人教A版高一數(shù)學必修2 第四章至第二部分 導學案【含答案】

PAGEPAGE14．1圓的方程4．1.1圓的標準方程圓的標準方程[提出問題]“南昌之星”摩天輪是目前世界上第二高的摩天輪，它位于江西省南昌市紅谷灘新區(qū)紅角洲贛江邊上的贛江市民公園，是南昌市標志性建筑．該摩天輪總高度為160米，轉盤直徑為153米，比位于英國泰晤士河邊的135米高的“倫敦之眼”摩天輪還要高．問題1：游客在摩天輪轉動過程中離摩天輪中心的距離一樣嗎？提示：一樣．圓上的點到圓心距離都是相等的，都是圓的半徑．問題2：若以摩天輪中心所在位置為原點，建立平面直角坐標系，游客在任一點(x，y)的坐標滿足什么關系？提示：eq\r(x2＋y2)＝eq\f(153,2).問題3：以(1,2)為圓心，3為半徑的圓上任一點的坐標(x，y)滿足什么關系？提示：eq\r(x－12＋y－22)＝3.[導入新知]圓的標準方程(1)圓的定義：平面內到定點的距離等于定長的點的集合叫做圓，定點稱為圓心，定長稱為圓的半徑．(2)確定圓的要素是圓心和半徑，如圖所示．(3)圓的標準方程：圓心為A(a，b)，半徑長為r的圓的標準方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.當a＝b＝0時，方程為x2＋y2＝r2，表示以原點為圓心、半徑為r的圓．[化解疑難]1．由圓的標準方程，可直接得到圓的圓心坐標和半徑大??；反過來說，給出了圓的圓心和半徑，即可直接寫出圓的標準方程，這一點體現(xiàn)了圓的標準方程的直觀性，為其優(yōu)點．2．幾種特殊位置的圓的標準方程：條件圓的標準方程過原點(x－a)2＋(y－b)2＝a2＋b2(a2＋b2＞0)圓心在x軸上(x－a)2＋y2＝r2(r≠0)圓心在y軸上x2＋(y－b)2＝r2(r≠0)圓心在x軸上且過原點(x－a)2＋y2＝a2(a≠0)圓心在y軸上且過原點x2＋(y－b)2＝b2(b≠0)與x軸相切(x－a)2＋(y－b)2＝b2(b≠0)與y軸相切(x－a)2＋(y－b)2＝a2(a≠0)點與圓的位置關系[提出問題]愛好運動的小華，小強，小兵三人相邀搞一場擲飛鏢比賽，他們把靶子釘在土墻上，規(guī)定誰的飛鏢離靶心O越近，誰獲勝，如圖A，B，C分別是他們擲一輪飛鏢的落點．看圖回答下列問題：問題1：點與圓的位置關系有幾種？提示：三種．點在圓外、圓上、圓內．問題2：如何判斷他們的勝負？提示：利用點與圓心的距離．[導入新知]點與圓的位置關系圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，圓心A(a，b)，半徑為r.設所給點為M(x0，y0)，則位置關系判斷方法幾何法代數(shù)法點在圓上│MA│＝r?點M在圓A上點M(x0，y0)在圓上?(x0－a)2＋(y0－b)2＝r2點在圓內│MA│<r?點M在圓A內點M(x0，y0)在圓內?(x0－a)2＋(y0－b)2＜r2點在圓外│MA│>r?點M在圓A外點M(x0，y0)在圓外?(x0－a)2＋(y0－b)2＞r2[化解疑難]1．點與圓的位置關系有三種：點在圓內，點在圓上，點在圓外．2．判斷點與圓的位置關系常用幾何法和代數(shù)法．求圓的標準方程[例1]過點A(1，－1)，B(－1,1)且圓心在直線x＋y－2＝0上的圓的方程是()A．(x－3)2＋(y＋1)2＝4B．(x＋3)2＋(y－1)2＝4C．(x－1)2＋(y－1)2＝4D．(x＋1)2＋(y＋1)2＝4[解析]法一：設所求圓的標準方程為(x－a)2＋(y－b)2＝r2，由已知條件知eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1－a2＋－1－b2＝r2，,－1－a2＋1－b2＝r2，,a＋b－2＝0，))解此方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1，,r2＝4.))故所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.法二：設點C為圓心，∵點C在直線x＋y－2＝0上，∴可設點C的坐標為(a,2－a)．又∵該圓經過A，B兩點，∴|CA|＝|CB|.∴eq\r(a－12＋2－a＋12)＝eq\r(a＋12＋2－a－12)，解得a＝1.∴圓心坐標為C(1,1)，半徑長r＝|CA|＝2.故所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.法三：由已知可得線段AB的中點坐標為(0,0)，kAB＝eq\f(1－－1,－1－1)＝－1，所以弦AB的垂直平分線的斜率為k＝1，所以AB的垂直平分線的方程為y－0＝1·(x－0)，即y＝x.則圓心是直線y＝x與x＋y－2＝0的交點，由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝x，,x＋y－2＝0，))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝1，,y＝1，))即圓心為(1,1)，圓的半徑為eq\r(1－12＋[1－－1]2)＝2，故所求圓的標準方程為(x－1)2＋(y－1)2＝4.[答案]C[類題通法]確定圓的標準方程就是設法確定圓心C(a，b)及半徑r，其求解的方法：一是待定系數(shù)法，如解法一，建立關于a，b，r的方程組，進而求得圓的方程；二是借助圓的幾何性質直接求得圓心坐標和半徑，如解法二、三．一般地，在解決有關圓的問題時，有時利用圓的幾何性質作轉化較為簡捷．[活學活用]1．求下列圓的標準方程：(1)圓心是(4，－1)，且過點(5,2)；(2)圓心在y軸上，半徑長為5，且過點(3，－4)；(3)求過兩點C(－1,1)和D(1,3)，圓心在x軸上的圓的標準方程．解：(1)圓的半徑長r＝eq\r(5－42＋2＋12)＝eq\r(10)，故圓的標準方程為(x－4)2＋(y＋1)2＝10.(2)設圓心為C(0，b)，則(3－0)2＋(－4－b)2＝52，解得b＝0或b＝－8，則圓心為(0,0)或(0，－8)．又∵半徑r＝5，∴圓的標準方程為x2＋y2＝25或x2＋(y＋8)2＝25.(3)直線CD的斜率kCD＝eq\f(3－1,1＋1)＝1，線段CD中點E的坐標為(0,2)，故線段CD的垂直平分線的方程為y－2＝－x，即y＝－x＋2，令y＝0，得x＝2，即圓心為(2,0)．由兩點間的距離公式，得r＝eq\r(2－12＋0－32)＝eq\r(10).所以所求圓的標準方程為(x－2)2＋y2＝10.點與圓的位置關系[例2]如圖，已知兩點P1(4,9)和P2(6,3)．(1)求以P1P2為直徑的圓的方程；(2)試判斷點M(6,9)，N(3,3)，Q(5,3)是在圓上，在圓內，還是在圓外．[解](1)設圓心C(a，b)，半徑長為r，則由C為P1P2的中點，得a＝eq\f(4＋6,2)＝5，b＝eq\f(9＋3,2)＝6.又由兩點間的距離公式得r＝|CP1|＝eq\r(4－52＋9－62)＝eq\r(10)，故所求圓的方程為(x－5)2＋(y－6)2＝10.(2)由(1)知，圓心C(5,6)，則分別計算點到圓心的距離：|CM|＝eq\r(6－52＋9－62)＝eq\r(10)；|CN|＝eq\r(3－52＋3－62)＝eq\r(13)＞eq\r(10)；|CQ|＝eq\r(5－52＋3－62)＝3＜eq\r(10).因此，點M在圓上，點N在圓外，點Q在圓內．[類題通法]1．判斷點與圓的位置關系的方法(1)只需計算該點與圓的圓心距離，與半徑作比較即可；(2)把點的坐標代入圓的標準方程，判斷式子兩邊的符號，并作出判斷．2．靈活運用若已知點與圓的位置關系，也可利用以上兩種方法列出不等式或方程，求解參數(shù)范圍．[活學活用]2．點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內部，則a的取值范圍是()A．－1＜a＜1 B．0＜a＜1C．a＞1或a＞－1 D．a＝±1解析：選A由于點(1,1)在圓(x－a)2＋(y＋a)2＝4的內部，所以(1－a)2＋(1＋a)2＜4，a2＜1，所以－1＜a＜1.eq\a\vs4\al(,,10.