串講03 排列組合（考點(diǎn)串講） （解析版）

串講03排列組合一、知識(shí)網(wǎng)絡(luò)二、常考題型三、知識(shí)梳理知識(shí)點(diǎn)一：計(jì)數(shù)原理1.分類加法計(jì)數(shù)原理與分步乘法計(jì)數(shù)原理1．分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2方案中有n種不同的方法。那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法。要點(diǎn)詮釋：如果完成一件事有n類辦法，這n類辦法彼此之間是相互獨(dú)立的，無(wú)論哪一類辦法中哪一種方法都能完成這件事，求完成這件事的方法種數(shù)，就用分類加法計(jì)數(shù)原理；在解題時(shí)，應(yīng)首先分清楚怎樣才算完成這件事，有些題目在解決時(shí)需要進(jìn)行分類討論，分類時(shí)要適當(dāng)?shù)卮_定分類的標(biāo)準(zhǔn)，按照分類的原則進(jìn)行，做到不重不漏。2．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法。要點(diǎn)詮釋：如果完成一件事需要分成n個(gè)步驟，缺一不可，即需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，而完成每一個(gè)步驟各有若干種不同的方法，計(jì)算完成這件事的方法種數(shù)就用分步乘法計(jì)數(shù)原理。解題時(shí)，關(guān)鍵是分清楚完成這件事是分類還分步，在應(yīng)用分步乘法計(jì)數(shù)原理時(shí)，各個(gè)步驟都完成，才算完成這件事，步驟之間互不影響，即前一步用什么方法，不影響后一步采取什么方法，運(yùn)用分步乘法計(jì)數(shù)原理，要確定好次序，還要注意元素是否可以重復(fù)選取。3．兩個(gè)計(jì)數(shù)原理的綜合應(yīng)用（1）在解決實(shí)際問(wèn)題的過(guò)程中，并不一定是單一的分類或分步，而是可能同應(yīng)用計(jì)數(shù)原理，即分類時(shí)，每類的方法可能要運(yùn)用分步完成的，而分步時(shí)，每步的方法數(shù)可能會(huì)采取分類的思想求。另外，具體問(wèn)題是先分類后分步，還是先分步后分類，應(yīng)視問(wèn)題的特點(diǎn)而定。解題時(shí)經(jīng)常是兩個(gè)原理交叉在一起使用，分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”，分類的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計(jì)分步的程序，即合理分類，準(zhǔn)確分步。（2）對(duì)于復(fù)雜問(wèn)題，只用分類加法計(jì)數(shù)原理或分步乘法計(jì)數(shù)原理不能解決時(shí)，可以綜合應(yīng)用兩個(gè)原理，可以先分類，在某一類中再分步，也可先分步，在某步中再分類。知識(shí)點(diǎn)二：排列與組合排列與排列數(shù)組合與組合數(shù)定義1．排列：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)排列。2．排列數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)。1．組合：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素合成一組，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的一個(gè)組合。2．組合數(shù)：從n個(gè)不同元素中取出m（m≤n）個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)。公式排列數(shù)公式組合數(shù)公式性質(zhì)（1）（2）備注要點(diǎn)詮釋：區(qū)分某一問(wèn)題是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題，關(guān)鍵是看所選出的元素與順序是否有關(guān)，若交換某兩個(gè)元素的位置對(duì)結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問(wèn)題，否則是組合問(wèn)題。1.排列數(shù)、組合數(shù)計(jì)算（1）排列數(shù)公式：右邊第一個(gè)因數(shù)為n，后面每個(gè)因數(shù)都比它前面那個(gè)因數(shù)少1，最后一個(gè)因數(shù)是n-m+1,共m個(gè)因數(shù)。公式主要用于含有字母的排列數(shù)的式子的變形與論證；（2）組合數(shù)公式有乘積形式與階乘形式兩種，與排列數(shù)公式的應(yīng)用一樣，前者多用于數(shù)字計(jì)算，后者多用于對(duì)含有字母的組合數(shù)的式子進(jìn)行變形和論證。還應(yīng)注意組合數(shù)公式的逆用，即由寫(xiě)出。要點(diǎn)詮釋：在排列數(shù)、組合數(shù)計(jì)算過(guò)程要注意階乘的運(yùn)算及組合數(shù)性質(zhì)的運(yùn)用，注意含有排列數(shù)或組合數(shù)的方程都是在某個(gè)正整數(shù)范圍內(nèi)求解。