4.4.1方程的根與函數(shù)的零點課件高一上學期數(shù)學

第4章冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)方程的根與函數(shù)的零點湘教版

數(shù)學

必修第一

冊課標要求1.結合學過的函數(shù)圖象,理解函數(shù)零點的定義,并會求簡單函數(shù)的零點.2.理解函數(shù)的零點與方程解的關系,能借助函數(shù)圖象判斷零點個數(shù).3.結合具體連續(xù)函數(shù)及其圖象的特點,理解函數(shù)零點存在定理.基礎落實·必備知識一遍過重難探究·能力素養(yǎng)速提升學以致用·隨堂檢測促達標目錄索引基礎落實·必備知識一遍過知識點一函數(shù)的零點1.二次函數(shù)的零點:一元二次方程ax2+bx+c=0的根,就是二次函數(shù)y=ax2+bx+c的零點,也就是該函數(shù)圖象與x軸交點的橫坐標.2.方程f(x)=0有實數(shù)解?函數(shù)y=f(x)有零點?函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸有公共點.過關自診函數(shù)f(x)=x2-1的零點是(

)A.(±1,0) B.(1,0)C.0 D.±1D解析

解方程f(x)=x2-1=0,得x=±1,因此函數(shù)f(x)=x2-1的零點是±1.知識點二零點存在定理一般地,當x從a到b逐漸增加時,如果f(x)連續(xù)變化且有f(a)·f(b)<0,則存在點x0∈(a,b),使得f(x0)=0.名師點睛定理要求具備兩個條件:①函數(shù)在區(qū)間[a,b]上的圖象是連續(xù)不斷的;②f(a)·f(b)<0.兩個條件缺一不可.過關自診1.函數(shù)f(x)=x3+2x+1的零點一定位于下列哪個區(qū)間上(

)A.[-2,-1] B.[-1,0]C.[0,1] D.[1,2]B解析

因為f(-2)=-11<0,f(-1)=-2<0,f(0)=1>0,f(1)=4>0,f(2)=13>0,所以f(-1)f(0)<0.所以f(x)的零點在區(qū)間[-1,0]上.2.方程3x-x2=0在區(qū)間[-1,0]內有沒有解?為什么?提示

設函數(shù)f(x)=3x-x2,在區(qū)間[-1,0]上有f(-1)=3-1-(-1)2=<0,f(0)=30-02=1>0.又因為函數(shù)f(x)=3x-x2的圖象是一條連續(xù)的曲線,所以由零點存在定理可知方程f(x)=0在區(qū)間(-1,0)內有解,即在區(qū)間[-1,0]內有解,故方程3x-x2=0在區(qū)間[-1,0]內有解.重難探究·能力素養(yǎng)速提升探究點一求函數(shù)的零點【例1】

判斷下列函數(shù)是否存在零點,如果存在,請求出零點.(1)f(x)=-8x2+7x+1;(2)f(x)=1+log3x;(3)f(x)=4x-16.(3)令4x-16=0,即4x=42,解得x=2.所以函數(shù)的零點為2.規(guī)律方法

1.因為函數(shù)f(x)的零點就是方程f(x)=0的實數(shù)解,也是函數(shù)y=f(x)的圖象與x軸交點的橫坐標,所以求函數(shù)的零點通常有兩種方法:一是代數(shù)法,令f(x)=0,通過求方程f(x)=0的解求得函數(shù)的零點;二是幾何法,畫出函數(shù)y=f(x)的圖象,圖象與x軸交點的橫坐標即為函數(shù)的零點.2.求函數(shù)零點時要注意零點是否在函數(shù)定義域內.變式訓練1已知函數(shù)f(x)=x2+3(m+1)x+n的零點是1和2,求函數(shù)y=logn(mx+1)的零點.解

由題意知函數(shù)f(x)=x2+3(m+1)x+n的零點為1和2,則1和2是方程x2+3(m+1)x+n=0的實數(shù)解.所以函數(shù)y=logn(mx+1)的解析式為y=log2(-2x+1).令log2(-2x+1)=0,得x=0.所以函數(shù)y=log2(-2x+1)的零點為0.探究點二函數(shù)零點個數(shù)的判斷【例2】

