粱昆淼第四版數(shù)學(xué)物理方法第10章

1、第十章第十章 球函數(shù)球函數(shù)10.2 10.2 連帶勒讓德方程連帶勒讓德方程10.1 10.1 軸對(duì)稱球函數(shù)軸對(duì)稱球函數(shù)10.3 10.3 一般的球函數(shù)一般的球函數(shù)YllYY) 1(sin1)(sinsin1222稱為球函稱為球函數(shù)方程數(shù)方程)()sincos(),(mBmAY01) 1()1(222xmlldxdxdxd式中式中cosx連帶勒讓德連帶勒讓德方程方程勒讓德方程勒讓德方程m=0m=00) 1()1(2lldxdxdxd0u球坐標(biāo)系中球坐標(biāo)系中0) 1(2222RlldrdRrdrRdr10.1 10.1 軸對(duì)稱球函數(shù)軸對(duì)稱球函數(shù)勒讓德勒讓德方程方程m=0,m=0, = =常數(shù)常數(shù),

2、 ,軸對(duì)稱軸對(duì)稱0) 1()1(2lldxdxdxd( (一）、勒讓德多項(xiàng)式一）、勒讓德多項(xiàng)式kkakkkklla) 1)(2() 1() 1(2勒讓德方程的級(jí)數(shù)解勒讓德方程的級(jí)數(shù)解0212) 1(alla1323 2) 1(alla0)(kkkxaxy勒讓德方程勒讓德方程0) 1()1(2ylldxdyxdxdkkakkkklla) 1)(2() 1() 1(2勒讓德方程的級(jí)數(shù)解勒讓德方程的級(jí)數(shù)解0)(kkkxaxy2) 1() 1() 1)(2(kkakkllkka2) 1() 1() 1)(2(kallkkkk在在 x= 1 處處勒讓德方程有自然邊界條件，勒讓德方程的勒讓德方程有自然邊界

3、條件，勒讓德方程的級(jí)數(shù)解若能退化為多項(xiàng)式，則發(fā)散問(wèn)題解決，滿足條件級(jí)數(shù)解若能退化為多項(xiàng)式，則發(fā)散問(wèn)題解決，滿足條件為軸對(duì)稱球函數(shù)為軸對(duì)稱球函數(shù)lkkklxaxP0)(2) 1() 1() 1)(2(kkallkkkka)()(),(Y)(xPl為勒讓德多項(xiàng)式為勒讓德多項(xiàng)式l 為最高項(xiàng)為最高項(xiàng), 設(shè)設(shè)2) !(2)!2(llallllallla) 12)(2() 1(22) !(2)!2() 12)(2() 1(llllll)!2()!1(2)!22() 1(llll2) 1)() 1)(2(kalklkkk)(2) 1)() 1)(2(kkalklkkkal 為最高項(xiàng)為最高項(xiàng), 設(shè)設(shè)2) !(

4、2)!2(llall)!2()!1(2)!22() 1(2lllall24) 32)(4() 3)(2(llallla)!4()!2(2! 2)!42() 1(2llll46)52)(6()5)(4(llallla)!6()!3(2! 3)!62() 1(3llll)!2()!(2!)!22() 1(2nlnlnnlalnnl（ l 為偶數(shù)）為偶數(shù)）)!2()!(2!)!22() 1(2nlnlnnlalnnllkkklxaxP0)(2/02)!2()!(2!)!22() 1(lkkllkxklklkkl2, 2 , 1 , 0ln2l2/ l2/ ) 1( l（ l 為奇數(shù)）為奇數(shù)）l /2

5、表示不超過(guò)表示不超過(guò) l /2的最大整數(shù)的最大整數(shù)2/02)!2()!(2!)!22() 1()(lkkllklxklklkklxP2l2/ l2/ ) 1( l1)(0 xPxxP)(1) 13(21)(22xxP)35(21)(33xxxPcos) 12cos3(41)cos33cos5(812/02)!2()!(2!)!22() 1()(lkkllklxklklkklxP0)0(12nP!2 !2)!2() 1()0(2nnnPnnnn1) 1 (lPnl2 )( xPl)(xPl12 nl )( xPl)(xPlllP) 1() 1( (二）、勒讓德多項(xiàng)式的微分式二）、勒讓德多項(xiàng)式的微