求解圓的方程中漏解)[典例]已知某圓圓心在x軸上，半徑長為5，且截y軸所得線段長為8，求該圓的標準方程．[解]法一：如圖所示，由題設|AC|＝r＝5，|AB|＝8，∴|AO|＝4.在Rt△AOC中，|OC|＝eq\r(|AC|2－|AO|2)＝eq\r(52－42)＝3.設點C坐標為(a,0)，則|OC|＝|a|＝3，∴a＝±3.∴所求圓的方程為(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.法二：由題意設所求圓的方程為(x－a)2＋y2＝25.∵圓截y軸線段長為8，∴圓過點A(0,4)．代入方程得a2＋16＝25，∴a＝±3.∴所求圓的方程為(x＋3)2＋y2＝25，或(x－3)2＋y2＝25.[易錯防范]1．若解題分析只畫一種圖形，而忽略兩種情況，考慮問題不全面，漏掉圓心在x軸負半軸的情況而導致出錯．2．借助圖形解決數(shù)學問題，只能是定性分析，而不能定量研究，要定量研究問題，就要考慮到幾何圖形的各種情況．[成功破障]圓心在直線2x－y－7＝0上的圓C與y軸交于兩點A(0，－4)，B(0，－2)，則圓C的標準方程為________．解析：結合題意可知，圓心在直線y＝－3上，又圓心在直線2x－y－7＝0上，故圓心坐標是(2，－3)，從而r2＝(2－0)2＋(－3＋2)2＝5，圓的標準方程是(x－2)2＋(y＋3)2＝5.答案：(x－2)2＋(y＋3)2＝5[隨堂即時演練]1．圓(x－1)2＋(y＋eq\r(3))2＝1的圓心坐標是()A．(1，eq\r(3)) B．(－1，eq\r(3))C．(1，－eq\r(3)) D．(－1，－eq\r(3))答案：C2．點P(m,5)與圓x2＋y2＝24的位置關系是()A．在圓外 B．在圓內C．在圓上 D．不確定解析：選A∵m2＋25＞24，∴點P在圓外．3．若點P(－1，eq\r(3))在圓x2＋y2＝m2上，則實數(shù)m＝________.解析：∵P點在圓x2＋y2＝m2上，∴(－1)2＋(eq\r(3))2＝4＝m2，∴m＝±2.答案：±24．經過原點，圓心在x軸的負半軸上，半徑為2的圓的方程是________．解析：圓心是(－2,0)，半徑是2，所以圓的方程是(x＋2)2＋y2＝4.答案：(x＋2)2＋y2＝45．求以A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)為頂點的三角形的外接圓的方程．解：設所求圓的方程是(x－a)2＋(y－b)2＝r2.將點A(2,2)，B(5,3)，C(3，－1)代入上式得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－a2＋2－b2＝r2，,5－a2＋3－b2＝r2，,3－a2＋－1－b2＝r2，))解此方程組，得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝4，,b＝1，,r2＝5.))所以，△ABC的外接圓方程是(x－4)2＋(y－1)2＝5.[課時達標檢測]一、選擇題1．已知點P(3,2)和圓的方程(x－2)2＋(y－3)2＝4，則它們的位置關系為()A．在圓心 B．在圓上C．在圓內 D．在圓外解析：選C∵(3－2)2＋(2－3)2＝2＜4，∴點P在圓內．2．圓(x＋1)2＋(y－2)2＝4的圓心、半徑是()A．(1，－2)，4 B．(1，－2)，2C．(－1,2)，4 D．(－1,2)，2答案：D3．圓心在y軸上，半徑為1，且過點(1,2)的圓的方程為()A．x2＋(y－2)2＝1 B．x2＋(y＋2)2＝1C．(x－1)2＋(y－3)2＝1 D．x2＋(y－3)2＝1解析：選A法一(直接法)：設圓心坐標為(0，b)，則由題意知eq\r(0－12＋b－22)＝1，解得b＝2，故圓的方程為x2＋(y－2)2＝1.法二(數(shù)形結合法)：根據(jù)點(1,2)到圓心的距離為1，易知圓心為(0,2)，故圓的方程為x2＋(y－2)2＝1.法三(驗證法)：將點(1,2)代入四個選擇項，排除B、D，又由于圓心在y軸上，排除C，選A.4．(2012·福建六校聯(lián)考)以兩點A(－3，－1)和B(5,5)為直徑端點的圓的方程是()A．(x－1)2＋(y－2)2＝10B．(x－1)2＋(y－2)2＝100C．(x－1)2＋(y－2)2＝5D．(x－1)2＋(y－2)2＝25解析：選D圓心坐標為(1,2)，半徑r＝eq\r(5－12＋5－22)＝5，故所求圓的方程為(x－1)2＋(y－2)2＝25.5．當a為任意實數(shù)時，直線(a－1)x－y＋a＋1＝0恒過定點C，則以C為圓心，eq\r(5)為半徑的圓的方程為()A．(x－1)2＋(y＋2)2＝5 B．(x＋1)2＋(y＋2)2＝5C．(x＋1)2＋(y－2)2＝5 D．(x－1)2＋(y－2)2＝5解析：選C直線方程變?yōu)?x＋1)a－x－y＋1＝0.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋1＝0,－x－y＋1＝0))得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝－1,y＝2))，∴C(－1,2)，∴所求圓的方程為(x＋1)2＋(y－2)2＝5.二、填空題6．圓心為直線x－y＋2＝0與直線2x＋y－8＝0的交點，且過原點的圓的標準方程是__________________．解析：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x－y＋2＝0，,2x＋y－8＝0，))可得x＝2，y＝4，即圓心為(2,4)，從而r＝eq\r(2－02＋4－02)＝2eq\r(5)，故圓的標準方程為(x－2)2＋(y－4)2＝20.答案：(x－2)2＋(y－4)2＝207．(2012·嘉興高一檢測)點(5eq\r(a)＋1，eq\r(a))在圓(x－1)2＋y2＝26的內部，則a的取值范圍是________．解析：由于點在圓的內部，所以(5eq\r(a)＋1－1)2＋(eq\r(a))2＜26，即26a＜26，又a≥0，解得0≤a答案：0≤a＜18．若圓心在x軸上，半徑為eq\r(5)的圓C位于y軸左側，且與直線x＋2y＝0相切，則圓C的方程是________．解析：如圖所示，設圓心C(a,0)，則圓心C到直線x＋2y＝0的距離為eq\f(|a＋2×0|,\r(12＋22))＝eq\r(5)，解得a＝－5，a＝5(舍去)，∴圓心是(－5,0)．故圓的方程是(x＋5)2＋y2＝5.答案：(x＋5)2＋y2＝5三、解答題9．求經過A(－1,4)，B(3,2)兩點且圓心在y軸上的圓的方程．解：法一：設圓心坐標為(a，b)．∵圓心在y軸上，∴a＝0.設圓的標準方程為x2＋(y－b)2＝r2.∵該圓過A，B兩點，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－12＋4－b2＝r2，,32＋2－b2＝r2.))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,r2＝10.))∴所求圓的方程為x2＋(y－1)2＝10.法二：∵線段AB的中點坐標為(1,3)，kAB＝eq\f(2－4,3－－1)＝－eq\f(1,2)，∴弦AB的垂直平分線方程為y－3＝2(x－1)，即y＝2x＋1.由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＝2x＋1，,x＝0，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝1.))∴點(0,1)為所求圓的圓心．由兩點間的距離公式，得圓的半徑r＝eq\r(10)，∴所求圓的方程為x2＋(y－1)2＝10.10．求過點A(1,2)和B(1,10)且與直線x－2y－1＝0相切的圓的方程．解：圓心在線段AB的垂直平分線y＝6上，設圓心為(a,6)，半徑為r，則圓的方程為(x－a)2＋(y－6)2＝r2.將點(1,10)代入得(1－a)2＋(10－6)2＝r2，①而r＝eq\f(|a－13|,\r(5))，代入①，得(a－1)2＋16＝eq\f(a－132,5)，解得a＝3，r＝2eq\r(5)，或a＝－7，r＝4eq\r(5).