串講03 排列組合（考點串講） （解析版）

串講03排列組合一、知識網(wǎng)絡(luò)二、常考題型三、知識梳理知識點一：計數(shù)原理1.分類加法計數(shù)原理與分步乘法計數(shù)原理1．分類加法計數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2方案中有n種不同的方法。那么完成這件事共有N=m+n種不同的方法。要點詮釋：如果完成一件事有n類辦法，這n類辦法彼此之間是相互獨立的，無論哪一類辦法中哪一種方法都能完成這件事，求完成這件事的方法種數(shù)，就用分類加法計數(shù)原理；在解題時，應(yīng)首先分清楚怎樣才算完成這件事，有些題目在解決時需要進行分類討論，分類時要適當?shù)卮_定分類的標準，按照分類的原則進行，做到不重不漏。2．分步乘法計數(shù)原理完成一件事需要兩個步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N=m×n種不同的方法。要點詮釋：如果完成一件事需要分成n個步驟，缺一不可，即需要依次完成所有的步驟，才能完成這件事，而完成每一個步驟各有若干種不同的方法，計算完成這件事的方法種數(shù)就用分步乘法計數(shù)原理。解題時，關(guān)鍵是分清楚完成這件事是分類還分步，在應(yīng)用分步乘法計數(shù)原理時，各個步驟都完成，才算完成這件事，步驟之間互不影響，即前一步用什么方法，不影響后一步采取什么方法，運用分步乘法計數(shù)原理，要確定好次序，還要注意元素是否可以重復(fù)選取。3．兩個計數(shù)原理的綜合應(yīng)用（1）在解決實際問題的過程中，并不一定是單一的分類或分步，而是可能同應(yīng)用計數(shù)原理，即分類時，每類的方法可能要運用分步完成的，而分步時，每步的方法數(shù)可能會采取分類的思想求。另外，具體問題是先分類后分步，還是先分步后分類，應(yīng)視問題的特點而定。解題時經(jīng)常是兩個原理交叉在一起使用，分類的關(guān)鍵在于要做到“不重不漏”，分類的關(guān)鍵在于要正確設(shè)計分步的程序，即合理分類，準確分步。（2）對于復(fù)雜問題，只用分類加法計數(shù)原理或分步乘法計數(shù)原理不能解決時，可以綜合應(yīng)用兩個原理，可以先分類，在某一類中再分步，也可先分步，在某步中再分類。知識點二：排列與組合排列與排列數(shù)組合與組合數(shù)定義1．排列：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素，按照一定的順序排成一列，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個排列。2．排列數(shù)：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有不同排列的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的排列數(shù)。1．組合：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素合成一組，叫做從n個不同元素中取出m個元素的一個組合。2．組合數(shù)：從n個不同元素中取出m（m≤n）個元素的所有不同組合的個數(shù)，叫做從n個不同元素中取出m個元素的組合數(shù)。公式排列數(shù)公式組合數(shù)公式性質(zhì)（1）（2）備注要點詮釋：區(qū)分某一問題是排列問題還是組合問題，關(guān)鍵是看所選出的元素與順序是否有關(guān)，若交換某兩個元素的位置對結(jié)果產(chǎn)生影響，則是排列問題，否則是組合問題。1.