6、分式證明：證明：lllllxdxdlxP) 1(!21)(2knkknnbaknknba0)!( !)(lkklklxklklx0222)!( !) 1() 1(lkklklllllllxklkldxdlxdxdl0222)!( !) 1(!21) 1(!21lkklklllllllxklkldxdlxdxdl0222)!( !) 1(!21) 1(!212/02)!(2!) 12() 122)(22() 1(lkkllkxklkklklkl)()!2()!(2!)!22() 1(2/02xPxklklkklllkkllk( (三）、勒讓德多項(xiàng)式的積分式三）、勒讓德多項(xiàng)式的積分式證明：證明：C

7、lllldzxzzixP12)()1(2121)(lzzf) 1()(2Cllllldzilzdzd122)() 1(2!) 1(令令由柯西由柯西定理定理即有即有Cllllldxilxdxd122)() 1(2!) 1(ClllldzxzzixP12)()1(2121)(而而Cllllldxilxdxd122)() 1(2!) 1(lllllxdxdlxP) 1(!21)(2ClllldzxzzixP12)()1(2121)( (四）、勒讓德多項(xiàng)式的正交性四）、勒讓德多項(xiàng)式的正交性即有即有)(0)()(11lkdPPlk)(0sin)(cos)(cos11lkdPPlk( (五）、勒讓德多項(xiàng)式

8、的模五）、勒讓德多項(xiàng)式的模以下用微分表示式求解以下用微分表示式求解dxxPNll2112 )(dxxPNll2112 )(dxdxxddxxdllllllll11222) 1() 1() !2(11112122) 1() 1() !2(1llllllldxxdddxxdl11121222) 1() 1() !2(1lllllllldxxdddxxdlN11121221112122)1()1() !2(1)1()1() !2(1dxdxxddxxddxdldxxddxxdlllllllllllllll11121222) 1() 1() !2(10dxdxxddxxddxdlNllllllll0)

9、 1(12xx0) 1(11121llldxxd上式以上式以x= 1為一級(jí)零點(diǎn)為一級(jí)零點(diǎn)111212212) 1() 1() !2() 1(dxdxxddxxddxdlNllllllll1122222) 1() 1() !2() 1(dxdxxdxlllllll)!2() 1(222ldxxdlll11222) 1() !2()!2() 1(dxxllNllll因?yàn)橐驗(yàn)?1222) 1() !2()!2() 1(dxxllNllll分部分部積分積分112) 1() 1() !2()!2() 1(dxxxllllll11112) 1() 1(1) 1() !2()!2() 1(dxxxlllll

10、lll11202) 1() 1(21211) 1() !2()!2() 1(dxxxlllllllllll122l1222lNl122lNl), 2 , 1 , 0(l( (六）、廣義六）、廣義FourierFourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)系數(shù)系數(shù)0)()(lllxPfxfdxxfxPNflll112)()(1dxxfxPll11)()(212系數(shù)系數(shù)0)()(lllxPfxfdxxfxPlfll11)()(212系數(shù)系數(shù)0)(cos)(lllPfxfdfPlfll0sin)()(cos212積分帶全重積分帶全重sinsin 例：以勒讓德多項(xiàng)式為基，在例：以勒讓德多項(xiàng)式為基，在-1-1，11上把上把f(

11、x)=2x3+3x2+4 展開為廣義傅里葉級(jí)數(shù)展開為廣義傅里葉級(jí)數(shù))()()()(4323322110023xPfxPfxPfxPfxx系數(shù)系數(shù)解：解：1)(0 xPxxP)(1) 13(21)(22xxP)35(21)(33xxxP因?yàn)橐驗(yàn)?35(21) 13(2143233221023xxfxfxffxx02120ff40f例：以勒讓德多項(xiàng)式為基，在例：以勒讓德多項(xiàng)式為基，在-1-1，11上把上把f(x)= x 展開為廣義傅里葉級(jí)數(shù)展開為廣義傅里葉級(jí)數(shù)系數(shù)系數(shù)解：解：dxxfxPlfll11)()(2120)()(lllxPfxfdxxxPldxxPxlflll1001)(212)()(2

