概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案第四版

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案第四版

概率論與數(shù)理統(tǒng)計(jì)課后習(xí)題答案第四版

第一章概率論的基本概念

1.[-]寫(xiě)出下列隨機(jī)試驗(yàn)的樣本空間

(1)記錄一個(gè)小班一次數(shù)學(xué)考試的平均分?jǐn)?shù)(充以百分制記分)([-]!)

,n表小班人數(shù)

(3)生產(chǎn)產(chǎn)品直到得到10件正品，記錄生產(chǎn)產(chǎn)品的總件數(shù)。([-]2)

S={10,11,12,???>n,

(4)對(duì)某工廠出廠的產(chǎn)品進(jìn)行檢查，合格的蓋上“正品”，不合格的蓋上“次品”，如連續(xù)

查出二個(gè)次品就停止檢查，或檢查4個(gè)產(chǎn)品就停止檢查，記錄檢查的結(jié)果。

查出合格品記為“1”,查出次品記為“0”，連續(xù)出現(xiàn)兩個(gè)“0”就停止檢查，或查滿4次才停止

檢查。([-](3))

S={00,100,0100,0101,1010,0110,1100,0111,1011,1101,1110,1111,)

2.[-]設(shè)A,B,C為三事件，用A,B,C的運(yùn)算關(guān)系表示下列事件。

(1)A發(fā)生，B與C不發(fā)生。

表示為：A或A-(AB+AC)或A-(BUC)

(2)A,B都發(fā)生，而C不發(fā)生。

表示為：AB或AB-ABC或AB-C

表示為：A+B+C(3)A,B,C中至少有一個(gè)發(fā)生

(4)A,B,C都發(fā)生，表示為：ABC

(5)A,B,C都不發(fā)生，表示為：或S-(A+B+C)或

(6)A,B,C中不多于一個(gè)發(fā)生，即A,B,C中至少有兩個(gè)同時(shí)不發(fā)生相當(dāng)于，中至少

有一個(gè)發(fā)生。故表示為：。

(7)A,B,C中不多于二個(gè)發(fā)生。相當(dāng)于：，，中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：或

ABC

(8)A,B,C中至少有二個(gè)發(fā)生。

相當(dāng)于：AB,BC,AC中至少有一個(gè)發(fā)生。故表示為：AB+BC+AC

6」三]設(shè)A,B是兩事件且P(A)=0.6,P(B)=0.7.問(wèn)⑴在什么條件下P(AB)取到最大值,

最大值是多少？(2)在什么條件下P(AB)取到最小值，最小值是多少？

解：由P(A)=0.6,P(B)=0.7即知ABrq),(否則AB=<p依互斥事件加法定理，P(A

UB)=P(A)+P(B)=0.6+0.7=1.3>1與P(AUB)W1矛盾).

從而由加法定理得

P(AB)=P(A)+P(B)-P(AUB)(*)

(1)從0SP(AB)SP(A)知，當(dāng)AB=A,即APB時(shí)P(AB)取到最大值，最大值為

P(AB)=P(A)=0.6,

(2)從(*)式知，當(dāng)AUB=S時(shí)，P(AB)取最小值，最小值為

P(AB)=0.6+0.7—1=0.3o

7」四]設(shè)A,B,C是三事件，且

求A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生的概率。，4

解：P(A,B,C至少有一個(gè)發(fā)生)=P(A+B+C)=P(A)+P(B)+P(C)—P(AB)—P(BC)-P(AC)+

8」五|在一標(biāo)準(zhǔn)英語(yǔ)字典中具有55個(gè)由二個(gè)不相同的字母新組成的單詞，若從26個(gè)英

語(yǔ)字母中任取兩個(gè)字母予以排列，問(wèn)能排成上述單詞的概率是多少？

記A表“能排成上述單詞”

2V從26個(gè)任選兩個(gè)來(lái)排列，排法有A26種。每種排法等可能。

字典中的二個(gè)不同字母組成的單詞：55個(gè)

9.在電話號(hào)碼薄中任取一個(gè)電話號(hào)碼，求后面四個(gè)數(shù)全不相同的概率。(設(shè)后面4個(gè)數(shù)中

的每一個(gè)數(shù)都是等可能性地取自0,1,2??9)

記A表“后四個(gè)數(shù)全不同”

V后四個(gè)數(shù)的排法有104種，每種排法等可能。

4后四個(gè)數(shù)全不同的排法有A10

10」六］在房間里有10人。分別佩代著從1號(hào)到10號(hào)的紀(jì)念章，任意選3人記錄其紀(jì)念

章的號(hào)碼。

(1)求最小的號(hào)碼為5的概率。

記“三人紀(jì)念章的最小號(hào)碼為5”為事件A

,/10人中任選3人為一組：選法有種，且每種選法等可能。

又事件A相當(dāng)于:有一人號(hào)碼為5,其余2人號(hào)碼大于5。這種組合的種數(shù)有

(2)求最大的號(hào)碼為5的概率。

記”三人中最大的號(hào)碼為5”為事件B,同上10人中任選3人，選法有種，且

每種選法等可能，又事件B相當(dāng)于：有一人號(hào)碼為5,其余2人號(hào)碼小于5,選法有

種

11.［t］某油漆公司發(fā)出17桶油漆，其中白漆10桶、黑漆4桶，紅漆3桶。在搬運(yùn)中所

標(biāo)箋脫落，交貨人隨意將這些標(biāo)箋重新貼，問(wèn)一個(gè)定貨4桶白漆，3桶黑漆和2桶紅漆顧客,

按所定的顏色如數(shù)得到定貨的概率是多少？

記所求事件為Ao

9在17桶中任取9桶的取法有C17種，且每種取法等可能。

取得4白3黑2紅的取法有C10

故

12.［A］在1500個(gè)產(chǎn)品中有400個(gè)次品，1100個(gè)正品，任意取200個(gè)。

(1)求恰有90個(gè)次品的概率。

記“恰有90個(gè)次品”為事件A

在1500個(gè)產(chǎn)品中任取200個(gè)，取法有種，每種取法等可能。

個(gè)產(chǎn)品恰有90個(gè)次品，取法有種

（2）至少有2個(gè)次品的概率。

記：A表“至少有2個(gè)次品”

