新高考數(shù)學(xué)一輪復(fù)習(xí)知識(shí)點(diǎn)總結(jié)與題型精練專題25 計(jì)數(shù)原理(原卷版)

專題25計(jì)數(shù)原理【考綱要求】理解分類計(jì)數(shù)原理與分步計(jì)數(shù)原理，培養(yǎng)學(xué)生的分析概括能力。理解排列組合的意義，會(huì)用排列數(shù)和組合數(shù)的公式理解二項(xiàng)式的性質(zhì)，掌握多項(xiàng)式展開(kāi)式的特殊項(xiàng)和系數(shù)問(wèn)題一、兩種計(jì)數(shù)原理【思維導(dǎo)圖】【考點(diǎn)總結(jié)】1．分類加法計(jì)數(shù)原理完成一件事有兩類不同方案，在第1類方案中有m種不同的方法，在第2類方案中有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m＋n種不同的方法．2．分步乘法計(jì)數(shù)原理完成一件事需要兩個(gè)步驟，做第1步有m種不同的方法，做第2步有n種不同的方法，那么完成這件事共有N＝m×n種不同的方法．3．分類加法計(jì)數(shù)原理和分步乘法計(jì)數(shù)原理的區(qū)別原理分類加法計(jì)數(shù)原理分步乘法計(jì)數(shù)原理聯(lián)系兩個(gè)計(jì)數(shù)原理都是對(duì)完成一件事的方法種數(shù)而言區(qū)別一每類辦法都能獨(dú)立完成這件事，它是獨(dú)立的、一次的，且每次得到的是最后結(jié)果，只需一種方法就可完成這件事每一步得到的只是中間結(jié)果，任何一步都不能獨(dú)立完成這件事，缺少任何一步也不可，只有各步驟都完成了才能完成這件事區(qū)別二各類辦法之間是互斥的、并列的、獨(dú)立的各步之間是相互依存的，并且既不能重復(fù)也不能遺漏二、排列與組合【思維導(dǎo)圖】【考點(diǎn)總結(jié)】1.排列與組合的概念名稱定義排列從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素按照一定的順序排成一列組合合成一組2.排列數(shù)與組合數(shù)(1)排列數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同排列的個(gè)數(shù)叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的排列數(shù)，用Aeq\o\al(m,n)表示．(2)組合數(shù)的定義：從n個(gè)不同元素中取出m(m≤n)個(gè)元素的所有不同組合的個(gè)數(shù)，叫做從n個(gè)不同元素中取出m個(gè)元素的組合數(shù)，用Ceq\o\al(m,n)表示．3.排列數(shù)、組合數(shù)的公式及性質(zhì)公式(1)Aeq\o\al(m,n)＝n(n－1)(n－2)…(n－m＋1)＝eq\f(n！,n－m！)(2)Ceq\o\al(m,n)＝eq\f(A\o\al(m,n),A\o\al(m,m))＝eq\f(nn－1n－2…n－m＋1,m！)＝eq\f(n！,m！n－m！)性質(zhì)(3)0?。?；Aeq\o\al(n,n)＝n！(4)Ceq\o\al(m,n)＝Ceq\o\al(n－m,n)；Ceq\o\al(m,n＋1)＝Ceq\o\al(m,n)＋Ceq\o\al(m－1,n)三、二項(xiàng)式定理【思維導(dǎo)圖】【考點(diǎn)總結(jié)】1.二項(xiàng)式定理，這個(gè)公式所表示的定理叫做二項(xiàng)式定理，右邊的多項(xiàng)式叫做的二項(xiàng)展開(kāi)式，其中的系數(shù)()叫做二項(xiàng)式系數(shù)．式中的叫做二項(xiàng)展開(kāi)式的通項(xiàng)，用表示，即展開(kāi)式的第項(xiàng)；.2．二項(xiàng)展開(kāi)式形式上的特點(diǎn)(1)項(xiàng)數(shù)為.(2)各項(xiàng)的次數(shù)都等于二項(xiàng)式的冪指數(shù)，即與的指數(shù)的和為.(3)字母按降冪排列，從第一項(xiàng)開(kāi)始，次數(shù)由逐項(xiàng)減1直到零；字母按升冪排列，從第一項(xiàng)起，次數(shù)由零逐項(xiàng)增1直到.(4)二項(xiàng)式的系數(shù)從，，一直到，.3.二項(xiàng)式系數(shù)的性質(zhì)(1)對(duì)稱性：與首末兩端“等距離”的兩個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)相等，即，，，.(2)增減性與最大值：二項(xiàng)式系數(shù)，當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞增的；由對(duì)稱性知：當(dāng)時(shí)，二項(xiàng)式系數(shù)是遞減的．當(dāng)是偶數(shù)時(shí)，中間的一項(xiàng)取得最大值．當(dāng)是奇數(shù)時(shí)，中間兩項(xiàng)和相等，且同時(shí)取得最大值．(3)各二項(xiàng)式系數(shù)的和的展開(kāi)式的各個(gè)二項(xiàng)式系數(shù)的和等于，即，二項(xiàng)展開(kāi)式中，偶數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和等于奇數(shù)項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)的和，即，4.二項(xiàng)式定理的應(yīng)用（1）求某些多項(xiàng)式系數(shù)的和；（2）證明一些簡(jiǎn)單的組合恒等式；（3）證明整除性,①求數(shù)的末位；②數(shù)的整除性及求系數(shù)；③簡(jiǎn)單多項(xiàng)式的整除問(wèn)題；（4）近似計(jì)算.當(dāng)充分小時(shí)，我們常用下列公式估計(jì)近似值：①；②；（5）證明不等式.【題型匯編】題型一：兩種計(jì)數(shù)原理題型二：排列與組合題型三：二項(xiàng)式定理【題型講解】題型一：兩種計(jì)數(shù)原理一、單選題1．（2022·浙江·杭州四中高二期中）甲、乙、丙三人參加四項(xiàng)比賽，所有比賽均無(wú)并列名次，則不同的奪冠情況共有（