判斷下列函數(shù)零點的個數(shù):(1)f(x)=(x2-4)log2x;解

令f(x)=0,得(x2-4)log2x=0,因此x2-4=0或log2x=0,解得x=±2或x=1.又因為函數(shù)定義域為(0,+∞),所以x=-2不是函數(shù)的零點,故函數(shù)有2和1兩個零點.(2)f(x)=x2-;在同一坐標系中分別畫出函數(shù)g(x)和h(x)的圖象如圖所示.由圖象可知,兩個函數(shù)圖象只有一個交點,故函數(shù)只有一個零點.(3)f(x)=2x+lg(x+1)-2.解

(方法1)∵f(0)=1+0-2=-1<0,f(2)=4+lg

3-2=2+lg

3>0,∴f(x)=0在(0,2)上必定存在實根.又f(x)=2x+lg(x+1)-2在區(qū)間(-1,+∞)上為增函數(shù),故f(x)有且只有一個零點.(方法2)令h(x)=2-2x,g(x)=lg(x+1),在同一平面直角坐標系中作出h(x)與g(x)的圖象如圖所示.由圖象知g(x)=lg(x+1)和h(x)=2-2x的圖象有且只有一個公共點,即f(x)=2x+lg(x+1)-2有且只有一個零點.規(guī)律方法

判斷函數(shù)零點個數(shù)的常用方法(1)解方程f(x)=0,方程f(x)=0的不相等實數(shù)解的個數(shù)就是函數(shù)f(x)零點的個數(shù).(2)直接作出函數(shù)f(x)的圖象,圖象與x軸公共點的個數(shù)就是函數(shù)f(x)零點的個數(shù).(3)f(x)=g(x)-h(x)=0,得g(x)=h(x),在同一平面直角坐標系中作出y1=g(x)和y2=h(x)的圖象,則兩個圖象公共點的個數(shù)就是函數(shù)y=f(x)零點的個數(shù).(4)若證明一個函數(shù)的零點唯一,也可先由零點存在定理判斷出函數(shù)有零點,再證明該函數(shù)在定義域內單調.變式訓練2(1)若函數(shù)f(x)=x2+2x+a沒有零點,則實數(shù)a的取值范圍是(

)A.(-∞,1) B.(1,+∞) C.(-∞,1] D.[1,+∞)B解析

由題知,函數(shù)f(x)=x2+2x+a沒有零點,即方程x2+2x+a=0沒有實數(shù)解,即Δ=4-4a<0,解得a>1,故選B.(2)函數(shù)f(x)=lnx+x2-3的零點的個數(shù)為(

)A.0 B.1

C.2

D.3B解析

函數(shù)對應的方程為ln

x+x2-3=0,所以原函數(shù)零點的個數(shù)即為函數(shù)y=ln

x與y=3-x2的圖象交點個數(shù).在同一平面直角坐標系下,作出兩函數(shù)的圖象(如圖所示).由圖象知,函數(shù)y=3-x2與y=ln

x的圖象只有一個交點,即方程ln

x+x2-3=0有一個根,故函數(shù)f(x)=ln

x+x2-3有一個零點.探究點三判斷函數(shù)的零點所在的大致區(qū)間【例3】

(1)函數(shù)f(x)=lnx+2x-6的零點所在的區(qū)間為(

)A.(1,2) B.(2,3)C.(3,4) D.(4,5)B解析

f(1)=2-6<0,f(2)=4+ln

2-6<0,f(3)=6+ln

3-6>0,f(4)=8+ln

4-6>0,f(2)f(3)<0,則f(x)的零點所在區(qū)間為(2,3).故選B.(2)已知函數(shù)y=f(x)的圖象是連續(xù)不間斷的曲線,且有如下的對應值:x123456y113-35-4811.5-5.67.8則函數(shù)y=f(x)在區(qū)間[1,6]上的零點至少有(