B0表“不含有次品”，B1表“只含有一個(gè)次品”，同上，200個(gè)產(chǎn)品不含次品，取法

有種，200個(gè)產(chǎn)品含一個(gè)次品，取法有種

且BO,B1互不相容。

13［九］從5雙不同鞋子中任取4只，4只鞋子中至少有2只配成一雙的概率是多少？記

A表“4只全中至少有兩支配成一對(duì)”則A表“4只人不配對(duì)”

V從10只中任取4只，取法有種，每種取法等可能。

要4只都不配對(duì)，可在5雙中任取4雙，再在4雙中的每一雙里任取一只。取法有

15」十一］將三個(gè)球隨機(jī)地放入4個(gè)杯子中去，問(wèn)杯子中球的最大個(gè)數(shù)分別是1,2,3,

的概率各為多少？

記Ai表“杯中球的最大個(gè)數(shù)為i個(gè)"i=l,2,3,

三只球放入四只杯中，放法有43種，每種放法等可能

對(duì)A1：必須三球放入三杯中，每杯只放一球。放法43332種。

（選排列：好比3個(gè)球在4個(gè)位置做排列）

種。對(duì)A2：必須三球放入兩杯，一杯裝一球，一杯裝兩球。放法有C3

2（從3個(gè)球中選2個(gè)球，選法有C3,再將此兩個(gè)球放入一個(gè)杯中，選法有4

種，最后將剩余的1球放入其余的一個(gè)杯中，選法有3種。

對(duì)A3：必須三球都放入一杯中。放法有4種。（只需從4個(gè)杯中選1個(gè)杯子，放入此

3個(gè)球，選法有4種）

16［十二］50個(gè)卸釘隨機(jī)地取來(lái)用在10個(gè)部件，其中有三個(gè)釧1釘強(qiáng)度太弱，每個(gè)部件用

3只鉀釘，若將三只強(qiáng)度太弱的鉀釘都裝在一個(gè)部件上，則這個(gè)部件強(qiáng)度就太弱，問(wèn)發(fā)生一

個(gè)部件強(qiáng)度太弱的概率是多少？

記A表“10個(gè)部件中有一個(gè)部件強(qiáng)度太弱”。

法一：用古典概率作：

把隨機(jī)試驗(yàn)E看作是用三個(gè)釘一組，三個(gè)釘一組去卸完10個(gè)部件（在三個(gè)釘?shù)囊唤M中不

分先后次序。但10組釘加完10個(gè)部件要分先后次序)

對(duì)E：硼法有C50種，每種裝法等可能

對(duì)A：三個(gè)次釘必須卸在一個(gè)部件上。這種鉀法有(C3)xlO

種

法二：用古典概率作

把試驗(yàn)E看作是在50個(gè)釘中任選30個(gè)釘排成一列，順次釘下去，直到把部件鉀完。(鉀

釘要計(jì)先后次序)

3對(duì)E：鉀法有A50種，每種制法等可能

對(duì)A：三支次釘必須卸在“1,2,3”位置上或支,5,6”位置上，，，或“28,29,

位置上。這種制法有

A3種

17.［十三］已知

解一：

P(AB)=P(A)-P(A)=0.7-0.5=0.2o

再由加法定理，

P(AU)=P(A)+P()-P(A)=0.7+0.6-0.5=0.8于是

解二由已知

故

1

定義

18.［十四求。432

定義P(AB)P(A)P(B|A)由已知條件有解：由

P(A|B)P(B)P(B)2P(B)6

由乘法公式，得

由加法公式，得

19/十五］擲兩顆骰子，已知兩顆骰子點(diǎn)數(shù)之和為7,求其中有一顆為1點(diǎn)的概率(用兩

種方法)。

解：(方法一)(在縮小的樣本空間SB中求P(A|B),即將事件B作為樣本空間，求事件A

發(fā)生的概率)。

擲兩顆骰子的試驗(yàn)結(jié)果為一有序數(shù)組(x,y)(x,y=l,2,3,4,5,6)并且滿足x,+y=7,則樣本

空間為

S={(x,y)|(l,6),(6,1),(2,5),(5,2),(3,4),(4,3)}

每種結(jié)果(x,y)等可能。

A=｛擲二骰子，點(diǎn)數(shù)和為7時(shí)，其中有一顆為1點(diǎn)。故

方法二：(用公式

S=｛(x,y)|x=1,2,3,4,5,6;y=1,2,3,4,5,6｝｝每種結(jié)果均可能

A="擲兩顆骰子，X,y中有一個(gè)為“1"點(diǎn)”，B="擲兩顆骰子，x,+y=7”。則，

2

故

6

20」十六］據(jù)以往資料表明，某一3口之家，患某種傳染病的概率有以下規(guī)律：P(A)=P｛孩

子得?。?0.6,P(B|A)=P｛母親得病|孩子得?。?0.5,P(C|AB)=P｛父親得病|母親及孩子得

病｝=0.4。求母親及孩子得病但父親未得病的概率。

解：所求概率為P(AB)(注意：由于“母病”，“孩病”，“父病”都是隨機(jī)事件，這里不是求

P(IAB)

P(AB)=P(A)=P(B|A)=0.6x0.5=0.3,P(|AB)=1-P(C|AB)=1-0.4=06

從而P(ABC)=P(AB)?P(C|AB)=0.3x0.6=0.18.