排列數(shù)、組合數(shù)計算（1）排列數(shù)公式：右邊第一個因數(shù)為n，后面每個因數(shù)都比它前面那個因數(shù)少1，最后一個因數(shù)是n-m+1,共m個因數(shù)。公式主要用于含有字母的排列數(shù)的式子的變形與論證；（2）組合數(shù)公式有乘積形式與階乘形式兩種，與排列數(shù)公式的應(yīng)用一樣，前者多用于數(shù)字計算，后者多用于對含有字母的組合數(shù)的式子進行變形和論證。還應(yīng)注意組合數(shù)公式的逆用，即由寫出。要點詮釋：在排列數(shù)、組合數(shù)計算過程要注意階乘的運算及組合數(shù)性質(zhì)的運用，注意含有排列數(shù)或組合數(shù)的方程都是在某個正整數(shù)范圍內(nèi)求解。2.排列應(yīng)用題求排列應(yīng)用題的主要方法有：（1）直接法：把符合條件的排列數(shù)直接列式計算；（2）特殊元素（或位置）優(yōu)先安排的方法，即先排特殊元素或特殊位置；（3）排列、組合混合問題先選后排的方法；（4）相鄰問題捆綁處理的方法。即可以把相鄰元素看作一個整體參與其他元素排列，同時注意捆綁元素的內(nèi)部排列；（5）不相鄰問題插空處理的方法。即先考慮不受限制的元素的排列，再將不相鄰的元素插在前面元素排列的空當中；（6）分排問題直排處理的方法；（7）“小集團”排列問題中先集體后局部的處理方法；（8）定序問題除法處理的方法。即可以先不考慮順序限制，排列后再除以定序元素的全排列；（9）正難則反，等價轉(zhuǎn)化的方法。3.組合應(yīng)用題組合問題常有以下兩類題型變化：（1）“含有”或“不含有”某些元素的組合題型：“含”，則先將這些元素取出，再由另外元素補足；“不含”，則先將這些元素剔除，再從剩下的元素中去選取。（2）“至少”或“最多”含有幾個元素的題型：解這類題必須十分重視“至少”與“最多”這兩個關(guān)鍵詞的含義，謹防重復(fù)與漏解。用直接法和間接法都可以求解，通常用直接法分類復(fù)雜時，考慮逆向思維，用間接法處理。4.排列、組合應(yīng)用題1.排列、組合問題幾大解題方法：①直接法.②排除法.③捆綁法：在特定要求的條件下，將幾個相關(guān)元素當作一個元素來考慮，待整體排好之后再考慮它們“局部”的排列.④插空法：先把一般元素排列好，然后把待定元素插排在它們之間或兩端的空檔中，此法主要解決“元素不相鄰問題”.⑤占位法：從元素的特殊性上講，對問題中的特殊元素應(yīng)優(yōu)先排列，然后再排其他一般元素；從位置的特殊性上講，對問題中的特殊位置應(yīng)優(yōu)先考慮，然后再排其他剩余位置.即采用“先特殊后一般”的解題原則.⑥調(diào)序法：當某些元素次序一定時，可用此法.解題方法是：先將n個元素進行全排列有種，個元素的全排列有種，由于要求m個元素次序一定，因此只能取其中的某一種排法，可以利用除法起到去調(diào)序的作用，即若n個元素排成一列，其中m個元素次序一定，共有種排列方法.⑦平均法：若把kn個不同元素平均分成k組，每組n個，共有.⑧隔板法：常用于解正整數(shù)解組數(shù)的問題.例如：的正整數(shù)解的組數(shù)就可建立組合模型將12個完全相同的球排成一列，在它們之間形成11個空隙中任選三個插入3塊摸板，把球分成4個組.每一種方法所得球的數(shù)目依次為顯然，故（）是方程的一組解.反之，方程的任何一組解，對應(yīng)著惟一的一種在12個球之間插入隔板的方式（如圖所示）故方程的解和插板的方法一一對應(yīng).即方程的解的組數(shù)等于插隔板的方法數(shù).注意：若為非負數(shù)解的x個數(shù)，即用中等于，有，進而轉(zhuǎn)化為求a的正整數(shù)解的個數(shù)為.2.