）種.A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<02．（2022·福建·廈門(mén)海滄實(shí)驗(yàn)中學(xué)高二期中）元旦來(lái)臨之際，某寢室四人各寫(xiě)一張賀卡，先集中起來(lái)，然后每人從中拿一張別人送出的賀卡，則四張賀卡不同的分配方式有（

）A．6種 B．9種 C．11種 D．23種3．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）四色定理又稱四色猜想，是世界近代三大數(shù)學(xué)難題之一．它是于1852年由畢業(yè)于倫敦大學(xué)的格斯里提出來(lái)的，其內(nèi)容是“任何一張地圖只用四種顏色就能使具有共同邊界的國(guó)家著上不同的顏色”．某校數(shù)學(xué)興趣小組在研究給四棱錐SKIPIF1<0的各個(gè)面涂顏色時(shí)，提出如下的“四色問(wèn)題”：要求相鄰面（含公共棱的面）不得使用同一顏色，現(xiàn)有4種顏色可供選擇，則不同的涂法有（

）A．36種 B．72種 C．48種 D．24種4．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在一次運(yùn)動(dòng)會(huì)上有四項(xiàng)比賽的冠軍在甲、乙、丙三人中產(chǎn)生，那么不同的奪冠情況共有（

）種A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<05．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）將6封信投入4個(gè)郵筒，且6封信全部投完，不同的投法有（

）A．SKIPIF1<0種 B．SKIPIF1<0種 C．4種 D．24科6．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）從數(shù)字1，2，3，4中取出3個(gè)數(shù)字（允許重復(fù)），組成三位數(shù)，各位數(shù)字之和等于6，則這樣的三位數(shù)的個(gè)數(shù)為（

）A．7 B．9 C．10 D．13二、多選題7．（2022·廣東·雷州市白沙中學(xué)高二階段練習(xí)）已知數(shù)字SKIPIF1<0，由它們組成四位數(shù)，下列說(shuō)法正確的有（

）A．組成可以有重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有SKIPIF1<0個(gè)B．組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位數(shù)有96個(gè)C．組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位偶數(shù)有66個(gè)D．組成無(wú)重復(fù)數(shù)字的四位奇數(shù)有28個(gè)8．（2022·湖南·周南中學(xué)高二期末）現(xiàn)有不同的紅球4個(gè)，黃球5個(gè)，綠球6個(gè)，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．從中選出2個(gè)球，正好一紅一黃，有9種不同的選法B．若每種顏色選出1個(gè)球，有120種不同的選法C．若要選出不同顏色的2個(gè)球，有31種不同的選法D．若要不放回地依次選出2個(gè)球，有210種不同的選法9．（2022·廣東·順德一中高二期中）現(xiàn)有3名老師，8名男生和5名女生共16人，有一項(xiàng)活動(dòng)需派人參加，則下列命題中正確的是（

