人教A版必修二高中數(shù)學(xué)第一章 1.3.2同步課堂導(dǎo)學(xué)案【含詳細(xì)解析】

1．3.2球的體積和表面積[學(xué)習(xí)目標(biāo)]1.記準(zhǔn)球的表面積和體積公式，會(huì)計(jì)算球的表面積和體積.2.能解決與球有關(guān)的組合體的計(jì)算問(wèn)題．[知識(shí)鏈接]1．長(zhǎng)、寬、高分別為a、b、c的長(zhǎng)方體的表面積S＝2(ab＋bc＋ac)，體積V＝abc.2．棱長(zhǎng)為a的正方體的表面積S＝6a2，體積V＝a3.3．底面半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l的圓柱側(cè)面積S側(cè)＝2πrh，表面積S＝2πrh＋2πr2，體積V＝πr2h.4．底面半徑為r，高為h，母線長(zhǎng)為l的圓錐側(cè)面積S側(cè)＝πrl，表面積S＝πr2＋πrl，體積V＝eq\f(1,3)πr2h.[預(yù)習(xí)導(dǎo)引]球的體積公式與表面積公式(1)球的體積公式V＝eq\f(4,3)πR3(其中R為球的半徑)．(2)球的表面積公式S＝4πR2.要點(diǎn)一球的表面積和體積例1(1)已知球的表面積為64π，求它的體積；(2)已知球的體積為eq\f(500,3)π，求它的表面積．解(1)設(shè)球的半徑為R，則4πR2＝64π，解得R＝4，所以球的體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π·(4)3＝eq\f(256,3)π.(2)設(shè)球的半徑為R，則eq\f(4,3)πR3＝eq\f(500,3)π，解得R＝5，所以球的表面積S＝4πR2＝4π×52＝100π.規(guī)律方法1.已知球的半徑，可直接利用公式求它的表面積和體積．2．已知球的表面積和體積，可以利用公式求它的半徑．跟蹤演練1一個(gè)球的表面積是16π，則它的體積是()A．64πB.eq\f(64π,3)C．32πD.eq\f(32,3)π答案D解析設(shè)球的半徑為R，則由題意可知4πR2＝16π，故R＝2.所以球的半徑為2，體積V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(32,3)π.要點(diǎn)二球的截面問(wèn)題例2平面α截球O的球面所得圓的半徑為1.球心O到平面α的距離為eq\r(2)，則此球的體積為()A.eq\r(6)πB．4eq\r(3)πC．4eq\r(6)πD．6eq\r(3)π答案B解析如圖，設(shè)截面圓的圓心為O′，M為截面圓上任一點(diǎn)，則OO′＝eq\r(2)，O′M＝1.∴OM＝eq\r(\r(2)2＋1)＝eq\r(3).即球的半徑為eq\r(3).∴V＝eq\f(4,3)π(eq\r(3))3＝4eq\r(3)π.規(guī)律方法有關(guān)球的截面問(wèn)題，常畫出過(guò)球心的截面圓，將問(wèn)題轉(zhuǎn)化為平面中圓的有關(guān)問(wèn)題解決．跟蹤演練2已知半徑為5的球的兩個(gè)平行截面圓的周長(zhǎng)分別為6π和8π，則這兩個(gè)截面間的距離為_(kāi)_______．答案1或7解析若兩個(gè)平行截面在球心同側(cè)，如圖(1)，則兩個(gè)截面間的距離為eq\r(52－32)－eq\r(52－42)＝1；若兩個(gè)平行截面在球心異側(cè)，如圖(2)，則兩個(gè)截面間的距離為eq\r(52－32)＋eq\r(52－42)＝7.要點(diǎn)三球的組合體與三視圖例3某個(gè)幾何體的三視圖如圖所示，求該幾何體的表面積和體積．