解排列組合的應(yīng)用題要注意以下幾點：（1）仔細審題，判斷是排列問題還是組合問題；要按元素的性質(zhì)分類，按事件發(fā)生的過程進行分類；（2）深入分析，嚴密周詳，注意分清是乘還是加，要防止重復(fù)和遺漏，辯證思維，多角度分析，全面考慮；（3）對限制條件較復(fù)雜的排列組合應(yīng)用題，要周密分析，設(shè)計出合理的方案，把復(fù)雜問題分解成若干簡單的基本問題后用兩個計數(shù)原理來解決；（4）由于排列組合問題的答案一般數(shù)目較大，不易直接驗證，因此在檢查結(jié)果時，應(yīng)著重檢查所設(shè)計的解決方案是否完備，有無重復(fù)和遺漏，也可采用多種不同的方法求解，看看結(jié)果是否相同。在對排列組合問題分類時，分類標準應(yīng)統(tǒng)一，否則易出現(xiàn)遺漏或重復(fù)。（5）排列組合綜合題目，一般是符合要求的元素取出（組合）或進行分組，再對取出的元素或分好的組進行排列。其中分組時，要注意“平均分組”與“不平均分組”的差異及分類的標準。知識點三：二項式定理1．二項式定理1.定義一般地,對于任意正整數(shù),都有：()，這個公式所表示的定理叫做二項式定理，等號右邊的多項式叫做的二項展開式。式中的做二項展開式的通項，用Tr+1表示，即通項為展開式的第r+1項：，其中的系數(shù)（r=0，1，2，…，n）叫做二項式系數(shù)，2．二項式(a+b)n的展開式的特點：(1)項數(shù)：共有n+1項，比二項式的次數(shù)大1；(2)二項式系數(shù)：第r+1項的二項式系數(shù)為，最大二項式系數(shù)項居中；(3)次數(shù)：各項的次數(shù)都等于二項式的冪指數(shù)n．字母a降冪排列，次數(shù)由n到0；字母b升冪排列，次數(shù)從0到n，每一項中，a，b次數(shù)和均為n；3.兩個常用的二項展開式：①()②4.二項展開式的通項公式二項展開式的通項：（）公式特點：①它表示二項展開式的第r+1項，該項的二項式系數(shù)是；②字母b的次數(shù)和組合數(shù)的上標相同；③a與b的次數(shù)之和為n。要點詮釋：（1）二項式(a+b)n的二項展開式的第r+1項和(b+a)n的二項展開式的第r+1項是有區(qū)別的，應(yīng)用二項式定理時，其中的a和b是不能隨便交換位置的．（2）通項是針對在(a+b)n這個標準形式下而言的，如(a－b)n的二項展開式的通項是（只需把－b看成b代入二項式定理）。5.楊輝三角和二項展開式的推導(dǎo)。在我國南宋，數(shù)學(xué)家楊輝于1261年所著的《詳解九章算法》如下表，可直觀地看出二項式系數(shù)。展開式中的二項式系數(shù),當依次取1,2,3,…時,如下表所示:………11……121…………………1331………………14641……………15101051…………1615201561………………上表叫做二項式系數(shù)的表,也稱楊輝三角(在歐洲,這個表叫做帕斯卡三角),反映了二項式系數(shù)的性質(zhì)。表中每行兩端都是1，而且除1以外的每一個數(shù)都等于它肩上的兩個數(shù)的和。用組合的思想方法理解(a+b)n的展開式中的系數(shù)的意義：為了得到(a+b)n展開式中的系數(shù)，可以考慮在這n個括號中取r個b，則這種取法種數(shù)為，即為的系數(shù)．6.的展開式中各項的二項式系數(shù)、、…具有如下性質(zhì)：①對稱性：二項展開式中，與首末兩端“等距離”的兩項的二項式系數(shù)相等，即；②增減性與最大值：二項式系數(shù)在前半部分逐漸增大，在后半部分逐漸減小，在中間取得最大值.其中，當n為偶數(shù)時，二項展開式中間一項的二項式系數(shù)最大；當n為奇數(shù)時，二項展開式中間兩項的二項式系數(shù)，相等，且最大.③各二項式系數(shù)之和為，即；④二項展開式中各奇數(shù)項的二項式系數(shù)之和等于各偶數(shù)項的二項式系數(shù)之和，即。