）A．只需1人參加，有16種不同選法B．若需老師、男生、女生各1人參加，則有120種不同選法C．若需1名老師和1名學(xué)生參加，則有39種不同選法D．若需3名老師和1名學(xué)生參加，則有56種不同選法三、解答題10．（2022·全國(guó)·高二課時(shí)練習(xí)）從1、2、3三個(gè)數(shù)中取1個(gè)數(shù)作分子，從4、5、6、7四個(gè)數(shù)中取1個(gè)數(shù)作分母，組成一個(gè)分?jǐn)?shù)，這樣能組成多少個(gè)值不相等的分?jǐn)?shù)？寫(xiě)出這些分?jǐn)?shù)．11．（2022·江蘇·響水縣第二中學(xué)高二期中）有6名同學(xué)報(bào)名參加三個(gè)智力競(jìng)賽項(xiàng)目，在下列情況下各有多少種不同的報(bào)名方法？（不一定6名同學(xué)都參加）(1)每人恰好參加一項(xiàng)，每項(xiàng)人數(shù)不限；(2)每項(xiàng)限報(bào)一人，但每人參加的項(xiàng)目不限.12．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）相鄰的SKIPIF1<0個(gè)車位中停放了SKIPIF1<0輛不同的車，現(xiàn)將所有車開(kāi)出后再重新停入這SKIPIF1<0個(gè)車位中．(1)若要求有SKIPIF1<0輛車不得停在原來(lái)的車位中，有多少種不同的停法？(2)若要求所有車都不得停在原來(lái)的車位中，有多少種不同的停法？題型二：排列與組合一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）高中數(shù)學(xué)新教材有必修一和必修二，選擇性必修有一?二?三共5本書(shū)，把這5本書(shū)放在書(shū)架上排成一排，必修一?必修二不相鄰的排列方法種數(shù)是（

）A．72 B．144 C．48 D．362．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某密碼鎖的一個(gè)密碼由3位數(shù)字組成，每一位均可取0，1，2，…，9這10個(gè)數(shù)字中的一個(gè)，小明隨機(jī)設(shè)置了一個(gè)密碼，則恰有兩個(gè)位置數(shù)字相同的概率為（

）A．0.09 B．0.12 C．0.18 D．0.273．（2022·四川·射洪中學(xué)高三階段練習(xí)（理））2022年遂寧主城區(qū)突發(fā)“920疫情”，23日凌晨2時(shí)，射洪組織五支“最美逆行醫(yī)療隊(duì)”去支援遂寧主城區(qū)，將分派到遂寧船山區(qū)、遂寧經(jīng)開(kāi)區(qū)、遂寧高新區(qū)進(jìn)行核酸采樣服務(wù)，每支醫(yī)療隊(duì)只能去一個(gè)區(qū)，每區(qū)至少有一支醫(yī)療隊(duì)，若恰有兩支醫(yī)療隊(duì)者被分派到高新區(qū)，則不同的安排方法共有（

）A．30種 B．40種 C．50種 D．60種4．（2022·山東·高密三中高三階段練習(xí)）已知n，m為正整數(shù)，且SKIPIF1<0，則在下列各式中錯(cuò)誤的是（

）A．SKIPIF1<0； B．SKIPIF1<0； C．SKIPIF1<0； D．SKIPIF1<05．（2022·江蘇鎮(zhèn)江·高三開(kāi)學(xué)考試）已知SKIPIF1<0，SKIPIF1<0為正整數(shù)，且SKIPIF1<0，則在下列各式中，正確的個(gè)數(shù)是（

）①SKIPIF1<0；②SKIPIF1<0；③SKIPIF1<0；④SKIPIF1<0A．1 B．2 C．3 D．46．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0（

