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新疆烏魯木齊地區(qū)2024-2025學(xué)年高考全國統(tǒng)考預(yù)測密卷(1)數(shù)學(xué)試題試卷考生請注意:1.答題前請將考場、試室號、座位號、考生號、姓名寫在試卷密封線內(nèi),不得在試卷上作任何標(biāo)記。2.第一部分選擇題每小題選出答案后,需將答案寫在試卷指定的括號內(nèi),第二部分非選擇題答案寫在試卷題目指定的位置上。3.考生必須保證答題卡的整潔??荚嚱Y(jié)束后,請將本試卷和答題卡一并交回。一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.設(shè)分別是雙線的左、右焦點,為坐標(biāo)原點,以為直徑的圓與該雙曲線的兩條漸近線分別交于兩點(位于軸右側(cè)),且四邊形為菱形,則該雙曲線的漸近線方程為()A. B. C. D.2.函數(shù)的圖象與軸交點的橫坐標(biāo)構(gòu)成一個公差為的等差數(shù)列,要得到函數(shù)的圖象,只需將的圖象()A.向左平移個單位 B.向右平移個單位C.向左平移個單位 D.向右平移個單位3.如圖,平面四邊形中,,,,,現(xiàn)將沿翻折,使點移動至點,且,則三棱錐的外接球的表面積為()A. B. C. D.4.天干地支,簡稱為干支,源自中國遠(yuǎn)古時代對天象的觀測.“甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸”稱為十天干,“子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥”稱為十二地支.干支紀(jì)年法是天干和地支依次按固定的順序相互配合組成,以此往復(fù),60年為一個輪回.現(xiàn)從農(nóng)歷2000年至2019年共20個年份中任取2個年份,則這2個年份的天干或地支相同的概率為()A. B. C. D.5.已知非零向量、,若且,則向量在向量方向上的投影為()A. B. C. D.6.關(guān)于函數(shù)在區(qū)間的單調(diào)性,下列敘述正確的是()A.單調(diào)遞增 B.單調(diào)遞減 C.先遞減后遞增 D.先遞增后遞減7.中國古代數(shù)學(xué)名著《九章算術(shù)》中記載了公元前344年商鞅督造的一種標(biāo)準(zhǔn)量器——商鞅銅方升,其三視圖如圖所示(單位:寸),若取3,當(dāng)該量器口密閉時其表面積為42.2(平方寸),則圖中x的值為()A.3 B.3.4 C.3.8 D.48.某幾何體的三視圖如圖所示,圖中圓的半徑為1,等腰三角形的腰長為3,則該幾何體表面積為()A. B. C. D.9.中國古代數(shù)學(xué)著作《算法統(tǒng)宗》中有這樣一個問題:“三百七十八里關(guān),初行健步不為難,次日腳痛減一半,六朝才得到其關(guān),要見次日行里數(shù),請公仔細(xì)算相還.”意思為有一個人要走378里路,第一天健步行走,從第二天起腳痛,每天走的路程為前一天的一半,走了六天恰好到達(dá)目的地,請問第二天比第四天多走了()A.96里 B.72里 C.48里 D.24里10.在復(fù)平面內(nèi),復(fù)數(shù)對應(yīng)的點的坐標(biāo)為()A. B. C. D.11.等差數(shù)列的前項和為,若,,則數(shù)列的公差為()A.-2 B.2 C.4 D.712.已知關(guān)于的方程在區(qū)間上有兩個根,,且,則實數(shù)的取值范圍是()A. B. C. D.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.設(shè)為數(shù)列的前項和,若,則____14.若,則_________.15.下圖是一個算法的流程圖,則輸出的x的值為_______.16.設(shè)等比數(shù)列的前項和為,若,則數(shù)列的公比是.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(12分)如圖所示,三棱柱中,平面,點,分別在線段,上,且,,是線段的中點.