21.［十七］已知10只晶體管中有2只次品，在其中取二次，每次隨機(jī)地取一只，作不放

回抽樣，求下列事件的概率。

(1)二只都是正品(記為事件A)

法一：用組合做在10只中任取兩只來(lái)組合,每一個(gè)組合看作一個(gè)基本結(jié)果，每種取法等

可能。

法二：用排列做在10只中任取兩個(gè)來(lái)排列,每一個(gè)排列看作一個(gè)基本結(jié)果，每個(gè)排列等

可能。

2A8

法三：用事件的運(yùn)算和概率計(jì)算法則來(lái)作。

記Al,A2分別表第一、二次取得正品。

(2)二只都是次品(記為事件B)

法一：

法二：

法三：

(3)一只是正品，一只是次品(記為事件C)

法一：

法二：

法三：且A12與1A2互斥

10910945

(4)第二次取出的是次品(記為事件D)

法一：因?yàn)橐⒁獾谝弧⒌诙蔚捻樞?。不能用組合作，

2A10法二：

法三：

且A12與1A2互斥

1091095

22.［十八］某人忘記了電話號(hào)碼的最后一個(gè)數(shù)字，因而隨機(jī)的撥號(hào)，求他撥號(hào)不超過(guò)三次

而接通所需的電話的概率是多少？如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)，那么此概率是多少？

記H表?yè)芴?hào)不超過(guò)三次而能接通。

Ai表第i次撥號(hào)能接通。

注意：第一次撥號(hào)不通，第二撥號(hào)就不再撥這個(gè)號(hào)碼。

三種情況互斥

如果已知最后一個(gè)數(shù)字是奇數(shù)(記為事件B)問(wèn)題變?yōu)樵贐已發(fā)生的條件下，求H再發(fā)

生的概率。

5545435

24.［十九］設(shè)有甲、乙二袋，甲袋中裝有n只白球m只紅球，乙袋中裝有N只白球M只

紅球，今從甲袋中任取一球放入乙袋中，再?gòu)囊掖腥稳∫磺颍瑔?wèn)取到(即從乙袋中取到)

白球的概率是多少？(此為第三版19題(1))

記Al,A2分別表“從甲袋中取得白球，紅球放入乙袋”

再記B表“再?gòu)囊掖腥〉冒浊颉薄?/p>

B=A1B+A2B且Al,A2互斥P(B)=P(A1)P(B|Al)+P(A2)P(B|A2)

［十九］(2)第一只盒子裝有5只紅球，4只白球；第二只盒子裝有4只紅球，5只白球。先

從第一盒子中任取2只球放入第二盒中去，然后從第二盒子中任取一只球，求取到白球的概

率。

記C1為“從第一盒子中取得2只紅球”。

C2為“從第一盒子中取得2只白球”。

C3為“從第一盒子中取得1只紅球，1只白球”，

D為“從第二盒子中取得白球”，顯然Cl,C2,C3兩兩互斥，ClUC2UC3=S,由全概率

公式，有

P(D)=P(C1)P(D|C1)+P(C2)P(D|C2)+P(C3)P(D|C3)

26.［二十一］已知男人中有5%是色盲患者，女人中有0.25%是色盲患者。今從男女人數(shù)

相等的人群中隨機(jī)地挑選一人，恰好是色盲患者，問(wèn)此人是男性的概率是多少？

解：Al=｛男人｝,A2=｛女人｝,B=｛色盲｝,顯然A1UA2=S,AlA2=<p由已知條件知

由貝葉斯公式，有

［二十二］一學(xué)生接連參加同一課程的兩次考試。第一次及格的概率為P,若第一次

P及格則第二次及格的概率也為P;若第一次不及格則第二次及格的概率為(1)若至少2

有一次及格則他能取得某種資格，求他取得該資格的概率。(2)若已知他第二次已經(jīng)及格,

求他第一次及格的概率。

解:Ai=｛他第i次及格｝,i=l,2

已知P(A1)=P(A21A1)=P,(1)B=｛至少有一次及格所以兩次均不

及格

(*)定義P(A1A2)(2)P(A1A2)P(A2)

由乘法公式，有P(AlA2)=P(Al)P(A2|Al)=P2由全概率公式，有

1)P(A2|1)

P2

將以上兩個(gè)結(jié)果代入(*)得

28.［二十五］某人下午5:00下班，他所積累的資料表明：

某日他拋一枚硬幣決定乘地鐵還是乘汽車，結(jié)果他是5:47到家的，試求他是乘地鐵回家

的概率。

解：設(shè)A="乘地鐵”，B=“乘汽車"，C="5:45~5:49到家”，由題意,AB=(p,AUB=S己知：P

(A)=0.5,P(C|A)=0.45,P(C|B)=0.2,P(B)=0.5

由貝葉斯公式有

29.［二十四］有兩箱同種類型的零件。第一箱裝5只，其中10只一等品；第二箱30只，

其中18只一等品。今從兩箱中任挑出一箱，然后從該箱中取零件兩次，每次任取一只，作

不放回抽樣。試求(1)第一次取到的零件是一等品的概率。(2)第一次取到的零件是一等

品的條件下，第二次取到的也是一等品的概率。

解：設(shè)Bi表示“第i次取到一等品“i=l,2

Aj表示“第j箱產(chǎn)品“j=l,2,顯然A1UA2=S(1)

(B1=A1B+A2B由全概率公式解)2502305

(2)

5

(先用條件概率定義，再求P(B1B2)時(shí)，由全概率公式解)

32」二十六(2)］如圖1,2,3,4,5

表示繼電器接點(diǎn)，假設(shè)每一繼電器接點(diǎn)閉合

的概率為p,且設(shè)各繼電器閉合與否相互獨(dú)

立，求L和R是通路的概率。

記Ai表第i個(gè)接點(diǎn)接通

記A表從L到R是構(gòu)成通路的。

A=A1A2+A1A3A5+A4A5+A4A3A2四種情況不互斥

，P(A)=P(A1A2)+P(A1A3A5)+P(A4A5)+P(A4A3A2)-P(A1A2A3A5)