）A．7 B．8 C．9 D．107．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）宋元時(shí)期是我國(guó)古代數(shù)學(xué)非常輝煌的時(shí)期，涌現(xiàn)了一大批卓有成就的數(shù)學(xué)家，其中秦九韶、李冶、楊輝和朱世杰成就最為突出，被譽(yù)為“宋元數(shù)學(xué)四大家”．周老師將秦九韶的《數(shù)書(shū)九章》、李治的《測(cè)圓海鏡》《益古演段》、楊輝的《詳解九章算法》、朱世杰的《算學(xué)啟蒙》《四元玉鑒》這六部著作平均分給班級(jí)的3個(gè)數(shù)學(xué)興趣小組，則分配方式一共有（

）A．15種 B．60種 C．80種 D．90種8．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）甲乙丙丁四個(gè)同學(xué)星期天選擇到東湖公園，西湖茶經(jīng)樓，歷史博物館和北湖公園其中一處去參觀游玩，其中茶經(jīng)樓必有人去，則不同的參觀方式共有（

）種.A．24 B．96 C．174 D．1759．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）2010年世界杯足球賽預(yù)計(jì)共有24個(gè)球隊(duì)參加比賽，第一輪分成6個(gè)組進(jìn)行單循環(huán)賽（在同一組的每?jī)蓚€(gè)隊(duì)都要比賽），決出每個(gè)組的一、二名，然后又在剩下的12個(gè)隊(duì)中按積分取4個(gè)隊(duì)（不比賽），共計(jì)16個(gè)隊(duì)進(jìn)行淘汰賽來(lái)確定冠亞軍，則一共需比賽（

）場(chǎng)次．A．53 B．52 C．51 D．5010．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）教育部于2022年開(kāi)展全國(guó)高校書(shū)記校長(zhǎng)訪企拓崗促就業(yè)專項(xiàng)行動(dòng)，某市3所高校的校長(zhǎng)計(jì)劃拜訪當(dāng)?shù)仄髽I(yè)，共有4家企業(yè)可供選擇.若每名校長(zhǎng)拜訪3家企業(yè)，每家企業(yè)至少接待1名校長(zhǎng)，則不同的安排方法共有（

）A．60種 B．64種 C．72種 D．80種11．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）若分配甲、乙、丙、丁四個(gè)人到三個(gè)不同的社區(qū)做志愿者，每個(gè)社區(qū)至少分配一人，每人只能去一個(gè)社區(qū)．若甲分配的社區(qū)已經(jīng)確定，則乙與甲分配到不同社區(qū)的概率是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題12．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的可能取值是（

）A．0 B．1 C．2 D．313．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）某單位從6男4女共10名員工中，選出3男2女共5名員工，安排在周一到周五的5個(gè)夜晚值班，每名員工值一個(gè)夜班且不重復(fù)值班，其中女員工甲不能安排在星期一、星期二值班，男員工乙不能安排在星期二值班，其中男員工丙必須被選且必須安排在星期五值班，則（

）A．甲乙都不選的方案共有432種B．選甲不選乙的方案共有216種C．甲乙都選的方案共有96種D．這個(gè)單位安排夜晚值班的方案共有1440種14．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）信息技術(shù)編程中會(huì)用到“括號(hào)序列”，一個(gè)括號(hào)序列是由若干個(gè)左括號(hào)和若干個(gè)右括號(hào)組成．合法括號(hào)序列可以按如下方式定義：①序列中第一個(gè)位置為左括號(hào)；②序列中左括號(hào)與右括號(hào)個(gè)數(shù)相同；③從序列第一個(gè)位置開(kāi)始任意截取一個(gè)連續(xù)片段，該片段中左括號(hào)的個(gè)數(shù)不少于右括號(hào)的個(gè)數(shù)．例如（）（（））和（）（）都是合法括號(hào)序列，而（））（，）（）和（））（（）都不是合法括號(hào)序列．一個(gè)合法括號(hào)序列中包含的左括號(hào)和右括號(hào)的個(gè)數(shù)之和稱為該序列的長(zhǎng)度．若A和B都是括號(hào)序列，則AB表示將B拼接在A后得到的括號(hào)序列．根據(jù)以上信息，下列說(shuō)法中正確的是（

