人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊學(xué)案：5 2 2 導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則

人教A版(新教材)高中數(shù)學(xué)選擇性必修第二冊PAGEPAGE15．2.2導(dǎo)數(shù)的四則運(yùn)算法則學(xué)習(xí)目標(biāo)1.理解函數(shù)的和、差、積、商的求導(dǎo)法則.2.理解求導(dǎo)法則的證明過程，能夠綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．導(dǎo)語同學(xué)們，上節(jié)課我們學(xué)習(xí)了基本初等函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，實(shí)際上，它是我們整個導(dǎo)數(shù)的基礎(chǔ)，而且我們也只會冪函數(shù)、指數(shù)函數(shù)、對數(shù)函數(shù)、三角函數(shù)這四類函數(shù)的求導(dǎo)法則，我們知道，可以對基本初等函數(shù)進(jìn)行加減乘除等多種形式的組合，組合后的函數(shù)，又如何求導(dǎo)，將是我們本節(jié)課要解決的內(nèi)容．一、f(x)±g(x)的導(dǎo)數(shù)問題1利用定義求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的一般步驟是什么？〖提示〗第一步：求函數(shù)的改變量Δy＝f(x＋Δx)－f(x)；第二步：求平均變化率eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)；第三步：取極限，得導(dǎo)數(shù)y′＝f′(x)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx).問題2令y＝f(x)＋g(x)，如何求該函數(shù)的導(dǎo)數(shù)？〖提示〗Δy＝eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(fx＋Δx＋gx＋Δx))－eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(fx＋gx))；eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(fx＋Δx＋gx＋Δx))－\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(fx＋gx)),Δx)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＋eq\f(gx＋Δx－gx,Δx)，y′＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx＋Δx－fx,Δx)＋\f(gx＋Δx－gx,Δx)))＝f′(x)＋g′(x)．所以有〖f(x)＋g(x)〗′＝f′(x)＋g′(x)．知識梳理兩個函數(shù)和或差的導(dǎo)數(shù)：〖f(x)±g(x)〗′＝f′(x)±g′(x)．注意點(diǎn)：推廣〖f1(x)±f2(x)±…±fn(x)〗′＝f1′(x)±f2′(x)±…±fn′(x)．例1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x5－x3＋cosx；(2)y＝lgx－ex.解(1)y′＝(x5)′－(x3)′＋(cosx)′＝5x4－3x2－sinx.(2)y′＝(lgx－ex)′＝(lgx)′－(ex)′＝eq\f(1,xln10)－ex.反思感悟兩個函數(shù)和(或差)的導(dǎo)數(shù)，等于這兩個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)的和(或差)，對于每一項(xiàng)分別利用導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則即可．跟蹤訓(xùn)練1求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)f(x)＝x2＋sinx；(2)g(x)＝x3－eq\f(3,2)x2－6x＋2.解(1)∵f(x)＝x2＋sinx，∴f′(x)＝2x＋cosx.(2)∵g(x)＝x3－eq\f(3,2)x2－6x＋2，∴g′(x)＝3x2－3x－6.二、f(x)g(x)和eq\f(fx,gx)的導(dǎo)數(shù)問題3你能利用定義求y＝f(x)g(x)的導(dǎo)數(shù)嗎？