湖南省衡陽市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月聯(lián)考一模試題一

PAGEPAGE15湖南省衡陽市2025屆高三數(shù)學(xué)下學(xué)期3月聯(lián)考（一模）試題（一）留意事項(xiàng)：1.本試題卷共4頁，共22小題，滿分150分，考試用時(shí)120分鐘。2.答卷前，考生務(wù)必將自己的姓名、準(zhǔn)考證號(hào)填寫在答題卡上。3.請(qǐng)將答案正確填寫在答題卡上。4.考試結(jié)束后，將本試題卷和答題卡一并交回。一、選擇題：本大題共8小題，每小題5分，共40分，在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，只有一項(xiàng)是符合題目要求的.1.若復(fù)數(shù)滿意，則A.B.C.1D.52.已知、為的子集，若，，則滿意題意的的個(gè)數(shù)為A.3B.4C.7D.83.衡陽創(chuàng)建“全國衛(wèi)生文明城市”活動(dòng)中，大力加強(qiáng)垃圾分類投放宣揚(yáng).某居民小區(qū)設(shè)有“廚余垃圾”、“可回收垃圾”、“其它垃圾”三種不同的垃圾桶.一天，居民小賢提著上述分好類的垃圾各一袋，隨機(jī)每桶投一袋，則恰好有一袋垃圾投對(duì)的概率為A.B.C.D.4.二項(xiàng)式的綻開式中常數(shù)項(xiàng)為，則含項(xiàng)的系數(shù)為A.B.C.6D.155.設(shè)，，則，，的大小關(guān)系為A.B.C.D.6.非零向量，，滿意，，的夾角為，，則在上的投影為A.2B.C.3D.47.設(shè)，是雙曲線：（，）的左、右焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，若上存在點(diǎn)，使得，且，則此雙曲線的離心率為A.B.C.2D.8.已知函數(shù)（），將的圖像向右平移個(gè)單位得到函數(shù)的圖像，點(diǎn)，，是與圖像的連續(xù)相鄰三個(gè)交點(diǎn)，若是鈍角三角形，則的取值范圍為A.B.C.D.二、多項(xiàng)選擇題：本題共4小題，每小題5分，共20分.在每小題給出的四個(gè)選項(xiàng)中，有多項(xiàng)符合題目要求，全部選對(duì)的得5分，部分選對(duì)的得2分，有選錯(cuò)的得0分.9.5G技術(shù)的運(yùn)營不僅提高了網(wǎng)絡(luò)傳輸速度，更拓寬了網(wǎng)絡(luò)資源的服務(wù)范圍.目前，我國加速了5G技術(shù)的融合與創(chuàng)新，前景美妙！某手機(jī)商城統(tǒng)計(jì)了5個(gè)月的5G手機(jī)銷量，如下表所示：月份2024年6月2024年7月2024年8月2024年9月2024年10月月份編號(hào)12345銷量/部5295185227若與線性相關(guān)，由上表數(shù)據(jù)求得線性回來方程為，則下列說法正確的是A.5G手機(jī)的銷量逐月增加，平均每個(gè)月增加約10臺(tái)B.C.與正相關(guān)D.預(yù)料12月份該手機(jī)商城的5G手機(jī)銷量約為318部10.設(shè)數(shù)列的前項(xiàng)和為，若為常數(shù)，則稱數(shù)列為“祥瑞數(shù)列”.則下列數(shù)列為“祥瑞數(shù)列”的有A.B.C.D.11.已知拋物線：（），過其準(zhǔn)線上的點(diǎn)作的兩條切線，切點(diǎn)分別為、，下列說法正確的是A.B.C.直線的斜率為D.線段中點(diǎn)的橫坐標(biāo)為112.已知函數(shù)，以下結(jié)論正確的是A.是偶函數(shù)B.最小值為2C.在區(qū)間上單調(diào)遞減D.的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為5三、填空題：本大題共4小題，每小題5分，共20分.13.使得“”成立的一個(gè)充分條件是.14.定義在上的函數(shù)滿意，的導(dǎo)函數(shù)，則.15.設(shè)圓錐的頂點(diǎn)為，為圓錐底面圓的直徑，點(diǎn)為圓上的一點(diǎn)（異于，），若，三棱錐的外接球表面積為，則圓錐的體積為.16.阿波羅尼期（約公元前262-190年）證明過這樣一個(gè)命題：平面內(nèi)到兩定點(diǎn)距離之比為常數(shù)的點(diǎn)的軌跡是圓，后人將此圓稱為阿氏圓.若平面內(nèi)兩定點(diǎn)、間的距離為4，動(dòng)點(diǎn)滿意，則動(dòng)點(diǎn)的軌跡所圍成的圖形的面積為；最大值是.