+P(A1A2A4A5)+P(A1A2A3A4)+P(AlA3A4A5)

+P(A1A2A3A4A5)P(A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)

+(A1A2A3A4A5)+P(A1A2A3A4A5)-P(A1A2A3A4A5)

又由于Al,A2,A3,A4,A5互相獨(dú)立。

故P(A)=p2+p3+p2+p3—［p4+p4+p4+p4+p5+p4］45

+|p5+p5+p5+p5］—p5=2p2+3p3-5p4+2p5

［二十六(1)］設(shè)有4個(gè)獨(dú)立工作的元件1,2,3,4。它們的可靠性分別為Pl,P2,P3,

P4,將它們按圖(1)的方式聯(lián)接，求系統(tǒng)的可靠性。

記Ai表示第i個(gè)元件正常工作，i=l,2,3,4,

A表示系統(tǒng)正常。???人=人1人2人3+人94兩種情況不互斥

(加法公式)P(A)=P(A1A2A3)+P(A1A4)-P(A1A2A3A4)

=P(A1)P(A2)P(A3)+P(A1)P(A4)-P(A1)P(A2)P(A3)P(A4)

=P1P2P3+P1P4-P1P2P3P4(A1,A2,A3,A4獨(dú)立)

34」三十一］袋中裝有m只正品硬幣，n只次品硬幣，(次品硬幣的兩面均印有國(guó)徽)。在

袋中任取一只，將它投擲r次，已知每次都得到國(guó)徽。問(wèn)這只硬幣是正品的概率為多少？

解：設(shè)“出現(xiàn)r次國(guó)徽面”=Br"任取一只是正品”=A

由全概率公式，有

mlr

(條件概率定義與乘法公式)

35.甲、乙、丙三人同時(shí)對(duì)飛機(jī)進(jìn)行射擊，三人擊中的概率分別為0.4,0.5,0.7。飛機(jī)被

一人擊中而被擊落的概率為0.2,被兩人擊中而被擊落的概率為0.6,若三人都擊中，飛機(jī)必

定被擊落。求飛機(jī)被擊落的概率。

解：高Hi表示飛機(jī)被i人擊中，i=l,2,3?Bl,B2>B2分別表示甲、乙、丙擊中飛機(jī)

,三種情況互斥。三種情況互斥

又Bl,B2,B2獨(dú)立。

(B2)P(3)

+0.4x0.5x0.7+0.6x0.5x0.7=0.41

P(H3)=P(B1)P(B2)P(B3)=0.4x0.5x0.7=0.14

又因：A=H1A+H2A+H3A三種情況互斥

故由全概率公式，有

P(A)=P(H1)P(A|H1)+P(H2)P(A|H2)+P(H3)P(AH3)

=0.36x0.2+0.41x0.6+0.14x1=0.458

36」三十三］設(shè)由以往記錄的數(shù)據(jù)分析。某船只運(yùn)輸某種物品損壞2%(這一事件記為A1),

10%(事件A2),90%(事件A3)的概率分別為P(Al)=0.8,P(A2)=0.15,P(A2)=0.05,現(xiàn)

從中隨機(jī)地獨(dú)立地取三件，發(fā)現(xiàn)這三件都是好的(這一事件記為B),試分別求P(A1|B)P

(A2|B),P(A3|B)(這里設(shè)物品件數(shù)很多，取出第一件以后不影響取第二件的概率，所以取第

一、第二、第三件是互相獨(dú)立地)

B表取得三件好物品。

B=A1B+A2B+A3B三種情況互斥

由全概率公式，有

J.P(B)=P(A1)P(B|A1)+P(A2)P(B|A2)+P(A3)P(B|A3)

=0.8x(0.98)3+0.15x(0.9)3+0.05x(0.1)3=0.8624

37/三十四］將A,B,C三個(gè)字母之一輸入信道，輸出為原字母的概率為a,而輸出為其

它一字母的概率都是(1—a)/2。今將字母串AAAA,BBBB.CCCC之一輸入信道，輸入AAAA,

BBBB,CCCC的概率分別為pl,p2,p3(pl+p2+p3=l),已知輸出為ABCA,問(wèn)輸入的是AAAA

的概率是多少？(設(shè)信道傳輸每個(gè)字母的工作是相互獨(dú)立的。)

解：設(shè)D表示輸出信號(hào)為ABCA,Bl、B2、B3分別表示輸入信號(hào)為AAAA,BBBB,CCCC,

則Bl、B2、B3為一完備事件組，且P(Bi)=Pi,i=l,2,3。

再設(shè)A發(fā)、A收分別表示發(fā)出、接收字母A,其余類推，依題意有

P（A收|A發(fā)）=P（B收|B發(fā)）=P（C收|C發(fā)尸a,

P（A收|B發(fā)尸P（A收|C發(fā)）=P（B收|A發(fā)尸P（B收|C發(fā)尸P（C收|A發(fā)）=P（C收|B

發(fā)

又P（ABCA|AAAA）=P（D|B1）=P（A收|A發(fā)）P（B收|A發(fā)）P（C收|A發(fā)）P（A收|A發(fā)）

,2

同樣可得

于是由全概率公式，得

由Bayes公式，得

P（AAAA|ABCA）=P（B1|D）=

［二十九］設(shè)第一只盒子裝有3只藍(lán)球，2只綠球，2只白球；第二只盒子裝有2只藍(lán)球，

3只綠球，4只白球。獨(dú)立地分別從兩只盒子各取一只球。(1)求至少有一只藍(lán)球的概率,

(2)求有一只藍(lán)球一只白球的概率，(3)已知至少有一只藍(lán)球，求有一只藍(lán)球一只白球的

概率。

解：記Al、A2、A3分別表示是從第一只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球，Bl、B2、