(Ⅰ)求證:平面;(Ⅱ)若,,,求直線與平面所成角的正弦值.18.(12分)古人云:“腹有詩書氣自華.”為響應(yīng)全民閱讀,建設(shè)書香中國,校園讀書活動的熱潮正在興起.某校為統(tǒng)計學(xué)生一周課外讀書的時間,從全校學(xué)生中隨機(jī)抽取名學(xué)生進(jìn)行問卷調(diào)査,統(tǒng)計了他們一周課外讀書時間(單位:)的數(shù)據(jù)如下:一周課外讀書時間/合計頻數(shù)46101214244634頻率0.020.030.050.060.070.120.250.171(1)根據(jù)表格中提供的數(shù)據(jù),求,,的值并估算一周課外讀書時間的中位數(shù).(2)如果讀書時間按,,分組,用分層抽樣的方法從名學(xué)生中抽取20人.①求每層應(yīng)抽取的人數(shù);②若從,中抽出的學(xué)生中再隨機(jī)選取2人,求這2人不在同一層的概率.19.(12分)已知函數(shù),.(1)當(dāng)時,求函數(shù)的值域;(2),,求實數(shù)的取值范圍.20.(12分)設(shè)函數(shù).(1)若,求函數(shù)的值域;(2)設(shè)為的三個內(nèi)角,若,求的值;21.(12分)已知直線的參數(shù)方程:(為參數(shù))和圓的極坐標(biāo)方程:(1)將直線的參數(shù)方程化為普通方程,圓的極坐標(biāo)方程化為直角坐標(biāo)方程;(2)已知點,直線與圓相交于、兩點,求的值.22.(10分)已知各項均不相等的等差數(shù)列的前項和為,且成等比數(shù)列.(1)求數(shù)列的通項公式;(2)求數(shù)列的前項和.
參考答案一、選擇題:本題共12小題,每小題5分,共60分。在每小題給出的四個選項中,只有一項是符合題目要求的。1.B【解析】
由于四邊形為菱形,且,所以為等邊三角形,從而可得漸近線的傾斜角,求出其斜率.【詳解】如圖,因為四邊形為菱形,,所以為等邊三角形,,兩漸近線的斜率分別為和.故選:B此題考查的是求雙曲線的漸近線方程,利用了數(shù)形結(jié)合的思想,屬于基礎(chǔ)題.2.A【解析】依題意有的周期為.而,故應(yīng)左移.3.C【解析】
由題意可得面,可知,因為,則面,于是.由此推出三棱錐外接球球心是的中點,進(jìn)而算出,外接球半徑為1,得出結(jié)果.【詳解】解:由,翻折后得到,又,則面,可知.又因為,則面,于是,因此三棱錐外接球球心是的中點.計算可知,則外接球半徑為1,從而外接球表面積為.故選:C.本題主要考查簡單的幾何體、球的表面積等基礎(chǔ)知識;考查空間想象能力、推理論證能力、運(yùn)算求解能力及創(chuàng)新意識,屬于中檔題.4.B【解析】
利用古典概型概率計算方法分析出符合題意的基本事件個數(shù),結(jié)合組合數(shù)的計算即可出求得概率.【詳解】20個年份中天干相同的有10組(每組2個),地支相同的年份有8組(每組2個),從這20個年份中任取2個年份,則這2個年份的天干或地支相同的概率.故選:B.本小題主要考查古典概型的計算,考查組合數(shù)的計算,考查學(xué)生分析問題的能力,難度較易.5.D【解析】
設(shè)非零向量與的夾角為,在等式兩邊平方,求出的值,進(jìn)而可求得向量在向量方向上的投影為,即可得解.【詳解】,由得,整理得,,解得,因此,向量在向量方向上的投影為.故選:D.本題考查向量投影的計算,同時也考查利用向量的模計算向量的夾角,考查計算能力,屬于基礎(chǔ)題.6.C【解析】
先用誘導(dǎo)公式得,再根據(jù)函數(shù)圖像平移的方法求解即可.【詳解】函數(shù)的圖象可由向左平移個單位得到,如圖所示,在上先遞減后遞增.故選:C本題考查三角函數(shù)的平移與單調(diào)性的求解.屬于基礎(chǔ)題.7.D【解析】
根據(jù)三視圖即可求得幾何體表面積,即可解得未知數(shù).【詳解】由圖可知,該幾何體是由一個長寬高分別為和一個底面半徑為,高為的圓柱組合而成.該幾何體的表面積為,解得,故選:D.本題考查由三視圖還原幾何體,以及圓柱和長方體表面積的求解,屬綜合基礎(chǔ)題.8.C【解析】