要點詮釋：二項式系數(shù)與展開式的系數(shù)的區(qū)別：二項展開式中，第r+1項的二項式系數(shù)是組合數(shù)，展開式的系數(shù)是單項式的系數(shù)，二者不一定相等。如(a－b)n的二項展開式的通項是，在這里對應(yīng)項的二項式系數(shù)都是，但項的系數(shù)是，可以看出，二項式系數(shù)與項的系數(shù)是不同的概念．7.展開式中的系數(shù)求法（的整數(shù)且）如：展開式中含的系數(shù)為要點詮釋：三項或三項以上的展開式問題，把某兩項結(jié)合為一項，利用二項式定理解決。8.二項式定理的應(yīng)用1.求展開式中的指定的項或特定項（或其系數(shù)）.2.利用賦值法進行求有關(guān)系數(shù)和。二項式定理表示一個恒等式，對于任意的a，b，該等式都成立。利用賦值法（即通過對a、b取不同的特殊值）可解決與二項式系數(shù)有關(guān)的問題，注意取值要有利于問題的解決，可以取一個值或幾個值，也可以取幾組值，解決問題時要避免漏項等情況。設(shè)令x=0，則(2)令x=1，則(3)令x=－1，則(4)(5)四、?？碱}型探究考點一計數(shù)原理1.某電腦用戶計劃使用不超過500元購買單價分別為60元、70元的電腦軟件和電腦元件，根據(jù)需要，軟件至少買3個，元件至少買2個，則不同的選購方法有（）A.5B.6C.7D.8【思路點撥】采用列舉法分類討論?！窘馕觥抠I軟件3個和元件買2個共需要320元，還剩180元可以自由支配。下面考慮這180元的使用：1類：只再買0個軟件，剩下的180元可以不買元件或買1個元件或買2個元件，共3種方法；2類：只再買1個軟件，剩下的120元可以不買元件或買1個元件，共2種方法；3類：只再買2個軟件，剩下的60元不可以買元件，共1種方法；4類：只再買3個軟件，剩下的0元不可以買元件，共1種方法；故不同的方法共有2+1+1+3=7種。【總結(jié)升華】選擇恰當?shù)姆诸悩藴?，作到不重不漏。本題也可以用線形規(guī)劃的整數(shù)解的方法解決。2．如圖，現(xiàn)要用四種不同的顏色，對四邊形中的四個區(qū)域進行著色，要求有公共邊的兩個區(qū)域不能用同一種顏色，則不同的著色方法數(shù)為（

）A． B． C． D．【答案】A將四個區(qū)域標記為，如下圖所示：第一步涂：種涂法，第二步涂：種涂法，第三步涂：種涂法，第四步涂：種涂法，根據(jù)分步乘法計數(shù)原理可知，一共有種著色方法，故選：A.3．從甲地到乙地，一天中有5次火車，12次客車，3次飛機航班，還有6次輪船，某人某天要從甲地到乙地，共有不同走法的種數(shù)是（

）A．26B．60C．18D．1080【答案】A【解析】由分類加法計數(shù)原理知有（種）不同走法.故選：A4．3名大學(xué)生利用假期到2個山村參加扶貧工作，每名大學(xué)生只能去1個村，則不同的分配方案共有（

）A．4種 B．6種 C．8種 D．10種【答案】C【解析】每個大學(xué)生都有種選擇方法，所以不同的分配方案共有種，故選：C.5．從6名志愿者中選出4人分別從事翻譯、導(dǎo)游、導(dǎo)購、保潔四項不同的工作，若其中甲、乙兩名志愿者都不能從事翻譯工作，則不同的選派方案共有（）A．280種B．240種C．180種D．96種【答案】B【詳解】解：先從除了甲乙剩余的4名志愿者中選1人從事翻譯工作，有種，然后再從剩余的名志愿者中選3個人從事另外三項工作，有種，所以一共有種.6．6本不同的書，分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有______種分法【答案】60【分析】根據(jù)不平均分組即可求解，【詳解】先從6本書中任取1本，作為一堆，有種取法，再從余下的5本書中任取2本，作為一堆，有種取法，最后從余下的3本書中取3本作為一堆，有種取法，故共有分法種.7．