B3分別表示是從第二只盒子中取到一只藍(lán)球、綠球、白球。

(1)記C=｛至少有一只藍(lán)球｝

C=A1B1+A1B2+A1B3+A2B1+A3B1,5種情況互斥

由概率有限可加性，得

獨(dú)立性

1112132131

(2)記D=｛有一只藍(lán)球，一只白球｝,而且知D=A1B3+A3B1兩種情況互斥

（3）注意到

［三十］A,B,C三人在同一辦公室工作，房間有三部電話，據(jù)統(tǒng)計(jì)知，打給A,B,

221c的電話的概率分別為,。他們?nèi)顺Ｒ蚬ぷ魍獬?，A,B,C三人外出的概,555111率

分別為,，設(shè)三人的行動(dòng)相互獨(dú)立，求244

（1）無(wú)人接電話的概率；（2）被呼叫人在辦公室的概率；若某一時(shí)間斷打進(jìn)了3個(gè)電話,

求（3）這3個(gè)電話打給同一人的概率；（4）這3個(gè)電話打給不同人的概率；（5）這3個(gè)電

話都打給B,而B(niǎo)卻都不在的概率。

解：記Cl、C2、C3分別表示打給A,B,C的電話

DI、D2、D3分別表示A,B,C外出

注意到Cl、C2、C3獨(dú)立，且

(1)P(無(wú)人接電話)=P(D1D2D3)=P(D1)P(D2)P(D3)

（2）記6=“被呼叫人在辦公室”,三種情況互斥，由有限可加性

與乘法公式

由于某人外出與

否和來(lái)電話無(wú)關(guān)故

（3）H為“這3個(gè)電話打給同一個(gè)人”

（4）R為“這3個(gè)電話打給不同的人”

R由六種互斥情況組成，每種情況為打給A,B,C的三個(gè)電話，每種情況的概率為2214

于是

（5）由于是知道每次打電話都給B,其概率是1,所以每一次打給B電話而B(niǎo)不在1的

概率為，且各次情況相互獨(dú)立4

11于是P（3個(gè)電話都打給B,B都不在的概率）

第二章隨機(jī)變量及其分布

!.[-]一袋中有5只乒乓球，編號(hào)為I、2、3、4、5,在其中同時(shí)取三只，以X表示取

出的三只球中的最大號(hào)碼，寫(xiě)出隨機(jī)變量X的分布律

解：X可以取值3,4,5,分布律為

一球?yàn)?號(hào),兩球?yàn)?,2號(hào)

2

110

2

一球?yàn)?號(hào)，再在1,2,3中任取兩球

一球?yàn)?號(hào)，再在123,4中任取兩球

也可列為下表X：3,4,5P：

2

136

，，

101010

3.［三］設(shè)在15只同類型零件中有2只是次品，在其中取三次，每次任取一只，作不放回

抽樣，以X表示取出次品的只數(shù)，(1)求X的分布律，(2)畫(huà)出分布律的圖形。

解：任取三只，其中新含次品個(gè)數(shù)X可能為0,1,2個(gè)。

3

C133C15

3

3

C15

再列為下表

X：0,1,2P：

22121

，，

353535

4［四］進(jìn)行重復(fù)獨(dú)立實(shí)驗(yàn)，設(shè)每次成功的概率為p,失敗的概率為q=l-p(0<p<l)

(1)將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)一次成功為止，以X表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求X的分布律。(此時(shí)

稱X服從以p為參數(shù)的幾何分布。)

(2)將實(shí)驗(yàn)進(jìn)行到出現(xiàn)r次成功為止，以Y表示所需的試驗(yàn)次數(shù)，求Y的分布律。(此

時(shí)稱Y服從以r.p為參數(shù)的巴斯卡分布。)

(3)一籃球運(yùn)動(dòng)員的投籃命中率為45%,以X表示他首次投中時(shí)累計(jì)已投籃的次數(shù)，寫(xiě)

出X的分布律，并計(jì)算X取偶數(shù)的概率。

解：⑴P(X=k)=qklp

k=l,2,,,,,

(2)Y=r+n=｛最后一次實(shí)驗(yàn)前r+n-l次有n次失敗，且最后一次成功｝

(3)P(X=k)=(0.55)k-10.45

其中q=l—p,或記r+n=k,則

偶數(shù)

6」六］一大樓裝有5個(gè)同類型的供水設(shè)備，調(diào)查表明在任一時(shí)刻t每個(gè)設(shè)備使用的概率為

0.1,問(wèn)在同一時(shí)刻

（1）恰有2個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？

（2）至少有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？

（3）至多有3個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？

（4）至少有一個(gè)設(shè)備被使用的概率是多少？

［五］一房間有3扇同樣大小的窗子，其中只有一扇是打開(kāi)的。有一只鳥(niǎo)自開(kāi)著的窗子飛

入了房間，它只能從開(kāi)著的窗子飛出去。鳥(niǎo)在房子里飛來(lái)飛去，試圖飛出房間。假定鳥(niǎo)是沒(méi)

有記憶的，鳥(niǎo)飛向各扇窗子是隨機(jī)的。

（1）以X表示鳥(niǎo)為了飛出房間試飛的次數(shù)，求X的分布律。

（2）戶主聲稱，他養(yǎng)的一只鳥(niǎo)，是有記憶的，它飛向任一窗子的嘗試不多于一次。以Y

表示這只聰明的鳥(niǎo)為了飛出房間試飛的次數(shù)，如戶主所說(shuō)是確實(shí)的，試求Y的分布律。

（3）求試飛次數(shù)X小于Y的概率；求試飛次數(shù)Y小于X的概率。

解：（1）X的可能取值為1,2,3,”，n,,,

P{X=n}=P{前n—l次飛向了另2扇窗子，第n次飛了出去}

,n=l2,,,,,33

（2）Y的可能取值為1,2,3

13

P{Y=2}=P{第1次飛向另2扇窗子中的一扇，第2次飛了出去}P{Y=1}=P{第1

次飛了出去}=

P{Y=3}=P{第1,2次飛向了另2扇窗子，第3次飛了出去}

全概率公式并注意到

注意到X,Y獨(dú)立即

同上,

故

8.［A］甲、乙二人投籃，投中的概率各為0.6,0.7,令各投三次。求

(1)二人投中次數(shù)相等的概率。

記X表甲三次投籃中投中的次數(shù)