)A.2個

B.3個

C.4個

D.5個C解析

由零點存在定理可知,連續(xù)函數(shù)y=f(x)在(1,2),(3,4),(4,5),(5,6)上至少各有一個零點.故選C.規(guī)律方法

1.若函數(shù)連續(xù)不間斷,則判斷函數(shù)零點所在的區(qū)間可直接使用函數(shù)零點存在定理,反之,若函數(shù)解析式中含參數(shù),則可以利用零點所在的區(qū)間的端點建立不等式求參數(shù)的取值范圍.2.涉及方程h(x)=g(x)的解所在的區(qū)間時,若能直接解方程,則求出根后判斷,若不能夠解方程,則通過構造函數(shù)f(x)=h(x)-g(x),結合函數(shù)零點存在定理轉化為求函數(shù)的零點.3.函數(shù)y=f(x)與y=g(x)圖象交點的橫坐標所在的區(qū)間即為函數(shù)y=f(x)-g(x)的零點所在的區(qū)間.變式訓練3若函數(shù)f(x)=x2--1在區(qū)間(k,k+1)(k∈N)內有零點,則k=(

)A.1 B.2

C.3

D.4A探究點四已知零點個數(shù)求參數(shù)的取值范圍【例4】

已知函數(shù)f(x)=若函數(shù)F(x)=2(f(x))2-mf(x),且函數(shù)F(x)有6個零點,則非零實數(shù)m的取值范圍是(

)A.(-2,0)∪(0,16)B.(2,16)C.[2,16)D.(-2,0)∪(0,+∞)C規(guī)律方法

已知函數(shù)有零點(方程有根)求參數(shù)的方法(1)直接法:根據(jù)題設條件構建關于參數(shù)的不等式(組),通過解不等式(組)確定參數(shù)的取值范圍.(2)數(shù)形結合法:先對f(x)的解析式變形,將f(x)=0轉化為h(x)=g(x)[h(x),g(x)的圖象易畫出],在同一平面直角坐標系中畫出函數(shù)h(x),g(x)的圖象,然后利用數(shù)形結合思想求解.變式訓練4已知a是實數(shù),函數(shù)f(x)=2|x-1|+x-a,若函數(shù)y=f(x)有且僅有兩個零點,則實數(shù)a的取值范圍是

.

(1,+∞)解析

函數(shù)f(x)=2|x-1|+x-a有且僅有兩個零點,即函數(shù)y=2|x-1|+x與y=a的圖象有且僅有兩個交點.分別作出函數(shù)y=2|x-1|+x與y=a的圖象,如圖所示.由圖易知,當a>1時,兩函數(shù)的圖象有且僅有兩個不同的交點,故實數(shù)a的取值范圍是(1,+∞).學以致用·隨堂檢測促達標A級必備知識基礎練12345678910111213141516C123456789101112131415162.若函數(shù)f(x)=2x+x-4的零點所在區(qū)間為(k,k+1)(k∈Z),則k=(

)A.1 B.2 C.3 D.4A解析

因為函數(shù)f(x)=2x+x-4在R上單調遞增,且f(1)=2+1-4=-1<0,f(2)=22+2-4=2>0,所以函數(shù)的零點在區(qū)間(1,2)內.又因為函數(shù)的零點在區(qū)間(k,k+1)(k∈Z)內,所以k=1,故選A.12345678910111213141516A.0 B.1 C.2 D.3C解析

根據(jù)題意,令x2-2x+3x=0,解得x1=0,x2=-1,當x≤0時,符合題意;令1++3x=0,無解,故函數(shù)y只有兩個零點,故選C.123456789101112131415164.(多選題)[2024甘肅隴南高一統(tǒng)考期末]已知函數(shù)f(x)=(2x-4)(2x-2-1)-2x-2-1只有兩個零點x1,x2(x1<x2),則(

)A.0<x1<1 B.x1+x2>4C.3<x2<4 D.x1+x2=4ACD12345678910111213141516所以g(x)與h(x)的圖象都關于點(2,0)對稱,有x1+x2=2×2=4,故B錯誤,D正確.因為x1<x2,所以x1<2<x2,又f(0)>0,f(1)<0,f(3)<0,f(4)>0,所以0<x1<1,3<x2<4,故A,C均正確.故選ACD.123456789101112131415165.(多選題)若函數(shù)f(x)的圖象在R上連續(xù)不斷,且滿足f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,則下列說法正確的是(

)A.f(x)在區(qū)間(0,1)上一定有零點B.f(x)在區(qū)間(0,1)上一定沒有零點C.f(x)在區(qū)間(1,2)上可能有零點D.f(x)在區(qū)間(1,2)上一定有零點AC解析

因為f(0)<0,f(1)>0,f(2)>0,所以f(0)f(1)<0,因為函數(shù)f(x)的圖象在R上連續(xù)不斷,由零點存在定理,可得f(x)在區(qū)間(0,1)上一定有零點.又f(1)f(2)>0,因此無法判斷f(x)在區(qū)間(1,2)上是否有零點.123456789101112131415166.若方程x2-(k+2)x+1-3k=0有兩個不相等的實數(shù)解x1,x2,且0<x1<1<x2<2,則實數(shù)k的取值范圍是

.