）A．如果A，B是合法括號(hào)序列，則SKIPIF1<0也是合法括號(hào)序列B．如果SKIPIF1<0是合法括號(hào)序列，則A，B一定都是合法括號(hào)序列C．如果SKIPIF1<0是合法括號(hào)序列，則A也是合法括號(hào)序列D．長(zhǎng)度為8的合法括號(hào)序列共有14種15．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）為弘揚(yáng)我國(guó)古代的“六藝文化”，某夏令營(yíng)主辦單位計(jì)劃利用暑期開(kāi)設(shè)“禮”“樂(lè)”“射”“御”“書(shū)”“數(shù)”六門(mén)體驗(yàn)課程，每周一門(mén)，連續(xù)開(kāi)設(shè)六周，則下列說(shuō)法正確的是（

）A．某學(xué)生從中選2門(mén)課程學(xué)習(xí)，共有15種選法B．課程“樂(lè)”“射”排在不相鄰的兩周，共有240種排法C．課程“御”“書(shū)”“數(shù)”排在相鄰的三周，共有144種排法D．課程“禮”排在第一周，課程“數(shù)”不排在最后一周，共有96種排法三、解答題16．（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（1）求值：SKIPIF1<0（2）求關(guān)于SKIPIF1<0的不等式SKIPIF1<0的解集．17．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0五名同學(xué)，按下列要求進(jìn)行排列，求所有滿足條件的排列方法數(shù).(1)把5名同學(xué)排成一排且SKIPIF1<0相鄰；(2)把5名同學(xué)排成一排且SKIPIF1<0互不相鄰；(3)把5名同學(xué)安排到排成一排的6個(gè)空位中的5個(gè)空位上，且SKIPIF1<0不相鄰.18．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）有SKIPIF1<0名男生和甲、乙SKIPIF1<0名女生排成一排，求下列情況各有多少種不同的排法？(1)女生甲排在正中間；(2)SKIPIF1<0名女生不相鄰；(3)女生甲必須排在女生乙的左邊（不一定相鄰）；(4)SKIPIF1<0名女生中間恰有SKIPIF1<0名男生．題型三：二項(xiàng)式定理一、單選題1．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）SKIPIF1<0的展開(kāi)式中SKIPIF1<0項(xiàng)的系數(shù)為（）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．80 D．2002．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）SKIPIF1<0展開(kāi)式中，SKIPIF1<0項(xiàng)的系數(shù)為（）A．5 B．-5 C．15 D．-153．（2022·北京市廣渠門(mén)中學(xué)高三階段練習(xí)）若SKIPIF1<0的展開(kāi)式中的第SKIPIF1<0項(xiàng)和第SKIPIF1<0項(xiàng)的二項(xiàng)式系數(shù)相等，則展開(kāi)式中SKIPIF1<0的系數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<04．（2022·江蘇省泰興中學(xué)高三階段練習(xí)）設(shè)SKIPIF1<0，SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0D．SKIPIF1<05．（2022·江蘇·金陵中學(xué)高三階段練習(xí)）SKIPIF1<0的展開(kāi)式中SKIPIF1<0的系數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<06．（2022·江蘇江蘇·高三階段練習(xí)）SKIPIF1<0的展開(kāi)式中SKIPIF1<0的系數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<07．（2023·廣東茂名·高三階段練習(xí)）下列各式中，不是SKIPIF1<0的展開(kāi)式中的項(xiàng)是（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<08．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在SKIPIF1<0（SKIPIF1<0）的展開(kāi)式中，若第5項(xiàng)為二項(xiàng)式系數(shù)最大的項(xiàng)，則n的值不可能是（

）A．7 B．8 C．9 D．109．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）在SKIPIF1<0的展開(kāi)式中，若二項(xiàng)式系數(shù)的和為SKIPIF1<0，則SKIPIF1<0的系數(shù)為（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0 C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<0二、多選題10．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）已知SKIPIF1<0，則下列結(jié)論正確的有（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<011．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）（多選）已知SKIPIF1<0，則（

）A．SKIPIF1<0 B．SKIPIF1<0C．SKIPIF1<0 D．SKIPIF1<012．（2023·全國(guó)·高三專題練習(xí)）下列結(jié)論正確的是（

）A．命題“SKIPIF1<0"的否定是"SKIPIF1<0"B．已知回歸模型為SKIPIF1<