Y表乙三次投籃中投中的次數(shù)

由于甲、乙每次投籃獨(dú)立，且彼此投籃也獨(dú)立。

P(X=Y)=P(X=0,Y=0)+P(X=2,Y=2)+P(X=3,Y=3)

=P(X=0)P(Y=0)+P(X=1)P(Y=1)+P(X=2)P(Y=2)+P(X=3)P(Y=3)

(2)甲比乙投中次數(shù)多的概率。

P(X>Y)=P(X=l,Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=l)+

P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=1)+P(X=3)P(Y=2)

=P(X=1)P(Y=0)+P(X=2,Y=0)+P(X=2,Y=l)+

P(X=3)P(Y=0)+P(X=3)P(Y=l)+P(X=3)P(Y=2)

9.［十］有甲、乙兩種味道和顏色極為相似的名酒各4杯。如果從中挑4杯，能將甲種酒

全部挑出來(lái)，算是試驗(yàn)成功一次。

(1)某人隨機(jī)地去猜，問(wèn)他試驗(yàn)成功一次的概率是多少？

(2)某人聲稱他通過(guò)品嘗能區(qū)分兩種酒。他連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次。試問(wèn)他是猜對(duì)的,

還是他確有區(qū)分的能力(設(shè)各次試驗(yàn)是相互獨(dú)立的。)

解：(1)P(一次成功

3(2)P(連續(xù)試驗(yàn)10次，成功3次尸(310(136973。此概率太小，按實(shí)

際推斷原理，就認(rèn)為他確有區(qū)分能力。

［九］有一大批產(chǎn)品，其驗(yàn)收方案如下，先做第一次檢驗(yàn)：從中任取10件，經(jīng)驗(yàn)收無(wú)次品

接受這批產(chǎn)品，次品數(shù)大于2拒收；否則作第二次檢驗(yàn)，其做法是從中再任取5件，僅當(dāng)5

件中無(wú)次品時(shí)接受這批產(chǎn)品，若產(chǎn)品的次品率為10%,求

(1)這批產(chǎn)品經(jīng)第一次檢驗(yàn)就能接受的概率

(2)需作第二次檢驗(yàn)的概率

(3)這批產(chǎn)品按第2次檢驗(yàn)的標(biāo)準(zhǔn)被接受的概率

(4)這批產(chǎn)品在第1次檢驗(yàn)未能做決定且第二次檢驗(yàn)時(shí)被通過(guò)的概率

(5)這批產(chǎn)品被接受的概率

解：X表示10件中次品的個(gè)數(shù)，Y表示5件中次品的個(gè)數(shù)，

由于產(chǎn)品總數(shù)很大，故X~B(10,0.1),Y~B(5,0.1)(近似服從)

(1)P{X=0}=0.910=0.349

P{X<2}=P{X=2}+P{X=1}=C1O

(3)P{Y=0}=0.95=0.590

(4)P{0<X<2,Y=0}({0<XW2}與{Y=2}獨(dú)立)

=P{0<X<2}P{Y=0}

=0.5

(5)P｛X=0｝+P｛0<X<2,Y=0)

-0.349+0.343=0.692

12.［十三］電話交換臺(tái)每分鐘的呼喚次數(shù)服從參數(shù)為4的泊松分布，求

(1)每分鐘恰有8次呼喚的概率

法一：

法二：■(直接計(jì)算)8!P(X=8)=P(X>8)-P(X>9)(查1=

4泊松分布表)。

=0.051134-0.021363=0.029771

(2)每分鐘的呼喚次數(shù)大于10的概率。

P(X>l0)=P(X>11)=0.002840(查表計(jì)算)

［十二(2)］每分鐘呼喚次數(shù)大于3的概率。

［十六］以X表示某商店從早晨開(kāi)始營(yíng)業(yè)起直到第一顧客到達(dá)的等待時(shí)間(以分計(jì))，X

的分布函數(shù)是

求下述概率：

(1)P｛至多3分鐘｝;(2)P｛至少4分鐘｝;(3)P｛3分鐘至4分鐘之間｝;

(4)P｛至多3分鐘或至少4分鐘｝;(5)P｛恰好2.5分鐘｝

解：(1)P｛至多3分鐘

(2)P｛至少4分鐘

(3)P｛3分鐘至4分鐘之間

(4)P｛至多3分鐘或至少4分鐘｝=P｛至多3分鐘｝+P｛至少4分鐘｝

(5)P｛恰好2.5分鐘｝=P(X=2.5)=0

十七］設(shè)隨機(jī)變量X的分布函數(shù)為，

求(1)P(X<2),P｛0<X<3｝,P(2<X<)；(2)求概率密度f(wàn)X(x).

