專題04 三角形（考題壓軸、壓軸必刷）（解析版）

專題04三角形（壓軸必刷38題）一．選擇題（共10小題）1．如圖，已知∠ABC＝120°，BD平分∠ABC，∠DAC＝60°，若AB＝2，BC＝3，則BD的長是（）A．4.5 B．5 C．5.5 D．6【答案】B【解答】解：在CB的延長線上取點E，使BE＝AB，連接AE，∵∠ABC＝120°，∴∠ABE＝180°﹣∠ABC＝60°，∵BE＝AB，∴△ABE為等邊三角形，∴AE＝AB，∠BAE＝∠E＝60°，∵∠DAC＝60°，∴∠DAC＝∠BAE，∵∠BAD＝∠BAC+∠DAC，∠EAC＝∠BAC+∠BAE，∴∠BAD＝∠EAC，∵BD平分∠ABC，∴，∴∠ABD＝∠E，∴△ABD≌△AEC（ASA），∴BD＝CE，∵CE＝BE+BC＝AB+BC＝3+2＝5，∴BD＝5，故選：B．2．如圖，在△ABC中，AB＝AC，點D為線段BC上一動點（不與點B，C重合），連接AD，作∠ADE＝∠B＝40°，DE交線段AC于點E，下列結(jié)論：①∠DEC＝∠BDA；②若AB＝DC，則AD＝DE；③當DE⊥AC時，則D為BC中點；④當△ADE為等腰三角形時，∠BAD＝40°；正確的有_____個．（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】C【解答】解：①∵∠ADC＝∠B+∠BAD，∠B＝∠ADE＝40°，∴∠BAD＝∠CDE，∵AB＝AC，∴∠B＝∠C，∴由三角形內(nèi)角和定理知：∠DEC＝∠BDA，故①正確；②∵AB＝AC，∴∠B＝∠C＝40°，由①知：∠DEC＝∠BDA，∵AB＝DC，∴△ABD≌△DCE（AAS），∴AD＝DE，故②正確；③∵DE⊥AC，∴∠DEC＝90°，∵∠C＝40°，∴∠CDE＝50°，∴∠ADC＝90°，∴AD⊥BC，∵AB＝AC，∴BD＝CD，∴D為BC中點，故③正確；④∵∠C＝40°，∴∠AED＞40°，∴∠ADE≠∠AED，∵△ADE為等腰三角形，∴AE＝DE或AD＝DE，當AE＝DE時，∠DAE＝∠ADE＝40°，∵∠BAC＝180°﹣40°﹣40°＝100°，∴∠BAD＝60°，當AD＝DE時，∠DAE＝∠DEA＝70°，∴∠BAD＝30°，故④不正確．∴正確的有①②③，共3個，故選：C．3．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為邊，作△ACD，滿足AD＝AC，E為BC上一點，連接AE，∠CAD＝2∠BAE，連接DE，下列結(jié)論中：①∠ADE＝∠ACB；②AC⊥DE；③∠AEB＝∠AED；④DE＝CE+2BE．其中正確的有（）A．①②③ B．③④ C．①④ D．①③④【答案】D【解答】解：如圖，延長EB至G，使BE＝BG，設(shè)AC與DE交于點M，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，∵∠BAE＝∠GAE，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC與△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，故①是正確的；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，故③正確；∴AE平分∠BED，當∠BAE＝∠EAC時，∠AME＝∠ABE＝90°，則AC⊥DE，當∠BAE≠∠EAC時，∠AME≠∠ABE，則無法說明AC⊥DE，故②是不正確的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，故④是正確的，綜上所述：其中正確的有①③④．故選：D．4．如圖所示，在△ABC中，AB＝8，點M是BC的中點，AD是∠BAC的平分線，作MF∥AD交AC于F，已知CF＝10，則AC的長為（）A．12 B．11 C．10 D．9【答案】A【解答】解：如圖，延長FM到N，使MN＝MF，連接BN，延長MF交BA延長線于E，∵M是BC中點，∴BM＝CM，在△BMN和△CMF中，，∴△BMN≌△CMF（SAS），∴BN＝CF，∠N＝∠MFC，又∵∠BAD＝∠CAD，MF∥AD，∴∠E＝∠BAD＝∠CAD＝∠CFM＝∠AFE＝∠N，∴AE＝AF，BN＝BE，∴AB+AC＝AB+AF+FC＝AB+AE+FC＝BE+FC＝BN+FC＝2FC，∵AB＝8，CF＝10，∴AC＝2FC﹣AB＝20﹣8＝12．故選：A．5．如圖，在△OAB和△OCD中，OA＝OB，OC＝OD，OA＞OC，∠AOB＝∠COD＝40°，連接AC，BD交于點M，連接OM．下列結(jié)論：①AC＝BD；②∠AMB＝40°；③OM平分∠BOC；④MO平分∠BMC．其中正確的個數(shù)為（）A．4 B．3 C．2 D．