2.排列應(yīng)用題求排列應(yīng)用題的主要方法有：（1）直接法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計(jì)算；（2）特殊元素（或位置）優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；（3）排列、組合混合問(wèn)題先選后排的方法；（4）相鄰問(wèn)題捆綁處理的方法。即可以把相鄰元素看作一個(gè)整體參與其他元素排列，同時(shí)注意捆綁元素的內(nèi)部排列；（5）不相鄰問(wèn)題插空處理的方法。即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當(dāng)中；（6）分排問(wèn)題直排處理的方法；（7）“小集團(tuán)”排列問(wèn)題中先集體后局部的處理方法；（8）定序問(wèn)題除法處理的方法。即可以先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列；（9）正難則反，等價(jià)轉(zhuǎn)化的方法。3.組合應(yīng)用題組合問(wèn)題常有以下兩類題型變化：（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補(bǔ)足；“不含”，則先將這些元素剔除，再?gòu)氖Ｏ碌脑刂腥ミx取。（2）“至少”或“最多”含有幾個(gè)元素的題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個(gè)關(guān)鍵詞的含義，謹(jǐn)防重復(fù)與漏解。用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時(shí)，考慮逆向思維，用間接法處理。4.排列、組合應(yīng)用題1.排列、組合問(wèn)題幾大解題方法：①直接法.②排除法.③捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個(gè)相關(guān)元素當(dāng)作一個(gè)元素來(lái)考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問(wèn)題”.⑤占位法：從元素的特殊性上講，對(duì)問(wèn)題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對(duì)問(wèn)題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.⑥調(diào)序法：當(dāng)某些元素次序一定時(shí)，可用此法.解題方法是：先將n個(gè)元素進(jìn)行全排列有種，個(gè)元素的全排列有種，由于要求m個(gè)元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調(diào)序的作用，即若n個(gè)元素排成一列，其中m個(gè)元素次序一定，共有種排列方法.⑦平均法：若把kn個(gè)不同元素平均分成k組，每組n個(gè)，共有.⑧隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問(wèn)題.例如：的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個(gè)完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個(gè)空隙中任選三個(gè)插入3塊摸板，把球分成4個(gè)組.每一種方法所得球的數(shù)目依次為顯然，故（）是方程的一組解.反之，方程的任何一組解，對(duì)應(yīng)著惟一的一種在12個(gè)球之間插入隔板的方式（如圖所示）故方程的解和插板的方法一一對(duì)應(yīng).即方程的解的組數(shù)等于插隔板的方法數(shù).注意：若為非負(fù)數(shù)解的x個(gè)數(shù)，即用中等于，有，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為求a的正整數(shù)解的個(gè)數(shù)為.2.解排列組合的應(yīng)用題要注意以下幾點(diǎn)：（1）仔細(xì)審題，判斷是排列問(wèn)題還是組合問(wèn)題；要按元素的性質(zhì)分類，按事件發(fā)生的過(guò)程進(jìn)行分類；（2）深入分析，嚴(yán)密周詳，注意分清是乘還是加，要防止重復(fù)和遺漏，辯證思維，多角度分析，全面考慮；（3）對(duì)限制條件較復(fù)雜的排列組合應(yīng)用題，要周密分析，設(shè)計(jì)出合理的方案，把復(fù)雜問(wèn)題分解成若干簡(jiǎn)單的基本問(wèn)題后用兩個(gè)計(jì)數(shù)原理來(lái)解決；（4）由于排列組合問(wèn)題的答案一般數(shù)目較大，不易直接驗(yàn)證，因此在檢查結(jié)果時(shí)，應(yīng)著重檢查所設(shè)計(jì)的解決方案是否完備，有無(wú)重復(fù)和遺漏，也可采用多種不同的方法求解，看看結(jié)果是否相同。在對(duì)排列組合問(wèn)題分類時(shí)，分類標(biāo)準(zhǔn)應(yīng)統(tǒng)一，否則易出現(xiàn)遺漏或重復(fù)。