內(nèi)蒙古自治區(qū)鄂爾多斯市達拉特旗達拉特旗第一中學2024-2025學年高二上學期開學考試數(shù)學試題（解析版）

達旗一中高二年級開學摸底考試（數(shù)學）考試時間：120分鐘總分：150分命題人：王浩審題人;王東一、單選題（每個小題5分，共40分）1.復數(shù)的虛部為（）A B. C. D.2【答案】D【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的除法運算和復數(shù)的虛部概念即可.【詳解】，故該復數(shù)的虛部為2.故選：D.2.已知向量，，若，則（）A.1 B.2 C. D.【答案】D【解析】【分析】由向量垂直的坐標表示即可直接求得答案【詳解】由，得，故．故選：D．3.已知，則（）A.4 B. C. D.3【答案】C【解析】【分析】首先求出，再將弦化切，最后代入計算可得.【詳解】因，所以，所以.故選：C4.設，是兩個不重合平面，，是兩條不重合直線，則（）A.若，，則 B.若，，則C.若，，，則 D.若，，，則【答案】C【解析】【分析】對ABD舉出反例即可，對C根據(jù)線面垂直的性質(zhì)即可判斷.【詳解】對A，若，，則或與異面，故A錯誤；對B，若，，則與可能相交、平行或，故B錯誤；對C，若，，則，又因為，則，故C正確；對D，若，，，當都與的交線平行時，滿足題設條件，此時l//m，故D錯誤.故選：C.5.在上的值域為（）A. B. C. D.【答案】C【解析】【分析】根據(jù)的取值范圍，求出的取值范圍，再根據(jù)余弦函數(shù)的性質(zhì)計算可得；【詳解】解：，，即，故函數(shù)的值域為；故選：C.6.在中，若，，，則等于（）A B. C.或 D.或【答案】D【解析】【分析】根據(jù)正弦定理即可求解.【詳解】解：由正弦定理可得，，，，，或，故選：D7.若樣本的平均數(shù)為10，方差為20，則樣本的平均數(shù)和方差分別為（）A.20，35 B.20，40 C.15，75 D.15，80【答案】D【解析】【分析】根據(jù)平均數(shù)、方差的運算性質(zhì)進行求解即可.【詳解】由題得樣本，的平均數(shù)為，方差為．故選：D8.某公司為了調(diào)查員工的健康狀況，由于女員工所占比重大，按性別分層，用按比例分配的分層隨機抽樣的方法抽取樣本，若樣本中有女員工39人，男員工21人，女員工的平均體重為50kg，標準差為6，男員工的平均體重為70kg，標準差為4．則所抽取的所有員工的體重的方差為（）A.29 B.120 C.100 D.112【答案】B【解析】【分析】求出樣本平均數(shù)，再根據(jù)分層抽樣方差計算公式求出樣本的方差.【詳解】依題意，樣本中所有員工的體重的平均值為，則樣本中所有員工體重的方差.故選：B二、多選題（共3個小題，每題6分，全選對得6分，部分選對得3分，選錯得0分）9.某運動員的特訓成績分別為：9，12，8，16，12，16，13，20，18，16，則這組數(shù)據(jù)的（）A.極差為12 B.眾數(shù)為16 C.平均數(shù)為14 D.第80百分位數(shù)為16【答案】ABC【解析】【分析】按照從小到大的順序?qū)?shù)據(jù)重新排列，再根據(jù)極差、眾數(shù)、平均數(shù)、百分位數(shù)的定義即可得出結(jié)果.【詳解】將數(shù)據(jù)從小到大排列可得：8，9，12，12，13，16，16，16，18，20；所以極差為，即A正確；其中16出現(xiàn)了3次，出現(xiàn)次數(shù)最多，所以眾數(shù)為16，即B正確；平均數(shù)為，即C正確；因為，所以第80百分位數(shù)為第8個和第9個數(shù)的平均值，即，即D錯誤.故選：ABC10.對于復數(shù)（，），下列說法正確的是（）A.若，則為實數(shù)B.若，則為純虛數(shù)C.若，，則在復平面上對應的點位于第四象限D(zhuǎn).若，則在復平面上對應的點的集合所構(gòu)成的圖形的面積為4【答案】AC【解析】【分析】根據(jù)復數(shù)的概念以及幾何意義，結(jié)合圓的性質(zhì)，可得答案.【詳解】對于A，由，，則，故A正確；對于B，當時，，故B錯誤；對于C，由，則其在復平面上對應的點為，由，，則該點在第四象限，故C正確；對于D，，則在復平面上對應的點的集合所構(gòu)成的圖形為以原點為圓心，以為半徑的圓，則其面積，故D錯誤.故選：AC.11.的內(nèi)角的對邊分別為，則下列說法錯誤的是（）A.若，則B.若，，，則有一解C.若為鈍角三角形，則D.