1【答案】B【解答】解：∵∠AOB＝∠COD，∴∠AOB+∠AOD＝∠COD+∠AOD，即∠AOC＝∠BOD，在△AOC和△BOD中，，∴△AOC≌△BOD（SAS），∴∠OCA＝∠ODB，∠OAC＝∠OBD，AC＝BD，故①正確，符合題意；∵∠AMB+∠OAC＝∠AOB+∠OBD，∴∠AMB＝∠AOB＝40°，故②正確，符合題意；如圖所示，作OG⊥MC于G，OH⊥MB于H，則∠OGC＝∠OHD＝90°，在△OCG和△ODH中，，∴△OCG≌△ODH（AAS），∴OG＝OH，∴MO平分∠BMC，故④正確，符合題意；∵∠AOB＝∠COD，∴當∠DOM＝∠AOM時，OM才平分∠BOC，假設(shè)∠DOM＝∠AOM，∵∠AOB＝∠COD＝40°，∴∠COM＝∠BOM，∵MO平分∠BMC，∴∠CMO＝∠BMO，在△COM和△BOM中，，∴△COM≌△BOM（ASA），∴OB＝OC，∵OA＝OB，∴OA＝OC，與題意不符，故③錯誤，不符合題意；綜上，符合題意的有①②④；故選：B．6．如圖，在△ABC中，延長CA至點F，使得AF＝CA，延長AB至點D，使得BD＝2AB，延長BC至點E，使得CE＝3CB，連接EF、FD、DE，若S△DEF＝36，則S△ABC為（）A．2 B．3 C．4 D．5【答案】A【解答】解：如圖，連接AE，CD，設(shè)△ABC的面積為m．∵BD＝2AB，∴△BCD的面積為2m，△ACD的面積為3m，∵AC＝AF，∴△ADF的面積＝△ACD的面積＝3m，∵EC＝3BC，∴△ECA的面積＝3m，△EDC的面積＝6m，∵AC＝AF，∴△AEF的面積＝△EAC的面積＝3m，∴△DEF的面積＝m+2m+6m+3m+3m+3m＝18m＝36，∴m＝2，∴△ABC的面積為2，故選：A．7．如圖，△ABC中，∠BAC＝90°，AB＝AC、BM是AC邊的中線，有AD⊥BM；垂足為點E交BC于點D．且AH平分∠BAC交BM于N．交BC于H．連接DM．則下列結(jié)論：①∠AMB＝∠CMD；②HN＝HD；③BN＝AD；④∠BNH＝∠MDC；錯誤的有（）個．A．0 B．1 C．3 D．4【答案】A【解答】解：如圖，作KC⊥CA交AD的延長線于K．∵AB＝AC，∠BAC＝90°，AH平分∠BAC，∴AH⊥BC，BH＝CH，∴AH＝BH＝CH，∵AD⊥BM，∴∠BHN＝∠AEN＝∠AHD＝90°，∵∠BNH＝∠ANE，∴∠HBN＝∠DAH，∴△BHN≌△AHD（ASA），∴HN＝DH，BN＝AD，∠BNH＝∠ADH＝∠CDK，故②③正確，∵∠BAM＝∠ACK＝90°，∴∠BAE+∠CAK＝90°，∴∠BAE+∠ABM＝90°，∴∠ABM＝∠CAK，∵AB＝AC，∴△ABM≌△CAK（ASA），∴∠AMB＝∠K，AM＝CK＝CM，∵∠DCM＝∠DCK＝45°，CD＝CD，∴△CDM≌△CDK（SAS），∴∠CDK＝∠CDM，∠K＝∠CMD，∴∠AMB＝∠CMD，∠BNH＝∠MDC，故①④正確．故選：A．8．如圖，已知△ABC中，∠A＝60°，BE，CD分別平分∠ABC，∠ACB，P為BE，CD的交點，則以下結(jié)論中：（1）∠BPC＝120°，（2）BD+CE＝BC，（3）S△PBD+S△PCE＝S△PBC，（4）連接AP，AP平分∠BAC，正確的個數(shù)是（）A．1個 B．2個 C．3個 D．4個【答案】D【解答】解：∵BE、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，∠BAC＝60°，∴∠PBC+∠PCB＝（180°﹣∠BAC）＝（180°﹣60°）＝60°，∴∠BPC＝180°﹣（∠PBC+∠PCB）＝180°﹣60°＝120°，故（1）正確；∵∠BPC＝120°，∴∠DPE＝120°，如圖，過點P作PF⊥AB，PG⊥AC，PH⊥BC，∵BE、CD分別是∠ABC與∠ACB的角平分線，∴AP是∠BAC的平分線，故（4）正確；∵∠BAC＝60°，∵∠AFP＝∠AGP＝90°，∴∠FPG＝120°，∴∠DPF＝∠EPG，在△PFD與△PGE中，，∴△PFD≌△PGE（ASA），∴PD＝PE，∵PF＝PG＝PH，在Rt△BHP與Rt△BFP中，∴Rt△BHP≌Rt△BFP（HL），同理，Rt△CHP≌Rt△CGP，∴BH＝BD+DF，CH＝CE﹣GE，兩式相加得，BH+CH＝BD+DF+CE﹣GE，∵DF＝EG，∴BC＝BD+CE，故（2）正確；∴S△PBD+S△PCE＝S△PBC，故（3）正確；∴正確的個數(shù)有4個，故選：D．9．如圖，在△ABC中，AD是∠BAC的平分線，延長AD至E，使AD＝DE，連接BE，若AB＝3AC，△BDE的面積為9，則△ABC的面積是（）A．6 B．9 C．12 D．15【答案】C【解答】解：過點D作DG⊥AB于G，DF⊥AC，交AC延長線于F，∵AD是∠BAC的平分線，DG⊥AB，DF⊥AC，∴DG＝DF，∵AB＝3AC，∴S△ABD＝3S△ACD，∵AD＝DE，∴S△ABD＝S△BDE＝9，∴S△ACD＝3，∴S△ABC＝S△ACD+S△ABD＝3+9＝12，故選：C．10．在直線l上依次擺放著七個正方形（如圖所示）．已知斜放置的三個正方形的面積分別是1、2、3，正放置的四個正方形的面積依次是S1、S2、S3、S4，則S1+S2+S3+S4的值為（）A．6 B．5 C．4 D．3【答案】C【解答】解：如圖，∵在△CDE和△ABC中，，∴△CDE≌△ABC（AAS），∴AB＝CD，BC＝DE，∴AB2+DE2＝DE2+CD2＝CE2＝3，同理可證FG2+LK2＝HL2＝1，∴S1+S2+S3+S4＝CE2+HL2＝1+3＝4．故選：C．二．填空題（共10小題）11．添加輔助線是很多同學(xué)感覺比較困難的事情．