從集合中分別取2個不同的數(shù)作為對數(shù)的底數(shù)與真數(shù)，一共可得到______個不同的對數(shù)值．【答案】53【分析】分取的兩個數(shù)中有一個是1、取的兩個數(shù)不含有1兩種情況討論，注意排除對數(shù)值相等的情況.【詳解】①當取的兩個數(shù)中有一個是1時，則1只能作真數(shù)，此時，或3或4或5或6或7或8或9；②所取的兩個數(shù)不含有1時，即從2，3，4，5，6，7，8，9中任取兩個，分別作為底數(shù)與真數(shù)，有個對數(shù)，但是其中，，，．綜上可知：共可以得到（個）不同的對數(shù)值．故答案為：538.在所有兩位數(shù)中，個位數(shù)字大于十位數(shù)字的兩位數(shù)共有多少個?【答案】按個位數(shù)字是2，3，4，5，6，7，8，9分成8類，在每一類中滿足條件的兩位數(shù)分別是1個，2個，3個，4個，5個，6個，7個，8個.則共有1+2+3+4+…+7+8=36（個）.9.在一塊并排的10壟田地中，選擇二壟分別種植A、B兩種作物，每種種植一壟，為有利于作物生長，要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟，不同的選法共有多少種。【答案】條件中“要求A、B兩種作物的間隔不少于6壟”這個條件不容易用一個包含排列數(shù)，組合數(shù)的式子表示，因而采取分類的方法。第一類：A在第一壟，B有3種選擇；第二類：A在第二壟，B有2種選擇；第三類：A在第三壟，B有一種選擇；同理A、B位置互換，共12種。10.（1）四名運動員爭奪三項冠軍，不同的結(jié)果最多有多少種？（2）四名運動員參加三項比賽，每人限報一項，不同的報名方法有多少種？【解析】（1）完成這件事分三步：第一步確定第一項冠軍的得主，可能是這四名運動員中的任一個，則有4種不同結(jié)果；第二步確定第二項冠軍的得主，也可能是這四名運動員中的任一個，也有4種不同結(jié)果；第三步確定第三項冠軍得主，也有4種不同結(jié)果.則共有4×4×4=64種不同結(jié)果.（2）完成這件事情分四步:第一步讓第一名運動員報一項比賽，他可以選擇三項比賽中的任一種，則有3種不同的報名方法；第二步讓第二名運動填報，也有3種不同方法；第三步，第四步分別讓第3，第4名運動員報，結(jié)果都一樣.則共有3×3×3×3=81種不同結(jié)果.11.從－1，0，1，2這四個數(shù)中選三個不同的數(shù)作為函數(shù)f（x）=ax2+bx+c的系數(shù)，可組成不同的二次函數(shù)共有_____________個，其中不同的偶函數(shù)共有_____________個.（用數(shù)字作答）【答案】18，6；一個二次函數(shù)對應(yīng)著a、b、c（a≠0）的一組取值，a的取法有3種，b的取法有3種，c的取法有2種，由分步計數(shù)原理，知共有二次函數(shù)3×3×2=18個.若二次函數(shù)為偶函數(shù)，則b=0同上共有3×2=6個.12.從集合{1，2，3，…，10}中，選出由5個數(shù)組成的子集，使得這5個數(shù)中的任何兩個數(shù)的和不等于11，這樣的子集共有多少個?【答案】32；和為11的數(shù)共有5組：1與10，2與9，3與8，4與7，5與6，子集中的元素不能取自同一組中的兩數(shù)，即子集中的元素取自5個組中的一個數(shù).而每個數(shù)的取法有2種，所以子集的個數(shù)為2×2×2×2×2=25=32.考點二排列與組合13．計算：（1）；（2）；（3）；（4）．【答案】（1）210（2）840（3）210（4）720【解析】解：（1）；（2）；（3）；（4）．14．下列問題是排列問題的是（