12、12dxxxPldxxPxlll1010)(212)(212dxxPxPxlll)()(21210nl2 )( xPl)(xPl12 nl )( xPl)(xPldxxPxPxlflll)()(21210dxxPxlfnn)(22122102dxxPxnn)()14(210012nflllllxdxdlxP) 1(!21)(2dxxdxdnxnnnnn2222210)1()!2(21)14(dxxPxf)(0100dxx102/1dxxdxdnxnfnnnnn22222102)1()!2(21)14() 1() 1()!2(2) 14(10221212102212122dxxdxdxdxdxn

13、nnnnnnnn0) 1(12xx0) 1(10122212nnndxxdx因?yàn)橐驗(yàn)?022121222) 1()!2(2) 14(dxxdxdnnfnnnnn102222222) 1()!2(2) 14(nnnnxdxdnn上式以上式以x= 1為一級(jí)零點(diǎn)為一級(jí)零點(diǎn)上式以上式以x= 1為二級(jí)零點(diǎn)為二級(jí)零點(diǎn)1022222222) 1()!2(2) 14(nnnnnxdxdnnf022222222) 1()!2(2) 14(xnnnnnxdxdnnfkknnknxkknnx) 1()(!)!2()!2() 1(222022而而02220222222) 1()(!)!2()!2()!2(2) 14(

14、xkknnknnnnxkknndxdnnfknn24221nk02220222222) 1()(!)!2()!2()!2(2) 14(xkknnknnnnxkknndxdnnfknn24221nk) 1()!1()!1()!2()!2(2) 14(122222222nnnnnnxnnndxdnnf)!2(2)!22)(14()!1()!1()!2() 1(21nnnnnnnnnnnnnn212)!1()!1()!22)(14() 1(210fnnnnnnnf2122)!1()!1()!22)(14() 1(210f)(2)!1()!1()!22)(14() 1()(2121210 xPnnnn

15、xPxnnnn( (七）、勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)七）、勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)設(shè)設(shè)N點(diǎn)放一電量為點(diǎn)放一電量為 q= 40 的電的電荷，荷，單位球單位球內(nèi)任意點(diǎn)內(nèi)任意點(diǎn)M處的電勢(shì)為處的電勢(shì)為),(),(rvrvdroMqNzdq04d12cos211rr1,2112xrrxcosx令令1r單位球單位球droMqNz1,211),(2xrrxrv而而球坐標(biāo)球坐標(biāo)系中系中0v其中其中),()(),(YrRrv)()(rR0) 1(2222RlldrdRrdrRdr) 1()(llBrArrR1,211),(2xrrxrv球坐標(biāo)系中球坐標(biāo)系中其中其中)()(),(rRrv) 1()(llBrArrR0) 1

16、()1(2lldxdxdxd滿足勒讓滿足勒讓德方程德方程而而)(coslP)(cos211),(0)1(2llllllPrBrArrxrv球內(nèi)電勢(shì)有限球內(nèi)電勢(shì)有限取取 x=1,)(cos2110)1(2llllllPrBrArrx0lB)(cos21102llllPrArrx1) 1 (lP因?yàn)?11lllrAr于是于是)2 , 1 , 0(1lAl同理球外電勢(shì)有限同理球外電勢(shì)有限1r)(cos21102llllPrArrx)2 , 1 , 0(1lAl)(coscos21102lllPrrr)(cos1cos211012lllPrrr1r2cos21/1rr稱為勒讓德多項(xiàng)式的母函數(shù)稱為勒讓德