如圖1，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，BD是高，E是△ABC外一點，BE＝BA，∠E＝∠C，若DE＝BD，AD＝16，BD＝20，求△BDE的面積．同學(xué)們可以先思考一下…，小穎思考后認為可以這樣添加輔助線：在BD上截取BF＝DE，（如圖2）．同學(xué)們，根據(jù)小穎的提示，聰明的你可以求得△BDE的面積為64．【答案】64．【解答】解：如圖所示，連接AF，∠ABD＝180°﹣∠BDA﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD，∠C＝180°﹣∠ABC﹣∠BAD＝90°﹣∠BAD，∵∠ABD＝∠C，∵∠E＝∠C，∵∠ABD＝∠E，在△ABF與△BED中，，∴△ABF≌△BED（SAS），∴S△ABF＝S△BDE，∵，∵BF＝×20＝8，∴DF＝BD﹣BF＝20﹣8＝12，∴S△AFD＝×AD?DF＝×12×16＝96，∵S△ABF＝S△ABD﹣S△AFD，∴S△BDE＝S△ABF＝160﹣96＝64．故答案為：64．12．如圖Rt△ACB中，∠ACB＝90°，AD平分∠CAB交BC于D，點E在AB的延長線上，滿足∠ADE+∠CAB＝180°，若AC＝6，BE＝2，則線段AB的長為10．【答案】10．【解答】解：延長AD到M，作DH⊥AB于H．∵AD平分∠CAB，∴∠DAC＝∠DAH，∵∠C＝∠AHD，AD＝AD，∴△ADC≌△ADH（AAS），∴AC＝AH＝6，∵∠ADE+∠CAB＝180°，∠ADE+∠EDM＝180°，∴∠EDM＝∠CAB，∵∠EDM＝∠DAE+∠DEA＝∠DAE+∠CAD，∠CAD＝∠DAB，∴∠DAB＝∠E，∴DA＝DE，∵DH⊥AE，∴AH＝HE＝6，∵BE＝2，∴BH＝4，∴AB＝10，故答案為：10．13．如圖，在△ABC中，AH是高，AE∥BC，AB＝AE，在AB邊上取點D，連接DE，DE＝AC，若S△ABC＝5S△ADE，BH＝1，則BC＝．【答案】．【解答】解：過點E作EP⊥BA，交BA的延長線于P，∴∠P＝∠AHB＝90°，∵AE∥BC，∴∠EAP＝∠CBA，在△AEP和△BAH中，，∴△AEP≌△BAH（AAS），∴PE＝AH，在Rt△DEP和Rt△CAH中，，∴Rt△DEP≌Rt△CAH（HL），∴CH＝DP，S△ACH＝S△DPE，∵S△ABC＝S△ABH+S△AHC＝2S△ABH+S△ADE＝5S△ADE，∴S△ABH：S△ADE＝2：1，∴BH：AD＝2：1，∵BH＝1，∴AD＝，∴DP＝CH＝1+＝，∴BC＝BH+CH＝1+＝，故答案為：．14．如圖，在Rt△ABC中，∠ABC＝90°，以AC為邊，作△ACD，滿足AD＝AC，點E為BC上一點，連接AE，∠BAE＝∠CAD，連接DE．下列結(jié)論中正確的是②③④．（填序號）①AC⊥DE；②∠ADE＝∠ACB；③若CD∥AB，則AE⊥AD；④DE＝CE+2BE．【答案】②③④．【解答】解：如圖，延長EB至G，使BE＝BG，設(shè)AC與DE交于點M，∵∠ABC＝90°，∴AB⊥GE，∴AB垂直平分GE，∴AG＝AE，∠GAB＝∠BAE＝∠DAC，∵∠BAE＝∠GAE，∴∠GAE＝∠CAD，∴∠GAE+∠EAC＝∠CAD+∠EAC，∴∠GAC＝∠EAD，在△GAC與△EAD中，，∴△GAC≌△EAD（SAS），∴∠G＝∠AED，∠ACB＝∠ADE，∴②是正確的；∵AG＝AE，∴∠G＝∠AEG＝∠AED，∴AE平分∠BED，當∠BAE＝∠EAC時，∠AME＝∠ABE＝90°，則AC⊥DE，當∠BAE≠∠EAC時，∠AME≠∠ABE，則無法說明AC⊥DE，∴①是不正確的；設(shè)∠BAE＝x，則∠CAD＝2x，∴∠ACD＝∠ADC＝＝90°﹣x，∵AB∥CD，∴∠BAC＝∠ACD＝90°﹣x，∴∠CAE＝∠BAC﹣∠EAB＝90°﹣x﹣x＝90°﹣2x，∴∠DAE＝∠CAE+∠DAC＝90°﹣2x+2x＝90°，∴AE⊥AD，∴③是正確的；∵△GAC≌△EAD，∴CG＝DE，∵CG＝CE+GE＝CE+2BE，∴DE＝CE+2BE，∴④是正確的，故答案為：②③④．15．如圖，在△ABC中，AD⊥BC于點D，在AD上取點F，使得BF＝AC＝10，DF＝CD＝6，連接BF并延長交AC于點E，則BE＝．【答案】．【解答】解：∵AD⊥BC，∴∠ADC＝∠BDF＝90°，在Rt△BFD中，∵BF＝10，DF＝6，∴由勾股定理，得BD＝＝＝8，在Rt△ACD和Rt△BFD中，，∴Rt△ACD≌Rt△BFD（HL），∴AD＝BD，∠CAD＝∠FBD，∵∠AFE＝∠BFD，∴∠AEF＝∠BDF＝90°，∵，BC＝BD+DC＝8+6＝14，AD＝BD＝8，AC＝10，∴BE＝＝＝．故答案為：．16．如圖，在△ABC中，∠C＝90°，BC＝8cm，AC＝6cm，點E是BC的中點，動點P從A點出發(fā)，以每秒2cm的速度沿A→C→E運動．若設(shè)點P運動的時間是ts，那么當t＝2或s時，△APE的面積等于8．【答案】2或．【解答】解：∵BC＝8cm，點E是BC的中點，∴CE＝BC＝4cm，當點P在線段AC上，如圖1所示，AP＝2t，∵∠C＝90°，∴S△APE＝AP?CE＝×2t×4＝4t＝8，解得：t＝2；當點P在線段CE上，如圖2所示，AC＝6cm，PE＝10﹣2t，∴S△APE＝PE?AC＝×（10﹣2t）×6＝8，解得：t＝．