〖提示〗第一步：Δy＝f(x＋Δx)g(x＋Δx)－f(x)g(x)；第二步：eq\f(Δy,Δx)＝eq\f(fx＋Δxgx＋Δx－fxgx,Δx)＝eq\f(fx＋Δxgx＋Δx－fxgx＋Δx＋fxgx＋Δx－fxgx,Δx)＝eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)·g(x＋Δx)＋eq\f(gx＋Δx－gx,Δx)·f(x)；第三步：其中eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx＋Δx－fx,Δx)＝f′(x)，eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))g(x＋Δx)＝g(x)，eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(gx＋Δx－gx,Δx)＝g′(x)，所以y′＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(Δy,Δx)＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；所以eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(fxgx))′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)；即：兩個函數(shù)的積的導(dǎo)數(shù)，等于第一個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)乘以第二個函數(shù)加上第一個函數(shù)乘以第二個函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．問題4對于eq\f(fx,gx)，(g(x)≠0)如何求導(dǎo)？〖提示〗eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(\f(fx＋Δx,gx＋Δx)－\f(fx,gx),Δx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx＋Δxgx－fxgx＋Δx,gxgx＋ΔxΔx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(fx＋Δxgx－fxgx＋fxgx－fxgx＋Δx,gxgx＋ΔxΔx)＝eq\o(lim,\s\do6(Δx→0))eq\f(\f(fx＋Δx－fx,Δx)·gx－\f(gx＋Δx－gx,Δx)·fx,gxgx＋Δx)＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2).知識梳理1．〖f(x)·g(x)〗′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)，特別地，〖cf(x)〗′＝cf′(x)．2.eq\b\lc\[\rc\](\a\vs4\al\co1(\f(fx,gx)))′＝eq\f(f′xgx－fxg′x,[gx]2)(g(x)≠0)．注意點(diǎn)：注意兩個函數(shù)的乘積和商的導(dǎo)數(shù)的結(jié)構(gòu)形式．例2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝x2＋xlnx；(2)y＝eq\f(lnx,x2)；(3)y＝eq\f(ex,x)；(4)y＝(2x2－1)(3x＋1)．解(1)y′＝(x2＋xlnx)′＝(x2)′＋(xlnx)′＝2x＋(x)′lnx＋x(lnx)′＝2x＋lnx＋x·eq\f(1,x)＝2x＋lnx＋1.(2)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(lnx,x2)))′＝eq\f(lnx′·x2－lnxx2′,x4)＝eq\f(\f(1,x)·x2－2xlnx,x4)＝eq\f(1－2lnx,x3).(3)y′＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(ex,x)))′＝eq\f(ex′x－exx′,x2)＝eq\f(ex·x－ex,x2).(4)方法一y′＝〖(2x2－1)(3x＋1)〗′＝(2x2－1)′(3x＋1)＋(2x2－1)(3x＋1)′＝4x(3x＋1)＋(2x2－1)×3＝12x2＋4x＋6x2－3＝18x2＋4x－3.方法二∵y＝(2x2－1)(3x＋1)＝6x3＋2x2－3x－1，∴y′＝(6x3＋2x2－3x－1)′＝(6x3)′＋(2x2)′－(3x)′－(1)′＝18x2＋4x－3.反思感悟利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則的策略(1)分析待求導(dǎo)式子符合哪種求導(dǎo)法則，每一部分式子是由哪種基本初等函數(shù)組合成的，確定所需的求導(dǎo)法則和基本公式．(2)如果求導(dǎo)式子比較復(fù)雜，則需要對式子先變形再求導(dǎo)，常用的變形有乘積式展開變?yōu)楹褪角髮?dǎo)，商式變乘積式求導(dǎo)，三角函數(shù)恒等變換后求導(dǎo)等．(3)利用導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求導(dǎo)的原則是盡可能化為和、差，能利用和差的求導(dǎo)法則求導(dǎo)的，盡量少用積、商的求導(dǎo)法則求導(dǎo)．跟蹤訓(xùn)練2求下列函數(shù)的導(dǎo)數(shù)：(1)y＝(x2＋1)(x－1)；(2)y＝x2＋tanx；(3)y＝eq\f(ex,x＋1).解(1)∵y＝(x2＋1)(x－1)＝x3－x2＋x－1，∴y′＝3x2－2x＋1.(2)因?yàn)閥＝x2＋eq\f(sinx,cosx)，所以y′＝(x2)′＋eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(sinx,cosx)))′＝2x＋eq\f(cos2x－sinx－sinx,cos2x)＝2x＋eq\f(1,cos2x).