17、多項(xiàng)式的母函數(shù)對(duì)于半徑為對(duì)于半徑為R R的球的球1r)(coscos21102lllPrrr)(cos1cos211012lllPrrr1rRr )(coscos210122llllPRrrrRR)(coscos210122llllPrRrrRRRr ( (八）、勒讓德多項(xiàng)式的遞推關(guān)系八）、勒讓德多項(xiàng)式的遞推關(guān)系有遞推關(guān)系有遞推關(guān)系0) 1()1(2lldxdxdxd勒讓德方程勒讓德方程0)()() 12()() 1(11xlPxxPlxPllll證明：證明：)(21102lllxPrrrx兩邊對(duì)兩邊對(duì) r 求導(dǎo)求導(dǎo))()21)(012/32lllxPlrrrxrx有遞推關(guān)系有遞推關(guān)系0)()

18、() 12()() 1(11xlPxxPlxPllll兩邊乘以兩邊乘以兩邊對(duì)兩邊對(duì) r 求導(dǎo)求導(dǎo))()21)(012/32lllxPlrrrxrx221rrx)()21 ()21)(0122/ 12lllxPlrrrxrrxrx)()21 ()()(0120llllllxPlrrrxxPrrx比較比較 r l 同冪次同冪次)() 1()(2)() 1()()(111xPlxlxPxPlxPxxPlllll有遞推關(guān)系有遞推關(guān)系例：求積分例：求積分解：解：dxxPxxPkl11)()(遞推關(guān)系遞推關(guān)系0)()() 12()() 1(11xlPxxPlxPllll)() 1()(121)(11xPl

19、xlPlxxPllldxxPxxPkl11)()(dxxPxPlxlPlkll1111)()()1()(121dxxPxxPkl11)()(dxxPxPlxlPlkll1111)()()1()(121dxxPxPlldxxPxPllklkl111111)()(121)()(12112212kllll2 1) 1(2) 1(2kk) 1(kl1122121kllll1422kk) 1(kl例：勻強(qiáng)電場(chǎng)例：勻強(qiáng)電場(chǎng) E0 0 中，放一接地導(dǎo)體球，球半徑中，放一接地導(dǎo)體球，球半徑為為a, ,求球外電場(chǎng)。求球外電場(chǎng)。選擇極坐標(biāo)討論選擇極坐標(biāo)討論解：解：0u0aru電勢(shì)電勢(shì)u滿足滿足Laplace方程方

20、程定解問(wèn)題：定解問(wèn)題：邊界條件：邊界條件：（接地）（接地）無(wú)限遠(yuǎn)處為勻強(qiáng)電場(chǎng)無(wú)限遠(yuǎn)處為勻強(qiáng)電場(chǎng)rErzu0Ez設(shè)在導(dǎo)體未放入前，設(shè)在導(dǎo)體未放入前，r=0 處處 u=u000uzEur0u0aru定解問(wèn)題：定解問(wèn)題：邊界條件：邊界條件：軸對(duì)稱軸對(duì)稱故故00uzEur)()(rRu解為解為)(cos),(0)1(llllllPrBrAru由邊界條由邊界條件（件（1）得）得12 lllaAB)(cos),(0)1(12llllllPrarAru0u0aru定解問(wèn)題：定解問(wèn)題：邊界條件：邊界條件：展開求系數(shù)展開求系數(shù)00uzEur由邊界條由邊界條件（件（2）得）得)(cos),(0)1(12lllll

21、lPrarAru000)(cosuzEPrAllll00cosurE展開展開求系求系數(shù)數(shù)000cos)(cosurEPrAllllcos)(cos)(cos)(cos102221100rAAPrArPAPA00uA 01EA) 1 , 0(, 0lAl)(cos),(0)1(12llllllPrarArvcoscos023000ErarEurau00cosurE例：勻強(qiáng)電場(chǎng)例：勻強(qiáng)電場(chǎng) E0 0 中，放一均勻介質(zhì)球，球半徑為中，放一均勻介質(zhì)球，球半徑為a, ,相對(duì)相對(duì)介電常數(shù)為介電常數(shù)為 ，求球外電場(chǎng)。求球外電場(chǎng)。選擇極坐標(biāo)討論選擇極坐標(biāo)討論解：解：)(0aru內(nèi)1）、球內(nèi)電勢(shì)）、球內(nèi)電勢(shì)u滿