幾何體是由一個圓錐和半球組成,其中半球的半徑為1,圓錐的母線長為3,底面半徑為1,計算得到答案.【詳解】幾何體是由一個圓錐和半球組成,其中半球的半徑為1,圓錐的母線長為3,底面半徑為1,故幾何體的表面積為.故選:.本題考查了根據(jù)三視圖求表面積,意在考查學(xué)生的計算能力和空間想象能力.9.B【解析】
人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,設(shè)此人第一天走的路程為,計算,代入得到答案.【詳解】由題意可知此人每天走的路程構(gòu)成公比為的等比數(shù)列,設(shè)此人第一天走的路程為,則,解得,從而可得,故.故選:.本題考查了等比數(shù)列的應(yīng)用,意在考查學(xué)生的計算能力和應(yīng)用能力.10.C【解析】
利用復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義即可得出.【詳解】解:復(fù)數(shù)i(2+i)=2i﹣1對應(yīng)的點的坐標(biāo)為(﹣1,2),故選:C本題考查了復(fù)數(shù)的運(yùn)算法則、幾何意義,考查了推理能力與計算能力,屬于基礎(chǔ)題.11.B【解析】
在等差數(shù)列中由等差數(shù)列公式與下標(biāo)和的性質(zhì)求得,再由等差數(shù)列通項公式求得公差.【詳解】在等差數(shù)列的前項和為,則則故選:B本題考查等差數(shù)列中求由已知關(guān)系求公差,屬于基礎(chǔ)題.12.C【解析】
先利用三角恒等變換將題中的方程化簡,構(gòu)造新的函數(shù),將方程的解的問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)圖象的交點問題,畫出函數(shù)圖象,再結(jié)合,解得的取值范圍.【詳解】由題化簡得,,作出的圖象,又由易知.故選:C.本題考查了三角恒等變換,方程的根的問題,利用數(shù)形結(jié)合法,求得范圍.屬于中檔題.二、填空題:本題共4小題,每小題5分,共20分。13.【解析】
當(dāng)時,由,解得,當(dāng)時,,兩式相減可得,即,可得數(shù)列是等比數(shù)列再求通項公式.【詳解】當(dāng)時,,即,當(dāng)時,,兩式相減可得,即,即,故數(shù)列是以為首項,為公比的等比數(shù)列,所以.故答案為:本題考查數(shù)列的前項和與通項公式的關(guān)系,還考查運(yùn)算求解能力以及化歸與轉(zhuǎn)化思想,屬于基礎(chǔ)題.14.【解析】
因為,所以.因為,所以,又,所以,所以..15.1【解析】
利用流程圖,逐次進(jìn)行運(yùn)算,直到退出循環(huán),得到輸出值.【詳解】第一次:x=4,y=11,第二次:x=5,y=32,第三次:x=1,y=14,此時14>10×1+3,輸出x,故輸出x的值為1.故答案為:.本題主要考查程序框圖的識別,“還原現(xiàn)場”是求解這類問題的良方,側(cè)重考查邏輯推理的核心素養(yǎng).16..【解析】
當(dāng)q=1時,.當(dāng)時,,所以.三、解答題:共70分。解答應(yīng)寫出文字說明、證明過程或演算步驟。17.(Ⅰ)證明見詳解;(Ⅱ).【解析】
(Ⅰ)取中點為,根據(jù)幾何關(guān)系,求證四邊形為平行四邊形,即可由線線平行推證線面平行;(Ⅱ)以為坐標(biāo)原點,建立空間直角坐標(biāo)系,求得直線的方向向量和平面的法向量,即可求得線面角的正弦值.【詳解】(Ⅰ)取的中點,連接,.如下圖所示:因為,分別是線段和的中點,所以是梯形的中位線,所以.又,所以.因為,,所以四邊形為平行四邊形,所以.所以,.所以四邊形為平行四邊形,所以.又平面,平面,所以平面.(Ⅱ)因為,且平面,故可以為原點,的方向為軸正方向建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系,如下圖所示:不妨設(shè),則,所以,,,,.所以,,.設(shè)平面的法向量為,則所以可取.設(shè)直線與平面所成的角為,則.故可得直線與平面所成的角的正弦值為.本題考查由線線平行推證線面平行,以及用向量法求解線面角,屬綜合中檔題.18.(1),,,中位數(shù);(2)①三層中抽取的人數(shù)分別為2,5,13;②【解析】