(3)y′＝eq\f(ex′x＋1－x＋1′ex,x＋12)＝eq\f(exx＋1－ex,x＋12)＝eq\f(xex,x＋12).三、導(dǎo)數(shù)四則運(yùn)算法則的應(yīng)用例3(1)日常生活中的飲用水通常都是經(jīng)過凈化的，隨著水純凈度的提高，所需凈化費(fèi)用不斷增加．已知1t水凈化到純凈度為x%時所需費(fèi)用(單位：元)為c(x)＝eq\f(4000,100－x)eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(80<x<100)).那么凈化到純凈度為90%時所需凈化費(fèi)用的瞬時變化率是()A．－40元/t B．－10元/tC．10元/t D．40元/t〖答案〗D〖解析〗凈化費(fèi)用的瞬時變化率就是凈化費(fèi)用函數(shù)的導(dǎo)數(shù)，因?yàn)閏(x)＝eq\f(4000,100－x)(80<x<100)．所以c′(x)＝eq\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(4000,100－x)))′＝eq\f(4000,100－x2)，又因?yàn)閏′(90)＝eq\f(4000,100－902)＝40，所以凈化到純凈度為90%時所需凈化費(fèi)用的瞬時變化率是40元/t.(2)曲線y＝xlnx上的點(diǎn)到直線x－y－2＝0的最短距離是()A.eq\r(2)B.eq\f(\r(2),2)C．1D．2〖答案〗B〖解析〗設(shè)曲線y＝xlnx在點(diǎn)(x0，y0)處的切線與直線x－y－2＝0平行．∵y′＝lnx＋1，∴＝lnx0＋1＝1，解得x0＝1，∴y0＝0，即切點(diǎn)坐標(biāo)為(1,0)．∴切點(diǎn)(1,0)到直線x－y－2＝0的距離為d＝eq\f(|1－0－2|,\r(1＋1))＝eq\f(\r(2),2)，即曲線y＝xlnx上的點(diǎn)到直線x－y－2＝0的最短距離是eq\f(\r(2),2).反思感悟(1)此類問題往往涉及切點(diǎn)、切點(diǎn)處的導(dǎo)數(shù)、切線方程三個主要元素，其他的條件可以進(jìn)行轉(zhuǎn)化，從而轉(zhuǎn)化為這三個要素間的關(guān)系．(2)準(zhǔn)確利用求導(dǎo)法則求出導(dǎo)函數(shù)是解決此類問題的第一步，也是解題的關(guān)鍵，務(wù)必做到準(zhǔn)確．(3)分清“在某點(diǎn)”和“過某點(diǎn)”導(dǎo)數(shù)的不同．跟蹤訓(xùn)練3(1)已知函數(shù)f(x)＝eq\f(alnx,x＋1)＋eq\f(b,x)，曲線y＝f(x)在點(diǎn)A(1，f(1))處的切線方程為x＋2y－3＝0，則a，b的值分別為________．〖答案〗1,1〖解析〗f′(x)＝eq\f(a\b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(\f(x＋1,x)－lnx)),x＋12)－eq\f(b,x2).由于直線x＋2y－3＝0的斜率為－eq\f(1,2)，且過點(diǎn)(1,1)，故eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(f1＝1，,f′1＝－\f(1,2)，))即eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(b＝1，,\f(a,2)－b＝－\f(1,2)，))解得eq\b\lc\{\rc\(\a\vs4\al\co1(a＝1，,b＝1.))(2)曲線y＝eq\f(2,e)(x－1)ex在點(diǎn)(1,0)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為________．〖答案〗1〖解析〗由題意可知，y′＝eq\f(2,e)x·ex，y′|x＝1＝2，∴切線方程為y＝2(x－1)，即2x－y－2＝0.令x＝0得y＝－2；令y＝0得x＝1.∴曲線y＝eq\f(2,e)(x－1)ex在點(diǎn)(1,0)處的切線與坐標(biāo)軸圍成的面積為S＝eq\f(1,2)×2×1＝1.1.知識清單：(1)導(dǎo)數(shù)的運(yùn)算法則．(2)綜合運(yùn)用導(dǎo)數(shù)公式和導(dǎo)數(shù)運(yùn)算法則求函數(shù)的導(dǎo)數(shù)．2.方法歸納：轉(zhuǎn)化法．3.常見誤區(qū)：對于函數(shù)求導(dǎo)，一般要遵循先化簡、再求導(dǎo)的基本原則．1．設(shè)函數(shù)y＝－2exsinx，則y′等于()A．－2excosx B．－2exsinxC．2exsinx D．－2ex(sinx＋cosx)〖答案〗D〖解析〗y(tǒng)′＝－2(exsinx＋excosx)＝－2ex(sinx＋cosx)．2．已知f(x)＝ax3＋3x2＋2，若f′(－1)＝4，則a的值是()A.eq\f(19,3)B.eq\f(16,3)C.eq\f(13,3)D.eq\f(10,3)〖答案〗D〖解析〗∵f′(x)＝3ax2＋6x，∴f′(－1)＝3a－6＝4，∴a＝eq\f(10,3).3．若函數(shù)f(x)＝eq\f(1,2)f′(－1)x2－2x＋3，則f′(－1)的值為()A．－1B．0C．1D．2〖答案〗A〖解析〗因?yàn)閒