（5）排列組合綜合題目，一般是符合要求的元素取出（組合）或進(jìn)行分組，再對(duì)取出的元素或分好的組進(jìn)行排列。其中分組時(shí)，要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標(biāo)準(zhǔn)。知識(shí)點(diǎn)三：二項(xiàng)式定理1．二項(xiàng)式定理1.定義一般地,對(duì)于任意正整數(shù),都有：()，這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，等號(hào)右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式。式中的做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用Tr+1表示，即通項(xiàng)為展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)：，其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項(xiàng)式系數(shù)，2．二項(xiàng)式(a+b)n的展開(kāi)式的特點(diǎn)：(1)項(xiàng)數(shù)：共有n+1項(xiàng)，比二項(xiàng)式的次數(shù)大1；(2)二項(xiàng)式系數(shù)：第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)為，最大二項(xiàng)式系數(shù)項(xiàng)居中；(3)次數(shù)：各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)n．字母a降冪排列，次數(shù)由n到0；字母b升冪排列，次數(shù)從0到n，每一項(xiàng)中，a，b次數(shù)和均為n；3.兩個(gè)常用的二項(xiàng)展開(kāi)式：①()②4.二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)公式二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)：（）公式特點(diǎn)：①它表示二項(xiàng)展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)，該項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是；②字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標(biāo)相同；③a與b的次數(shù)之和為n。要點(diǎn)詮釋：（1）二項(xiàng)式(a+b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)和(b+a)n的二項(xiàng)展開(kāi)式的第r+1項(xiàng)是有區(qū)別的，應(yīng)用二項(xiàng)式定理時(shí)，其中的a和b是不能隨便交換位置的．（2）通項(xiàng)是針對(duì)在(a+b)n這個(gè)標(biāo)準(zhǔn)形式下而言的，如(a－b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是（只需把－b看成b代入二項(xiàng)式定理）。5.楊輝三角和二項(xiàng)展開(kāi)式的推導(dǎo)。在我國(guó)南宋，數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》如下表，可直觀地看出二項(xiàng)式系數(shù)。展開(kāi)式中的二項(xiàng)式系數(shù),當(dāng)依次取1,2,3,…時(shí),如下表所示:………11……121…………………1331………………14641……………15101051…………1615201561………………上表叫做二項(xiàng)式系數(shù)的表,也稱楊輝三角(在歐洲,這個(gè)表叫做帕斯卡三角),反映了二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)。表中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個(gè)數(shù)都等于它肩上的兩個(gè)數(shù)的和。用組合的思想方法理解(a+b)n的展開(kāi)式中的系數(shù)的意義：為了得到(a+b)n展開(kāi)式中的系數(shù)，可以考慮在這n個(gè)括號(hào)中取r個(gè)b，則這種取法種數(shù)為，即為的系數(shù)．6.的展開(kāi)式中各項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)、、…具有如下性質(zhì)：①對(duì)稱性：二項(xiàng)展開(kāi)式中，與首末兩端“等距離”的兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，即；②增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值.