22、足滿足Laplace方程方程定解問(wèn)題：定解問(wèn)題：z)(cos),(0)1(llllllPrBrAru內(nèi))(cos0llllPrA)(0aru外2）、球外電勢(shì)）、球外電勢(shì)u滿足滿足Laplace方程方程定解問(wèn)題：定解問(wèn)題：無(wú)限遠(yuǎn)處為勻強(qiáng)電場(chǎng)無(wú)限遠(yuǎn)處為勻強(qiáng)電場(chǎng)rErzu0Ez設(shè)在導(dǎo)體未放入前，設(shè)在導(dǎo)體未放入前，r=0 處處 u=u000uzEur)(cos),(0)1(llllllPrDrCru外000)(cosuzEPrCllll解為解為3）、銜接）、銜接條件條件000)(cosuzEPrCllll00cosurE00uC 01EC) 1 , 0(, 0lCl)(cos),(0)1(llllll

23、PrDrCru外)(coscos0)1(00llllPrDurEararuu外內(nèi)ararDD外內(nèi)比較系數(shù)比較系數(shù))(coscos)(cos0)1(000llllllllPaDaEuPaA3）、銜接條件）、銜接條件araruu外內(nèi)ararDD外內(nèi)ararrruru外內(nèi)00)(cos) 1(cos)(cos0)2(001llllllllrPaDlEPalA比較系數(shù)比較系數(shù))(coscos)(cos0)1(000llllllllPaDaEuPaA)(cos) 1(cos)(cos0)2(001llllllllrPaDlEPalA1000aDuA2101aDaEaA31012aDEAr200aD)1(

24、 llllaDaA)2(1) 1(llllraDlalA)0( l1000aDuA2101aDaEaA31012aDEAr200aD)1( llllaDaA)2(1) 1(llllraDlalA)0( l00D00uA 0123EAr03121EaDrr0lD0lA00D00uA 0123EAr03121EaDrr0lD0lAcos2300rEuur內(nèi)cos121cos20300rEarEuurr外例：在點(diǎn)電荷例：在點(diǎn)電荷 40 q 的電場(chǎng)中放置于、的電場(chǎng)中放置于、接地導(dǎo)體球，球半徑為接地導(dǎo)體球，球半徑為a，球，球內(nèi)球心與內(nèi)球心與點(diǎn)電荷相距為點(diǎn)電荷相距為r1(r1a)。求靜電場(chǎng)求靜電場(chǎng)),(c

25、os2),(2121rvrrrrqruv由感應(yīng)電荷引起由感應(yīng)電荷引起2rroq04a1r解：解：0u0raruu0v2121cos2aarrqvar0rv2rroq04a1r導(dǎo)體球外導(dǎo)體球外)(cos),(0) 1(llllllPrDrCrv0rv)(cos),(0) 1(llllPrDrv由邊界條件得由邊界條件得21210) 1(cos2)(cosaarrqPaDllll)(coscos210122llllPrRrrRRRr 21210) 1(cos2)(cosaarrqPaDllll用母函數(shù)關(guān)系用母函數(shù)關(guān)系)(cos)(cos0110) 1(llllllllPraqPaD1112lllra

26、qD),(cos2),(2121rvrrrrqru)(cos),(0) 1(llllPrDrv1112lllraqD)(coscos2),(0) 1(11122121lllllPrraqrrrrqru)(cos)()(cos0) 1(1210) 1(1112lllllllllPrraraqPrraq)(coscos2),(0) 1(11122121lllllPrraqrrrrqru)(cos)()(cos0) 1(1210) 1(1112lllllllllPrraraqPrraq)(coscos210122llllPrRrrRR用母函用母函數(shù)關(guān)系數(shù)關(guān)系2122120) 1(12cos)(2)(

27、1)(cos)(rrarraPrrallll)(coscos2),(0) 1(11122121lllllPrraqrrrrqru21221210) 1(121cos)(2)(/)(cos)(rrarrarqaPrraraqllll21221212121cos)(2)(/cos2),(rrarrarqarrrrqru21221212121cos)(2)(/cos2),(rrarrarqarrrrqru2122121cos)(2)(/),(rrarrarqarv這相當(dāng)于電量為這相當(dāng)于電量為 -40 qa/r1 的電荷的電荷放置在球心與本來(lái)那個(gè)點(diǎn)電荷的聯(lián)放置在球心與本來(lái)那個(gè)點(diǎn)電荷的聯(lián)線上，到球心的距