解析

因為方程x2-(k+2)x+1-3k=0有兩個不相等的實數(shù)解x1,x2,且0<x1<1<x2<2,所以設f(x)=x2-(k+2)x+1-3k,畫出函數(shù)f(x)的大致圖象,如圖所示.結合圖象知f(0)=1-3k>0,且f(1)=-4k<0,123456789101112131415167.已知函數(shù)f(x)=x2-mx+a-m對任意的實數(shù)m恒有零點,求實數(shù)a的取值范圍.解

令x2-mx+a-m=0,因為函數(shù)f(x)對任意的實數(shù)m恒有零點,故不論m取何值,方程x2-mx+a-m=0恒有解,12345678910111213141516B級關鍵能力提升練8.已知函數(shù)f(x)=log2(x+1)+3x+m的零點在區(qū)間(0,1]上,則m的取值范圍為(

)A.(-4,0) B.(-∞,-4)∪(0,+∞)C.(-∞,-4]∪[0,+∞) D.[-4,0)D解析

由題意,函數(shù)f(x)=log2(x+1)+3x+m是定義域上的增函數(shù),又由函數(shù)f(x)在區(qū)間(0,1]上存在零點,即實數(shù)m的取值范圍為[-4,0),故選D.12345678910111213141516A.0 B.1C.2 D.3C1234567891011121314151610.已知函數(shù)f(x)=log3x+3x,g(x)=3x+3x,h(x)=x3+3x的零點分別為x1,x2,x3,則x1,x2,x3的大小關系為(

)A.x2<x3<x1B.x1<x2<x3C.x2<x1<x3D.x3<x2<x1A12345678910111213141516解析

因為f(x)=log3x+3x在(0,+∞)上遞增,

因為g(x)=3x+3x在(-∞,+∞)上遞增,當x≥0時,g(x)=3x+3x≥1>0恒成立,故g(x)的零點小于0,即x2<0;因為h(x)=x3+3x在(-∞,+∞)上遞增,當x=0時,h(0)=0,故x3=0.故x2<x3<x1.故選A.1234567891011121314151611.已知f(x)=(x-a)(x-b)-2,并且α,β是函數(shù)f(x)的兩個零點,則實數(shù)a,b,α,β的大小關系可能是(

)A.a<α<b<β B.a<α<β<bC.α<a<b<β D.α<a<β<bC解析

∵α,β是函數(shù)f(x)的兩個零點,∴f(α)=f(β)=0.又f(a)=f(b)=-2<0,結合二次函數(shù)的圖象(如圖所示)可知a,b必在α,β之間.故選C.1234567891011121314151612.(多選題)已知函數(shù)f(x)=函數(shù)g(x)=b-f(x),且b>0,則g(x)零點的個數(shù)可能為(

)A.4 B.3C.2 D.1BCD12345678910111213141516解析

函數(shù)g(x)=b-f(x),且b>0,則g(x)零點的個數(shù)即函數(shù)y=b(b>0)與函數(shù)y=f(x)的圖象在R上的交點個數(shù),在平面直角坐標系中畫出函數(shù)y=b(b>0)和函數(shù)y=f(x)的圖象如圖所示:由圖象可知,函數(shù)y=b(b>0)和函數(shù)y=f(x)的圖象可能有1個,2個或3個交點.故選BCD.1234567891011121314151613.已知函數(shù)f(x)=3x+x,g(x)=log3x+2,h(x)=log3x+x的零點依次為a,b,c,則a,b,c的大小關系是

.

a<b<c12345678910111213141516解析

畫出函數(shù)y=3x,y=log3x,y=-x