故答案為：2或．17．如圖，AB和CD相交于點O，∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，AP，DP分別平分∠CAO和∠BDC，若∠C+∠P+∠B＝165°，則∠C的度數(shù)是70°．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵∠C＝∠COA，∠BDC＝∠BOD，∠AOC＝∠BOD，∴∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO，∴∠B＝∠CAO，設(shè)∠C＝∠AOC＝∠BOD＝∠BDO＝x，∠CAP＝∠PAB＝y(tǒng)，∠P＝z，則∠B＝2y，則有，解得，∴∠C＝70°，故答案為70°．18．如圖，已知四邊形ABCD中，AB＝10cm，BC＝8cm，CD＝12cm，∠B＝∠C，點E為AB的中點．如果點P在線段BC上以3cm/s的速度沿B﹣C﹣B運動，同時，點Q在線段CD上由C點向D點運動．當點Q的運動速度為或3或或cm/s時，能夠使△BPE與△CQP全等．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：設(shè)點P在線段BC上運動的時間為ts，①點P由B向C運動時，BP＝3t（cm），CP＝（8﹣3t）cm，∵△BPE≌△CQP，∴BE＝CP＝5，∴5＝8﹣3t，解得t＝1，∴BP＝CQ＝3，此時，點Q的運動速度為3÷1＝3（cm/s）；②點P由B向C運動時，∵△BPE≌△CPQ，∴BP＝CP，∴3t＝8﹣3t，t＝，此時，點Q的運動速度為：5÷＝（cm/s）；③點P由C向B運動時，CP＝3t﹣8，∵△BPE≌△CQP，∴BE＝CP＝5，∴5＝3t﹣8，解得t＝，∴BP＝CQ＝3，此時，點Q的運動速度為3÷＝（cm/s）；④點P由C向B運動時，∵△BPE≌△CPQ，∴BP＝CP＝4，3t﹣8＝4，t＝4，∵BE＝CQ＝5，此時，點Q的運動速度為5÷4＝（cm/s）；綜上所述：點Q的運動速度為cm/s或3cm/s或cm/s或cm/s；故答案為：或3或或．19．如圖所示，△ABC中，∠A＝m，延長BC到D，∠ABC與∠ACD的角平分線相交于A1點，則∠A1的大小是，∠A1BC與∠A1CD的平分線相交于A2點，依此類推，∠A2015BC與∠A2015CD的角平分線相交于A2016點，則∠A2016的大小是．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：∵A1B平分∠ABC，A1C平分∠ACD，∴∠A1BC＝∠ABC，∠A1CA＝∠ACD，∵∠A1CD＝∠A1+∠A1BC，即∠ACD＝∠A1+∠ABC，∴∠A1＝（∠ACD﹣∠ABC），∵∠A+∠ABC＝∠ACD，∴∠A＝∠ACD﹣∠ABC，∴∠A1＝∠A＝，同法可得：∠A2＝∠A1＝∠A，…以此類推∠A2016＝∠A＝．故答案為，．20．已知：等腰△ABC，BA＝BC，點D在AB上，點E在BC的延長線上，AD＝CE，連接DE交AC于點F，作DH⊥AC于點H，∠HDF﹣∠E＝30°，CE＝6，CF＝2，則HF的長為5．【答案】5．【解答】解：如圖，過點D作DG∥BC，交AC于點G．∵BA＝BC，∴∠A＝∠BCA，∵DG∥BC，∴∠DGA＝∠BCA，∠DGF＝∠ECF，∴∠A＝∠DGA，∴DA＝DG，∵AD＝CE，∴DG＝CE＝6，在△△DFG和△EFC中，，∴△DFG≌△EFC（AAS），∴GF＝CF＝2，∠GDF＝∠E，∵∠HDF﹣∠E＝30°，∴∠HDG＝∠HDF﹣∠GDF＝30°，∵DH⊥AC，∴GH＝DG＝3，∴HF＝GH+GF＝3+2＝5．故答案為：5．三．解答題（共18小題）21．已知：如圖，在△ABC、△ADE中，∠BAC＝∠DAE＝90°，AB＝AC，AD＝AE，點C、D、E三點在同一直線上，連接BD．（1）求證：△BAD≌△CAE；（2）請判斷BD、CE有何大小、位置關(guān)系，并證明．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】證明：（1）∵∠BAC＝∠DAE＝90°，∴∠BAC+∠CAD＝∠EAD+∠CAD，∴∠BAD＝∠CAE，在△BAD和△CAE中，，∴△BAD≌△CAE（SAS）．（2）BD＝CE，BD⊥CE，理由如下：由（1）知，△BAD≌△CAE，∴BD＝CE；∵△BAD≌△CAE，∴∠ABD＝∠ACE，∵∠ABD+∠DBC＝45°，∴∠ACE+∠DBC＝45°，∴∠DBC+∠DCB＝∠DBC+∠ACE+∠ACB＝90°，則BD⊥CE．22．在△DEF中，DE＝DF，點B在EF邊上，且∠EBD＝60°，C是射線BD上的一個動點（不與點B重合，且BC≠BE），在射線BE上截取BA＝BC，連接AC．（1）當點C在線段BD上時，①若點C與點D重合，請根據(jù)題意補全圖1，并直接寫出線段AE與BF的數(shù)量關(guān)系為AE＝BF；②如圖2，若點C不與點D重合，請證明AE＝BF+CD；（2）當點C在線段BD的延長線上時，用等式表示線段AE，BF，CD之間的數(shù)量關(guān)系（直接寫出結(jié)果，不需要證明）．