析】【分析】求得，得出函數(shù)的單調(diào)性與極值，結(jié)合有3個不同的零點，列出不等式，即可求解．【詳解】由函數(shù)，可得，令，解得或，令，解得或；令，解得，則在和上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，又由，，要使有3個不同的零點，則，解得，所以實數(shù)的取值范圍是．故選：D．8.小明在某不透明的盒子中放入4紅4黑八個球，隨機搖晃后，小明從中取出一個小球丟掉（未看被丟掉小球的顏色）.現(xiàn)從剩下7個小球中取出兩個小球，結(jié)果都是紅球，則丟掉的小球也是紅球的概率為（）A. B. C. D.【答案】B【解析】【分析】先由古典概率公式求出，再由全概率公式求出，最后由條件概率求出即可.【詳解】用表示丟掉一個小球后任取兩個小球均為紅球，用表示丟掉的小球為紅球，表示丟掉的小球為黑球，則，，由全概率公式可得，所以，故選：B.【點睛】關(guān)鍵點點睛：條件概率公式為，全概率公式為.二、選擇題：本題共3小題，每小題6分，共18分．在每小題給出的選項中，有多項符合題目要求．全部選對的得6分，部分選對的得部分分，有選錯的得0分．9.若的展開式中第4項與第9項的二項式系數(shù)相等，則展開式中系數(shù)最大的項為（）A.第4項 B.第5項 C.第6項 D.第7項【答案】CD【解析】【分析】根據(jù)二項式系數(shù)的性質(zhì)即可求解.【詳解】因為的展開式中第4項與第9項的二項式系數(shù)相等，所以；所以，由于展開式中項的系數(shù)與二項式系數(shù)相等，故展開式中系數(shù)最大的項為第6項和第7項．故選：CD．10.甲、乙、丙、丁4人每人隨機選取VisualBasie、VisualC＋＋，VisualFoxpro三種編程語言之一進行學(xué)習(xí)，每種編程語言至少有1人學(xué)習(xí)，A表示事件“甲學(xué)習(xí)VisualBasic編程語言”；B表示事件“乙學(xué)習(xí)VisualBasic編程語言”；C表示事件“乙學(xué)習(xí)VisualC＋＋編程語言”，則（）A.事件A與B相互獨立 B.事件A與C不是互斥事件C. D.【答案】BCD【解析】【分析】由古典概率公式求出，再利用相互獨立事件和互斥事件的定義判斷A，B；用條件概率公式計算判斷C，D.【詳解】4人選擇3種編程語言之一，每種編程語言至少有1人學(xué)習(xí)，共有種安排方案，甲學(xué)習(xí)VisualBasic編程語言、乙學(xué)習(xí)VisualBasic編程語言、乙學(xué)習(xí)VisualC+＋編程語言，各有種方案，∴；甲、乙均學(xué)習(xí)VisualBasic編程語言，有種方案，∴；甲學(xué)習(xí)VisualBasic編程語言且乙學(xué)習(xí)VisualC＋＋編程語言，有種方案，∴，對于A，∵，∴事件A與B不相互獨立，故A錯誤；對于B，∵，∴事件A與C不是互斥事件，故B正確；對于C，，故C正確；對于D，，故D正確.故選：BCD.11.已知定義域為的函數(shù)的導(dǎo)函數(shù)為，若函數(shù)和均為偶函數(shù)，且，則（）A. B. C. D.【答案】AB【解析】【分析】根據(jù)題意分析可知4為的周期，關(guān)于對稱，關(guān)于點對稱，進而判斷AB；分析可知4為的周期，但沒有充分條件求，進而判斷CD.【詳解】因為為偶函數(shù)，則，即，可知關(guān)于對稱，又因為偶函數(shù)，則，可知關(guān)于對稱，且，則，即，可得關(guān)于點對稱，且，則，可知4為的周期，由，可得，即，則，即，所以，，故AB正確；因為，則，即，可知4為的周期，又因為，則，即，可知關(guān)于點對稱，但沒有充分條件求，故無法求CD選項的值，故CD錯誤；故選：AB.【點睛】方法點睛：函數(shù)的性質(zhì)主要是函數(shù)的奇偶性、單調(diào)性和周期性以及函數(shù)圖象的對稱性，在解題中根據(jù)問題的條件通過變換函數(shù)的解析式或者已知的函數(shù)關(guān)系，推證函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)解決問題．三、填空題：本題共3小題，每小題5分，共15分．12.已知隨機變量的分布列，則______．【答案】##【解析】【分析】根據(jù)分布列的性質(zhì)概率之和為可求.【詳解】已知（），則由分布列的性質(zhì)可得，解得，故答案為：.13.已知是函數(shù)的兩個極值點，若，且的極小值為整數(shù)，則______．【答案】##【解析】【分析】因為有兩個極值點，所以有兩個變號解，結(jié)合韋達定理得出，又因為，聯(lián)立得出又因為，所以得出或再利用的極小值為整數(shù)即可得出答案.【詳解】由題意知是的兩根，所以且又所以所以即解得或當(dāng)時，此時的極小值為不合題意；當(dāng)時，此時的極小值為符合題意．故故答案為：.14.五一小長假，多地迎來旅游高峰期，各大旅游景點都推出了種種新奇活動以吸引游客，小明去某景點游玩時，發(fā)現(xiàn)了一個趣味游戲，游戲規(guī)則為：一個會走路的機器人從一數(shù)軸上的原點出發(fā)沿該數(shù)軸行走，游客可以設(shè)定機器人總共行走的步數(shù)n，機器人每一步會隨機選擇前或向后行走，且每一步的距離均為一個單位，設(shè)機器人走完設(shè)定的n步后所在位置對應(yīng)數(shù)為隨機變量，則__________，__________.