四、解答題（本大題共6小題，共70分.解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17.（本小題滿分10分）中，角，，的對(duì)邊分別為，，，且，，成等差數(shù)列.（1）若，求；（2）求的取值范圍.18.（本小題滿分12分）已知數(shù)列滿意，.（1）證明：數(shù)列為等差數(shù)列.（2）求數(shù)列的前項(xiàng)和.19.（本小題滿分12分）檳榔芋又名香芋，衡陽市境內(nèi)主要產(chǎn)于祁東縣.檳榔芋富含淀粉、蛋白質(zhì)、脂肪和多種維生素，可加工成芋蘭片，芋絲等副食品，深受廣闊消費(fèi)者寵愛.衡陽市某超市購進(jìn)一批祁東檳榔芋，并隨機(jī)抽取了50個(gè)統(tǒng)計(jì)其質(zhì)量，得到的結(jié)果如下表所示：質(zhì)量/克數(shù)量/個(gè)25122263（1）若購進(jìn)這批檳榔芋100千克，同一組數(shù)據(jù)用該區(qū)間扣點(diǎn)值作代表，試估計(jì)這批檳榔芋的數(shù)量（所得結(jié)果四舍五入保留整數(shù)）；（2）以頻率估計(jì)概率，若在購進(jìn)的這批檳榔芋中，隨機(jī)選擇3個(gè)，記3個(gè)檳榔芋中質(zhì)量在間的檳榔芋數(shù)量為隨機(jī)變量，求的分布列和數(shù)學(xué)期望.20.（本小題滿分12分）如圖，直四棱柱，底面是邊長為2的菱形，，，點(diǎn)在平面上，且平面.（1）求的長；（2）若為的中點(diǎn)，求與平面所成角的正弦值.21.（本小題滿分12分）已知圓：與圓：的公共點(diǎn)的軌跡為曲線.（1）求的方程；（2）設(shè)點(diǎn)為圓：上隨意點(diǎn)，且圓在點(diǎn)處的切線與交于，兩點(diǎn).試問：是否為定值？若是，求出該定值；若不是，請(qǐng)說明理由.22.（本小題滿分12分）已知函數(shù)，，其中，.（1）當(dāng)時(shí)，求函數(shù)的最小值；（2）是否存在實(shí)數(shù)，使得只有唯一的，當(dāng)時(shí)，恒成立，若存在，試求出，的值；若不存在，請(qǐng)說明理由.2025屆中學(xué)畢業(yè)班聯(lián)考（一）參考答案1．【答案】C【簡(jiǎn)析】【法一】?jī)蛇吶∧？傻茫?【法二】求得，.2．【答案】D【簡(jiǎn)析】如圖可知，，故的子集有個(gè).3．【答案】D【簡(jiǎn)析】3袋垃圾中恰有1袋投放正確的狀況有種情形，由古典概型計(jì)算公式得三袋恰投對(duì)一袋垃圾的概率為，選D.4．【答案】A【簡(jiǎn)析】依題：，含項(xiàng)的系數(shù).5．【答案】C【簡(jiǎn)析】易知：，，，明顯成立.6．【答案】B【簡(jiǎn)析】【法一】，如圖，，直線交于，，則在上的投影為.【法二】.7．【答案】A【簡(jiǎn)析】設(shè)，，在中，由，得，故，，，故.∴，所以離心率.8．【答案】B【簡(jiǎn)析】由條件可得，，作出兩個(gè)函數(shù)圖像，如圖：，，為連續(xù)三交點(diǎn)，（不妨設(shè)在軸下方），為的中點(diǎn)，由對(duì)稱性，則是以為頂角的等腰三角形，，由，整理得，得，則，所以，要使為鈍角三角形，只須即可，由，所以，選B.9．【答案】BCD【簡(jiǎn)析】由表中數(shù)據(jù)可知，代入回來方程知，于是，B正確；將代入回來方程得，D正確，故本題答案是BCD.10．【答案】BC【簡(jiǎn)析】若是等差數(shù)列，據(jù)等差數(shù)列求和公式知需，，則為“祥瑞數(shù)列”，檢驗(yàn)AC，可知C正確．是搖擺數(shù)列，由并項(xiàng)法知：，，，故B正確，依據(jù)等比數(shù)列求和公式知D錯(cuò)誤.11．【答案】BCD【簡(jiǎn)析】易知準(zhǔn)線方程為，∴，：.設(shè)直線，代入，得，當(dāng)直線與相切時(shí)，有，即，設(shè)，斜率分別為，，易知，是上述方程兩根，故，故.設(shè)，，其中，.則：，即.代入點(diǎn)，得，同理可得，故：，故.由，得，即中點(diǎn)橫坐標(biāo)為1.12．【答案】ABD【簡(jiǎn)析】∵，，∴是偶函數(shù)，A正確；，由函數(shù)的奇偶性與周期性,只須探討在上圖像改變狀況.，當(dāng)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)；當(dāng)時(shí)，，則在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，此時(shí)，故當(dāng)時(shí)，，B正確.