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）①如圖1，∵BA＝BC，∠EBD＝60°，∴△ABC是等邊三角形，∴AD＝AB＝BC，∠DAB＝∠ABC＝60°，∴∠EAD＝∠FBD＝120°，∵DE＝DF，∴∠E＝∠F，在△AEC與△BCF中，，∴△ADE≌△BDF（AAS），∴AE＝BF；故答案為：AE＝BF；②證明：在BE上截取BG＝BD，連接DG，∵∠EBD＝60°，BG＝BD，∴△GBD是等邊三角形．同理，△ABC也是等邊三角形．∴AG＝CD，∵DE＝DF，∴∠E＝∠F．又∵∠DGB＝∠DBG＝60°，∴∠DGE＝∠DBF＝120°，在△DGE與△DBF中，，∴△DGE≌△DBF（AAS），∴GE＝BF，∴AE＝BF+CD；（2）如圖3，連接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，∴AE＝EG﹣AG；∴AE＝BF﹣CD，如圖4，連接DG，由（1）知，GE＝BF，AG＝CD，∴AE＝AG﹣EG；∴AE＝CD﹣BF．23．如圖，在△ABC中，AB＝AC，BD是△ABC的角平分線．（1）當BC＝AB+AD時，求∠BAC的度數(shù)；（2）當∠BAC＝108°時，求證：BC＝AB+CD．【答案】（1）當BC＝AB+AD時，∠BAC的度數(shù)為90°；（2）證明過程見解答．【解答】（1）解：如圖，過點D作DE⊥BC于點E，∴∠DEB＝90°，當∠A＝90°時，∴DA⊥AB，∵BD是△ABC的角平分線，∴AD＝ED，在Rt△ABD和Rt△EBD中，，∴Rt△ABD≌Rt△EBD（HL），∴AB＝BE，∴BC＝BE+CE＝AB+CE，∵AB＝AC，∠A＝90°，∴∠C＝∠ABC＝45°，∴CE＝DE，∴BC＝AB+DE＝AB+AD．∴當BC＝AB+AD時，∠BAC的度數(shù)為90°；（2）證明：在BC上截取BF＝AB，連接DF，∵BD是△ABC的角平分線，∴∠ABD＝∠FBD，在△ABD和△FBD中，，∴△ABD≌△FBD（SAS），∴∠BAD＝∠BFD＝108°，∴∠CDF＝180°﹣108°＝72°，∵AB＝AC，∴∠ABC＝∠C＝（180°﹣108°）＝36°，∴∠CFD＝180°﹣72°﹣36°＝72°，∴∠CDF＝∠CFD，∴CD＝CF，∴BC＝BF+CF＝AB+CD．24．如圖，在△ABC中，AB＝AC＝3，∠B＝42°，點D在線段BC上運動（點D不與點B、C重合），連接AD，作∠ADE＝42°，DE交線段AC于點E．（1）當∠BDA＝118°時，∠EDC＝20°，∠AED＝62°；（2）若DC＝3，試說明△ABD≌△DCE；（3）在點D的運動過程中，△ADE的形狀可以是以AE為腰的等腰三角形嗎？若可以，求∠BDA的度數(shù)；若不可以，請說明理由．【答案】（1）20；62；（2）見解答；（3）當∠BDA的度數(shù)為84°時，△ADE的形狀是等腰三角形．【解答】解：（1）∵AB＝AC，∴∠C＝∠B＝42°，∵∠ADE＝42°，∠BDA＝118°，∵∠EDC＝180°﹣∠ADB﹣∠ADE＝20°，∴∠AED＝∠EDC+∠C＝20°+42°＝62°，故答案為：20；62；（2）當DC＝3時，△ABD≌△DCE，理由：∵AB＝3，DC＝3，∴AB＝DC，∵∠C＝42°，∴∠DEC+∠EDC＝138°，∵∠ADE＝42°，∴∠ADB+∠EDC＝138°，∴∠ADB＝∠DEC，在△ABD和△DCE中，，∴△ABD≌△DCE（AAS）；（3）當∠BDA的度數(shù)為110°或80°時，△ADE的形狀是等腰三角形，①當AD＝AE時，∠AED＝∠ADE＝42°＝∠C，此時，點D與點B重合，不合題意；②當EA＝ED時，∠EAD＝∠ADE＝42°，∴∠BDA＝∠EAD+∠C＝42°+42°＝84°；綜上所述，當∠BDA的度數(shù)為84°時，△ADE的形狀是等腰三角形．25．如圖，△ABC的兩條高AD與BE交于點O，AD＝BD，AC＝6．（1）求BO的長；（2）F是射線BC上一點，且CF＝AO，動點P從點O出發(fā)，沿線段OB以每秒1個單位長度的速度向終點B運動，同時動點Q從點A出發(fā)，沿射線AC以每秒4個單位長度的速度運動，當點P到達點B時，P，Q兩點同時停止運動，設(shè)運動時間為t秒，當△AOP與△FCQ全等時，求t的值．【答案】（1）6；（2）1.2或2．【解答】解：（1）∵∠BOD＝∠AOE，∠CAD+∠ACD＝∠CAD+∠AOE＝90°，∴∠ACD＝∠AOE，∴∠BOD＝∠ACD．又∵∠BDO＝∠ADC＝90，AD＝BD，∴Rt△BDO≌Rt△ADC（AAS），∴BO＝AC＝6．（2）①當點F在BC延長線上時：設(shè)t時刻，P、Q分別運動到如圖位置，△AOP≌△FCQ．∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，∴當△AOP≌△FCQ時，OP＝CQ．∵OP＝t，CQ＝6﹣4t，∴t＝6﹣4t，解得t＝1.2．②當點F在BC之間時：設(shè)t時刻，P、Q分別運動到如圖位置，△AOP≌△FCQ．∵CF＝AO，∠AOP＝∠EOD＝180°﹣∠DCE＝∠FCQ，∴當△AOP≌△FCQ時，OP＝CQ．∵OP＝t，CQ＝4t﹣6，∴t＝4t﹣6，解得t＝2．綜上，t＝1.2或2．26．