故所求圓為(x－3)2＋(y－6)2＝20，或(x＋7)2＋(y－6)2＝80.4．1.2圓的一般方程[提出問題]已知圓心(2,3)，半徑為2.問題1：寫出圓的標準方程．提示：(x－2)2＋(y－3)2＝4.問題2：上述方程能否化為二元二次方程的形式？提示：可以，x2＋y2－4x－6y＋9＝0.問題3：方程x2＋y2－4x－6y＋13＝0是否表示圓？提示：配方化為(x－2)2＋(y－3)2＝0，不表示圓．問題4：方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0一定表示圓嗎？提示：不一定．[導入新知](1)圓的一般方程的概念：當D2＋E2－4F＞0時，二元二次方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0叫做圓的一般方程(2)圓的一般方程對應的圓心和半徑：圓的一般方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0(D2＋E2－4F＞0)表示的圓的圓心為(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))，半徑長為eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F).[化解疑難]1．圓的一般方程體現(xiàn)了圓的方程形式上的特點：(1)x2、y2的系數(shù)相等且不為0；(2)沒有xy項．2．對方程x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的說明：方程條件圖形x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0D2＋E2－4F不表示任何圖形D2＋E2－4F表示一個點(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))D2＋E2－4F>表示以(－eq\f(D,2)，－eq\f(E,2))為圓心，以eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)為半徑的圓圓的一般方程的概念辨析[例1]若方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0表示圓求(1)實數(shù)m的取值范圍；(2)圓心坐標和半徑．[解](1)據(jù)題意知D2＋E2－4F＝(2m)2＋(－2)2－4(m2＋5即4m2＋4－4m解得m＜eq\f(1,5)，故m的取值范圍為(－∞，eq\f(1,5))．(2)將方程x2＋y2＋2mx－2y＋m2＋5m＝0寫成標準方程為(x＋m)2＋(y－1)2＝1－5故圓心坐標為(－m,1)，半徑r＝eq\r(1－5m).[類題通法]形如x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0的二元二次方程，判定其是否表示圓時可有如下兩種方法：①由圓的一般方程的定義令D2＋E2－4F＞0，成立則表示圓，否則不表示圓，②將方程配方后，根據(jù)圓的標準方程的特征求解，應用這兩種方法時，要注意所給方程是不是x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0這種標準形式，若不是，則要化為這種形式再求解[活學活用]1．下列方程各表示什么圖形？若表示圓，求其圓心和半徑．(1)x2＋y2＋x＋1＝0；(2)x2＋y2＋2ax＋a2＝0(a≠0)；(3)2x2＋2y2＋2ax－2ay＝0(a≠0)．解：(1)∵D＝1，E＝0，F(xiàn)＝1，∴D2＋E2－4F∴方程(1)不表示任何圖形．(2)∵D＝2a，E＝0，F(xiàn)＝a2∴D2＋E2－4F＝4a2－4∴方程表示點(－a,0)．(3)兩邊同除以2，得x2＋y2＋ax－ay＝0，D＝a，E＝－a，F(xiàn)＝0，∴D2＋E2－4F＝2a∴方程(3)表示圓，它的圓心為(－eq\f(a,2)，eq\f(a,2))，半徑r＝eq\f(1,2)eq\r(D2＋E2－4F)＝eq\f(\r(2),2)|a|.圓的一般方程的求法[例2]已知△ABC的三個頂點為A(1,4)，B(－2,3)，C(4，－5)，求△ABC的外接圓方程、外心坐標和外接圓半徑．[解]法一：設△ABC的外接圓方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，∵A，B，C在圓上，∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(1＋16＋D＋4E＋F＝0，,4＋9－2D＋3E＋F＝0，,16＋25＋4D－5E＋F＝0，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－2，,E＝2，,F＝－23，))∴△ABC的外接圓方程為x2＋y2－2x＋2y－23＝0，即(x－1)2＋(y＋1)2＝25.∴外心坐標為(1，－1)，外接圓半徑為5.法二：∵kAB＝eq\f(4－3,1＋2)＝eq\f(1,3)，kAC＝eq\f(4＋5,1－4)＝－3，∴kAB·kAC＝－1，∴AB⊥AC.∴△ABC是以角A為直角的直角三角形，∴外心是線段BC的中點，坐標為(1，－1)，r＝eq\f(1,2)|BC|＝5.∴外接圓方程為(x－1)2＋(y＋1)2＝25.[類題通法]應用待定系數(shù)法求圓的方程時：(1)如果由已知條件容易求得圓心坐標、半徑或需利用圓心的坐標或半徑列方程的問題，一般采用圓的標準方程，再用待定系數(shù)法求出a，b，r.(2)如果已知條件與圓心和半徑都無直接關系，一般采用圓的一般方程，再用待定系數(shù)法求出常數(shù)D、E、F.[活學活用]2．求經過點A(－2，－4)且與直線x＋3y－26＝0相切于點B(8,6)的圓的方程．解：設所求圓的方程為x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，則圓心坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2))).∵圓與x＋3y－26＝0相切，∴eq\f(6＋\f(E,2),8＋\f(D,2))·eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,3)))＝－1，即E－3D－36＝0.①∵(－2，－4)，(8,6)在圓上，∴2D＋4E－F－20＝0，②8D＋6E＋F＋100＝0.③聯(lián)立①②③，解得D＝－11，E＝3，F(xiàn)＝－30，故所求圓的方程為x2＋y2－11x＋3y－30＝0.代入法求軌跡方程[例3]已知△ABC的邊AB長為4，若BC邊上的中線為定長3，求頂點C的軌跡方程．[解]以直線AB為x軸，AB的中垂線為y軸建立坐標系(如圖)，則A(－2,0)，B(2,0)，設C(x，y)，BC中點D(x0，y0)．∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(\f(2＋x,2)＝x0，,\f(0＋y,2)＝y(tǒng)0.))①∵|AD|＝3，∴(x0＋2)2＋yeq\o\al(2,0)＝9.②將①代入②，整理得(x＋6)2＋y2＝36.∵點C不能在x軸上，∴y≠0.綜上，點C的軌跡是以(－6,0)為圓心，6為半徑的圓，去掉(－12,0)和(0,0)兩點．軌跡方程為(x＋6)2＋y2＝36(y≠0)．[類題通法]用代入法求軌跡方程的一般步驟[活學活用]3．(2013·嘉峪關高一檢測)過點A(8,0)的直線與圓x2＋y2＝4交于點B，則AB中點P的軌跡方程為________________．解析：設點P的坐標為(x，y)，點B為(x1，y1)，由題意，結合中點坐標公式可得x1＝2x－8，y1＝2y，故(2x－8)2＋(2y)2＝4，化簡得(x－4)2＋y2＝1，即為所求．