28、離為線上，到球心的距離為r0=a2/r1(a)。這個(gè)假想的電荷叫原電荷的電像這個(gè)假想的電荷叫原電荷的電像2rroq04a1r例：求積分例：求積分解：解：dxxPl11)(0dxxPl11)(dxxPxPl110)()(20l0l10.2 10.2 連帶勒讓德方程連帶勒讓德方程01) 1()1(222xmlldxdxdxd令令cosx連帶勒讓德連帶勒讓德方程方程（一）、連帶勒讓德函數(shù)（一）、連帶勒讓德函數(shù)（1 1）、連帶勒讓德函數(shù)的表示式）、連帶勒讓德函數(shù)的表示式令令)()1 (2/2xyxm代入代入xyxmyxdxdmm1222/2)1 ()1 (01) 1()1(222xmlldxdxdxd

29、cosx)()1 (2/2xyxm代入代入xyxmyxdxdmm1222/2)1 ()1 (yxxmmyxmxyxmyxdxdmmmm22221221222/222)1)(2()1 ()1 (2 )1 (0)1() 1() 1(2)1 (2ymmllxymyx為勒讓德方程逐項(xiàng)微分為勒讓德方程逐項(xiàng)微分m次的結(jié)果次的結(jié)果因?yàn)槔兆尩路匠桃驗(yàn)槔兆尩路匠?)1() 1() 1(2)1 (2ymmllxymyx為勒讓德方程逐項(xiàng)微分為勒讓德方程逐項(xiàng)微分m次的結(jié)果次的結(jié)果0)() 1(2)( )1 (2xPllxPxPxlll微分一次微分一次0)( )11 ( 1) 1( )11 (2)( )1 (2xPll

30、PxxPxlll再微分一次再微分一次0)( )12( 2) 1()12(2)( )1 (2xPllPxxPxlll微分微分m次次正是勒讓德方程逐項(xiàng)微分正是勒讓德方程逐項(xiàng)微分m次的結(jié)果次的結(jié)果0)( )12( 2) 1()12(2)( )1 (2xPllPxxPxlll微分微分m次次0)()1() 1()() 1(2)()1 (2xPmmllxPxmxPxmlmlml0)1() 1() 1(2)1 (2ymmllxymyx是方程是方程)(xPml的特解的特解)()(xPxyml)()1 (2/2xyxm0)1() 1() 1(2)1 (2ymmllxymyx的特解的特解)()(xPxyml)()

31、1 (2/2xPxmlm稱為連帶勒稱為連帶勒讓德函數(shù)讓德函數(shù)連帶勒讓德函數(shù)的本征值為連帶勒讓德函數(shù)的本征值為), 2 , 1 , 0() 1(lll)(xPml所以所以 l m., 2 , 1 , 0lm)()1 (2/2xyxm)()1 (2/2xPxmlm稱為連帶勒稱為連帶勒讓德函數(shù)讓德函數(shù).), 2 , 1 , 0, 2 , 1 , 0(lml)(xPl令令為連帶勒讓德函數(shù)為連帶勒讓德函數(shù))()(00 xPxPll)( )1 ()(12/1211xPxxP2/12)1 (xsin)( )1 ()(22/1212xPxxP2sin23)3()1 (2/12xx)()1 ()(2222xPx

32、xP)1 ( 32x)2cos1 (23)()1 ()(2/2xPxxPmlmml(2(2）、連帶勒讓德多項(xiàng)式的微分式）、連帶勒讓德多項(xiàng)式的微分式而而)()1 ()(2/2xPxxPmlmmllmlmllmmlxdxdlxxP) 1(!21)1 ()(22/2mllmlmllmlmmlmldxxddxxdxxPxP/) 1(/) 1()1 ()()(222lmlmllmxdxdlx) 1(!21)1 (22/2)!()!() 1(mlmlm稱為羅稱為羅得里格得里格斯公式斯公式)()!()!() 1()(xPmlmlxPmlmmlPlm 與與 Pl-m相關(guān)相關(guān)(3(3）、連帶勒讓德多項(xiàng)式的積分式