如圖（1），AB＝4cm，AC⊥AB，BD⊥AB，AC＝BD＝3cm．點P在線段AB上以1cm/s的速度由點A向點B運動，同時，點Q在線段BD上由點B向點D運動．它們運動的時間為t（s）．（1）若點Q的運動速度與點P的運動速度相等，當t＝1時，△ACP與△BPQ是否全等，并判斷此時線段PC和線段PQ的位置關(guān)系，請分別說明理由；（2）如圖（2），將圖（1）中的“AC⊥AB，BD⊥AB”改為“∠CAB＝∠DBA＝60°”，其他條件不變．設(shè)點Q的運動速度為xcm/s，是否存在實數(shù)x，使得△ACP與△BPQ全等？若存在，求出相應(yīng)的x、t的值；若不存在，請說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）當t＝1時，AP＝BQ＝1，BP＝AC＝3，又∠A＝∠B＝90°，在△ACP和△BPQ中，，∴△ACP≌△BPQ（SAS）．∴∠ACP＝∠BPQ，∴∠APC+∠BPQ＝∠APC+∠ACP＝90°．∴∠CPQ＝90°，即線段PC與線段PQ垂直．（2）存在，理由：①若△ACP≌△BPQ，則AC＝BP，AP＝BQ，則，解得；②若△ACP≌△BQP，則AC＝BQ，AP＝BP，則，解得：；綜上所述，存在或，使得△ACP與△BPQ全等．27．【問題背景】在四邊形ABCD中，AB＝AD，∠BAD＝120°，∠B＝∠ADC＝90°，E、F分別是BC、CD上的點，且∠EAF＝60°，試探究圖1中線段BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系．【初步探索】小亮同學(xué)認為：延長FD到點G，使DG＝BE，連接AG，先證明△ABE≌△ADG，再證明△AEF≌△AGF，則可得到BE、EF、FD之間的數(shù)量關(guān)系是EF＝BE+FD．【探索延伸】在四邊形ABCD中如圖2，AB＝AD，∠B+∠D＝180°，E、F分別是BC、CD上的點，∠EAF＝∠BAD，上述結(jié)論是否仍然成立？說明理由．【結(jié)論運用】如圖3，在某次軍事演習中，艦艇甲在指揮中心（O處）北偏西30°的A處，艦艇乙在指揮中心南偏東70°的B處，并且兩艦艇到指揮中心的距離相等，接到行動指令后，艦艇甲向正東方向以60海里/小時的速度前進，艦艇乙沿北偏東50°的方向以80海里/小時的速度前進1.5小時后，指揮中心觀測到甲、乙兩艦艇分別到達E，F(xiàn)處，且兩艦艇之間的夾角（∠EOF）為70°，試求此時兩艦艇之間的距離．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：初步探索：EF＝BE+FD，故答案為：EF＝BE+FD，探索延伸：結(jié)論仍然成立，證明：如圖2，延長FD到G，使DG＝BE，連接AG，∵∠B+∠ADC＝180°，∠ADG+∠ADC＝180°∴∠B＝∠ADG，在△ABE和△ADG中，，∴△ABE≌△ADG，∴AE＝AG，∠BAE＝∠DAG，∵∠EAF＝∠BAD，∴∠GAF＝∠DAG+∠DAF＝∠BAE+∠DAF＝∠BAD﹣∠EAF＝∠EAF，∴∠EAF＝∠GAF，在△AEF和△AGF中，，∴△AEF≌△AGF，∴EF＝FG，∴FG＝DG+FD＝BE+DF；結(jié)論運用：解：如圖3，連接EF，延長AE、BF交于點C，∵∠AOB＝30°+90°+（90°﹣70°）＝140°，∠EOF＝70°，∴∠EOF＝∠AOB，∵OA＝OB，∠OAC+∠OBC＝（90°﹣30°）+（70°+50°）＝180°，∴符合探索延伸中的條件∴結(jié)論EF＝AE+BF成立，即EF＝1.5×（60+80）＝210海里，答：此時兩艦艇之間的距離是210海里．28．在△ABC中，（1）如圖①所示，如果∠A＝60°，∠ABC和么ACB的平分線相交于點P，那么∠BPC＝120°；（2）如圖②所示，∠ABC和∠ACD的平分線相交于點P，試說明∠BPC＝∠A；（3）如圖③所示，∠CBD和∠BCE的平分線相交于點P，猜想∠BPC與∠A的關(guān)系并證明你的猜想.【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】解：（1）∵BP、CP分別為∠ABC，∠ACB的平分線，∴∠ABC＝2∠PBC，∠ACB＝2∠PCB．∵∠A＝180°﹣（∠ABC+∠ACB），∴∠A＝180°﹣2（∠PBC+∠PCB），∴∠A＝180°﹣2（180°﹣∠BPC），∴∠A＝﹣180°+2∠BPC，∴2∠BPC＝180°+∠A，∴∠BPC＝90°+∠A＝90°+×60°＝120°，故答案為：120°；（2）∵BP是∠ABC的角平分線，∴∠PBC＝∠ABC．又∵CP是∠ACD的平分線，∴∠PCD＝∠ACD，∵∠ACD＝∠A+∠ABC，∠PCD＝∠BPC+∠PBC，∴∠BPC＝∠A；（3）90°﹣∠A．證明：∵BP、CP分別是∠ABC與∠ACB的外角平分線，∴∠CBP＝∠CBD，∠BCP＝∠BCE，∴∠CBP+∠BCP＝∠CBD+∠BCE＝（∠CBD+∠BCE）＝（∠A+∠ACB+∠A+∠ABC）＝（180°+∠A），∴∠BPC＝180°﹣（∠CBP+∠BCP）＝180°﹣（180°+∠A）＝90°﹣∠A．29．如圖，在△ABC和△ADE中，AB＝AC，AD＝AE，∠BAC＝∠DAE＝90°．