答案：(x－4)2＋y2＝1eq\a\vs4\al(,,10.與圓有關的軌跡軌跡方程問題)[典例](12分)已知圓O的方程為x2＋y2＝9，求經過點A(1,2)的圓的弦的中點P的軌跡．[解題流程]eq\x(欲求弦的中點P的軌跡，需先求出點P的軌跡方程.)畫出圖形，結合圓的弦的中點的性質，由AP⊥OP建立關系求解．設動點P的坐標x，y→由AP⊥OP→討論AP垂直于x軸情形→列kAP·kOP＝－1的關系式→檢驗→得出結論[規(guī)范解答]設動點P的坐標為(x，y)，根據(jù)題意可知AP⊥OP.(2分)當AP垂直于x軸時，P的坐標為(1,0)，此時x＝1；(3分)當x＝0時，y＝0；(4分)當x≠0，且x≠1時，有kAP·kOP＝－1，(5分)∵kAP＝eq\f(y－2,x－1)，kOP＝eq\f(y,x)，(6分)∴eq\f(y－2,x－1)·eq\f(y,x)＝－1，即x2＋y2－x－2y＝0(x≠0，且x≠1)．(8分)經檢驗，點(1,0)，(0,0)適合上式．(10分)綜上所述，點P的軌跡是以eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(1,2)，1))為圓心，以eq\f(\r(5),2)為半徑的圓．(12分)[名師批注]AP垂直于x軸時及x＝0時容易漏掉.檢驗步驟不可少[活學活用]一動點M到點A(－4,0)的距離是到點B(2,0)的距離的2倍，求動點的軌跡．解：設動點M的坐標為(x，y)，則|MA|＝2|MB|，即eq\r(x＋42＋y2)＝2eq\r(x－22＋y2)，整理得x2＋y2－8x＝0，即所求動點的軌跡方程為x2＋y2－8x＝0.[隨堂即時演練]1．(2011·四川高考)圓x2＋y2－4x＋6y＝0的圓心坐標是()A．(2,3) B．(－2,3)C．(－2，－3) D．(2，－3)解析：選D圓的方程化為(x－2)2＋(y＋3)2＝13，圓心(2，－3)，選D.2．已知方程x2＋y2－2x＋2k＋3＝0表示圓，則k的取值范圍是()A．(－∞，－1) B．(3，＋∞)C．(－∞，－1)∪(3，＋∞) D．(－eq\f(3,2)，＋∞)解析：選A方程可化為：(x－1)2＋y2＝－2k－2，只有－2k－2>0，即k<－1時才能表示圓．3．方程x2＋y2＋2ax－by＋c＝0表示圓心為C(2,2)，半徑為2的圓，則a＝________，b＝________，c＝________.解析：∵eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(－\f(2a,2)＝2，,－\f(－b,2)＝2，,\f(1,2)\r(4a2＋b2－4c)＝2，))∴eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝－2，,b＝4，,c＝4.))答案：－2,4,44．設A為圓(x－1)2＋y2＝1上的動點，PA是圓的切線且|PA|＝1，則P點的軌跡方程是________．解析：設P(x，y)是軌跡上任一點，圓(x－1)2＋y2＝1的圓心為B(1,0)，則|PA|2＋1＝|PB|2，∴(x－1)2＋y2＝2.答案：(x－1)2＋y2＝25．求過點(－1,1)，且圓心與已知圓x2＋y2－6x－8y＋15＝0的圓心相同的圓的方程．解：設所求的圓的方程為：x2＋y2＋Dx＋Ey＋F＝0，又圓x2＋y2－6x－8y＋15＝0的圓心為(3,4)，依題意得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(2－D＋E＋F＝0，,－\f(D,2)＝3，,－\f(E,2)＝4，))解此方程組，可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－6，,E＝－8，,F＝0.))∴所求圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0.[課時達標檢測]一、選擇題1．(2011·安徽高考)若直線3x＋y＋a＝0過圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心，則a的值為()A．－1 B．1C．3 D．－3解析：選B∵圓x2＋y2＋2x－4y＝0的圓心為(－1,2)，∴3x＋y＋a過點(－1,2)，即－3＋2＋a＝0，∴a＝1.2．已知動點M到點(8,0)的距離等于點M到點(2,0)的距離的2倍，那么點M的軌跡方程是()A．x2＋y2＝32B．x2＋y2＝16C．(x－1)2＋y2＝16D．x2＋(y－1)2＝16解析：選B設M(x，y)，則M滿足eq\r(x－82＋y2)＝2eq\r(x－22＋y2)，整理得x2＋y2＝16.3．方程x2＋y2＋2ax－b2＝0表示的圖形是()A．一個圓B．只有當a＝0時，才能表示一個圓C．一個點D．a，b不全為0時，才能表示一個圓解析：選D(2a)2＋4b2＝4(a2＋b2)當a＝b＝0時，方程表示一個點；當ab≠0時方程表示一個圓．4．如果圓x2＋y2＋ax＋by＋c＝0(a，b，c不全為零)與y軸相切于原點，那么()A．a＝0，b≠0，c≠0 B．b＝c＝0，a≠0C．a＝c＝0，b≠0 D．a＝b＝0，c≠0解析：選B符合條件的圓方程為(x＋eq\f(a,2))2＋y2＝eq\f(a2,4)，即x2＋y2＋ax＝0.∴b＝0，a≠0，c＝0.5．已知兩定點A(－2,0)，B(1,0)，如果動點P滿足|PA|＝2|PB|，則點P的軌跡所包圍的圖形的面積等于()A．π B．4πC．8π D．9π解析：選B設動點軌跡坐標為(x，y)，則由|PA|＝2|PB|，知eq\r(x＋22＋y2)＝2eq\r(x－12＋y2)，化簡得(x－2)2＋y2＝4，得軌跡曲線為以(2,0)為圓心，以2為半徑的圓，該圓面積為4π.二、填空題6．若x2＋y2＋(λ－1)x＋2λy＋λ＝0表示圓，則λ的取值范圍是____________________．解析：∵(λ－1)2＋(2λ)2－4λ＞0，即5λ2－6λ＋1＞0，∴λ∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5)))∪(1，＋∞)．答案：eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－∞，\f(1,5)))∪(1，＋∞)7．已知圓C：x2＋y2＋2x＋ay－3＝0(a為實數(shù))上任意一點關于直線l：x－y＋2＝0的對稱點都在圓C上，則a＝________.解析：由題意可得圓C的圓心eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(a,2)))在直線x－y＋2＝0上，將eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－1，－\f(a,2)))代入直線方程得－1－eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(a,2)))＋2＝0，解得a＝－2.答案：－28．已知A，B是圓O：x2＋y2＝16上的兩點，且│AB│＝6，若以AB為直徑的圓M恰好經過點C(1，－1)，則圓心M的軌跡方程是____________________．解析：設圓心為M(x，y)，由│AB│＝6知，圓M的半徑r＝3，則│MC│＝3，即eq\r(x－12＋y＋12)＝3，所以(x－1)2＋(y＋1)2＝9.答案：(x－1)2＋(y＋1)2＝9三、解答題9．已知圓C：x2＋y2＋Dx＋Ey＋3＝0，圓心在直線x＋y－1＝0上，且圓心在第二象限，半徑長為eq\r(2)，求圓的一般方程．解：圓心Ceq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(D,2)，－\f(E,2)))，∵圓心在直線x＋y－1＝0上，∴－eq\f(D,2)－eq\f(E,2)－1＝0，即D＋E＝－2.①又∵半徑長r＝eq\f(\r(D2＋E2－12),2)＝eq\r(2)，∴D2＋E2＝20.