33、）、連帶勒讓德多項(xiàng)式的積分式Cmlllmdzxzzilmlx1222/2)() 1(21!2)!()1 ()()1 ()(2/2xPxxPmlmml/ )() 1(2121)1 (1222/2mClllmmdxdzxzzidx( (二）、連帶勒讓德多項(xiàng)式的正交性二）、連帶勒讓德多項(xiàng)式的正交性即有即有)(0)()(11lkdPPmkml)(0sin)(cos)(cos0lkdPPmlmk( (三）、連帶勒讓德多項(xiàng)式的模三）、連帶勒讓德多項(xiàng)式的模以下用微分表示式求解以下用微分表示式求解dxxPNmlml2112 )()(dxxPNmlml2112 )()()()!()!() 1()(xPmlmlx

34、Pmlmml利用利用dxxPxPmlmlNmlmlmml)()()!()!() 1()(11211222) 1() 1() !2(1)!()!() 1(dxdxxddxxdlmlmlmllmlmllmllmdxxPxPmlmlNmlmlmml)()()!()!() 1()(112分部積分分部積分122)!()!()(2lmlmlNml122)!()!(lmlmlNml模模( (四）、廣義四）、廣義FourierFourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)系數(shù)系數(shù)0)()(lmllxPfxfdxxfxPNfmlmll112)()()(1dxxfxPmlmllml11)()()!()!(212系數(shù)系數(shù)0)(cos)(l

35、mllPfxfdfPmlmllfmll0sin)()(cos)!()!(212積分帶全積分帶全重重sinsin 例：以例：以 （l=0,1,2,3)為基，在為基，在x的區(qū)間的區(qū)間-1，1上上將函數(shù)將函數(shù)f(x)=sin2x=1-x2 展開為展開為廣義廣義FourierFourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)解：解：)(2xPl事實(shí)上事實(shí)上2m2 ml0)()(lmllxPfxfdxxfxPNfmlll1122)()()(12)(lmllxPfxxP222sin3)()(31)(22xPxf例：球半徑為例：球半徑為a的球形區(qū)域內(nèi)沒(méi)有電荷，球面上的電勢(shì)為的球形區(qū)域內(nèi)沒(méi)有電荷，球面上的電勢(shì)為u0 0sinsin2 2

36、 coscos sinsin ，u0 0為常數(shù)為常數(shù)，求求球形區(qū)域內(nèi)的電勢(shì)球形區(qū)域內(nèi)的電勢(shì)。解：解：0usincossinu20aru定解問(wèn)題：定解問(wèn)題：一般解為一般解為有限0rur=0 處處 u=有限有限)(ar 00)(cossincos),(llmmlmlmllPmBmArru00)1()(cossincosllmmlmlmllPmDmCr0usincossinu20aru定解問(wèn)題：定解問(wèn)題：球內(nèi)解為球內(nèi)解為利用邊利用邊界條件界條件)(ar 00)(cossincos),(llmmlmlmllPmBmArrusincossinu)(cossincos2000llmmlmlmllPmBmA

37、a)(cossincosu31220P)(cos2sinu61220P)(cos2sinu61)(cossincos22000PPmBmAallmmlmlmll比較比較兩邊兩邊系數(shù)系數(shù)0222u61Ba0222u61aB )2, 2(0mlBml0mlA)(cos2sinu61),(22202Praru（一）、球函數(shù)（一）、球函數(shù)（1 1）、球函數(shù)的表示式）、球函數(shù)的表示式10.3 10.3 一般球函數(shù)一般球函數(shù)YllYY) 1(sin1)(sinsin1222)sincos)(),(mBmAY)cossin)(cosmmPml記號(hào)記號(hào) 例舉的函數(shù)是線性獨(dú)立的，可任取其一，例舉的函數(shù)是線性獨(dú)立