（1）當點D在AC上時，如圖①，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請證明你的猜想；（2）將圖①中的△ADE繞點A順時針旋轉(zhuǎn)α（0°＜α＜90°），如圖②，線段BD，CE有怎樣的數(shù)量關(guān)系和位置關(guān)系？請說明理由．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】證明：（1）延長BD交CE于F，在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠AEC+∠ACE＝90°，∴∠ABD+∠AEC＝90°，∴∠BFE＝90°，即EC⊥BD；（2）延長BD交CE于F，∵∠BAD+∠CAD＝90°，∠CAD+∠EAC＝90°，∴∠BAD＝∠EAC，∵在△EAC和△DAB中，，∴△EAC≌△DAB（SAS），∴BD＝CE，∠ABD＝∠ACE，∵∠ABC+∠ACB＝90°，∴∠CBF+∠BCF＝∠ABC﹣∠ABD+∠ACB+∠ACE＝90°，∴∠BFC＝90°，即EC⊥BD．30．如圖，AD是△ABC的角平分線，H，G分別在AC，AB上，且HD＝BD．（1）求證：∠B與∠AHD互補；（2）若∠B+2∠DGA＝180°，請?zhí)骄烤€段AG與線段AH、HD之間滿足的等量關(guān)系，并加以證明．【答案】見試題解答內(nèi)容【解答】證明：（1）在AB上取一點M，使得AM＝AH，連接DM，∵，∴△AHD≌△AMD（SAS），∴HD＝MD，∠AHD＝∠AMD，∵HD＝DB，∴DB＝MD，∴∠DMB＝∠B，∵∠AMD+∠DMB＝180°，∴∠AHD+∠B＝180°，即∠B與∠AHD互補．（2）由（1）∠AHD＝∠AMD，HD＝MD，∠AHD+∠B＝180°，∵∠B+2∠DGA＝180°，∠AHD＝2∠DGA，∴∠AMD＝2∠DGM，又∵∠AMD＝∠DGM+∠GDM，∴2∠DGM＝∠DGM+∠GDM，即∠DGM＝∠GDM，∴MD＝MG，∴HD＝MG，∵AG＝AM+MG，∴AG＝AH+HD．31．如圖，四邊形ABCD中，∠A＝∠BCD＝90°，AB＝BC，∠EBF＝∠ADC，若E、F分別在AD、DC的延長線上．（1）找出∠EBF與∠ABC間的數(shù)量關(guān)系，并說明理由；（2）若∠EBF＝60°，找出線段AE，EF，CF之間的數(shù)量關(guān)系并證明．【答案】（1）∠EBF+∠ABC＝180°．證明見解答；（2）AE＝EF+CF．證明見解答．【解答】解：（1）∠EBF+∠ABC＝180°．證明：∵∠A＝∠BCD＝90°，四邊形ABCD的內(nèi)角和為360°，∴∠ADC+∠ABC＝180°，∵∠EBF＝∠ADC，∴∠EBF+∠ABC＝180°；（2）AE＝EF+CF．證明：在AE上截取AM＝CF，連接BM，如圖，在△ABM和△CBF中，，∴△ABM≌△CBF（SAS），∴∠ABM＝∠CBF，BM＝BF∵∠EBF＝60°，由（1）知∠EBF+∠ABC＝180°，∴∠ABC＝120°，∴∠FBM＝∠FBC+∠CBM＝∠ABM+∠CBM＝∠ABC＝120°，∵∠FBE＝60°，∴∠MBE＝60°，∴∠MBE＝∠FBE，在△BME和△BFE中，，∴△BME≌△BFE（SAS），∴EF＝EM，∵AE＝EM+AM，∴AE＝EF+CF．32．在直線m上依次取互不重合的三個點D，A，E，在直線m上方有AB＝AC，且滿足∠BDA＝∠AEC＝∠BAC＝α．（1）如圖1，當α＝90°時，猜想線段DE，BD，CE之間的數(shù)量關(guān)系是DE＝BD+CE；（2）如圖2，當0＜α＜180時，問題（1）中結(jié)論是否仍然成立？如成立，請你給出證明；若不成立，請說明理由；（3）拓展與應(yīng)用：如圖3，當α＝120°時，點F為∠BAC平分線上的一點，且AB＝AF，分別連接FB，F(xiàn)D，F(xiàn)E，F(xiàn)C，試判斷△DEF的形狀，并說明理由．【答案】（1）DE＝BD+CE；（2）成立，理由見解析；（3）△DEF是等邊三角形，理由見解析．【解答】解：（1）DE＝BD+CE，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝90°，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝90°，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴AD＝CE，BD＝AE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE，故答案為：DE＝BD+CE．（2）DE＝BD+CE仍然成立，理由如下，∵∠BDA＝∠BAC＝∠AEC＝α，∴∠BAD+∠EAC＝∠BAD+∠DBA＝180°﹣α，∴∠DBA＝∠EAC，∵AB＝AC，∴△DBA≌△EAC（AAS），∴BD＝AE，AD＝CE，∴DE＝AD+AE＝BD+CE；（3）△DEF是等邊三角形，理由如下，∵α＝120°，AF平分∠BAC，∴∠BAF＝∠CAF＝60°，∵AB＝AF＝AC，∴△ABF和△ACF是等邊三角形，∴FA＝FC，∠FCA＝∠FAB＝∠AFC＝60°，同（2）可得，△BDA≌△AEC，∴∠BAD＝∠ACE，AD＝CE，∴∠FAD＝∠FCE，∴△FAD≌△FCE（SAS），∴DF＝EF，∠DFA＝∠EFC，∴∠DFE＝∠DFA+∠AFE＝∠EFC+∠AFE＝∠AFC＝60°，∴△DEF是等邊三角形．