②由①②可得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4))或eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝－4，,E＝2.))又∵圓心在第二象限，∴－eq\f(D,2)＜0即D＞0.則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(D＝2，,E＝－4.))故圓的一般方程為x2＋y2＋2x－4y＋3＝0.10．已知方程x2＋y2－2(t＋3)x＋2(1－4t2)y＋16t4＋9＝0(t∈R)表示的圖形是圓．(1)求t的取值范圍；(2)求其中面積最大的圓的方程；(3)若點P(3,4t2)恒在所給圓內，求t的取值范圍．解：(1)已知方程可化為(x－t－3)2＋(y＋1－4t2)2＝－7t2＋6t＋1，∴r2＝－7t2＋6t＋1＞0，∴－eq\f(1,7)＜t＜1.即t的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)，1))(2)r＝eq\r(－7t2＋6t＋1)＝eq\r(－7\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(t－\f(3,7)))2＋\f(16,7)).當t＝eq\f(3,7)∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(1,7)，1))時，rmax＝eq\f(4,7)eq\r(7)，此時圓的面積最大，對應的圓的方程是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(24,7)))2＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(y＋\f(13,49)))2＝eq\f(16,7).(3)當且僅當32＋(4t2)2－2(t＋3)×3＋2(1－4t2)·4t2＋16t4＋9＜0時，點P恒在圓內，化簡得8t2－6t＜0，即0＜t＜eq\f(3,4).故t的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(0，\f(3,4)))4.2直線、圓的位置關系4．2.1直線與圓的位置關系第一課時直線與圓的位置關系(新授課)[提出問題]“大漠孤煙直，長河落日圓”是唐朝詩人王維的詩句，它描述了黃昏日落時分塞外特有的景象．如果我們把太陽看成一個圓，地平線看成一條直線，觀察下面三幅太陽落山的圖片．問題1：圖片中，地平線與太陽的位置關系怎樣？提示：(1)相離(2)相切(3)相交問題2：結合初中平面幾何中學過的直線與圓的位置關系，直線與圓有幾種位置關系？提示：3種，分別是相交、相切、相離．問題3：如何判斷直線與圓的位置關系？提示：可利用圓心到直線的距離d與半徑r的關系．[導入新知]1．直線與圓有三種位置關系位置關系交點個數(shù)相交有兩個公共點相切只有一個公共點相離沒有公共點2．直線Ax＋By＋C＝0與圓(x－a)2＋(y－b)2＝r2的位置關系的判斷位置關系相交相切相離公共點個數(shù)兩個一個零個判定方法幾何法：設圓心到直線的距離d＝eq\f(|Aa＋Bb＋C|,\r(A2＋B2))d＜rd＝rd＞r代數(shù)法：由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Ax＋By＋C＝0,x－a2＋y－b2＝r2))消元得到一元二次方程的判別式ΔΔ＞0Δ＝0Δ＜0[化解疑難]判斷直線與圓的位置關系，一般常用幾何法，因為代數(shù)法計算繁瑣，書寫量大，易出錯，幾何法則較簡潔，但是在判斷直線與其他二次曲線的位置關系時，常用代數(shù)法．直線與圓位置關系的判斷[例1]若直線4x－3y＋a＝0與圓x2＋y2＝100有如下關系：①相交；②相切；③相離，試分別求實數(shù)a的取值范圍．[解]法一：(代數(shù)法)由方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(4x－3y＋a＝0，,x2＋y2＝100，))消去y，得25x2＋8ax＋a2－900＝0.Δ＝(8a)2－4×25(a2－900)＝－36a①當直線和圓相交時，Δ>0，即－36a2＋90000>0，－50<a②當直線和圓相切時，Δ＝0，即a＝50或a＝－50；③當直線和圓相離時，Δ<0，即a<－50或a>50.法二：(幾何法)圓x2＋y2＝100的圓心為(0,0)，半徑r＝10，則圓心到直線的距離d＝eq\f(|a|,\r(32＋42))＝eq\f(|a|,5)，①當直線和圓相交時，d<r，即eq\f(|a|,5)<10，－50<a<50；②當直線和圓相切時，d＝r，即eq\f(|a|,5)＝10，a＝50或a＝－50；③當直線和圓相離時，d>r，即eq\f(|a|,5)>10，a<－50或a>50.[類題通法]直線與圓位置關系判斷的三種方法(1)幾何法：由圓心到直線的距離d與圓的半徑r的大小關系判斷．(2)代數(shù)法：根據(jù)直線與圓的方程組成的方程組解的個數(shù)來判斷．(3)直線系法：若直線恒過定點，可通過判斷點與圓的位置關系判斷，但有一定的局限性，必須是過定點的直線系．[活學活用]1．(2012·湛江檢測)直線x－ky＋1＝0與圓x2＋y2＝1的位置關系是()A．相交 B．相離C．相交或相切 D．相切解析：選C直線x－ky＋1＝0恒過定點(－1,0)，而(－1,0)在圓上，故直線與圓相切或相交.切線問題[例2]過點A(－1,4)作圓(x－2)2＋(y－3)2＝1的切線l，求切線l的方程．[解]∵(－1－2)2＋(4－3)2＝10＞1，∴點A在圓外．法一：當直線l的斜率不存在時，l的方程是x＝－1，不滿足題意．設直線l的斜率為k，則方程為y－4＝k(x＋1)即kx－y＋4＋k＝0.圓心(2,3)到切線l的距離為eq\f(|2k－3＋4＋k|,\r(k2＋1))＝1，解得k＝0或k＝－eq\f(3,4)，因此，所求直線l的方程y＝4或3x＋4y－13＝0.法二：由于直線l與圓相切，所以方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y－4＝kx＋1，,x－22＋y－32＝1，))只有一解．消去y，得到關于x的一元二次方程(1＋k2)x2＋(2k2＋2k－4)x＋k2＋2k＋4＝0，則Δ＝(2k2＋2k－4)2－4(1＋k2)(k2＋2k＋4)＝0，解得8k2＋6k＝0，即k＝0或k＝－eq\f(3,4)，因此，所求直線l的方程為y＝4或3x＋4y－13＝0.[類題通法]1．求過圓上一點(x0，y0)的圓的切線方程的求法：先求切點與圓心連線的斜率k，再由垂直關系得切線的斜率為－eq\f(1,k)，由點斜式可得切線方程．如果斜率為零或不存在，則由圖形可直接得切線方程y＝y(tǒng)0或x＝x0.2．過圓外一點(x0，y0)的切線方程的求法設切線方程為y－y0＝k(x－x0)，由圓心到直線的距離等于半徑建立方程，可求得k，也就得切線方程．當用此法只求出一個方程時，另一個方程應為x＝x0，因為在上面解法中不包括斜率不存在的情況，而過圓外一點的切線有兩條．一般不用聯(lián)立方程組的方法求解．[活學活用]2．(2012·昆明高一檢測)直線x＋y＋m＝0與圓x2＋y2＝m相切，則m的值為()A．0或2 B．2C.eq\r(2) D．無解解析：選B由于直線與圓相切，故eq\r(m)＝eq\f(|m|,\r(12＋12))，解得m＝0(舍去)或m＝2.3．圓x2＋y2－4x＝0在點P(1，eq\r(3))處的切線方程為()A．x＋eq\r(3)y－2＝0 B．x＋eq\r(3)y－4＝0C．x－eq\r(3)y＋4＝0 D．x－eq\r(3)y＋2＝0解析：選D點P在圓上，圓x2＋y2－4x＝0化為(x－2)2＋y2＝4，圓心M(2,0)，半徑為2.kMP＝eq\f(\r(3)－0,1－2)＝－eq\r(3)，切線l的斜率kl＝eq\f(\r(3),3)，因此切線l的方程為y－eq\r(3)＝eq\f(\r(3),3)(x－1)，整理得x－eq\r(3)y＋2＝0.弦長問題[例3]已知圓的方程為x2＋y2＝8，圓內有一點P(－1,2)，AB為過點P且傾斜角為α的弦．