38、的，可任取其一，l為階為階),(mlY.), 2 , 1 , 0, 2 , 1 , 0(lml（2 2）、復(fù)數(shù)形式的球函數(shù)表示式）、復(fù)數(shù)形式的球函數(shù)表示式)sincos)(cos),(mBmAPYmlml), 2 , 1 , 0, 2 , 1 , 0(llm也可表示為復(fù)數(shù)形式的球函數(shù)表示式也可表示為復(fù)數(shù)形式的球函數(shù)表示式)(cos),(imimmlmleBeAPY), 2 , 1 , 0, 2 , 1 , 0, 1,(llllmimimeBeAmBmAsincosimmleP)(cosY( , )有有 2l+1 個(gè)獨(dú)立的個(gè)獨(dú)立的球函數(shù)球函數(shù)m 0有有 l個(gè)個(gè)mPmlcos)(cosm 0有有

39、l個(gè)個(gè)mPmlsin)(cosm= 0有有 1個(gè)個(gè))(cos)(cos0llPP對(duì)于對(duì)于 m0 的復(fù)冪項(xiàng)的復(fù)冪項(xiàng)immlimmlePeP)(cos)(cos表示表示復(fù)數(shù)形復(fù)數(shù)形式式的的球函數(shù)球函數(shù))()!()!() 1()(xPmlmlxPmlmml由于由于Plm 與與 Pl-m線性線性相關(guān)相關(guān)相關(guān)與)(cos)(cosmlmlPPimmlmlePY)(cos),(故用故用)cossin)(cos),(mmPYmlml( (二）、球函數(shù)的正交性二）、球函數(shù)的正交性因?yàn)橐驗(yàn)?(0sin),(),(*lkddYYSnlmk0)cossin)cossin)()(2011dnnmmdxxPxPnlmk

40、)(nmlk或)(nmlk或復(fù)數(shù)形式復(fù)數(shù)形式0)()(2011deedxxPxPinimnkml( (三）、球函數(shù)的模三）、球函數(shù)的模ddYNSmlmlsin),()(22利用利用2022211)cossin )(dmmdxxPml)0(sin202mdm)0(cos202mdm)0(2cos202mdm（1 1）、三角函數(shù)形式的模）、三角函數(shù)形式的模令令)0(sin202mdm)0(cos202mdm)0(2cos202mdm)0(1mm)0(2mmdm202cos)0(sin202mdm20222112)cossin )()(dmmdxxPNmlml考慮到考慮到122)!()!( )(21

41、1lmlmldxxPml模模mdmm2022)cossin122)!()!()(2lmlmlNmml122)!()!(lmlmlNmml（2 2）、復(fù)數(shù)形式的模）、復(fù)數(shù)形式的模ddYNSmlmlsin),()(2220*211 )(deedxxPimimmldxxPml211 )(2124)!()!()(2lmlmlNml124)!()!(lmlmlNml( (四）、廣義四）、廣義FourierFourier級(jí)數(shù)級(jí)數(shù)系數(shù)系數(shù)00)sincos)(cos),(llmmlmlmlmBmAPfddmPfmlmllmlmcossin)(cos),()!()!(212020 ddmPfmlmllBmlm

42、lsinsin)(cos),()!()!(212020 dxdmxPxfmlmllAmlmmlcos)(),()!()!(2122011 廣義廣義FourierFourier級(jí)數(shù)（復(fù)數(shù)形式）級(jí)數(shù)（復(fù)數(shù)形式）系數(shù)系數(shù)0)(cos),(lllmimmlmlePCfddePfmlmllCimmlml 020sin)(cos),()!()!(412( (五）、正交歸一化球函數(shù)五）、正交歸一化球函數(shù)immlmlePY)(cos),(令令),(1mlmllmYNYimmlePmlmll)(cos)!()!(412124)!()!(lmlmlNmlddYYnkml 0*20sin),(),(ddeePPNNinimnkmlnkml 020sin)(cos)(cos1mnlk正交歸一正交歸一系數(shù)系數(shù)0)(cos),(ll