其中，當(dāng)n為偶數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)式中間一項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)最大；當(dāng)n為奇數(shù)時(shí)，二項(xiàng)展開(kāi)式中間兩項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)，相等，且最大.③各二項(xiàng)式系數(shù)之和為，即；④二項(xiàng)展開(kāi)式中各奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)之和，即。要點(diǎn)詮釋：二項(xiàng)式系數(shù)與展開(kāi)式的系數(shù)的區(qū)別：二項(xiàng)展開(kāi)式中，第r+1項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)是組合數(shù)，展開(kāi)式的系數(shù)是單項(xiàng)式的系數(shù)，二者不一定相等。如(a－b)n的二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)是，在這里對(duì)應(yīng)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)都是，但項(xiàng)的系數(shù)是，可以看出，二項(xiàng)式系數(shù)與項(xiàng)的系數(shù)是不同的概念．7.展開(kāi)式中的系數(shù)求法（的整數(shù)且）如：展開(kāi)式中含的系數(shù)為要點(diǎn)詮釋：三項(xiàng)或三項(xiàng)以上的展開(kāi)式問(wèn)題，把某兩項(xiàng)結(jié)合為一項(xiàng)，利用二項(xiàng)式定理解決。8.二項(xiàng)式定理的應(yīng)用1.求展開(kāi)式中的指定的項(xiàng)或特定項(xiàng)（或其系數(shù)）.2.利用賦值法進(jìn)行求有關(guān)系數(shù)和。二項(xiàng)式定理表示一個(gè)恒等式，對(duì)于任意的a，b，該等式都成立。利用賦值法（即通過(guò)對(duì)a、b取不同的特殊值）可解決與二項(xiàng)式系數(shù)有關(guān)的問(wèn)題，注意取值要有利于問(wèn)題的解決，可以取一個(gè)值或幾個(gè)值，也可以取幾組值，解決問(wèn)題時(shí)要避免漏項(xiàng)等情況。設(shè)令x=0，則(2)令x=1，則(3)令x=－1，則(4)(5)四、?？碱}型探究考點(diǎn)一計(jì)數(shù)原理1.某電腦用戶計(jì)劃使用不超過(guò)500元購(gòu)買單價(jià)分別為60元、70元的電腦軟件和電腦元件，根據(jù)需要，軟件至少買3個(gè)，元件至少買2個(gè)，則不同的選購(gòu)方法有（）A.5B.6C.7D.8【思路點(diǎn)撥】采用列舉法分類討論。【解析】買軟件3個(gè)和元件買2個(gè)共需要320元，還剩180元可以自由支配。下面考慮這180元的使用：1類：只再買0個(gè)軟件，剩下的180元可以不買元件或買1個(gè)元件或買2個(gè)元件，共3種方法；2類：只再買1個(gè)軟件，剩下的120元可以不買元件或買1個(gè)元件，共2種方法；3類：只再買2個(gè)軟件，剩下的60元不可以買元件，共1種方法；4類：只再買3個(gè)軟件，剩下的0元不可以買元件，共1種方法；故不同的方法共有2+1+1+3=7種?！究偨Y(jié)升華】選擇恰當(dāng)?shù)姆诸悩?biāo)準(zhǔn)，作到不重不漏。本題也可以用線形規(guī)劃的整數(shù)解的方法解決。2．如圖，現(xiàn)要用四種不同的顏色，對(duì)四邊形中的四個(gè)區(qū)域進(jìn)行著色，要求有公共邊的兩個(gè)區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A將四個(gè)區(qū)域標(biāo)記為，如下圖所示：第一步涂：種涂法，第二步涂：種涂法，第三步涂：種涂法，第四步涂：種涂法，根據(jù)分步乘法計(jì)數(shù)原理可知，一共有種著色方法，故選：A.3．從甲地到乙地，一天中有5次火車，12次客車，3次飛機(jī)航班，還有6次輪船，某人某天要從甲地到乙地，共有不同走法的種數(shù)是（

）A．26B．60C．18D．1080【答案】A【解析】由分類加法計(jì)數(shù)原理知有（種）不同走法.故選：A4．3名大學(xué)生利用假期到2個(gè)山村參加扶貧工作，每名大學(xué)生只能去1個(gè)村，則不同的分配方案共有（

）A．4種 B．6種 C．8種 D．10種【答案】C【解析】每個(gè)大學(xué)生都有種選擇方法，所以不同的分配方案共有種，故選：C.5．從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購(gòu)、保潔四項(xiàng)不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有（）A．280種B．240種C．180種D．96種【答案】B【詳解】解：先從除了甲乙剩余的4名志愿者中選1人從事翻譯工作，有種，然后再?gòu)氖Ｓ嗟拿驹刚咧羞x3個(gè)人從事另外三項(xiàng)工作，有種，所以一共有種.6．