(1)當α＝135°時，求AB的長；(2)當弦AB被點P平分時，寫出直線AB的方程．[解](1)法一：(幾何法)如圖所示，過點O作OC⊥AB.由已知條件得直線的斜率為k＝tan135°＝－1，∴直線AB的方程為y－2＝－(x＋1)，即x＋y－1＝0.∵圓心為(0,0)，∴|OC|＝eq\f(|－1|,\r(2))＝eq\f(\r(2),2).∵r＝2eq\r(2)，∴|BC|＝eq\r(8－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(30),2)，∴|AB|＝2|BC|＝eq\r(30).法二：(代數(shù)法)當α＝135°時，直線AB的方程為y－2＝－(x＋1)，即y＝－x＋1，代入x2＋y2＝8，得2x2－2x－7＝0.∴x1＋x2＝1，x1x2＝－eq\f(7,2)，∴|AB|＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋1[x1＋x22－4x1x2])＝eq\r(30).(2)如圖，當弦AB被點P平分時，OP⊥AB，∵kOP＝－2，∴kAB＝eq\f(1,2)，∴直線AB的方程為y－2＝eq\f(1,2)(x＋1)，即x－2y＋5＝0.[類題通法]求直線與圓相交時弦長的兩種方法(1)幾何法：如圖1，直線l與圓C交于A，B兩點，設弦心距為d，圓的半徑為r，弦長為|AB|，則有eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|AB|,2)))2＋d2＝r2，即|AB|＝2eq\r(r2－d2).(2)代數(shù)法：如圖2所示，將直線方程與圓的方程聯(lián)立，設直線與圓的兩交點分別是A(x1，y1)，B(x2，y2)，則|AB|＝eq\r(x1－x22＋y1－y22)＝eq\r(1＋k2)|x1－x2|＝eq\r(1＋\f(1,k2))|y1－y2|(直線l的斜率k存在)．eq\a\vs4\al(,,11.過一點求圓的切線方程的解題誤區(qū))[典例]過點A(3,1)和圓(x－2)2＋y2＝1相切的直線方程是()A．y＝1 B．x＝3C．x＝3或y＝1 D．不確定[解析]由題意知，點A在圓外，故過點A的切線應有兩條．當所求直線斜率存在時，設其為k，則直線方程為y－1＝k(x－3)，即kx－y＋1－3k＝0.由于直線與圓相切，所以d＝eq\f(|2k－0＋1－3k|,\r(1＋k2))＝1，解得k＝0，所以切線方程為y＝1.當所求直線斜率不存在時，x＝3也符合條件．綜上所述，所求切線方程為x＝3或y＝1.[答案]C[易錯防范]1．解題時只考慮所求直線的斜率存在的情況，而忽視了斜率不存在的情況，而錯誤地選A；若只考慮斜率不存在的情形，而忽視了斜率存在的情況，而錯誤地選B.2．過一點求圓的切線時，首先要判斷點與圓的位置關系，以此來確定切線的條數(shù)，經過圓外一點可以作圓的兩條切線，求解中若只求出一個斜率，則另一條必然斜率不存在．[成功破障]已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝4，則過點(3,5)并與圓C相切的切線方程為________．解析：由于點(3,5)到圓心的距離為eq\r(4＋9)＝eq\r(13)＞2＝r，得到點(3,5)在圓外．當切線的斜率存在時，設方程為y－5＝k(x－3)，由圓心到切線的距離d＝eq\f(|－2k＋3|,\r(k2＋1))＝2，化簡得12k＝5，可解得k＝eq\f(5,12)，∴切線方程為5x－12y＋45＝0.當過(3,5)的直線斜率不存在時，直線方程為x＝3，與圓相切．綜上可知切線方程為5x－12y＋45＝0或x＝3.答案：5x－12y＋45＝0或x＝3[隨堂即時演練]1．直線x＋2y－1＝0與圓2x2＋2y2－4x－2y＋1＝0的位置關系是()A．相離 B．相切C．相交但直線不過圓心 D．相交且直線過圓心解析：選C圓心坐標為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(1,2)))，半徑長r＝eq\f(\r(3),2)，圓心到直線的距離d＝eq\f(\r(5),5)＜r，所以直線與圓是相交的但不過圓心，故選C.2．(2012·湛江高一檢測)設直線l過點P(－2,0)，且與圓x2＋y2＝1相切，則l的斜率是()A．±1 B．±eq\f(1,2)C．±eq\f(\r(3),3) D．±eq\r(3)解析：選C設l：y＝k(x＋2)即kx－y＋2k＝0.又l與圓相切，∴eq\f(|2k|,\r(1＋k2))＝1.∴k＝±eq\f(\r(3),3).3．(2011·重慶高考)過原點的直線與圓x2＋y2－2x－4y＋4＝0相交所得弦的長為2，則該直線的方程為______．解析：設所求直線方程為y＝kx，即kx－y＝0.由于直線kx－y＝0被圓截得的弦長等于2，圓的半徑是1，因此圓心到直線的距離等于eq\r(12－\f(2,2)2)＝0，即圓心位于直線kx－y＝0上．于是有k－2＝0，即k＝2，因此所求直線方程是2x－y＝0.答案：2x－y＝04．過點P(－1,2)且與圓C：x2＋y2＝5相切的直線方程是________．解析：點P(－1,2)是圓x2＋y2＝5上的點，圓心為C(0,0)，則kPC＝eq\f(2,－1)＝－2，所以k＝eq\f(1,2)，y－2＝eq\f(1,2)(x＋1)．故所求切線方程是x－2y＋5＝0.答案：x－2y＋5＝05．(2011·湖北高考改編)過點(－1，－2)的直線l被圓x2＋y2－2x－2y＋1＝0截得的弦長為eq\r(2)，求直線l的方程．解：由題意，直線與圓要相交，斜率必須存在，設為k.設直線l的方程為y＋2＝k(x＋1)．又圓的方程為(x－1)2＋(y－1)2＝1，圓心為(1,1)，半徑為1，所以圓心到直線的距離d＝eq\f(|2k－1－2|,\r(1＋k2))＝eq\r(12－\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(2),2)))2)＝eq\f(\r(2),2).解得k＝1或eq\f(17,7).所以直線l的方程為y＋2＝x＋1或y＋2＝eq\f(17,7)(x＋1)，即x－y－1＝0或17x－7y＋3＝0.[課時達標檢測]一、選擇題1．若直線ax＋by＝1與圓C：x2＋y2＝1相交，則點P(a，b)與圓C的位置關系是()A．P在圓內 B．P在圓外C．P在圓上 D．不確定解析：選B∵直線ax＋by＝1與圓x2＋y2＝1相交，∴圓心到直線的距離d＝eq\f(1,\r(a2＋b2))＜1，∴a2＋b2＞1.2．過原點且傾斜角為60°的直線被圓x2＋y2－4y＝0所截得的弦長為()A.eq\r(3) B．2C.eq\r(6) D．2eq\r(3)解析：選D直線的方程為y＝eq\r(3)x，圓的標準方程為x2＋(y－2)2＝4，圓心(0,2)到直線的距離d＝eq\f(|\r(3)×0－2|,\r(\r(3)2＋－12))＝1，知所求弦長為d＝2eq\r(22－12)＝2eq\r(3)，故選D.3．若過點A(4,0)的直線l與曲線(x－2)2＋y2＝1有公共點，則直線l的斜率的取值范圍為()A．[－eq\r(3)，eq\r(3)] B．(－eq\r(3)，eq\r(3))C.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))) D.eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3)))解析：選C設直線為y＝k(x－4)，即kx－y－4k＝0，圓心(2,0)到直線的距離d＝eq\f(|2k－4k|,\r(1＋k2))＝eq\f(|2k|,\r(1＋k2))，d應滿足d≤r，即eq\f(|2k|,\r(1＋k2))≤1，解得k∈eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),3)，\f(\r(3),3))).4．由直線y＝x＋1上的點向圓C：x2＋y2－6x＋8＝0引切線，則切線長的最小值為()A．1 B．2eq\r(2)C.eq\r(7) D．