33．如圖1，線段AB、CD相交于點O，連接AD、CB，我們把形如圖1的圖形稱之為“8字形”．如圖2，在圖1的條件下，∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，并且與CD、AB分別相交于M、N．試解答下列問題：（1）在圖1中，證明：∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）仔細觀察，在圖2中“8字形”的個數(shù)：6個；（3）圖2中，當∠D＝50度，∠B＝40度時，求∠P的度數(shù)．（4）圖2中∠D和∠B為任意角時，其他條件不變，試問∠P與∠D、∠B之間存在著怎樣的數(shù)量關(guān)系．（直接寫出結(jié)果，不必證明）．【答案】（1）證明見解析部分；（2）6；（3）45°；（4）2∠P＝∠D+∠B．理由見解析部分．【解答】（1）證明：∵∠A+∠D+∠AOD＝∠C+∠B+∠BOC＝180°，∠AOD＝∠BOC，∴∠A+∠D＝∠C+∠B；（2）解：①線段AB、CD相交于點O，形成“8字形”；②線段AN、CM相交于點O，形成“8字形”；③線段AB、CP相交于點N，形成“8字形”；④線段AB、CM相交于點O，形成“8字形”；⑤線段AP、CD相交于點M，形成“8字形”；⑥線段AN、CD相交于點O，形成“8字形”；故“8字形”共有6個，故答案為：6；（3）解：∠DAP+∠D＝∠P+∠DCP①，∠PCB+∠B＝∠PAB+∠P②，∵∠DAB和∠BCD的平分線AP和CP相交于點P，∴∠DAP＝∠PAB，∠DCP＝∠PCB，①+②得：∠DAP+∠D+∠PCB+∠B＝∠P+∠DCP+∠PAB+∠P，即2∠P＝∠D+∠B，又∵∠D＝50度，∠B＝40度，∴2∠P＝50°+40°，∴∠P＝45°；（4）解：關(guān)系：∠D+∠1＝∠P+∠3①，∠B+∠4＝∠P+∠2②，①+②得：∠D+∠1+∠4+∠B＝∠P+∠3+∠2+∠P，∵∠DAB和∠DCB的平分線AP和CP相交于點P，∴∠1＝∠2，∠3＝∠4，∴2∠P＝∠D+∠B．34．直線MN與PQ相互垂直，垂足為點O，點A在射線OQ上運動，點B在射線OM上運動，點A、點B均不與點O重合．（1）如圖1，AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，若∠BAO＝40°，求∠AIB的度數(shù)；（2）如圖2，AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，BC的反向延長線交AI于點D．①若∠BAO＝40°，則∠ADB＝45度（直接寫出結(jié)果，不需說理）；②點A、B在運動的過程中，∠ADB是否發(fā)生變化，若不變，試求∠ADB的度數(shù)；若變化，請說明變化規(guī)律．（3）如圖3，已知點E在BA的延長線上，∠BAO的角平分線AI、∠OAE的角平分線AF與∠BOP的角平分線所在的直線分別相交于點D、F，在△ADF中，如果有一個角的度數(shù)是另一個角的4倍，請直接寫出∠ABO的度數(shù)．【答案】（1）135°；（2）①45°；②不變，45°；（3）45°或36°．【解答】解：（1）如圖1中，∵MN⊥PQ，∴∠AOB＝90°，∵∠OAB＝40°，∴∠ABO＝90°﹣∠OAB＝50°，∵AI平分∠BAO，BI平分∠ABO，∴∠IBA＝ABO＝25°，∠IAB＝∠OAB＝20°，∴∠AIB＝180°﹣（∠IBA+∠IAB）＝135°．（2）如圖2中，①∵∠MBA＝∠AOB+∠BAO＝90°+40°＝130°，∵AI平分∠BAO，BC平分∠ABM，∴∠CBA＝∠MBA＝65°，∠BAI＝∠BAO＝20°，∵∠CBA＝∠D+∠BAD，∴∠D＝45°，故答案為：45．②不變，理由：∵∠D＝∠CBA﹣∠BAD＝∠MBA﹣∠BAO＝（∠MBA﹣∠BAO）＝∠AOB＝×90°＝45°，∴點A、B在運動的過程中，∠ADB＝45°．（3）如圖3中，∵∠BAO的角平分線AI、∠OAE的角平分線AF與∠BOP的角平分線所在的直線分別相交于點D、F，∴∠DAO＝∠BAO，∠FAO＝∠EAP，∴∠DAF＝∠BAO+EAP＝×180°＝90°，∴∠D＝∠POD﹣∠DAO＝∠POB﹣∠BAO＝（∠POB﹣∠BAO）＝∠ABO，①當∠DAF＝4∠D時，∠D＝22.5°，∴∠ABO＝2∠D＝45°．②當∠DAF＝4∠F時，∠F＝22.5°，∠D＝67.5°，∴∠ABO＝2∠D＝135°（不合題意舍棄）．③當∠F＝4∠D時，∠D＝18°，∴∠ABO＝2∠D＝36°．④當∠D＝4∠F時，∠D＝72°，∴∠ABO＝2∠D＝144°（不合題意舍棄）．綜上所述，當∠ABO＝45°或36°時，在△ADF中，有一個角的度數(shù)是另一個角的4倍．35．如圖1，在△ABC中，AB＝AC，點D在AB上，點E在AC的延長線上，連接ED交BC于F，DF＝EF．（1）求證：BD＝CE；（2）如圖2，連接CD，若∠DFB＝45°，BC＝6，求△BCD的面積．【答案】（1）證明過程見解答；（2）9．【解答】（1