6本不同的書(shū)，分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有______種分法【答案】60【分析】根據(jù)不平均分組即可求解，【詳解】先從6本書(shū)中任取1本，作為一堆，有種取法，再?gòu)挠嘞碌?本書(shū)中任取2本，作為一堆，有種取法，最后從余下的3本書(shū)中取3本作為一堆，有種取法，故共有分法種.7．從集合中分別取2個(gè)不同的數(shù)作為對(duì)數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，一共可得到______個(gè)不同的對(duì)數(shù)值．【答案】53【分析】分取的兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)是1、取的兩個(gè)數(shù)不含有1兩種情況討論，注意排除對(duì)數(shù)值相等的情況.【詳解】①當(dāng)取的兩個(gè)數(shù)中有一個(gè)是1時(shí)，則1只能作真數(shù)，此時(shí)，或3或4或5或6或7或8或9；②所取的兩個(gè)數(shù)不含有1時(shí)，即從2，3，4，5，6，7，8，9中任取兩個(gè)，分別作為底數(shù)與真數(shù)，有個(gè)對(duì)數(shù)，但是其中，，，．綜上可知：共可以得到（個(gè)）不同的對(duì)數(shù)值．故答案為：538.在所有兩位數(shù)中，個(gè)位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個(gè)?【答案】按個(gè)位數(shù)字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是1個(gè)，2個(gè)，3個(gè)，4個(gè)，5個(gè)，6個(gè)，7個(gè)，8個(gè).則共有1+2+3+4+…+7+8=36（個(gè)）.9.在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A、B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長(zhǎng)，要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有多少種。【答案】條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個(gè)條件不容易用一個(gè)包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類的方法。第一類：A在第一壟，B有3種選擇；第二類：A在第二壟，B有2種選擇；第三類：A在第三壟，B有一種選擇；同理A、B位置互換，共12種。10.（1）四名運(yùn)動(dòng)員爭(zhēng)奪三項(xiàng)冠軍，不同的結(jié)果最多有多少種？（2）四名運(yùn)動(dòng)員參加三項(xiàng)比賽，每人限報(bào)一項(xiàng)，不同的報(bào)名方法有多少種？【解析】（1）完成這件事分三步：第一步確定第一項(xiàng)冠軍的得主，可能是這四名運(yùn)動(dòng)員中的任一個(gè)，則有4種不同結(jié)果；第二步確定第二項(xiàng)冠軍的得主，也可能是這四名運(yùn)動(dòng)員中的任一個(gè)，也有4種不同結(jié)果；第三步確定第三項(xiàng)冠軍得主，也有4種不同結(jié)果.則共有4×4×4=64種不同結(jié)果.（2）完成這件事情分四步:第一步讓第一名運(yùn)動(dòng)員報(bào)一項(xiàng)比賽，他可以選擇三項(xiàng)比賽中的任一種，則有3種不同的報(bào)名方法；第二步讓第二名運(yùn)動(dòng)填報(bào)，也有3種不同方法；第三步，第四步分別讓第3，第4名運(yùn)動(dòng)員報(bào)，結(jié)果都一樣.則共有3×3×3×3=81種不同結(jié)果.11.從－1，0，1，2這四個(gè)數(shù)中選三個(gè)不同的數(shù)作為函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共有_____________個(gè)，其中不同的偶函數(shù)共有_____________個(gè).（用數(shù)字作答）【答案】18，6；一個(gè)二次函數(shù)對(duì)應(yīng)著a、b、c（a≠0）的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步計(jì)數(shù)原理，知共有二次函數(shù)3×3×2=18個(gè).若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b=0同上共有3×2=6個(gè).12.從集合{1，2，3，…，10}中，選出由5個(gè)數(shù)組成的子集，使得這5個(gè)數(shù)中的任何兩個(gè)數(shù)的和不等于11，這樣的子集共有多少個(gè)?【答案】32；和為11的數(shù)共有5組：1與10，2與9，3與8，4與7，5與6，子集中的元素不能取自同一組中的兩數(shù)，即子集中的元素取自5個(gè)組中的一個(gè)數(shù).而每個(gè)數(shù)的取法有2種，所以子集的個(gè)數(shù)為2×2×2×2×2=25=32.考點(diǎn)二排列與組合13．計(jì)算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）210（2）840（3）210（4）720【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）．14．下列問(wèn)題是排列問(wèn)題的是（