3解析：選C圓C的方程可變?yōu)椋?x－3)2＋y2＝1，圓心C(3,0)，半徑為1.直線y＝x＋1上點P(x0，y0)到圓心C的距離|PC|與切線長d滿足d＝eq\r(|PC|2－12)＝eq\r(x0－32＋y\o\al(2,0)－12)＝eq\r(2x\o\al(2,0)－4x0＋9)＝eq\r(2x0－12＋7)≥eq\r(7).5．已知圓的方程為x2＋y2－6x－8y＝0，設該圓過點P(3,5)的最長弦和最短弦分別為AC和BD，則四邊形ABCD的面積為()A．10eq\r(6) B．20eq\r(6)C．30eq\r(6) D．40eq\r(6)解析：選B如下圖所示，設圓的圓心為M，則M(3,4)，半徑r＝5.當過點P的直線過圓心M時，對應的弦AC是最長的，此時，|AC|＝2r＝10；當過點P的直線與MP垂直時，對應的弦BD最小，此時在Rt△MPD中，|MD|＝r＝5，|MP|＝1，故|BD|＝2eq\r(|MD|2－|MP|2)＝4eq\r(6).此時四邊形ABCD的面積為：S＝eq\f(1,2)|AC|·|BD|＝20eq\r(6)，故選B.二、填空題6．過點P(－1,6)且與圓(x＋3)2＋(y－2)2＝4相切的直線方程是____________________．解析：當所求直線的斜率存在時，設所求直線的方程為y－6＝k(x＋1)，則d＝eq\f(|2－6－k－3＋1|,\r(1＋k2))＝2，解得k＝eq\f(3,4)，此時，直線方程為：4y－3x－27＝0；當所求直線的斜率不存在時，所求直線的方程為x＝－1，驗證可知符合題意．答案：4y－3x－27＝0或x＝－17．已知圓C的圓心是直線x－y＋1＝0與x軸的交點，且圓C與直線x＋y＋3＝0相切，則圓C的方程為____________________．解析：令y＝0得x＝－1，所以直線x－y＋1＝0與x軸的交點為(－1,0)．因為直線與圓相切，所以圓心到直線的距離等于半徑，即r＝eq\f(|－1＋0＋3|,\r(2))＝eq\r(2)，所以圓C的方程為(x＋1)2＋y2＝2.答案：(x＋1)2＋y2＝28．已知圓C過點(1,0)，且圓心在x軸的正半軸上．直線l：y＝x－1被圓C所截得的弦長為2eq\r(2)，則過圓心且與直線l垂直的直線的方程為____________．解析：由題意，設所求的直線方程為x＋y＋m＝0，設圓心坐標為(a,0)，則由題意知eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(|a－1|,\r(2))))2＋2＝(a－1)2，解得a＝3，或a＝－1，又因為圓心在x軸的正半軸上，所以a＝3，故圓心坐標為(3,0)，因為圓心(3,0)在所求的直線上，所以有3＋0＋m＝0，即m＝－3，故所求的直線方程為x＋y－3＝0.答案：x＋y－3＝0三、解答題9．已知圓C和y軸相切，圓心C在直線x－3y＝0上，且被直線y＝x截得的弦長為2eq\r(7)，求圓C的方程．解：設圓心坐標為(3m，m∵圓C和y軸相切，得圓的半徑為3|m|，∴圓心到直線y＝x的距離為eq\f(|2m|,\r(2))＝eq\r(2)|m|.由半徑、弦心距、半弦長的關系得9m2＝7＋2m2，∴m＝±1，∴所求圓C的方程為(x－3)2＋(y－1)2＝9或(x＋3)2＋(y＋1)2＝9.10．已知圓C：(x－1)2＋(y－2)2＝2，過點P(2，－1)作圓C的切線，切點為A，B.(1)求直線PA，PB的方程；(2)過P點的圓C的切線長．解：(1)切線的斜率存在，設切線方程為y＋1＝k(x－2)，即kx－y－2k－1＝0.圓心到直線的距離等于eq\r(2)，即eq\f(|－k－3|,\r(k2＋1))＝eq\r(2)，∴k2－6k－7＝0，解得k＝7或k＝－1，故所求的切線方程為y＋1＝7(x－2)或y＋1＝－(x－2)，即7x－y－15＝0或x＋y－1＝0.(2)在Rt△PAC中，PA2＝PC2－AC2＝(2－1)2＋(－1－2)2－2＝8，∴過P點的圓C的切線長為2eq\r(2).第二課時直線與圓的位置關系(習題課)1．直線與圓的位置關系有哪幾種？2．如何用幾何法和代數(shù)法判斷直線與圓的位置關系？3．如何求過某點的圓的切線方程？4．如何求圓的弦長？與圓有關的切線問題[例1]自點P(－6,7)發(fā)出的光線l射到x軸上的點A處，被x軸反射，其反射光線所在直線與圓x2＋y2－8x－6y＋21＝0相切于點Q.求光線l所在直線方程．[解]如圖，作圓x2＋y2－8x－6y＋21＝0關于x軸的對稱圓x2＋y2－8x＋6y＋21＝0，由幾何光學原理，知直線l與圓x2＋y2－8x＋6y＋21＝0相切．由于l的斜率必存在，故可設直線l：y－7＝k(x＋6)，即kx－y＋6k＋7＝0.由圓x2＋y2－8x＋6y＋21＝0的圓心(4，－3)到直線l的距離等于半徑，知eq\f(|4k＋3＋6k＋7|,\r(k2＋1))＝eq\f(10|k＋1|,\r(k2＋1))＝2，解得k＝－eq\f(3,4)或k＝－eq\f(4,3)，故光線l所在直線的方程為3x＋4y－10＝0或4x＋3y＋3＝0.[類題通法]過已知圓外一點求切線的方程一般有三種方法：(1)設切線斜率，用判別式法；(2)設切線斜率，用圓心到直線的距離等于半徑長；(3)設切點(x0，y0)，用切線公式法．[活學活用]1．已知圓C：(x－2)2＋(y－1)2＝1.求：(1)過A(3,4)的圓C的切線方程；(2)在兩坐標軸上的截距相等的圓C的切線方程．解：(1)當所求直線的斜率存在時，設過A(3,4)的直線方程為y－4＝k(x－3)，即kx－y＋4－3k＝0，由eq\f(|2k－1＋4－3k|,\r(1＋k2))＝1，得k＝eq\f(4,3).所以切線方程為y－4＝eq\f(4,3)(x－3)，即4x－3y＝0.當所求直線的斜率不存在時，直線方程為x＝3，也符合題意．故所求直線方程為4x－3y＝0或x＝3.(2)設在兩坐標軸上的截距相等的直線方程為eq\f(x,a)＋eq\f(y,a)＝1或y＝kx，于是由圓心(2,1)到切線距離為1，得eq\f(|3－a|,\r(2))＝1或eq\f(|2k－1|,\r(1＋k2))＝1.解得a＝3±eq\r(2)，k＝0或k＝eq\f(4,3).故所求切線方程為x＋y＝3±eq\r(2)或y＝0或y＝eq\f(4,3)x.與圓有關的參數(shù)問題[例2]已知直線l：y＝－eq\f(\r(3),3)x＋m與圓x2＋y2＝1在第一象限內有兩個不同的交點，求m的取值范圍．[解]∵l：y＝－eq\f(\r(3),3)x＋m，圓x2＋y2＝1，∴l(xiāng)可變形為：eq\r(3)x＋3y－3m＝0，圓的圓心為(0,0)，半徑長r＝1.當直線和該圓相切時，應滿足d＝eq\f(|－3m|,\r(3＋9))＝1，解得m＝±eq\f(2\r(3),3).在平面直角坐標系中作出圖象，如圖所示，其中l(wèi)2：y＝－eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(2\r(3),3)，l3：y＝－eq\f(\r(3),3)x－eq\f(2\r(3),3).過原點作直線l0：y＝－eq\f(\r(3),3)x，m0：y＝－x.∵直線l的斜率k＝－eq\f(\r(3),3)，直線AB的斜率k＝－1，∴只有當直線l在移動到過A(0,1)后才開始與圓在第一象限內有兩個交點，此時對應的直線l1：y＝－eq\f(\r(3),3)x＋1，要使直線與圓在第一象限內有兩個不同交點，直線l只有在直線l1和直線l2之間運動才可，此時相應的m∈eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3))).∴m的取值范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(1，\f(2\r(3),3))).[類題通法]要注意結合圖象，得出正確的答案，不能想當然．要注意直線之間傾斜程度的比較，像在此例題中，我們要注意比較直線l的斜率k＝－eq\f(\r(3),3)與直線AB的斜率k＝－1，如果注意到它們的關系了，就不易出錯．[活學活用]2．已知直線l：y＝－eq\f(\r(3),3)x＋m與圓x2＋y2＝1在第一象限內有交點，求m的取值范圍．