(1)根據(jù)頻率分布直方表的性質(zhì),即可求得,得到,,再結(jié)合中位數(shù)的計算方法,即可求解.(2)①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人,根據(jù)抽樣比,求得在三層中抽取的人數(shù);②由①知,設(shè)內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為,內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為,利用列舉法得到基本事件的總數(shù),利用古典概型的概率計算公式,即可求解.【詳解】(1)由題意,可得,所以,.設(shè)一周課外讀書時間的中位數(shù)為小時,則,解得,即一周課外讀書時間的中位數(shù)約為小時.(2)①由題意知用分層抽樣的方法從樣本中抽取20人,抽樣比為,又因為,,的頻數(shù)分別為20,50,130,所以從,,三層中抽取的人數(shù)分別為2,5,13.②由①知,在,兩層中共抽取7人,設(shè)內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為,內(nèi)被抽取的學(xué)生分別為,若從這7人中隨機(jī)抽取2人,則所有情況為,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,,共有21種,其中2人不在同一層的情況為,,,,,,,,,,共有10種.設(shè)事件為“這2人不在同一層”,由古典概型的概率計算公式,可得概率為.本題主要考查了頻率分布直方表的性質(zhì),中位數(shù)的求解,以及古典概型的概率計算等知識的綜合應(yīng)用,著重考查了分析問題和解答問題的能力,屬于基礎(chǔ)題.19.(1);(2).【解析】
(1)將代入函數(shù)的解析式,將函數(shù)的及解析式變形為分段函數(shù),利用二次函數(shù)的基本性質(zhì)可求得函數(shù)的值域;(2)由參變量分離法得出在區(qū)間內(nèi)有解,分和討論,求得函數(shù)的最大值,即可得出實數(shù)的取值范圍.【詳解】(1)當(dāng)時,.當(dāng)時,;當(dāng)時,.函數(shù)的值域為;(2)不等式等價于,即在區(qū)間內(nèi)有解當(dāng)時,,此時,,則;當(dāng)時,,函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞增,當(dāng)時,,則.綜上,實數(shù)的取值范圍是.本題主要考查含絕對值函數(shù)的值域與含絕對值不等式有解的問題,利用絕對值的應(yīng)用將函數(shù)轉(zhuǎn)化為二次函數(shù),結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)是解決本題的關(guān)鍵,考查分類討論思想的應(yīng)用,屬于中等題.20.(1)(2)【解析】
(1)將,利用三角恒等變換轉(zhuǎn)化為:,,再根據(jù)正弦函數(shù)的性質(zhì)求解,(2)根據(jù),得,又為的內(nèi)角,得到,再根據(jù),利用兩角和與差的余弦公式求解,【詳解】(1),,,,即的值域為;(2)由,得,又為的內(nèi)角,所以,又因為在中,,所以,所以.本題主要考查三角恒等變換和三角函數(shù)的性質(zhì),還考查了運(yùn)算求解的能力,屬于中檔題,21.(1):,:;(2)【解析】
(1)消去參數(shù)求得直線的普通方程,將兩邊同乘以,化簡求得圓的直角坐標(biāo)方程.(2)求得直線的標(biāo)準(zhǔn)參數(shù)方程,代入圓的直角坐標(biāo)方程,化簡后寫出韋達(dá)定理,根據(jù)直線參數(shù)的幾何意義,求得的值.【詳解】(1)消去參數(shù),得直
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