解：(1)P(X<2)=FX(2)=ln2,P(0<XW3)=FX⑶一FX(0)=1,

(2)

其它

201十八(2)］設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度f(wàn)(x)為

(1)f(x)

其它

(2)

其他

求X的分布函數(shù)F(x),并作出(2)中的f(x)與F(x)的圖形。解：當(dāng)一10x31時(shí):

X

22

x

111

當(dāng)時(shí)：故分布函數(shù)為:

x2

解：(2)

x

f(t)dt

當(dāng)時(shí)

x

x2

當(dāng)時(shí)

x

當(dāng)時(shí)當(dāng)時(shí)

故分布函數(shù)為

1

X

1

X

2

1

2

1

x

2

(2)中的f(x)與F(x)的圖形如下

x22.［二十］某種型號(hào)的電子的壽命X(以小時(shí)計(jì))具有以下的概率密度:

其它

現(xiàn)有一大批此種管子(設(shè)各電子管損壞與否相互獨(dú)立)。任取5只，問(wèn)其中至少有2只壽

命大于1500小時(shí)的概率是多少？

解：一個(gè)電子管壽命大于1500小時(shí)的概率為

令Y表示“任取5只此種電子管中壽命大于1500小時(shí)的個(gè)數(shù)”。則Y~B(5,2),3

23.［二十一］設(shè)顧客在某銀行的窗口等待服務(wù)的時(shí)間X(以分計(jì))服從指數(shù)分布，其概率

密度為：

其它

某顧客在窗口等待服務(wù)，若超過(guò)10分鐘他就離開(kāi)。他一個(gè)月要到銀行5次。以Y表示一

個(gè)月設(shè)K在(0,5)上服從均勻分布，求方程有實(shí)根的概率

,/K的分布密度為：其他

要方程有根，就是要K滿足(4K)2—4x4x(K+2)K)。

解不等式，得KZ2時(shí)，方程有實(shí)根。

25.［二十三］設(shè)X?N(3.22)

(1)求P(2<XW5),P(-4)<X<10),P{|X|>2),P(X>3)

若X?N(g,o2),貝ij

一(p(—0.5)P(2<

=0.8413-0.3085=0.5328

一(p(-3.5)P(~

=0.9998-0.0002=0.9996

P(|X|>2)=l-P(|X|<2)=1-P(-2<P<2)

=l-(p(-0.5)+cp(-2.5)=1-0.3085+0.0062=0.6977

-P(X<3)=1-

(2)決定C使得P(X>C)=P(X<C)

得

又P(X>C)=1-

查表可得

226.［二十四］某地區(qū)18歲的女青年的血壓(收縮區(qū)，以mm-Hg計(jì))服從N(U0,12)

在該地區(qū)任選一18歲女青年，測(cè)量她的血壓X。求

(1)P(X<105),P(100<X<120).(2)確定最小的X使P(X>x)W0.05.

解

9526

查表得故最小的

27.［二十五］由某機(jī)器生產(chǎn)的螺栓長(zhǎng)度(cm)服從參數(shù)為N=10.05,o=0.06的正態(tài)分布。

規(guī)定長(zhǎng)度在范圍10.05±0.12=1-

=1—{(p(2)—(p(—2))

=1-(0.9772-0.0228)

=0.0456

28」二十六］一工廠生產(chǎn)的電子管的壽命X(以小時(shí)計(jì))服從參數(shù)為p=160,c(未知)的正

態(tài)分布，若要求P(12O<XW2OO==O.8O,允許o最大為多少？

P(120<

又對(duì)標(biāo)準(zhǔn)正態(tài)分布有(p(—x)=l—(p(x)

???上式變?yōu)?/p>

解出便得

再查表，得

30.［二十七］設(shè)隨機(jī)變量X的分布律為：

X：-2,

P：-1,0,1,31,5111,,,6515

(-1)2

(0)21130(1)2(3)2求Y=X2的分布律丁Y=X2：(-2)2P：15111

6515

491130再把X2的取值相同的合并，并按從小到大排列，就得函數(shù)Y的分布律為：

Y：0

：6155530

31.[二十八]設(shè)隨機(jī)變量X在(0,1)上服從均勻分布

(1)求Y=eX的分布密度111

,/X的分布密度為：

Y=g(X)=eX是單調(diào)增函數(shù)

X=h(Y)=lnY,反函數(shù)存在為其他又

且a=min[g(0),g(l)]=min(l,e)=l

Y的分布密度為：

(2)求Y=-21nX的概率密度。

又Y=g(X)=-21nX是單調(diào)減函數(shù)

為其他反函數(shù)存在。

且a=min[g(0),g(l)]=min(+oo,0)=0

P=max[g(0),g(l)]=max(+oo,0)=+oo

Y的分布密度為：

為其他

32.[二十九]設(shè)X?N(0,1)(1)求Y=eX的概率密度：X的概率密度是

e27r

x22

Y=g(X)=eX是單調(diào)增函數(shù)又且

X=h(Y)=lnY反函數(shù)存在

a=min[g(-oo),g(+oo)]=min(0,+oo)=0

P=max[g(-oo),g(+oo)]=max(0,+oo)=+ooY的分布密度為：

為其他

(2)求Y=2X2+1的概率密度。

在這里，Y=2X2+1在(+8,一⑼不是單調(diào)函數(shù)，沒(méi)有一般的結(jié)論可用。設(shè)Y的分布函數(shù)

是FY(y),貝ijFY(y)=P(Y<y)=P(2X2+l<y)

當(dāng)y<l時(shí)：FY(y)=0

當(dāng)y>l時(shí)：

故Y的分布密度嗔y)是:

x2dx

當(dāng)y<l時(shí):嗔y)=[FY(y)]'=(0)'=0

當(dāng)y>l時(shí),

12e

(3)求Y=|X|的概率密度。

???Y的分布函數(shù)為FY(y)=P(Y<y)=P(|X|<y)當(dāng)y<。時(shí),FY(y)=0

當(dāng)y>0時(shí)1FY(y)=P(|X|<y)=P(-y<X<y)=.\Y的概率密度為：

當(dāng)yWO時(shí):嗔y)=[FY(y)r=(0)'=0

x22

dx

當(dāng)y>O時(shí):

33.［三十］(1)設(shè)隨機(jī)變量X的概率密度為f(x),求Y=X3的概率密度。

又且

Y=g(X)=X3是X單調(diào)增函數(shù)，X=h(Y)=Y,反函數(shù)存在，

a=min[g(-00),g(+oo)]=min(0,+00)=-00

13

P=max[g(-oo),g(+℃)]=max(0,+00)=+00/.Y的分布密度為：

My)=f[h(h)]2|h5(y)|=f

l(y3

2

但

(2)設(shè)隨機(jī)變量X服從參數(shù)為1的指數(shù)分布，求Y=X2的概率密度。

法一：：X的分布密度為：

Y=x2是非單調(diào)函數(shù)