解由三視圖可知該幾何體的下部是棱長(zhǎng)為2的正方體，上部是半徑為1的半球，該幾何體的表面積為S＝eq\f(1,2)×4π×12＋6×22－π×12＝24＋π.該幾何體的體積為V＝23＋eq\f(1,2)×eq\f(4,3)π×13＝8＋eq\f(2π,3).規(guī)律方法1.由三視圖求球與其他幾何體的簡(jiǎn)單組合體的表面積和體積，關(guān)鍵要弄清組合體的結(jié)構(gòu)特征和三視圖中數(shù)據(jù)的含義．2．求解表面積和體積時(shí)要避免重疊和交叉．跟蹤演練3已知某一多面體內(nèi)接于球構(gòu)成一個(gè)簡(jiǎn)單組合體，如果該組合體的正視圖、側(cè)視圖、俯視圖均如圖所示，且圖中的四邊形是邊長(zhǎng)為2的正方形，則該球的表面積是________．答案12π解析由三視圖知組合體為球內(nèi)接正方體，正方體的棱長(zhǎng)為2，若球半徑為R，則2R＝2eq\r(3)，∴R＝eq\r(3).∴S球表＝4πR2＝4π×3＝12π.1．直徑為6的球的表面積和體積分別是()A．36π，144πB．36π，36πC．144π，36πD．144π，144π答案B解析球的半徑為3，表面積S＝4π·32＝36π，體積V＝eq\f(4,3)π·33＝36π.2．若將氣球的半徑擴(kuò)大到原來(lái)的2倍，則它的體積增大到原來(lái)的()A．2倍B．4倍C．8倍D．16倍答案C解析設(shè)氣球原來(lái)的半徑為r，體積為V，則V＝eq\f(4,3)πr3，當(dāng)氣球的半徑擴(kuò)大到原來(lái)的2倍后，其體積變?yōu)樵瓉?lái)的23＝8倍．3．兩個(gè)半徑為1的實(shí)心鐵球，熔化成一個(gè)球，這個(gè)大球的半徑是________．答案eq\r(3,2)解析設(shè)大球的半徑為R，則有eq\f(4,3)πR3＝2×eq\f(4,3)π×13，R3＝2，∴R＝eq\r(3,2).4．一個(gè)長(zhǎng)方體的各個(gè)頂點(diǎn)均在同一球的球面上，且一個(gè)頂點(diǎn)上的三條棱的長(zhǎng)分別為1,2,3，則此球的表面積為_(kāi)_______．答案14π解析長(zhǎng)方體外接球直徑長(zhǎng)等于長(zhǎng)方體對(duì)角線長(zhǎng)，即2R＝eq\r(12＋22＋32)＝eq\r(14)，所以球的表面積S＝4πR2＝14π.5．某幾何體的三視圖如圖所示，則其表面積為_(kāi)_______．答案3π解析由三視圖可知，該幾何體為一個(gè)半徑為1的半球，其表面積為半個(gè)球面面積與截面面積的和，即eq\f(1,2)×4π＋π＝3π.1.球的表面積、體積公式是解決問(wèn)題的重要依據(jù)，在球的軸截面圖形中，球半徑、截面圓半徑、球心到截面的距離所構(gòu)成的直角三角形，其量值關(guān)系是解決問(wèn)題的主要方法．2．與球有關(guān)的組合體問(wèn)題，一種是內(nèi)切，一種是外接．解題時(shí)要認(rèn)真分析圖形，明確切點(diǎn)和接點(diǎn)的位置，確定有關(guān)元素間的數(shù)量關(guān)系，并作出合適的截面圖．一、基礎(chǔ)達(dá)標(biāo)1．設(shè)正方體的表面積為24，那么其外接球的體積是()A.eq\f(4,3)πB.eq\f(8π,3)C．4eq\r(3)πD．32eq\r(3)π答案C解析由題意可知，6a2＝24，∴a＝2.設(shè)正方體外接球的半徑為R，則eq\r(3)a＝2R，∴R＝eq\r(3)，∴V球＝eq\f(4,3)πR3＝4eq\r(3)π.2．一個(gè)正方體的八個(gè)頂點(diǎn)都在半徑為1的球面上，則正方體的表面積為()A．8B．8eq\r(2)C．8eq\r(3)D．