）A．10個朋友聚會，每兩人握手一次，一共握手多少次？B．平面上有2022個不同的點，且任意三點不共線，連接任意兩點可以構(gòu)成多少條線段？C．集合的含有三個元素的子集有多少個？D．從高三（19）班的54名學(xué)生中選出2名學(xué)生分別參加校慶晚會的獨唱、獨舞節(jié)目，有多少種選法？【答案】D【解析】A中握手次數(shù)的計算與次序無關(guān)，不是排列問題；B中線段的條數(shù)計算與點的次序無關(guān)，不是排列問題；C中子集的個數(shù)與該集合中元素的次序無關(guān)，不是排列問題；D中，選出的2名學(xué)生，如甲、乙，其中“甲參加獨唱、乙參加獨舞”與“乙參加獨唱、甲參加獨舞”是2種不同的選法，因此是排列問題．故選：D15．某學(xué)校要從5名男教師和3名女教師中隨機選出3人去支教，則抽取的3人中，女教師最多為1人的選法種數(shù)為（

）．A．10 B．30 C．40 D．46【答案】C【解析】女教師最多為1人即女教師為0人或者1人若女教師為0人，則男教師有3人，有種選擇；若女教師為1人，則男教師2人，有種選擇；故女教師最多為1人的選法種數(shù)為種故選：C16．已知，則的值為（

）A．3 B．3或4 C．4 D．4或5【答案】B【解析】因為，所以或，解得：或.故選：B.17．用數(shù)字組成個沒有重復(fù)數(shù)字并且是的倍數(shù)的五位數(shù).【答案】【解析】若末位為，則可組成個滿足題意的五位數(shù)；若末位為，則可組成個滿足題意的五位數(shù)；共可組成滿足題意的五位數(shù)有：個，故答案為：.18.解方程：（1）；（2）.【答案】（1）利用，原方程可化為：或解得或故原方程的解為：或。（2）原方程解得.故原方程的解為：。19．已知有6本不同的書.(1)分成三堆，每堆2本，有多少種不同的分堆方法？(2)分成三堆，一堆1本，一堆2本，一堆3本，有多少種不同的分堆方法？【答案】(1)15(2)60【解析】解：（1）6本書平均分成3堆，所以不同的分堆方法的種數(shù)為.（2）從6本書中，先取1本作為一堆，再從剩下的5本中取2本作為一堆，最后3本作為一堆，所以不同的分堆方法的種數(shù)為.20．計算【解析】原式例５：3個女生和5個男生排成一排.(1)如果女生必須全排在一起，可有多少種不同的排法？(2)如果女生必須全分開，可有多少種不同的排法？[解析](1)(捆綁法)因為3個女生必須排在一起，所以可以先把她們看成一個整體，這樣同5個男生合在一起共有6個元素，排成一排有種不同排法.對于其中的每一種排法，3個女生之間又都有種不同的排法，因此共有種不同的排法.(2)(插空法)要保證女生全分開，可先把5個男生排好，每兩個相鄰的男生之間留出一個空檔，這樣共有4個空檔，加上兩邊兩個男生外側(cè)的兩個位置，共有六個位置，再把3個女生插入這六個位置中，只要保證每個位置至多插入一個女生，就能保證任意兩個女生都不相鄰.由于5個男生排成一排有種不同排法，對于其中任意一種排法，從上述六個位置中選出三個來讓3個女生插入都有種不同排法，因此共有種不同的排法.21．3個女生和5個男生排成一排.(1)如果兩端都不能排女生，可有多少種不同的排法？(2)如果兩端不能都排女生，可有多少種不同的排法？[解析](1)因為兩端不能排女生，所以兩端只能挑選5個男生中的2個，有種不同排法，對于其中的任意一種排法，其余六位都有種排法，所以共有14400種不同的排法.(2)3個女生和5個男生排成一排有種排法，從中減去兩端都是女生的排法種，就能得到兩端不都是女生的排法種數(shù)，因此共有種不同的排法.考點三二項式定理22．（1）求的展開式的第四項的系數(shù)；

（2）求的展開式中的系數(shù)及二項式系數(shù)【解析】（1）的展開式的第四項是，

∴的展開式的第四項的系數(shù)是．（2）∵的展開式的