若，，則面積的最大值為【答案】ABC【解析】【分析】結(jié)合在上單調(diào)遞減，可判定A錯誤；由正弦定理求得，結(jié)合，可判定B錯誤；若為鈍角，得到，可判定C錯誤；利用余弦定理和基本不等式，結(jié)合三角形的面積公式，可判定D正確.【詳解】對于A中，由且，根據(jù)函數(shù)在上單調(diào)遞減，可得，所以A錯誤；對于B中，若，可得，因為，所以，所以為銳角，可得有兩解，所以B錯誤；對于C中，若為鈍角三角形，可能為鈍角，此時，所以C錯誤；對于D，若，可得，所以，當且僅當時，等號成立，所以的面積有最大值，所以D正確．故選：ABC．三、填空題（每題5分，共15分）12.已知某班有男生25人，女生20人．為了解該班學生的體質(zhì)健康情況，按性別進行分層，采用分層隨機抽樣的方法抽取一個容量為9的樣本進行調(diào)查．若樣本按比例分配，則抽取的男生人數(shù)為________．【答案】5【解析】【分析】利用比例分配的分層抽樣的性質(zhì)直接求解．【詳解】解：由比例分配的分層抽樣得：男生應該抽取的人數(shù)為：．故答案為：5．13.在中，內(nèi)角的對邊分別為，且，則的面積為__________.【答案】【解析】【分析】由正弦定理將角化邊可得，再由余弦定理得到，即可求出，再由面積公式計算可得.【詳解】由，由正弦定理可得，由余弦定理可得，所以，所以，所以，所以的面積為.故答案：14.在三棱錐中，平面，則三棱錐的外接球的表面積為__________.【答案】【解析】【分析】利用三棱錐與長方體的外接球求法求解.【詳解】由題意可知，可將該三棱錐在長方體中作出，所以三棱錐的外接球即為長方體的外接球，為外接球的直徑，所以,所以外接球的半徑為,所以三棱錐的外接球的表面積為，故答案為:.四、解答題（15題13分，16、17題15分，18、19題17分）15.2023年8月8日，世界大學生運動會在成都成功舉行閉幕式．某校抽取100名學生進行了大運會知識競賽并記錄得分（滿分：100，所有人的成績都在內(nèi)），根據(jù)得分將他們的成績分成六組，制成如圖所示的頻率分布直方圖．（1）求圖中a的值；（2）估計這100人競賽成績的平均數(shù)（同一組中的數(shù)據(jù)用該組區(qū)間的中點值為代表）、眾數(shù)及中位數(shù)．【答案】（1）（2）平均數(shù)72分，眾數(shù)約為75（分），中位數(shù)為（分）【解析】【分析】（1）由所有頻率之和為1列方程即可求解；（2）由頻率分布直方圖中平均數(shù)、眾數(shù)以及中位數(shù)的計算公式直接計算即可求解.【小問1詳解】由題意知，即，得．【小問2詳解】由頻率分布直方圖可知這100人競賽成績的平均數(shù)約為（分）．眾數(shù)約為（分）．前3組的頻率為，前4組的頻率為，所以中位數(shù)為（分）．16.已知直三棱柱中，，.（1）求證：平面平面；（2）若，求四棱錐的體積.【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）首先說明，再由得到，即可證明平面，從而得證；（2）首先證明平面，利用勾股定理求出，再證明平面，最后由錐體的體積公式計算可得.【小問1詳解】在直三棱柱中，，所以矩形為正方形，所以，又，，所以，又，平面，所以平面，又平面，所以平面平面.【小問2詳解】由（1）可知，又，，平面，所以平面，又平面，所以，，因為，，所以，又，所以，又，，，平面，所以平面，顯然平面，所以.17.如圖，在直三棱柱中，，，．（1）求證：平面平面；（2）若，求點B到平面的距離．【答案】（1）證明見解析（2）【解析】【分析】（1）利用線線垂直證線面垂直，再證面面垂直即得；（2）先證明，再利用三棱錐等體積轉(zhuǎn)化即可求得點到平面的距離.【小問1詳解】在直三棱柱中，底面，因底面，所以，又，平面,且，則平面，又平面，故平面平面.【小問2詳解】因為，所以，又由（1）知，平面，平面，則，設點B到平面的距離為d，因為，即，解得，故點B到平面的距離為．18.已知，，分別為的三個內(nèi)角，，的對邊，且.（1）求角；（2）若，的面積.【答案】（1）（2）【解析】【分析】（1）由已知根據(jù)余弦定理求解，然后根據(jù)特殊角的函數(shù)值求解即可；（2）結(jié)合完全平方和公式利用余弦定理求得，然后代入三角形面積公式求解即可.【小問1詳解】由余弦定理，所以，又，所以.【小問2詳解】因為，所以，因為，由已知得，故，故，所以.19.已知函數(shù)的最小正周期為，且當時，取最大值．（1）求，的值；（2）若，，求的值．【答案】（1），（2）【解析】【分析】（1）結(jié)合三角函數(shù)周期的公式，求得的值，再結(jié)合題設，得到，