4eq\r(2)答案A解析∵球的半徑為1，且正方體內(nèi)接于球，∴球的直徑即為正方體的對(duì)角線，即正方體的對(duì)角線長(zhǎng)為2.不妨設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則有3a2＝4，即a2＝eq\f(4,3).∴正方體的表面積為6a2＝6×eq\f(4,3)＝8.3．一個(gè)幾何體的三視圖(單位：m)如圖所示，則該幾何體的體積為_(kāi)_______m3.答案9π＋18解析將三視圖還原為實(shí)物圖后求解．由三視圖知，幾何體下面是兩個(gè)球，球半徑為eq\f(3,2)；上面是長(zhǎng)方體，其長(zhǎng)、寬、高分別為6、3、1，所以V＝eq\f(4,3)π×eq\f(27,8)×2＋1×3×6＝9π＋18.4．正方體的內(nèi)切球與其外接球的體積之比為()A．1∶eq\r(3)B．1∶3C．1∶3eq\r(3)D．1∶9答案C解析設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為a，則它的內(nèi)切球的半徑為eq\f(1,2)a，它的外接球的半徑為eq\f(\r(3),2)a，故所求的比為1∶3eq\r(3).5．若與球外切的圓臺(tái)的上、下底面半徑分別為r，R，則球的表面積為()A．4π(r＋R)2B．4πr2R2C．4πRrD．π(R＋r)2答案C解析方法一如圖，設(shè)球的半徑為r1，則在Rt△CDE中，DE＝2r1，CE＝R－r，DC＝R＋r.由勾股定理得4req\o\al(2,1)＝(R＋r)2－(R－r)2，解得r1＝eq\r(Rr).故球的表面積為S球＝4πreq\o\al(2,1)＝4πRr.方法二如圖，設(shè)球心為O，球的半徑為r1，連接OA，OB，則在Rt△AOB中，OF是斜邊AB上的高．由相似三角形的性質(zhì)得OF2＝BF·AF＝Rr，即req\o\al(2,1)＝Rr，故r1＝eq\r(Rr)，故球的表面積為S球＝4πRr.6．已知一個(gè)正方體的所有頂點(diǎn)在一個(gè)球面上．若球的體積為eq\f(9π,2)，則正方體的棱長(zhǎng)為_(kāi)_______．答案eq\r(3)解析先求出球的半徑，再根據(jù)正方體的體對(duì)角線等于球的直徑求棱長(zhǎng)．設(shè)正方體棱長(zhǎng)為a，球半徑為R，則eq\f(4,3)πR3＝eq\f(9,2)π，∴R＝eq\f(3,2)，∴eq\r(3)a＝3，∴a＝eq\r(3).7．盛有水的圓柱形容器的內(nèi)壁底面半徑為5cm，兩個(gè)直徑為5cm的玻璃小球都浸沒(méi)于水中，若取出這兩個(gè)小球，則水面將下降多少？解設(shè)取出小球后，容器中水面下降hcm，兩個(gè)小球的體積為V球＝2eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(4π,3)×\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(5,2)))3))＝eq\f(125π,3)(cm3)，此體積即等于它們?cè)谌萜髦信砰_(kāi)水的體積V＝π×52×h，所以eq\f(125π,3)＝π×52×h，所以h＝eq\f(5,3)，即若取出這兩個(gè)小球，則水面將下降eq\f(5,3)cm.二、能力提升8．如圖，有一個(gè)水平放置的透明無(wú)蓋的正方體容器，容器高8cm，將一個(gè)球放在容器口，再向容器內(nèi)注水，當(dāng)球面恰好接觸水面時(shí)測(cè)得水深為6cm，如果不計(jì)容器厚度，則球的體積為()A.eq\f(500π,3)cm3B.eq\f(866π,3)cm3C.eq\f(1372π,3)cm3D.eq\f(2048π,3)cm3答案A解析利用球的截面性質(zhì)結(jié)合直角三角形求解．