因在上單調(diào)遞減，又是偶函數(shù)，故在上單調(diào)遞增，故C錯(cuò)誤.對(duì)于D，轉(zhuǎn)化為根的個(gè)數(shù)問題.因在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減.當(dāng)時(shí)，，，無實(shí)根.時(shí)，，無實(shí)根，，明顯為方程之根.，，，單獨(dú)就這段圖像，，在上改變趨勢(shì)為先快扣慢，故在內(nèi)有1個(gè)零點(diǎn)，由圖像知在內(nèi)有3個(gè)零點(diǎn)，又，結(jié)合圖像，知D正確.13．【答案】（答案不唯一，請(qǐng)閱卷老師依據(jù)題意自行把握）.【簡(jiǎn)析】，依題有：，.14．【答案】0【簡(jiǎn)析】，兩邊同時(shí)求導(dǎo)可得：，.15.【答案】或【簡(jiǎn)析】∵，面，∴三棱錐的外接球球心在上，且，∴，，∴或∴或.16.【答案】【簡(jiǎn)析】以經(jīng)過，的直線為軸，線段的垂直平分線為軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖，則，，設(shè)，，∴，得：，點(diǎn)的軌跡為圓（如圖），其面積為.【法一】，如圖當(dāng)位于點(diǎn)時(shí)，最大，最大值為，故最大值是.【法二】由極化恒等式知：，以下同法一.四、解答題（本大題共6小題，共70分．解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟）17．【解析】（1），，成等差數(shù)列，∴∴當(dāng)時(shí)，，即∴而，∴，∴，∴（2）由余弦定理及，，當(dāng)時(shí)取等號(hào).結(jié)合余弦函數(shù)的單調(diào)性可知：.18．【解析】（1）依題，在兩邊同時(shí)除以，得：，故數(shù)列為等差數(shù)列.（2）由上易得：，可得【法一裂項(xiàng)相消】由可得：則數(shù)列的前項(xiàng)和【法二乘比錯(cuò)位】則數(shù)列的前項(xiàng)和兩式相減得：19.【解析】（1）設(shè)40個(gè)檳榔芋中，每個(gè)檳榔芋的平均質(zhì)量為，則（克）所以這批檳榔芋的數(shù)量約為（個(gè)）（2）全部可能取值為0，1，2，3.由表中數(shù)據(jù)可知，隨意選擇一個(gè)檳榔芋，質(zhì)量在的概率為所以故的分布列為：01230.7290.2430.0270.00120．【解析】【法一】(等積法)（1）即求點(diǎn)到平面之距.，，，如圖，，∴∴.【法二】如圖，連，取中點(diǎn)，在正方形中，易證：，有①，又面②，由①②可得：面，在中，.【法三】如圖建系，各點(diǎn)坐標(biāo)如圖，面的法向量為，，取，，，∴可為.（2）如圖建系，各點(diǎn)坐標(biāo)如圖，面的法向量為，，，取，，，∴可為，同理可求面的法向量為，.21.【解析】（1）設(shè)公共點(diǎn)為，則，，即公共點(diǎn)的軌跡為橢圓.且，∴，又，∴，故曲線：.（2）當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，：，代入得，易知：；當(dāng)直線斜率存在，設(shè)：，與圓相切，將方程代入，得，∴，，將代入，得，即綜上，恒有，.【法二】當(dāng)直線斜率不存在時(shí)，：，代入得，；當(dāng)直線斜率存在，設(shè)：，∵與圓相切，∴，即.將方程代入，得，∴，，，同理可得，故將，，及代入，可得.綜上.（注：本題也可聯(lián)想射影定理思索）22.【解析】（1）當(dāng)時(shí)，，由則函數(shù)在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，當(dāng)時(shí)，（2）【法一】記（，），則①當(dāng)，在上單調(diào)遞增，，由，可得②當(dāng)時(shí)，在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，，由，可得，令1.若時(shí)，對(duì)于①，，此時(shí)不唯一（舍去）2.若時(shí)，對(duì)于①，，即對(duì)于②，，由，所以當(dāng)時(shí)，，當(dāng)時(shí)，為減函數(shù)，，此時(shí)不唯一（舍去）3.若時(shí)，對(duì)于①，無解，對(duì)于②，轉(zhuǎn)化為在內(nèi)僅有唯一解的問題.，在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，，；，，要使唯一，只須，即