解：∵l：y＝－eq\f(\r(3),3)x＋m，圓x2＋y2＝1，∴l(xiāng)可變形為：eq\r(3)x＋3y－3m＝0，圓的圓心為(0,0)，半徑長r＝1.當直線和該圓相切時，應滿足d＝eq\f(|－3m|,\r(3＋9))＝1，解得m＝±eq\f(2\r(3),3)，在平面直角坐標系中作出圖象，如下圖所示，其中l(wèi)2：y＝－eq\f(\r(3),3)x＋eq\f(2\r(3),3)，l3：y＝－eq\f(\r(3),3)x－eq\f(2\r(3),3).∵直線l與圓在第一象限內有交點，∴直線l應該在過點B(1,0)的直線與切線l2之間才可以，而當B(1,0)在直線l上時，m＝eq\f(\r(3),3)，∴m的范圍是eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(\r(3),3)，\f(2\r(3),3))).直線與圓的綜合問題[例3]已知圓x2＋y2＋x－6y＋m＝0與直線x＋2y－3＝0相交于P，Q兩點，O為原點，且OP⊥OQ，求實數(shù)m的值．[解]由eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(x＋2y－3＝0,x2＋y2＋x－6y＋m＝0))消去y，得5x2＋10x＋4m－27＝0，設P(x1，y1)，Q(x2，y2)，則eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(Δ＝100－204m－27＞0①,x1＋x2＝－2,x1x2＝4m－27/5))又OP⊥OQ，∴KOP·KOQ＝－1即x1x2＋y1y2＝0.∴x1·x2＋eq\f(1,2)(3－x1)·eq\f(1,2)(3－x2)＝0，整理得5x1x2－3(x1＋x2)＋9＝0，∴5×eq\f(4m－27,5)－3×(－2)＋9＝0.解得m＝3滿足①∴實數(shù)m的值為3.[類題通法]此題設出P，Q兩點的坐標，但在求解過程中又不能刻意地求出來，只將它作為一個轉化過程中的橋梁，這種“設而不求”的解題方法在解析幾何中很常見，要注意認真體會并掌握．[活學活用]3．自原點O作圓(x－1)2＋y2＝1的不重合兩弦OA，OB，若|OA|·|OB|＝k(定值)，證明不論A，B兩點位置怎樣，直線AB恒切于一個定圓，并求出定圓的方程．解：設A，B兩點坐標分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則|OA|·|OB|＝eq\r(x\o\al(2,1)＋y\o\al(2,1))·eq\r(x\o\al(2,2)＋y\o\al(2,2))＝eq\r(x\o\al(2,1)＋[1－x1－12])·eq\r(x\o\al(2,2)＋[1－x2－12])＝eq\r(4x1x2)＝k.∴x1x2＝eq\f(k2,4).設直線AB的方程為y＝mx＋b，代入已知圓的方程并整理，得(1＋m2)x2＋2(mb－1)x＋b2＝0，由韋達定理，得x1x2＝eq\f(b2,1＋m2).∴eq\f(b2,1＋m2)＝eq\f(k2,4).∵原點O到直線mx－y＋b＝0的距離為eq\f(|b|,\r(1＋m2))，∴所求定圓的半徑r滿足r2＝eq\f(b2,1＋m2)＝eq\f(k2,4)(定值)．∴直線AB恒切于定圓x2＋y2＝eq\f(k2,4).eq\a\vs4\al(,,4.利用數(shù)形結合思想探究與圓有關的最值問題)[典例]設點P(x，y)在圓x2＋(y－1)2＝1上，求eq\r(x－22＋y2)的最值．[解]eq\r(x－22＋y2)的幾何意義是圓上的點與定點(2,0)的距離．因為圓心(0,1)與定點的距離是eq\r(2－02＋0－12)＝eq\r(5)，圓的半徑是1，所以，eq\r(x－22＋y2)的最小值是eq\r(5)－1，最大值是eq\r(5)＋1.[多維探究]1．化為求斜率問題求eq\f(y＋2,x＋1)的最小值．解：法一：令eq\f(y＋2,x＋1)＝t，則方程組eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(y＋2＝tx＋1，,x2＋y－12＝1，))一定有解．消去y，整理得(1＋t2)x2＋2(t2－3t)x＋(t2－6t＋8)＝0有解．所以，Δ＝4(t2－3t)2－4(1＋t2)(t2－6t＋8)≥0，即6t－8≥0，解得t≥eq\f(4,3).故eq\f(y＋2,x＋1)的最小值是eq\f(4,3).法二：令eq\f(y＋2,x＋1)＝k，則k表示圓上任一點與(－1，－2)點連線的斜率，∴kx－y＋k－2＝0，由eq\f(|0－1＋k－2|,\r(k2＋1))≤1，得k≥eq\f(4,3).∴eq\f(y＋2,x＋1)的最小值為eq\f(4,3).2．化為求圓心到直線距離問題求直線x－y－2＝0上的點到圓的距離的最值．解：圓心為(0,1)，到直線x－y－2＝0的距離為eq\f(|－1－2|,\r(2))＝eq\f(3\r(2),2)，因此直線上的點和圓上的點的最大距離為eq\f(3\r(2),2)＋1，最小距離為eq\f(3\r(2),2)－1.3．化為求圓心到直線距離問題若圓上有且只有四個點到直線3x－4y＋C＝0的距離為eq\f(1,2)，求C取值范圍．解：由題意，圓心(0,1)到直線的距離小于eq\f(1,2)即可，則eq\f(|－4＋C|,\r(32＋42))＜eq\f(1,2)，解得eq\f(3,2)＜C＜eq\f(13,2).所以C的取值范圍為eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(3,2)，\f(13,2)))[方法感悟]解與圓有關的最值問題，要明確其幾何意義：(1)k＝eq\f(y－b,x－a)表示圓上的點(x，y)與定點(a，b)連線的斜率，直線方程可與圓的方程聯(lián)立得到關于x的一元二次方程，利用Δ≥0求k的最值；也可用圓心到直線的距離d≤r，求k的最值．(2)直線與圓相離時，直線上的點到圓的距離的最大值為d＋r，最小值為d－r.[隨堂即時演練]1．直線x＋eq\r(3)y＝0繞原點按順時針方向旋轉30?所得直線與圓x2＋y2－4x＋1＝0的位置關系是()A．直線與圓相切 B．直線與圓相交但不過圓心C．直線與圓相離 D．直線過圓心解析：選A直線按順時針方向旋轉30?后，所得直線方程為eq\r(3)x＋y＝0，由圓的方程可知圓心坐標為(2,0)，半徑長為eq\r(3).圓心到直線eq\r(3)x＋y＝0的距離d＝eq\r(3)＝r，所以直線與圓相切．2．若直線eq\f(x,a)＋eq\f(y,b)＝1與圓x2＋y2＝1有公共點，則()A．a2＋b2≤1 B．a2＋b2≥1C.eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)≤1 D.eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)≥1解析：選D圓的圓心(0,0)到直線bx＋ay－ab＝0的距離小于或等于圓的半徑1，即eq\f(|b×0＋a×0－ab|,\r(a2＋b2))≤1，即eq\f(a2＋b2,a2b2)≥1，則eq\f(1,a2)＋eq\f(1,b2)≥1.3．如果實數(shù)x，y滿足等式(x－2)2＋y2＝3，那么eq\f(y,x)的最大值是________．解析：設eq\f(y,x)＝k，則y＝kx，(x－2)2＋k2x2＝3，整理得(1＋k2)x2－4x＋1＝0.∵Δ＝16－4(1＋k2)≥0，∴－eq\r(3)≤k≤eq\r(3).答案：eq\r(3)4．過點A(2,4)向圓x2＋y2＝4所引的切線方程為________．解析：顯然x＝2為所求切線之一．另設切線方程為y－4＝k(x－2)，即kx－y＋4－2k＝0.而eq\f(|4－2k|,\r(k2＋1))＝2，得k＝eq\f(3,4)，所以切線方程為3x－4y＋10＝0，故所求切線為x＝2，或3x－4y＋10＝0.答案：x＝2或3x－4y＋10＝05．已知以點P為圓心的圓過點A(－1,0)和B(3,4)，線段AB的垂直平分線交圓P于點C、D，且|CD|＝4eq\r(1