如圖，作出球的一個(gè)截面，則MC＝8－6＝2(cm)，BM＝eq\f(1,2)AB＝eq\f(1,2)×8＝4(cm)．設(shè)球的半徑為Rcm，則R2＝OM2＋MB2＝(R－2)2＋42，∴R＝5，∴V球＝eq\f(4,3)π×53＝eq\f(500,3)π(cm3)．9．一塊石材表示的幾何體的三視圖如圖所示．將該石材切削、打磨，加工成球，則能得到的最大球的半徑等于()A．1B．2C．3D．4答案B解析由三視圖可知該幾何體是一個(gè)直三棱柱，如圖所示．由題意知，當(dāng)打磨成的球的大圓恰好與三棱柱底面直角三角形的內(nèi)切圓相同時(shí)，該球的半徑最大，故其半徑r＝eq\f(1,2)×(6＋8－10)＝2.因此選B.10.圓柱形容器內(nèi)盛有高度為8cm的水，若放入三個(gè)相同的球(球的半徑與圓柱的底面半徑相同)后，水恰好淹沒(méi)最上面的球(如圖所示)，則球的半徑是________cm.答案4解析設(shè)球的半徑為r，則圓柱形容器的高為6r，容積為πr2×6r＝6πr3，高度為8cm的水的體積為8πr2,3個(gè)球的體積和為3×eq\f(4,3)πr3＝4πr3，由題意得6πr3－8πr2＝4πr3，解得r＝4(cm)．11．已知過(guò)球面上A、B、C三點(diǎn)的截面和球心的距離等于球半徑的一半，且AB＝18，BC＝24，AC＝30，求球的表面積和體積．解∵AB∶BC∶AC＝18∶24∶30＝3∶4∶5，∴△ABC是直角三角形，∠B＝90°.又球心O到截面△ABC的投影O′為截面圓的圓心，也即是Rt△ABC的外接圓的圓心，∴斜邊AC為截面圓O′的直徑(如圖所示)．設(shè)O′C＝r，OC＝R，則球半徑R，截面圓半徑r，在Rt△O′CO中，由題設(shè)知sin∠O′CO＝eq\f(OO′,OC)＝eq\f(1,2)，∴∠O′CO＝30°，∴eq\f(r,R)＝cos30°＝eq\f(\r(3),2)，即R＝eq\f(2,\r(3))r，(*)又2r＝AC＝30?r＝15，代入(*)得R＝10eq\r(3).∴球的表面積為S＝4πR2＝4π(10eq\r(3))2＝1200π.球的體積為V＝eq\f(4,3)πR3＝eq\f(4,3)π(10eq\r(3))3＝4000eq\r(3)π.三、探究與創(chuàng)新12.如圖所示，半徑為R的半圓內(nèi)的陰影部分以直徑AB所在直線為軸，旋轉(zhuǎn)一周得到一幾何體，求該幾何體的表面積．(其中∠BAC＝30°)解如圖所示，過(guò)C作CO1⊥AB于O1.在半圓中可得∠BCA＝90°，∠BAC＝30°，AB＝2R，∴AC＝eq\r(3)R，BC＝R，CO1＝eq\f(\r(3),2)R，∴S球＝4πR2，S圓錐AO1側(cè)＝π×eq\f(\r(3),2)R×eq\r(3)R＝eq\f(3,2)πR2，S圓錐BO1側(cè)＝π×eq\f(\r(3),2)R×R＝eq\f(\r(3),2)πR2，∴S幾何體表＝S球＋S圓錐AO1側(cè)＋S圓錐BO1側(cè)＝eq\f(11,2)πR2＋eq\f(\r(3),2)πR2＝eq\f(11＋\r(3),2)πR2.故旋轉(zhuǎn)所得幾何體的表面積為eq\f(11＋\r(3),2)πR2.13．如圖所示，一個(gè)圓錐形的空杯子上放著一個(gè)直徑為8cm的半球形的冰淇淋，請(qǐng)你設(shè)計(jì)一種這樣的圓錐形杯子(杯口直徑等于半球形的冰淇淋的直徑，杯子壁厚忽略不計(jì))，使冰淇淋融化后不會(huì)溢出杯子，怎樣設(shè)計(jì)最省材料？解設(shè)圓錐形杯子的高為hcm