【答案】①.##0.3125②.【解析】【分析】X表示向右移動的次數(shù)，則，再根據(jù)二項分布即可得到回到原點的概率，找到與X關(guān)系，得到，由二項分布的方差結(jié)合方差性質(zhì)再計算方差即可.【詳解】設(shè)X表示向右移動的次數(shù)，則.若運動6步回到原點，則向左，右各移動3次，所以回到原點的概率.因為機器人走完設(shè)定的n步后所在位置對應(yīng)數(shù)為隨機變量，X表示向右移動的次數(shù)則表示向左移動的次數(shù)，則，則，所以.故答案為：；.四、解答題：本題共5小題，共77分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟．15.已知．（1）若，求的值；（2）若，求m的值．【答案】（1）（2）或【解析】【分析】（1）通過賦值法求系數(shù)和；（2）通過二項式定理的通項求參數(shù)值．【小問1詳解】在中，取，得，取，得，以上兩式相減，得．【小問2詳解】的通項為，若，可得，所以，解得或．16.已知函數(shù)．（1）求在點處的切線方程；（2）求函數(shù)的極值．【答案】（1）（2）極大值為，極小值為.【解析】【分析】（1）求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，根據(jù)導(dǎo)數(shù)的幾何意義，即可求得答案；（2）通過函數(shù)的導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，再求出函數(shù)極值點，求得極值.【小問1詳解】由，的定義域為，得，所以，又，所以在點處的切線方程為，即；【小問2詳解】，由，得，或，當(dāng)或時，，在上均單調(diào)遞增；當(dāng)時，，在上單調(diào)遞減；故函數(shù)在處取得極大值，極大值為；在處取得極小值，極小值為.故函數(shù)有極大值，也有極小值，極大值為，極小值為.17.光明高級中學(xué)高三年級理科考生800人都參加了本學(xué)期的期中調(diào)研測試，學(xué)校把本次測試數(shù)學(xué)成績達到120分以上（包含120分）的同學(xué)的數(shù)學(xué)成績等第定為優(yōu)秀，物理成績達到90分以上（包含90分）的同學(xué)的物理成績等第定為優(yōu)秀．現(xiàn)從理科考生中隨機抽取10名同學(xué)調(diào)研本次測試的數(shù)學(xué)和物理成績，如下表：數(shù)學(xué)（分）119145999513512012285130120物理（分）84908284838183819082（1）試列出列聯(lián)表，并依據(jù)的獨立性檢驗分析能否認(rèn)為本次測試?yán)砜瓶忌臄?shù)學(xué)成績的等第優(yōu)秀與物理成績的等第是否優(yōu)秀有關(guān)？（2）如果本次測試?yán)砜瓶忌奈锢沓煽?，用樣本估計總體，以10名同學(xué)物理成績的平均數(shù)為，方差為，若從參加考試的800名理科考生中隨機抽取4人，求這4人中至少有1人的物理成績的等第優(yōu)秀的概率．參考數(shù)據(jù)：取，，，．若，則，，．，．0.100.050.0250.0100.0052.7063.84150246.6357.879【答案】（1）答案見解析（2）【解析】【分析】（1）根據(jù)題意完善列聯(lián)表，求，并與臨界值對比分析；（2）根據(jù)題意求平均數(shù)和方差，結(jié)合正態(tài)分布求，進而利用對立事件分析求解.【小問1詳解】由題意可得：列聯(lián)表為物理優(yōu)秀物理非優(yōu)秀總計數(shù)學(xué)優(yōu)秀246數(shù)學(xué)非優(yōu)秀044總計2810零假設(shè)：數(shù)學(xué)成績的等第優(yōu)秀與物理成績的等第優(yōu)秀無關(guān)，可得，依據(jù)小概率值獨立性檢驗，可以推斷成立，即數(shù)學(xué)成績的等第優(yōu)秀與物理成績的等第優(yōu)秀無關(guān).【小問2詳解】由題意可得，物理成績的平均分為（分）；方差，結(jié)合題意可知：，即，則，可得，記“4人中至少1人物理成績的等第優(yōu)秀”為事件A，則為“人物理成績的等第都是非優(yōu)秀”，故，所以4人中至少1人物理成績的等第優(yōu)秀的概率為.18.2024年4月25日—4月29日，“與輝同行”開啟了一場深入中原的文化之旅，讓河南文旅打開了流量密碼．某景區(qū)趁此時機，舉行五一游該景區(qū)網(wǎng)上購票抽獎活動，在網(wǎng)上購買該景區(qū)門票的游客，可通過手機掃景區(qū)提供的二維碼進入抽獎活動頁面，每張門票可從6個減免紅包中隨機抽取2個，6個紅包的金額分別為5元、5元、10元、10元、30元、60元，已知該景區(qū)門票每張120元，全部實行網(wǎng)上購票．（1）記購買1張門票的游客通過抽獎獲得的紅包金額之和為X，求X的分布列與期望；（2）已知每位游客除門票外平均在該景區(qū)消費30元、40元、60元的概率分別為，，，舉行此抽獎活動后預(yù)計可使該景區(qū)五一期間客流量增加40%，假設(shè)每位購票游客都進行了抽獎，回答下列問題并說明理由：①舉行抽獎活動后該景區(qū)在五一期間的門票收入是增加了，還是減少了？②舉行抽獎活動后該景區(qū)在五一期間的總收入是增加了，還是減少了？【答案】（1）分布列見解析，40（2）①減少了；