當(dāng)x<0時(shí)反函數(shù)是當(dāng)x<0時(shí)

2

Y-

y

12y

y

法二:

y

???Y?

y

34.［三H^一］設(shè)X的概率密度為

為其他

求Y=sinX的概率密度。

???FY(y)=P(Y<y)=P(sinX<y)當(dāng)y<O時(shí)：FY(y)=0

當(dāng)OgySl時(shí)：FY(y)=P(sinX<y)=P(0<X<arcsiny或兀一arcsiny<X<7t)

=當(dāng)1&3時(shí):FY(y)=lJY的概率密度嗔y)為:y4)時(shí)，嗔y尸［FY(y)『=(0)，=0

arcsiny

2x

2xdx

Tt

0<y<l時(shí),

arcsiny

2x

d

71

2

l<y時(shí)，

36」三十三］某物體的溫度T(oF)是一個(gè)隨機(jī)變量，且有T?N(98.6,2),試求0(℃)

的概率密度。［已知

法一：：T的概率密度為

又

是單調(diào)增函數(shù)。反函數(shù)存在。5

且a=min[g(―oo),g(+co)]=min(—oo,+oo)=-oo

P=max[g(-co),g(+oo)]=max(-oo,4-oo)=+oo

e的概率密度w(o)為

法二：根據(jù)定理：若X~N(al,ol),貝ijY=aX+b?N(aal+b,a2。2)

由于T?N(98.6,2)

故e的概率密度為:

22

第三章多維隨機(jī)變量及其分布

!.［-］在一箱子里裝有12只開(kāi)關(guān)，其中2只是次品，在其中隨機(jī)地取兩次，每次取一只。

考慮兩種試驗(yàn)：(1)放回抽樣，(2)不放回抽樣。我們定義隨機(jī)變量X,Y如下：

若第一次取出的是正品若第一次取出的是次品

若第二次取出的是正品若第二次取出的是次品

試分別就(1)(2)兩種情況，寫(xiě)出X和Y的聯(lián)合分布律。

解：(1)放回抽樣情況

由于每次取物是獨(dú)立的。由獨(dú)立性定義知。

P(X=i,Y=j)=P(X=i)P(Y=j)

P(X=0,Y=0)=

P(X=0,Y=1)=

P(X=1,Y=0)=

P(X=1,Y=1)=

或?qū)懗?/p>

(2)不放回抽樣的情況

P{X=0,Y=0}=

P{X=0,Y=1}=

P{X=1,Y=O}=

P{X=1,Y=1}=

或?qū)懗?/p>

3.［二］盒子里裝有3只黑球，2只紅球，2只白球，在其中任取4只球，以X表示

Y的聯(lián)合分布律。

解：(X,Y)的可能取值為(i,j),i=0,1,2,3,

為

P{C22

X=0,Y=2}=2C2

735

P{X=C112

1,Y=1}=3C2C26

735

P{X=1,Y=2}=C121

3C2C26

735

P{X=2,Y=0}=C2C2

32

735

P{X=2,Y=1)=C211

3C2C212

735

P{X=2,Y=2}=C22

3C2

735

P{X=3,Y=0}=C3C1

32

735j=0,12,i+j>2,聯(lián)合分布律

31C3C24C7

235

P{X=3,Y=2}=0

5.［三］設(shè)隨機(jī)變量(X,Y)概率密度為

其它

(1)確定常數(shù)k。(3)求P(X<L5}

(2)求P{X<l,Y<3}(4)求P(X+Y*}

分析：利用P{(X,Y)￡G}二

再化為累次積分，其中

G

解：⑴V

212

3

8

18

(2)

1

dx

312

8

(3)(4)

1.50

127

2832

4

12

0083

6.(1)求第1題中的隨機(jī)變量(X、Y

2

dx

（2）求第2題中的隨機(jī)變量（X、Y解：（1）①放回抽樣（第1題）

01邊緣分布律為

2536536

XPi2

536136

Y

01

5616

P2j

5616

②不放回抽樣（第1題）

01

邊緣分布為

45661066

X

1066166

Y

01

Pi2

5616

P2j

5616

(2)(X,Y)的聯(lián)合分布律如下

2

3

Y的邊緣分布律Y13

解：X的邊緣分布律

X01

Pi2

1331

P2j88887..設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

解：

6

8

28

其它

求邊緣概率密度.

其它

其它

8.［六］設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

求邊緣概率密度。

其它.

解

yO

0,

22

10.[t]設(shè)二維隨機(jī)變量(X,Y)的概率密度為

其它

(1)試確定常數(shù)c。(2)求邊緣概率密度。解:上

2

10

2421

3214

5

1212

其它

15.第1題中的隨機(jī)變量X和Y是否相互獨(dú)立。解：放回抽樣的情況

P{X=0,Y=0}=P{X=0}2P{Y=0}=P{X=0,Y=1}=P{X=O}P{Y=1}=P{X=l,Y=0}=P

{X=1}P{Y=O)=P{X=1,Y=1}=P{X=1}P{Y=1}=

在放回抽樣的情況下，X和Y是獨(dú)立的不放回抽樣的情況：

P{X=O,Y=0}=P{X=0}=

25

36

536536136

10945

121166

P{X=0}=P{X=0,Y=0}+P{Y=0,X=1}=

5525

6636

P{X=0,Y=0}和{X=0}P{Y=0}

P{X=0}2P{Y=0}=

???X和Y不獨(dú)立

16.［十四］設(shè)X,Y是兩個(gè)相互獨(dú)立的隨機(jī)變量，X