）A．10個(gè)朋友聚會(huì)，每?jī)扇宋帐忠淮危还参帐侄嗌俅?？B．平面上有2022個(gè)不同的點(diǎn)，且任意三點(diǎn)不共線，連接任意兩點(diǎn)可以構(gòu)成多少條線段？C．集合的含有三個(gè)元素的子集有多少個(gè)？D．從高三（19）班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會(huì)的獨(dú)唱、獨(dú)舞節(jié)目，有多少種選法？【答案】D【解析】A中握手次數(shù)的計(jì)算與次序無(wú)關(guān)，不是排列問(wèn)題；B中線段的條數(shù)計(jì)算與點(diǎn)的次序無(wú)關(guān)，不是排列問(wèn)題；C中子集的個(gè)數(shù)與該集合中元素的次序無(wú)關(guān)，不是排列問(wèn)題；D中，選出的2名學(xué)生，如甲、乙，其中“甲參加獨(dú)唱、乙參加獨(dú)舞”與“乙參加獨(dú)唱、甲參加獨(dú)舞”是2種不同的選法，因此是排列問(wèn)題．故選：D15．某學(xué)校要從5名男教師和3名女教師中隨機(jī)選出3人去支教，則抽取的3人中，女教師最多為1人的選法種數(shù)為（

）．A．10 B．30 C．40 D．46【答案】C【解析】女教師最多為1人即女教師為0人或者1人若女教師為0人，則男教師有3人，有種選擇；若女教師為1人，則男教師2人，有種選擇；故女教師最多為1人的選法種數(shù)為種故選：C16．已知，則的值為（

）A．3 B．3或4 C．4 D．4或5【答案】B【解析】因?yàn)?，所以或，解得：?故選：B.17．用數(shù)字組成個(gè)沒(méi)有重復(fù)數(shù)字并且是的倍數(shù)的五位數(shù).【答案】【解析】若末位為，則可組成個(gè)滿足題意的五位數(shù)；若末位為，則可組成個(gè)滿足題意的五位數(shù)；共可組成滿足題意的五位數(shù)有：個(gè)，故答案為：.18.解方程：（1）；（2）.【答案】（1）利用，原方程可化為：或解得或故原方程的解為：或。（2）原方程解得.故原方程的解為：。19．已知有6本不同的書(shū).(1)分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？【答案】(1)15(2)60【解析】解：（1）6本書(shū)平均分成3堆，所以不同的分堆方法的種數(shù)為.（2）從6本書(shū)中，先取1本作為一堆，再?gòu)氖Ｏ碌?本中取2本作為一堆，最后3本作為一堆，所以不同的分堆方法的種數(shù)為.20．計(jì)算【解析】原式例５：3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排.(1)如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？(2)如果女生必須全分開(kāi)，可有多少種不同的排法？[解析](1)(捆綁法)因?yàn)?個(gè)女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個(gè)整體，這樣同5個(gè)男生合在一起共有6個(gè)元素，排成一排有種不同排法.對(duì)于其中的每一種排法，3個(gè)女生之間又都有種不同的排法，因此共有種不同的排法.(2)(插空法)要保證女生全分開(kāi)，可先把5個(gè)男生排好，每?jī)蓚€(gè)相鄰的男生之間留出一個(gè)空檔，這樣共有4個(gè)空檔，加上兩邊兩個(gè)男生外側(cè)的兩個(gè)位置，共有六個(gè)位置，再把3個(gè)女生插入這六個(gè)位置中，只要保證每個(gè)位置至多插入一個(gè)女生，就能保證任意兩個(gè)女生都不相鄰.由于5個(gè)男生排成一排有種不同排法，對(duì)于其中任意一種排法，從上述六個(gè)位置中選出三個(gè)來(lái)讓3個(gè)女生插入都有種不同排法，因此共有種不同的排法.21．3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排.(1)如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？(2)如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？[解析](1)因?yàn)閮啥瞬荒芘排?，所以兩端只能挑選5個(gè)男生中的2個(gè)，有種不同排法，對(duì)于其中的任意一種排法，其余六位都有種排法，所以共有14400種不同的排法.(2)3個(gè)女生和5個(gè)男生排成一排有種排法，從中減去兩端都是女生的排法種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)，因此共有種不同的排法.考點(diǎn)三二項(xiàng)式定理22．（1）求的展開(kāi)式的第四項(xiàng)的系數(shù)；

（2）求的展開(kāi)式中的系數(shù)及二項(xiàng)式系數(shù)【解析】（1）的展開(kāi)式的第四項(xiàng)是，

∴的展開(kāi)式的第四項(xiàng)的系數(shù)是．（2）∵的展開(kāi)式的